Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (КИ)"

Кинематика

Кинема'тика (от греч. kínema, родительный падеж kinematos – движение), раздел механики , посвященный изучению геометрических свойств движений без учета их масс и действующих на них сил. Излагаемое ниже относится к К. движений, рассматриваемых в классической механике (движение макроскопических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света). О К. движений со скоростями, близкими к скоростям света, см. Относительности теория , а о движениях микрочастиц – Квантовая механика .

  Устанавливаемые в К. методы и зависимости используются при кинематических исследованиях движений, в частности при расчётах передач движений в различных механизмах, машинах и др., а также при решении задач динамики . В зависимости от свойств изучаемого объекта К. разделяют на К. точки, К. твёрдого тела и К. непрерывной изменяемой среды (деформируемого тела, жидкости, газа).

  Движение любого объекта в К. изучают по отношению к некоторому телу (тело отсчёта); с ним связывают так называемую систему отсчёта (оси х, у, z на рис. 1 ), с помощью которой определяют положение движущегося объекта относительно тела отсчёта в разные моменты времени. Выбор системы отсчёта в К. произволен и зависит от целей исследования. Например, при изучении движения колеса вагона по отношению к рельсу систему отсчёта связывают с землёй, а при изучении движения того же колеса по отношению к кузову вагона – с кузовом и т.д. Движение рассматриваемого объекта считается заданным (известным), если известны уравнения, называемые уравнениями движения (или графики, таблицы), позволяющие определить положение этого объекта по отношению к системе отсчёта в любой момент времени.

  Основная задача К. заключается в установлении (при помощи тех или иных математических методов) способов задания движения точек или тел и в определении по уравнениям их движений соответствующих кинематических характеристик движения, таких, как траектории, скорости и ускорения движущихся точек, угловые скорости и угловые ускорения вращающихся тел и др. Для задания движения точки пользуются одним из 3 способов: естественным, координатным или векторным:

  а) естественный (или траекторный), применяемый, когда известна траектория точки по отношению к выбранной системе отсчёта. Положение, точки определяется расстоянием s = O₁ M от выбранного на траектории начала отсчёта O₁ , измеренным вдоль дуги траектории и взятым с соответствующим знаком (рис. 1 ), а закон движения даётся уравнением s = f (t ), выражающим зависимость s от времени t. Например, если задано, что s = 3t² — 1, то в начальный момент времени t _{= 0, S = — 1 м (точка находится слева от начала О на расстоянии 1 м ), в момент t1 = 1 сек,S1 = 2 м (точка справа от O1 на расстоянии 2 м ) и т.д. Зависимость s от t может быть также задана графиком движения, на котором в выбранном масштабе отложены вдоль оси t время, а вдоль оси s – расстояние (рис. 2 ), или таблицей, где в одном столбце даются значения t, а в другом соответствующие им значения s (подобный способ применяется, например, в железнодорожном расписании движения поезда).}

  б) Координатный, при котором положение точки относительно системы отсчёта определяется какими-нибудь тремя координатами, например прямоугольными декартовыми х, у, z, а закон движения задаётся 3 уравнениями х = f₁ (t ), у = f₂ (t ), z = f₃ (t ). Исключив из этих уравнений время t, можно найти траекторию точки.

  в) Векторный, при котором положение точки по отношению к системе отсчёта определяется её радиус-вектором r , проведённым от начала отсчёта до движущейся точки, а закон движения даётся векторным уравнением r= r (t ). Траектория точки – годограф вектора r.

  Основными кинематическими характеристиками движущейся точки являются её скорость и ускорение, значения которых определяются по уравнениям движения через первые и вторые производные по времени от s или от х, у, z, или от r (см. Скорость , Ускорение ).

  Способы задания движения твёрдого тела зависят от вида, а число уравнений движения – от числа степеней свободы тела (см. Степеней свободы число ). Простейшими являются поступательное движение и вращательное движение твёрдого тела. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, и его движение задаётся и изучается так же, как движение одной точки. При вращательном движении вокруг неподвижной оси z (рис. 3 ) тело имеет одну степень свободы; его положение определяется углом поворота j, а закон движения задаётся уравнением j = f (t ). Основными кинематическими характеристиками являются угловая скорость w=dj/dt и угловое ускорение e = dw/dt тела. Величины w и e изображаются в виде векторов, направленных вдоль оси вращения. Зная w и e, можно определить скорость и ускорение любой точки тела.

  Более сложным является движение тела, имеющего одну неподвижную точку и обладающего 3 степенями свободы (например, гироскоп , или волчок). Положение тела относительно системы отсчёта определяется в этом случае какими-нибудь 3 углами (например, Эйлера углами: углами прецессии, нутации и собственного вращения), а закон движения – уравнениями, выражающими зависимость этих углов от времени. Основными кинематическими характеристиками являются мгновенная угловая скорость w и мгновенное угловое ускорение e тела. Движение тела слагается из серии элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих своё направление мгновенных осей вращения ОР , проходящих через неподвижную точку О (рис. 4 ).

  Самым общим случаем является движение свободного твёрдого тела, имеющего 6 степеней свободы. Положение тела определяется 3 координатами одной из его точек, называемых полюсом (в задачах динамики за полюс принимается центр тяжести тела), и 3 углами, выбираемыми так же, как для тела с неподвижной точкой; закон движения тела задаётся 6 уравнениями, выражающими зависимости названных координат и углов от времени. Движение тела слагается из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. Таким, например, является движение в воздухе артиллерийского снаряда или самолета, совершающего фигуры высшего пилотажа, движение небесных тел и др. Основными кинематическими характеристиками являются скорость и ускорение поступательной части движения, равные скорости и ускорению полюса, и угловая скорость и угловое ускорение вращения тела вокруг полюса. Все эти характеристики (как и кинематические характеристики для тела с неподвижной точкой) вычисляются по уравнениям движения; зная эти характеристики, можно определить скорость и ускорение любой точки тела. Частным случаем рассмотренного движения является плосконаправленное (или плоское) движение твёрдого тела, при котором все его точки движутся параллельно некоторой плоскости. Подобное движение совершают звенья многих механизмов и машин.

  В К. изучают также сложное движение точек или тел, то есть движение, рассматриваемое одновременно по отношению к двум  (и более) взаимно перемещающимся системам отсчета. При этом одну из систем отсчета рассматривают как основную (ее еще называют условно неподвижной), а перемещающуюся по отношению к ней систему отсчёта называют подвижной; в общем случае подвижных систем отсчёта может быть несколько.

  При изучении сложного движения точки её движение, а также скорость и ускорение по отношению к основной системе отсчёта называют условно абсолютными, а по отношению к подвижной системе – относительными. Движение самой подвижной системы отсчёта и всех неизменно связанных с ней точек пространства по отношению к основной системе называют переносным движением, а скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчёта, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, называют переносной скоростью и переносным ускорением. Например, если основную систему отсчета связать с берегом, а подвижную с пароходом, идущим по реке, и рассмотреть качение шарика по палубе парохода (считая шарик точкой), то скорость и ускорение шарика по отношению к палубе будут относительными, а по отношению к берегу – абсолютными; скорость же и ускорение той точки палубы, которой в данный момент касается шарик, будут для него переносными. Аналогичная терминология используется и при изучении сложного движения твёрдого тела.

  Основные задачи К. сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, т. е.

n_a = n_oтн + n_пер ,

  а абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений – относительного, переносного и поворотного, или кориолисова (см. Кориолиса ускорение ), т. е.

w_a = w_oтн +w_пер +w_kop .

  Для твердого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными, абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений (см. Винтовое движение ).

  В К. непрерывной среды устанавливаются способы задания движения этой среды, рассматривается общая теория деформаций и определяются так называемые уравнения неразрывности, отражающие условия непрерывности среды.

  Лит. см. при ст. Механика .

  С. М. Тарг.

Рис. 1 к ст. Кинематика.

Рис. 4 к ст. Кинематика.

Рис. 2 к ст. Кинематика.

Рис. 3 к ст. Кинематика.