Текст книги "Математики тоже шутят"

Автор книги: Сергей Федин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 9 страниц)

19. Вспомнил

В чем-то сходная история, но уже в другом вузе. Преподаватель на экзамене, показывая на некий параметр в выкладках студента, спрашивает его:

– Как называется эта величина?

– Эта величина, – бойко начинает студент, – выражается вот по такой формуле через...

– Постойте, – перебивает преподаватель, – я вас не спрашиваю, как получить эту величину. Я спрашиваю, как она называется.

– Н-ну... – неуверенно говорит студент. – ...Сигма.

– Нет, нет, не надо как она обозначается. Как она называется?

Студент растерянно молчит.

– Ну, как ее у вас на лекциях называли? – пытается помочь преподаватель.

Лицо студента озаряется счастливой улыбкой:

– А-а! Вспомнил! Она называется ХРЕНОВИНА! Наш лектор так и говорил: «Берем эту хреновину...»

20. Кто громче?

Эта легендарная история произошла на мехмате несколько десятилетий назад. Двое разгильдяев-студентов на лекции популярного на факультете профессора С., уютно расположившись на верхнем ряду устроенной амфитеатром аудитории, решили сыграть в одну азартную и опасную игру. Первый тихим шепотом произносит непристойное слово «ж...па» и кладет на стол пятак (в те времена пять копеек стоили гораздо больше, а стипендия равнялась 40 рублям). Второй повторяет то же слово чуть громче и кладет на кон свой пятак. Первый говорит еще громче и снова добавляет пятак и так далее. Тот, кто уже не может, опасаясь лектора, произнести запретное слово громче, чем соперник, проигрывает, и победитель забирает все деньги...

Так они играли, все более повышая ставки, и кучка пятаков, заранее заготовленных, достигла уже внушительных размеров. В конце концов, роковое слово достигло слуха лектора. Быстро оценив ситуацию и вычислив источник звука, он коршуном взлетел на верхний ряд. Внезапно представ перед потрясенными студентами, он гаркнул на всю аудиторию «Ж...па!» и по праву сгреб все пятаки себе. На этом партия закончилась. Говорят, больше в эту игру на мехмате не играли...

21. Задом наперед

Реальный случай в одном из московских педвузов. Экзамен по математическому анализу. Студентка дает определение предела последовательности:

– Число A называется пределом последовательности, если для любого эпсилон задом наперед...

– Постойте! – изумленно перебивает ее экзаменатор. – Откуда вы взяли такое странное определение?

Студентка ударяется в слезы:

– Но так было на ваших лекциях! Вы сами так говорили!

– Ну что вы, милочка! – смеется профессор. – Я говорил чуть-чуть иначе: «...для любого эпсилон, заданного наперед...».

22. Тонкая подсказка

...Нужно сделать последний шаг и доказательство будет завершено. На лекции в воздухе уже витает неуловимая еще догадка. Но аудитория молчит и, талантливо мучаясь вместе с ней, Григорий Михайлович Фихтенгольц, наконец, теряет терпение и восклицает:

– Ну, маленькое красненькое с вишневой косточкой внутри... Ну, что это такое?!

(Цит. по книге: Славутский И. Ш.И в шутку и всерьез о математике. СПб., 1998.)

23. Святая простота

Из письма читателя в редакцию журнала «Наука и жизнь»:

История эта происходила в 1990 году на зачете в одном из Рижских вузов. Студентку спросили про сечения цилиндра. Что отвечать – она не знала. Преподаватель, желая вытянуть из нее хоть что-нибудь, доброжелательно говорит:

– Петрова, ну вы дома морковку резали?

– (недоуменно) Да...

– А по диагонали?

– (еще более недоуменно) Да-а...

– И что у вас в сечении получалось?

– Морковка...

24. Гога

Выпускники Физтеха старшего поколения наверняка с дрожью вспоминают преподавателя с кафедры высшей математики Игоря Агафоновича Борачинского, известного в студенческой среде, как «Гога». О его строгости на семинарах и экзаменах рассказывали легенды, ставшие впоследствии неизменной частью физтеховского фольклора. Вот лишь несколько из них.

Однажды на экзамене Гоге Борачинскому попался некий отличник. Помучив его изрядно, он собрался ставить бедняге тройку.

– Игорь Агафонович, поставьте мне лучше два, – взмолился студент, надеясь на пересдачу, где можно попасть к нормальному преподавателю и получить привычную пятерку.

– Нет. Вы в принципе не можете выучить больше, чем на три.

– Игорь Агафонович, – канючит отличник, – ну я вас очень прошу!

– Ну, ладно, – смягчается Гога. – Вот вам еще задача. Если решите – ставлю два, а не решите – уходите с тройкой.

25. Что так, что эдак

У Гоги Борачинского было очень слабое зрение, и он обычно читал, поднося написанное близко к глазам. Как-то раз он принимал задание по матанализу у группы студентов. Берет первую тетрадку, подносит к лицу, читает, через пять секунд откладывает:

– Два!

Берет вторую тетрадку, опять подносит, читает, через пять секунд:

– Два!

И так несколько раз подряд. Наконец, берет очередную тетрадку и долго изучает ее. Проходит пять минут, десять.

– Да, в этом что-то есть, – задумчиво бормочет Гога, продолжая изучать тетрадь.

– Игорь Агафонович, – доносится робкий студенческий голос, – вы тетрадку вверх ногами держите.

Гога тут же переворачивает тетрадь, смотрит пять секунд:

– Та же чушь! Два!

26. Ошибочка вышла

Рассказывают, что однажды на экзамене Борачинский принял одного молодого преподавателя за студента и позвал отвечать.

Тот ради смеха пошел. Гога долго его мучил и, в конце концов, решил поставить трояк. Давайте, говорит, вашу зачетку. Тут, наконец, преподаватель объяснил, кто он. Гога очень расстроился и в этот день экзаменов больше не принимал.

27. Договорились

Еще одним знаменитым «злодеем» на Физтехе был проф. Беклемишев, читавший курс аналитической геометрии и линейной алгебры и впоследствии издавший по нему известный учебник. С ним и приснопамятным Гогой Борачинским связана такая история. Однажды они оба принимали экзамен в одной группе.

И вот Гога, несмотря на свое слабое зрение, каким-то образом засек списывающего с учебника студента. Подбежав к нему, он тут же объявил:

– Вы списываете, поэтому вам придется взять другой билет. Будете отвечать мне.

Студент обреченно взял другой билет и вернулся на место. Этот билет он тоже не знал и снова достал книгу. На этот раз списывание заметил уже Беклемишев.

– Так, – зловеще произнес он студенту-неудачнику, – вы списываете. Идите сюда, будете отвечать без подготовки.

Тот на ватных ногах поплелся к Беклемишеву. Но тут неожиданно встрял Борачинский:

– Постойте, это же мой студент.

– Нет, – отрезал Беклемишев, – он списывал и будет отвечать мне.

– Но я первый увидел, что он списывает, – не сдавался Гога.

Студент, участь которого была предрешена, безропотно внимал их перепалке. В конце концов, алчущие крови преподы избрали компромиссный вариант – один проставил двойку в ведомость, а другой расписался.

28. Кто кого обидел

В другой раз Беклемишев принимал экзамен у еще одной группы. Семинарист там был гораздо добродушнее Борачинского. Поэтому, увидев, что хорошая студентка попала к Беклемишеву, подошел к «Беку» и попросил:

– Не обижайте ее пожалуйста, это хорошая студентка!

– Хорошо, – ответил Беклемишев.

Тем не менее, через несколько минут заплаканная девушка ушла с двойкой. Недоуменный семинарист опять подошел к «Беку»:

– Как же так? Вы же обещали ее не обижать!

– Это не я ее обидел, – развел руками Беклемишев. – Это Бог ее обидел!

29. Что дозволено Юпитеру...

Коль скоро речь зашла о Физтехе, не могу не вспомнить об одном любопытном способе приема экзаменов, использованном однажды знаменитым советским ученым, лауреатом Нобелевской премии, академиком Ландау. И хотя Дау был физиком-теоретиком, он с детства любил решать заковыристые математические задачи (достаточно сказать, что уже в 4 года маленький Лев усвоил все арифметические действия и научился считать довольно сложные примеры), в том числе им же придуманные (об этом будет сказано далее, в разделе «Забавные формулы, теоремы, задачи...»). [7]7
  Характерно высказывание Ландау: «Математика безгранична. И ею овладеть так же „просто“, как теоретической физикой – невозможно».


[Закрыть]Поэтому присутствие нескольких забавных историй, связанных с Ландау, здесь вполне оправданно.

В самом начале 1950-х годов Ландау должен был принимать экзамены у одной группы на Физтехе. По-видимому, в тот момент у него не было никакого желания это делать, и он решил радикально упростить стандартную процедуру. Войдя в аудиторию, где его уже ждали студенты, он без предисловий сказал:

– Поднимите руки те, кто хочет получить за экзамен «три».

Поднялось несколько рук.

– Подойдите сюда, – сказал им Ландау и тут же поставил всем «тройки» в зачетки. Когда «счастливцы» покинули аудиторию, он обратился к остальным:

– Теперь поднимите руки те, кто хочет получить «четыре».

Опять несколько человек подняли руки. Ситуация повторилась, и еще одна группа студентов ушла с желанными оценками в зачетках.

– Ну что же, – сказал Ландау, оглядев горстку оставшихся, – вы, стало быть, хотите получить «пять»?

Студенты скромно потупились.

– Ничего не поделаешь, – улыбнулся академик, – давайте ваши зачетки.

И он быстро проставил всем отличные оценки. Весь экзамен занял пять минут.

Эта удивительная история имела забавное продолжение. В начале 1970-х «способ Ландау» приема экзаменов решил возродить на Физтехе молодой доктор наук Г., ныне академик. Начиная экзамен в одной из групп, он точно так же обратился к студентам:

– Поднимите руки желающие получить «три».

И тут к его ужасу... вся группа подняла руки. В сильном смятении Г. побежал в учебную часть.

– У меня проблема с экзаменом, – взволнованно обратился он к заведующей. – Я не знаю, что делать.

И он пересказал ей ситуацию с экзаменом в своей группе.

– Ну что я могу сказать, – развела руками заведующая, – вы – не Ландау...

История умалчивает о том, поставил ли экзаменатор всем «тройки» или вернулся к обычной системе приема (и опять-таки выставил всем по «три балла»).

30. Хорошая подготовка

Знакомый преподаватель рассказывал, что как-то разговаривал с бывшей выпускницей матфака педагогического университета и по ходу беседы вспомнил про курс функционального анализа, который он слушал на мехмате МГУ.

– У нас тоже был функциональный анализ! – обрадовалась педагогиня и, желая показать, что кое-что помнит, добавила: – Помню, там еще были интегралы Люмбаго. [8]8
  Бедняга перепутала Лебега (интегралы Лебега) с латинским названием прострела (люмбаго).


[Закрыть]

31. Двойной стандарт

Доцент Белорусского университета М. на экзамене по курсу функционального анализа, который он вел, любил спрашивать, что такое «норма» и что такое «мера». Когда на праздновании «дней мехмата» бывшие студенты задали ему те же вопросы, он невозмутимо ответил:

– Норма – литр, мера – стакан!

32. Любитель «Криминального чтива»

Идет лекция по аналитической геометрии в одном из московских вузов. Нарисовав некую конструкцию в трехмерных координатах, лектор обращается к студентам с риторическим вопросом «Если это у нас X, а это Y, то где тогда наш Z?»

В ответ из аудитории доносится чей-то хриплый голос: «Zed is dead, baby».

33. Оговорочки по Фрейду...

Эту историю мне рассказал ведущий редактор одного научно-популярного журнала, выпускник физфака МГУ. На экзамене по аналитической геометрии ему достался вопрос «Поверхности второго порядка». Рассказывая про гиперболоиды, он, ничтоже сумняшеся, назвал один из их них ДВУЛОПАСТНЫМ гиперболоидом.

– Двулопастным, – заметил на это экзаменатор, большой любитель водного туризма, – бывает весло у байдарки. А гиперболоид, молодой человек, бывает двуполостный! [9]9
  Добавлю, что в моей практике был случай, когда студент в аналогичной ситуации называл однополостный гиперболоид ОДНОПОЛЫМ гиперболоидом.


[Закрыть]

34. Умри, яснее не скажешь

По окончании третьего курса группа моих однокурсников записалась в стройотряд. Среди них был и некто Н., человек достаточно странный и фанатично увлеченный современными разделами топологии. Летом стройотряд отправили возводить коровник в каком-то далеком колхозе.

По вечерам наиболее активные из студентов заигрывали с молодыми доярками. Один из них показал им простой фокус, в котором вроде бы завязанный на веревке узел куда-то потом исчезает (на самом деле узел, конечно же, был фальшивым). Простодушные девушки были в восторге и раз за разом просили повторить представление, не понимая, куда же подевался узел.

Тогда присутствующий при этом Н., видимо ревнуя к ослепительному успеху доморощенного фокусника, решил раскрыть секрет трюка ближайшей доярке. Наклонившись к ее уху, он вкрадчиво прошептал:

– А вы попробуйте посчитать фундаментальную группу дополнения этого узла к R ³ .

35. Шибко грамотный

Доцент Ф. Московского технического университета связи и информатики (МТУСИ) читает первокурсникам лекцию по аналитической геометрии.

– Записывайте, – ровным голосом диктует он студентам. – У эллипса есть две оси симмЕтрии...

– А может быть симметрИи? – доносится чей-то ехидный голос с задней парты.

– Запомните, – так же ровно продолжает лектор, – у эллипса есть две оси симмЕтрии и ни одной оси симметрИи.

36. Философский подход

Опять МТУСИ. Доцент А. тестирует очень слабого абитуриента. В конце концов, выясняется, что тот не может решить даже простейшие неравенства.

– Скажите, – потеряв всякую надежду, спрашивает А., – что больше: –1 или 0?

– Конечно, минус единица! – уверенно говорит абитуриент.

– Но почему?! – хватается за голову А.

– Ну как же: –1 это хоть что-то, а 0 это вообще ничто.

37. Разыграл

Мехмат Киевского университета, 1980 год. Член-корреспондент АН СССР А. М. Самойленко читает первую лекцию по дифференциальным уравнениям. После нескольких вступительных слов он произносит:

– Ну а теперь записываем.

Студенты прилежно открывают тетради.

– В 1654 году... – ровным голосом начинает лектор. Все старательно скрипят перьями, доносится шепот: «В каком, каком году?»

– ...дифференциальных уравнений... – невозмутимо продолжает Самойленко.

Аудитория послушно записывает.

– ...еще не было.

Взрыв хохота.

38. Мелочь

Экзамен по математическому анализу в одном из московских вузов. Профессор просит студента написать неравенство Коши-Буняковского. Тот подумал и написал левую часть неравенства. Потом еще немного подумал и написал правую часть. После чего смущенно сказал:

– Вот только я не помню, что больше, а что меньше...

39. Убедила

Случай в Российском Университете Дружбы Народов (РУДН). Решая задачу на экзамене по математическому анализу, студентка получила в итоге выражение ln0. Нисколько не смутившись этим обстоятельством, она пишет в ответе ln0 = e.

– С чего вы взяли, – протестует преподаватель, – что ln0 = e? Ведь логарифм нуля не определен?

– Да что вы меня запутать пытаетесь? – возмущается студентка. – Вот, сами убедитесь!

И она торжествующе достает калькулятор и вычисляет ln0. На экране естественно высвечивается буква E.

– Ну что, убедились! – торжествует студентка. – А вы говорите, не определен!

40. На те же грабли

Конец 1980-х годов. Июль. Я принимаю устный вступительный экзамен по математике во Всесоюзном заочном электротехническом университете связи (ВЗЭИС). Подходить отвечать абитуриент из солнечного Азербайджана. Начинаю спрашивать – полный ноль! При этом – я мельком заглядываю в экзаменационный лист – за письменный экзамен, а там задачки гораздо сложнее, у него стоит 4 (по пятибалльной системе). Отчаявшись услышать хоть что-либо вразумительное, я опускаю планку ниже плинтуса:

– Скажите, чему равна площадь квадрата со стороной a?

– Нэ знаю, – невозмутимо басит абитуриент.

– Запомните, – назидательно говорю ему я, с наслаждением выводя двойку в ведомости, – площадь квадрата со стороной aравна a ² !

Проходит месяц. Второй поток вступительных экзаменов во ВЗЭИС. И снова на устном экзамене мне попадается все тот же абитуриент, и снова у него за письменный экзамен стоит 4.

– Ну как вы на этот раз, – спрашиваю, – подготовились?

– Да, – говорит он, – падгатовился.

– Ну что ж, – радуюсь я, – тогда скажите, чему равен объем куба со стороной a?

– Эта я знаю, – довольно улыбается он. – Он равен a ² .

– Запомните, – опять говорю ему я, ставя очередную двойку, – объем куба со стороной aравен a ³ !

Больше я его не видел.

41. Упростил

О нелепых ошибках абитуриентов можно писать тома. Приведу только один, но весьма характерный пример из практики МТУСИ, в котором я преподаю.

Абитуриенту надо было упростить стандартное алгебраическое выражение. В нем, помимо прочего, встречался tg(x). Проявляя недюжинные познания в тригонометрии, он написал tg(x) = sin(x) / cos(x),

после чего приступил к «сокращению»:

42. Ничего себе опечатка!

Доцент кафедры теории вероятностей и прикладной математики МТУСИ Троицкий как-то рассказывал мне, что в хрущевские времена он, будучи аспирантом, написал вместе со своим научным руководителем профессором Левиным статью. Отдав рукопись машинистке (сейчас бы сказали «наборщице»), он с нетерпением ожидал машинописного варианта статьи, чтобы поскорее отнести ее в научный журнал. Получив «распечатку», он уже дома стал тщательно выверять набранный текст – все вроде было в порядке – после чего вставил формулы (тогда это делалось от руки). Теперь статью можно было отправлять в редакцию, и напоследок Троицкий решил показать ее научному руководителю. Первые же два слова статьи повергли того в «шок и трепет» – в заголовке вместо фамилий авторов Левин и Троицкий стояло... Ленин и Троцкий.

Страшно подумать, что было бы, если бы статья в таком виде добралась до редакции всего несколькими годами раньше, при Сталине. Да и во времена хрущевской оттепели от такой опечатки авторам бы не поздоровилось. Пришлось срочно перепечатывать первую страницу...

43. Замечательная кривая

Профессор-математик одного из столичных вузов Кондратьев «славился» своим пристрастием к алкоголю. Однажды он пришел на лекцию в сильном подпитии, однако, как ни в чем ни бывало, вышел к доске и начал доказывать какую-то довольно громоздкую теорему. Но принятая им на грудь доза была, видимо, изрядной, и он, выписывая какую-то мухобойную формулу, стал медленно оседать на пол, постепенно отключаясь. При этом рука его продолжала судорожно держать мел, который в итоге выписал на доске замысловатую линию. Впоследствии студенты прозвали ее «кривой Кондратьева».

44. КРУГЛОЕД

Студент на экзамене с пеной у рта доказывает существование в математике понятия «КРУГЛОЕД». Преподавательница в трансе, просит показать место в ее лекции, где было впервые введено понятие. После разборок выясняется, что лекция была студентом списана у отличницы из его группы, где возле первого упоминания о частной производной стояло (для себя) «круглое д», в отличие от «прямого д» для обозначения обычной производной.

45. Оговорочка по Фрейду

Написав очередную математическую статью, профессор К. отнес ее машинистке (дело было в докомпьютерную эпоху), молодой одинокой женщине. Вскоре работа была напечатана. Каково же было удивление автора, когда он обнаружил характерную опечатку: вместо «бесконечно малый член» в статье стояло «бесконечно милый член».

46. Каков вопрос, таков ответ

Реальный случай в одном из вузов, готовящем будущих чиновников. Во время лекции кто-то из студентов спросил профессора:

– Пи это чётное число или нечётное?

Лектор, не задумываясь, ответил:

– Конечно чётное, пи – это же 180 градусов.

47. Восточная хитрость

Эту поучительную историю мне прислал к. ф.-м. н. Винниченко А. П., несколько лет проработавший в Пакистане.

Когда я работал в Карачи, мне дали на обучение двух молодых людей: инженера (закончил институт) и интера (закончил два курса института). Вспомнив МАТИ'вские [10]10
  МАТИ – Московский авиационно-технологический институт. Ныне Московский государственный авиационный технологический университет.


[Закрыть]абитуриентские задачи, я попросил их ответить, что больше: 1/2 или 2/3?

Первым отвечал инженер. Сначала, загораживаясь ладонью, долго писал что-то на листочке. Потом сказал, что больше 1/2.

Вторым отвечал интер. Тоже листочек, загораживание, писанина... Наконец, говорит: «Умом я понимаю, что больше 1/2, но сердцем чувствую, что 2/3».

Восток – дело тонкое!

48. Навязчивая идея

Многочисленные реальные истории, слышанные мной, про математическое невежество нынешнего поколения убеждают меня в одном: никогда не надо недооценивать уровень подготовки студентов – в действительности он еще ниже. Вот еще одна такая история, рассказанная преподавателем военно-морской академии.

В качестве эксперимента я на семинаре написал своим подопечным на доске табличный интеграл от eв степени xи спросил, что получится. Ждал чего угодно, но только не этого – один из курсантов простодушно уточнил:

– А как вам это слово Sex, что вы написали, пояснить, нарисовать картинку что-ли?

49. Лекторские перлы

Каждый, даже самый занудный, лектор рано или поздно обронит фразу, которую потом долго будут вспоминать благодарные студенты. Я, например, и спустя годы помню «глубокомысленную» тавтологию доцента Л., читавшего нам на мехмате курс высшей алгебры: «Очевидно ли это тривиальное утверждение? Безусловно!» Что уж говорить про чемпионов в этом жанре, щедро рассыпающих забавные обороты и экстравагантные фразочки, украшающие скучную лекцию, как изюм булку, и передающиеся потом от одного поколения студентов к другому. Такие лектора особенно любимы, а их перлы бережно собираются, вывешиваются на сайтах, печатаются в институтских газетах и так далее. Одна из лучших коллекций таких искрометных математизмов собрана студентами физтеха. Привожу лишь малую часть ее из книги «Занаучный юмор». М., 2000.

***

Четырехмерное пространство вообразить довольно просто. Для этого достаточно представить четыре ортонормированных вектора. Остальное приложится.

***

Сейчас я расскажу о методе ортогонализации Грамма-Шмидта, который я очень люблю за его звучное название.

***

Если эти условия выполняются, говорят, что функция имеет компактный носитель. Это выражение модно среди математиков, как среди вас, студентов, модно выражение «не фонтан».

***

Мне чрезвычайно лестно первым познакомить вас с великолепным методом Фурье.

***

Итак, прошу вас освободить кору головного мозга для следующей теоремы.

***

Сегодня предстоит интересная лекция... По крайней мере для меня.

***

Задачи будут интересные. Одну из них сейчас решает вся кафедра. Если решит, мы ее включим в экзаменационную работу.

***

Сами разбирайтесь, верно или нет, мое дело написать.

***

Я рисовал так, чтобы было ясно, что разобрать здесь что-нибудь совершенно невозможно.

***

...Я буду рисовать на двумерной доске, поскольку рисовать в n-мерном пространстве довольно затруднительно.

***

Теорема о существовании

Какую бы глупость вы ни придумали, найдется человек, который эту глупость сделает

***

Это теорема Эмми Нётер. Нётер, как известно, была женщиной.

***

На «б» называется – функция Бесселя.

***

Сейчас я провозглашу торжественное определение!

***

Если лягушкам давать яд дигиталис, то они дохнут по такому же нормальному закону, какой я написал.

***

Чтобы вывести эту формулу, мне достаточно спинного мозга.

***

Зачем мне думать о знаке? Я же не студент.

***

Уж и не знаю, как вы там привыкли рисовать (n–1)-мерную гиперплоскость.

***

Что я и доказал с присущим мне остроумием.

***

Вот ось. Назовем ее ξ, для простоты...

***

Возьмем ε > 0. Нет, не будем брать ε > 0. Зачем? Ведь жизнь не только из ε > 0 состоит.

***

Вы увидите, что вы родились с мерой Жордана, и первым словом, что вы сказали, было слово «мама», а вторым – «мера Жордана».

***

Что больше – дельта большое или дельта маленькое?

***

Сейчас вылезут пипополамы.

***

Этот метод называется методом «тыка», или, по-научному, – «метод Монте-Карло».

***

Таким образом математика из науки чисто теоретической стала наукой экспериментальной.

***

Эти вычисления я проведу в уме, так что вам несложно будет их проверить.

***

И учтите: это не какая-нибудь ерундовина, это самая могучая теорема анализа!

***

Так как ε – произвольное, то его можно стереть.

***

Вместо того, чтобы думать, интегрируема функция или нет, надо просто взять ее и проинтегрировать.

***

Когда говорят, что z ² + 1 = 0не имеет действительных решений, то это чудовищное преувеличение!

***

Чтобы не забыть, я хочу сразу пожелать вам успеха на контрольной.

***

Нам заданы три параметра: объемище, объем и объемчик.

***

Если мы будем задавать что-нибудь совсем по-бестолковому, то это будет ни на что не похоже.

***

Дайте-ка я покрупнее нарисую бесконечно малые треугольники.

***

...Подтасовка – плод деятельности поколения математиков.

***

Вот уже пять минут я ничего не говорю, а вы все пишете и пишете...

***

Ради этой книжки каждый уважающий себя студент должен продать пиджак.

***

Возьмем произвольное число n... Нет, мало – m!

***

Представьте, что я центр мира, а от меня расходятся векторы.

***

Теорема не предвещала ничего опасного, она, казалось, утверждала, что жизнь прекрасна.

***

Полное имя этого объекта есть «полный дифференциал». Мы будем называть его уменьшительно, ласково, «дифференциалом».

***

2 + 3 будет 6, извините, 5, я немного забежал вперед.

***

Извините, я ошибся. Сотрите там у себя...

***

Эллипс нужно рисовать, взяв треугольную ниточку.

***

– Область – это очень хорошо. Знаете, почему математики так любят работать с областями? Это здорово. Я сейчас объясню. Область – это...

Голос с места:

– Связное открытое множество!

–Верно.

***

Если я бьюсь головой о стенку, то всегда есть некоторая вероятность, что я попаду в соседнюю аудиторию не сломав стенки.

***

Я сейчас или соображу или подсмотрю... Нет, кажется я соображаю.

***

Забудьте это еще раз и навсегда!

***

Будем менять знак от минус бесконечности до плюс бесконечности.

***

Вот. Неравенство треугольника. Треугольник – это не фамилия.

***

У нас такой зарок: в одну лекцию больше трех звездочек не вводить!

***

Вы меня извините, что я иногда пишу слева направо...

***

Эта функция интересна тем, что ее производная равна самой себе.

***

Иногда я делаю ошибки, иногда несу чушь. Но вы должны различать.

***

Легко убедиться, что эта функция бесконечно дифференцируема. Сейчас мы продифференцируем один раз, а дома вы закончите...