Текст книги "Музыка сфер. Астрономия и математика"

Автор книги: Роза Мария Рос

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 11 страниц)

Глава 3. Как определить массу центральной звезды планетной системы

Рассмотрим движение экзопланет вокруг центральной звезды по круговой орбите радиуса a. Приравняем силы, действующие на планету:

Упростив, получим значение скорости v:

Период P обращения планеты вокруг звезды по круговой орбите равен:

Подставив в это выражение приведённое выше значение скорости v, имеем:

Для каждой экзопланеты можно выразить постоянную, которая приводится в третьем законе Кеплера:

Записав указанное выше соотношение для Земли, период обращения которой вокруг Солнца равен P=1 год, а радиус орбиты, которую мы будем считать окружностью, равен а=1 а.е., получим следующее уравнение:

Разделив друг на друга два последних равенства и приняв массу Солнца M_s=1, получим:

Мы знаем, что a – радиус орбиты (в а.е.), P – период обращения (в годах), таким образом, мы можем определить массу центральной звезды М_E (точнее, отношение её массы и массы Солнца). Масса центральной звезды в планетной системе М_E (относительно массы Солнца) рассчитывается по формуле:

где a – радиус орбиты экзопланеты (в км), P – период обращения вокруг звезды (в днях). По этой формуле можно вычислить массу звёзд Ипсилон Андромеды и Глизе 581 относительно массы Солнца. Полученные значения будут соответствовать приведённым в таблице на странице 60.

Глава 4. Упрощённые расчёты расстояния от Земли до Солнца во время транзита Венеры в 1769 году

Отчасти пожертвовав точностью вычислений, мы попытались упростить математические выкладки и представить достаточно простой и доступный для неспециалистов метод, основанный на гипотезах Галлея и Делиля. Возьмём за основу две гипотезы: будем предполагать, что орбиты Венеры и Земли – это окружности, в центре которых находится Солнце; Венера, центр Солнца и точка, в которой находится наблюдатель на поверхности Земли, лежат в одной плоскости. Будем использовать данные, полученные во время прохождения Венеры по диску Солнца 3 июня 1769 года наблюдателями, расположенными в удалённых друг от друга точках одного и того же меридиана: в норвежском городе Вардё и в Папеэте (Таити) – это две наиболее удалённые друг от друга точки, для которых известны результаты наблюдений. Используем некоторые результаты наблюдений и рассчитаем расстояние от Земли до Солнца.

Экспедиции в Вардё и Папеэте были организованы английскими учёными. Участники первой экспедиции отправились в Тихий океан, чтобы наблюдать прохождение Венеры по диску Солнца с острова Таити. Наблюдения провёл Чарльз Грин и его заместитель, в то время никому не известный Джеймс Кук. Участниками второй экспедиции были глава Венской обсерватории святой отец Максимилиан Хелл, датский астроном Педер Хорребоу и юный англичанин Боргрюинг. Они направились в Вардё, на северо-западную оконечность Норвегии, где смогли наблюдать прохождение Венеры по диску Солнца во время полярного дня. Таким образом, учёные получили результаты наблюдений из двух точек одного меридиана, удалённых друг от друга на огромное расстояние.

Результаты наблюдений прохождения Венеры по диску Солнца 3 июня 1769 года, опубликованные в «Истории астрономии» Антона Паннекука.

Как мы уже объясняли, с помощью параллакса можно вычислить расстояния между планетами, зная величины углов и референсное расстояние. При наблюдении прохождения Венеры по диску Солнца можно определить параллакс Венеры и Солнца и вычислить расстояние между Солнцем и Землёй. Для этого проще всего наблюдать прохождение Венеры из двух достаточно далёких друг от друга точек земной поверхности. Измерив время прохождения в обоих случаях, можно рассчитать требуемые параллаксы и расстояние от Земли до Солнца.

β – параллакс Солнца, или угол, под которым виден радиус Земли при наблюдении с Солнца.

Параллакс Солнца – это угол β, изображённый на предыдущем рисунке.

По определению тангенса, имеем

Так как величина угла очень мала, его тангенс примерно равен самому углу, выраженному в радианах. Выразив расстояние от Земли до Солнца, r, получим:

Для наблюдения этого параллакса мы должны находиться на Солнце, что невозможно. Наблюдатели располагаются в разных точках земной поверхности и смотрят на Солнце с Земли. Они видят прохождение Венеры по диску Солнца по-разному – точно так же мы видим один и тот же предмет немного по-разному, когда смотрим на него отдельно правым и левым глазом.

Рассмотрим двух наблюдателей, которые располагаются в точках A и B одного меридиана (с целью упрощения расчётов) на разных широтах. Они видят Венеру как точку (или маленький круг) на диске Солнца в двух разных положениях, A' и B'. Сравнив результаты этих двух наблюдений (см. следующий рисунок), мы сможем измерить смещение: расстояние A'B' соответствует расстоянию между видимыми положениями Венеры при одновременном наблюдении из точек A и B.

По результатам наблюдений за движением Венеры в течение транзита можно изобразить на диске Солнца её траекторию. Если мы ведём наблюдения из точек A и B, получим две параллельные линии. Расстояние между ними будет параллаксным смещением Δβ, которое в любой момент времени будет соответствовать расстоянию A'B'. Чтобы упростить расчёты, будем считать, что центры Земли (О), Венеры (V) и Солнца (C), а также точки земной поверхности A и B, из которых ведётся наблюдение, расположены в одной плоскости. Углы при вершине P в треугольниках APV и BPC равны как вертикальные. Так как сумма углов любого треугольника равна 180°, выполняется следующее соотношение:

β_v+β₁=β_s+β₂

Введём угол Δβ, которым обозначим расстояние между различными положениями Венеры на диске Солнца (оно будет равно расстоянию A'B' в любой момент времени). Изменив порядок слагаемых, получим:

По определению, параллакс Венеры равен:

параллакс Солнца равен

Подставив эти выражения в приведённое выше уравнение, получим:

В частности, параллакс Солнца β_s будет рассчитываться так:

где Δβ – расстояние между двумя траекториями Венеры, видимыми из различных точек земной поверхности, а отношение r_t/r_v можно рассчитать по третьему закону Кеплера. Куб этого отношения должен быть пропорционален квадрату отношения периодов обращения планет вокруг Солнца. Периоды обращения Венеры и Земли известны и равны 224,7 дня и 365,25 дня соответственно. Таким образом, параллакс Солнца β_s удовлетворяет соотношению:

β_s=0,38248 Δβ.

Δβ определяется на основе результатов наблюдений из точек A и B, находящихся на одном меридиане. Мы используем рисунок XVIII века, на котором изображена траектория Венеры, видимая из разных точек одного меридиана при транзите.

Рассчитать Δβ можно разными способами:

1. Простейший способ – непосредственное измерение по рисунку, приведённому на странице 159: достаточно рассмотреть отношение диаметра Солнца D на рисунке и угловой размер Солнца. Угловой размер Солнца равен 30 минутам дуги, выраженным в радианах. Имеем:

2. Также можно измерить хорды окружности на рисунке. Этот способ точнее, так как измерить длины хорд A₁A₂ и B₁B₂ всегда можно с большей точностью, чем расстояние между этими хордами A'B'.

Рисунок позволяет связать длины хорд A₁A₂и B₁B₂с расстоянием между ними, A'B'.

По теореме Пифагора для треугольников SB'B₁ и SA'X₁ получим

3. Вместо расстояний можно отсчитывать время. Достаточно рассмотреть соотношение

где t_A и t_B – время прохождения A₁A₂ и B₁B₂. Обозначив через t₀ гипотетическое время транзита по всему диску Солнца, через t' – время, соответствующее Δβ, установим соотношение:

Использовать временные интервалы вместо расстояний следует с осторожностью. Как показано на следующем рисунке, следует различать время внешнего касания (C₁ и C₄) и внутреннего касания (C₂ и С₃) Венеры с диском Солнца. Внутренние касания всегда можно определить точнее, несмотря на искажения, вносимые эффектом чёрной капли. По этой причине в расчётах учитываются только моменты внутреннего касания.

Наиболее точно можно определить моменты внутреннего касания C ₂ и C ₃ , поэтому именно они используются в расчётах.

На основании результатов наблюдений транзита Венеры 1769 года, полученных в Вардё и Папеэте, получим следующие значения (с учётом того, что расстояние AB по прямой равно 11425 км).

Расстояние от Земли до Солнца, равное 1 астрономической единице, вычисленное тремя описанными выше методами.

Можно видеть, что точность результатов достаточно высока, если принять во внимание простоту использованных методов. Сегодня расстояние от Земли до Солнца, определяемое как 1 астрономическая единица, принимается равным 149,6∙10⁶км. Следует отметить, что точность второго результата, полученного методом измерения хорд, выше, так как измерить хорды можно с большей точностью, чем непосредственно Δβ. Последний метод, в котором учитывается время прохождения, представляет интерес, поскольку позволяет провести более чёткую аналогию с современными методами. Однако погрешность при этом выше, так как метод требует использования вспомогательной гипотезы, согласно которой скорость движения Венеры во время прохождения по диску Солнца постоянна в течение всего транзита.

Расстояние от Земли до Солнца, вычисленное в XVIII веке, заключалось на интервале от 145 до 155 млн километров. По результатам наблюдений за прохождением Венеры в XIX веке этот результат был улучшен, а максимальная точность была достигнута в 2000 году с помощью радара. Сегодня расстояние от Земли до Солнца принимается равным 149,597870691∙10⁶км.

Глава 5. Определение часовых линий наклонных солнечных часов

Солнечные часы, как правило, устанавливаются на стенах зданий. Если стена здания не расположена точно вдоль линии восток-запад, часы обычно направлены в сторону горизонта, по которому движется Солнце в течение дня. Чтобы провести часовые линии на циферблате вертикальных неориентированных солнечных часов (они называются наклонными), нужно знать угол, под которым располагается стена. Далее мы объясним, как можно вычислить этот угол a – азимут стены. Пока что будем предполагать, что угол a известен.

Часовые линии в этом случае строятся так же, как и в других разновидностях солнечных часов, то есть путём проецирования часовых линий экваториальных, горизонтальных и вертикальных часов на плоскость циферблата наклонных часов, как показано на иллюстрации. Следует напомнить, что линия, указывающая полдень на циферблате любых вертикальных часов, совпадает с направлением отвеса, закреплённого в той же точке, что и гномон. Гномон наклонных часов, как и любых других солнечных часов, направлен вдоль оси вращения Земли.

Спроецировав часовые линии экваториальных солнечных часов на плоскость циферблата наклонных часов, получим, что ctg γ=sin a ctg Н sec ф − cos a tg ф. При Н=15°, следовательно, γ будет углом, под которым расположена часовая линия, указывающая 11 и 13 часов. При Н= 30° угол γ укажет расположение часовой линии 10 и 14 часов и так далее до линии 6 и 18 часов.

По теореме синусов для треугольника CFA имеем:

где sin(180−(а−α))=sin(a−α) с учётом того, что a и αотсчитываются в противоположных направлениях. По формуле sin(a−α)=sin a cos α − cos a sin α имеем:

Однако в треугольнике ABC, определяемом осью мира, tg ф=BC/AC, а в треугольнике BFC на плоскости циферблата наклонных часов tg γ= CF/BC. Упростив эти выражения, получим tg γ tg ф= CF/AC, откуда следует:

Как мы уже указывали, для горизонтальных часов выполняется равенство tg α=tg Н sin ф, откуда следует:

Умножив на tg ф, получим формулу, определяющую положение часовых линий на циферблате наклонных часов:

где γ – угол между линией, указывающей 12 часов, и искомой часовой линией, H = 15°, 30°, 45°… соответственно, как показано на рисунке выше.

Чтобы определить азимут стены, нужно вбить в неё гвоздь, подвесить на него верёвку с грузом и использовать пузырьковый уровень, угольник и транспортир, расположив их так, как показано на следующей странице. Измерения нужно производить в солнечный полдень. Азимут стены a – это угол между линией, указывающей на юг, и перпендикуляром к стене. Следует напомнить, что при прохождении Солнца через меридиан места (направление север-юг) тень верёвки должна падать строго вертикально.

Определение азимута стены а.

Глава 6. Определение кривой блеска переменной звезды

Чтобы построить кривую блеска переменной звезды, необходимо произвести множество наблюдений. Каждая точка кривой блеска имеет две координаты (p, m), где p – фаза, m – видимая величина.

Кривая блеска Дельты Цефея.

При каждом наблюдении нужно определить видимую величину переменной звезды путём сравнения с двумя другими звёздами A и B. Этот метод называется методом Аргеландера. Очевидно, что звёзды A и B, фигурирующие в сравнении, должны быть постоянными, а их величина должна быть известна. Желательно, чтобы эти звёзды имели тот же цвет, что и рассматриваемая звезда. Обозначим видимые величины этих звёзд через m_A и m_B, где m_A>m_B. Введём обозначения Aa и bB, где значения а, b = 1, 2, 3, 4 и 5 и определяются по следующим правилам:

– А1: имеются некоторые сомнения относительно блеска звезды A и переменной звезды (они почти одинаковы);

– А2: имеются некоторые сомнения, однако звезда A ярче, чем переменная звезда;

– АЗ: величины звёзд сопоставимы, но звезда A очевидно ярче;

– А4: сразу же видно, что звезда A ярче;

– А5: звезда A, вне всяких сомнений, ярче;

– 1В: имеются некоторые сомнения относительно блеска звезды B и переменной звезды (они почти одинаковы);

– 2В: имеются некоторые сомнения, однако звезда B не столь яркая, как переменная звезда;

– 3В: величины звёзд сопоставимы, но звезда B очевидно менее яркая;

– 4В: сразу же видно, что звезда B менее яркая;

– 5В: звезда В, вне всяких сомнений, менее яркая.

По этим правилам можно определить a и b для каждого наблюдения и вычислить видимую величину переменной звезды по формуле:

Так определяется величина звезды – первая координата точки (m, p) на кривой блеска.

Чтобы найти вторую координату, нужно определить фазу p переменной звезды в момент наблюдения. Она определяется с учётом дня, часа и минуты наблюдений, выраженных в юлианских днях D. Эфемерида E позволяет определить момент, когда звезда блестит ярче всего (также указывается юлианский день). Нужно определить период изменения блеска звезды P. Если мы вычислим

получим десятичную дробь. Её целая часть укажет число максимумов, наблюдавшихся с эфемериды E до момента наблюдения D. Для построения кривой это число не будет особенно полезным. Нас интересует дробная часть полученного результата, то есть фаза переменной звезды в момент наблюдения:

Юлианский день может соответствовать любой дате, однако, в отличие от нашего календаря, юлианские дни отсчитываются непрерывно. Ввиду множества реформ календаря и других особенностей, в частности отсутствия нулевого года и существования високосных годов, подсчитать число дней между двумя событиями непросто. К примеру, папа Григорий XIII исключил из календаря 10 дней: за 4 октября 1582 года последовало 15 октября того же года. Как видите, определение длительных временных интервалов по нашему календарю может оказаться очень сложным.

В 1582 году Жозеф Скалигер определил непрерывный календарь, который начинался 1 января 4713 года до н. э. в 12 часов дня (в то время сутки начинались в полдень, в момент прохождения Солнца через меридиан места, а не в полночь, как сейчас).

Дни в этом календаре отсчитывались без промежутков и назывались юлианскими. К примеру, полдень 1 января 2010 году – это юлианский день 2 455198.

Библиография

BROMAN, L., ESTALELLA, R., Ros, R.M.,Experimentos de Astronomia, Mexico D.F., Ed. Alhambra, 1997.

FlERRO, J., Como acercarse a la astronomia, Mexico D.F., Ed. Limusa, 1997. —: Los mundos cercanoSy Mexico D. F., Me Graw Hill, 1997.

FlERRO, J., Ros, R.M.,De planetasf estrellas у universos, Barcelona, Ed. Antares, 2009.

GALADf, D.,Astronomia general: teoria у practica, Barcelona, Omega, 2001.

IBANEZ, R.et al., Divulgar las matematicas, Madrid, Ed. Nivola, 2005.

MORENO, M., Jose, J.,De King Kong a Einsteint Barcelona, UPC, Col. Politext, 1999.

MORENO, R.Experimentos para todas las edades, Madrid, Ed. Rialp, 2008. —: Historia breve del Universo, Madrid, Ed. Rialp, 1998.

PASACHOFF, J.,Astronomy: From the Earth to the Universe, Belmont, Brooks/Cole Publishing, 2002.

PUIG, LI.,Ros, R.M., El robirobaty Vic, Eumo Ed., 2006.

ROS, R.M.,Las gafas del Universo, Barcelona, Antares Ed., 2008. —: «Astronomy and Mathematics», Teaching and Learning Astronomy, Cambridge University Press, 2005. —: «The Transit of Venus: an Opportunity to Promote Astronomy», Teaching and Communicating Astronomy у Granada, EDP Sciences, 2005.

ROS, R.M., VlNUALES, E.,Movimientos astronomicoSy Zaragoza, Mira Ed., 2003.

SAGAN, C.,Cosmosу Barcelona, RBA Editores, 1980.

* * *