Текст книги "Музыка сфер. Астрономия и математика"

Автор книги: Роза Мария Рос

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 11 страниц)

Роза Мария Рос. «Мир математики» № 30
«Музыка сфер. Астрономия и математика»

Предисловие

Систематизация и структурирование результатов астрономических наблюдений возможны только благодаря математике. Более того, математика сыграла важнейшую роль в развитии астрономии. Однако астрономия имеет свои особенности: вы не можете повторить эксперимент в лаборатории в любое удобное время, изменив то или иное условие. А ведь как прекрасно было бы заказывать затмения по желанию!

Хочу частичное солнечное затмение! Нет, лучше полное!

Астрономия родилась одновременно с человечеством. Телевизора у древнего человека не было, и он наверняка проводил вечера, глядя на звёздное небо. По крайней мере, на небо он смотрел чаще, чем любой из нас. Постепенно наши предки начали понимать, что некоторые астрономические явления повторяются и, наблюдая за ними, можно определить, когда начинать сеять, а когда – отправляться на охоту.

Несомненно, все эти знания помогали людям выживать. Так наука впервые доказала свою полезность. Кроме того, древние люди считали, что те явления, которые они не могут объяснить, происходят по воле Бога. Такие события были сакральными, их связывали с выполнением определённых ритуалов, которые и стали задачей жрецов различных примитивных культов.

Астрономия всегда была близка простым людям, поэтому, возможно, в прошлом она была ближе к человеку, чем сейчас. Мой дед-крестьянин знал то, что сейчас неизвестно большинству городских жителей. К примеру, он рассказывал, что каждую ночь луна восходит на час позже (в действительности на 50 минут, однако подобная точность для крестьянина была несущественной). Моя бабушка знала, что летом солнце стоит выше, чем зимой: его лучи проникали через окно и освещали дальнюю стену комнаты в разное время года по-разному. Интересно, что астрономия больше других наук привлекает любителей во всём мире. Возможно, вызвано это тем, что небо всегда находится у нас над головой, даже в облачный день, а вот, например, любителям-орнитологам надо ехать в какие-то определённые места, что бы наблюдать, как птицы вьют гнёзда. Обилие астрономов-любителей является одной из характерных особенностей данной науки. Благодаря этому распространение новых результатов в астрономии происходит успешно и очень быстро, а некоторым астрономам-любителям удалось добиться больших успехов в изучении небес.

Мне кажется, что распространение результатов астрономических наблюдений происходит проще, чем в других науках, потому что астрономия очень наглядна.

Объяснить последние математические открытия, относящиеся, например, к теории чисел или дифференциальной геометрии, довольно сложно, а продемонстрировать последние снимки, полученные телескопом «Хаббл», нетрудно. Кто из нас, затаив дыхание, не рассматривал фотографии космоса? Более того, астрономия в грамотном изложении по эмоциям и накалу страстей не уступит и сериалу. Кто из нас не удивится, узнав, что звёзды рождаются, стареют и умирают, а некоторые из них ждёт трагическая гибель? Кто не расчувствуется, узнав, что именно внутри звёзд родились самые тяжёлые химические элементы, из которых состоит наше тело? Кто не почувствует себя частью космоса, узнав, что мы – всего лишь дети звёзд, звёздная пыль? Кроме того, во Вселенной движутся и сталкиваются между собой целые галактики. В конечном итоге астрономия – это целый мир, полный прекрасных образов.

Люди хотят узнать об астрономии больше – возможно, потому, что эта наука рассказывает о прошлом, о том, как вращается Земля, о Солнечной системе, о космосе и, следовательно, о нашем доме. И ещё она говорит о том, откуда мы взялись.

Также астрономия позволяет предсказывать смену времён года, затмения, положение планет и звёзд на небе. Этот аспект порой используют псевдоучёные, чтобы предсказать какие-то явления, никак не связанные с расположением небесных тел. Возможно, это является следствием самой природы человека: люди чувствуют неуверенность в будущем и пытаются устранить её любыми способами, например с помощью астрологических прогнозов.

Кстати, если говорить о прогнозах, то между астрономией и математикой существует особая связь, ведь астрономические прогнозы являются результатами математических расчётов. По сути, многие задачи астрономии стало возможным решить благодаря развитию новых разделов математики.

Я ожидаю, что эта книга придётся по душе читателю, и в ней он найдёт ответ на некоторые интересующие его вопросы. Возможно, после чтения у вас возникнут новые идеи – именно таким путём и движется наука. Любой исследователь понимает, что он зажат в рамки: с одной стороны, он испытывает удовольствие от того, что побеждает неподвластную ранее задачу или начинает понимать то, чего раньше не понимал, но, с другой стороны, ему не дают покоя всё новые и новые вопросы.

Я была бы очень рада, если бы читатель получил от этой книги удовольствие сродни исследовательскому. Признаюсь, я работала над ней с наслаждением и надеюсь, что и вы испытаете нечто похожее.

Книга состоит из пяти глав, посвящённых важнейшим темам астрономии, связанным с математикой, – положению планет и измерению времени. В двух первых главах рассказывается об относительном положении небесных тел и расстояниях между ними, в двух последних – об измерении времени. В самой важной, третьей главе, мы поговорим о затмениях – астрономических явлениях, во время которых небесные тела занимают особое положение в пространстве.

Глава 1. Основные углы и расстояния: азбука астрономии

Очевидно, что основной целью науки, посвящённой наблюдению и изучению объектов, является определение их местоположения. В решении этой крайне важной задачи главную роль играет математика, позволяющая вычислить три значения: величины двух углов, указывающих расположение объекта на небесной сфере, и расстояние от объекта до нас. Определить эти два угла сравнительно просто, а вот вычисление расстояний до небесных тел – напротив, одна из сложнейших задач астрономии.

Определение положения по двум углам

Для расчёта положения тела на поверхности Земли используется метод координат. Так как результаты астрономических наблюдений часто зависят от того, где находится наблюдатель, учитывать земные координаты при работе с астрономическими данными крайне важно. Коротко опишем метод расчёта положения небесных тел.

Наша планета вращается вокруг оси, которая обычно используется в качестве линии отсчёта при определении положения точек на поверхности Земли. К примеру, точки пересечения земной оси с поверхностью нашей планеты называются Северным и Южным полюсом. Если мы рассмотрим плоскость, перпендикулярную оси вращения Земли и проходящую через центр нашей планеты, то увидим, что линией пересечения этой плоскости и земной поверхности будет экватор, который делит Землю на два полушария, Северное и Южное (в их вершинах находятся Северный и Южный полюс соответственно). Если теперь мы представим бесконечное число плоскостей, параллельных экватору, и рассечём этими плоскостями поверхность Земли, то получим окружности меньшего размера – параллели.

Теперь представим, что Земля подобна апельсину, разделённому на дольки с помощью линий, проходящих через оба полюса перпендикулярно экватору. Будем называть эти линии меридианами. В отличие от экватора и параллелей, все меридианы имеют равную длину. В 1884 году было принято решение выбрать в качестве нулевого меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию близ Лондона. Этот меридиан сохранил свой статус до наших дней, хотя ранее большинство европейских моряков использовали в качестве нулевого меридиан острова Иерро в Канарском архипелаге, точнее меридиан мыса Орчилья на западной оконечности острова. Вызвано это было тем, что со времён Птолемея остров Иерро считался концом известного мира, и до 1492 года о землях, лежащих к западу от острова, ничего не было известно.

Теперь, когда мы определили параллели и меридианы, установить положение точки земной поверхности очень просто – достаточно указать, какая параллель и какой меридиан пересекаются в этой точке, и выразить данные с помощью географических координат – широты и долготы. Широта – это угол между экватором и параллелью точки, где находится наблюдатель, измеренный вдоль меридиана, проходящего через рассматриваемую точку. Широта измеряется в градусах и отсчитывается от 0 до 90° в обе стороны от экватора. Долгота также измеряется в градусах (от 0 до 180° в обе стороны) и отсчитывается вдоль экватора от нулевого меридиана до меридиана рассматриваемой точки. Долготу часто выражают в часах, минутах и секундах. Чтобы перевести углы в единицы времени, нужно лишь учесть, что 24 часа соответствуют 360°, следовательно, 1 час соответствует 15°.

Как определить положение звёзд на небесной сфере

В прошлом люди считали небосвод хрустальной сферой, в её центре находилась Земля, а звёзды были прикреплены к сфере. Эта концепция давно устарела, однако астрономы по-прежнему говорят о «небесной сфере», так как это понятие соответствует нашим интуитивным представлениям о небосводе. И центром этой небесной сферы по-прежнему является Земля, но не потому, что она считается центром Вселенной, как утверждал Птолемей, а потому, что именно с поверхности Земли мы ведём астрономические наблюдения. Хотя мы знаем, что звёзды удалены от нас на разные расстояния, будем предполагать, что все они находятся на поверхности небесной сферы. Чтобы задать положение объекта, проще всего выбрать несколько окружностей и отложить от них два угла, как и в примере с определением координат на поверхности Земли.

* * *

АЛИСА В СТРАНЕ ЧУДЕС

Когда Алиса, героиня известной книги Льюиса Кэрролла, в погоне за кроликом проваливается в глубокий колодец, у неё появляется время поразмышлять о том, где же она находится (далее приведена цитата из первой главы «Алисы в стране чудес» под названием «Глава первая, в которой Алиса чуть не провалилась сквозь Землю»):

«И она всё летела: вниз, и вниз, и вниз! Неужели это никогда не кончится?

– Интересно, сколько я пролетела? – громко сказала Алиса. – Наверное, я уже где-нибудь около центра Земли! Ну да: как раз тысяч шесть километров или что-то в этом роде…

(Дело в том, что Алиса уже обучалась разным наукам и как раз недавно проходила что-то в этом роде; хотя сейчас был не самый лучший случай блеснуть своими познаниями – ведь, к сожалению, никто её не слушал, – она всегда была не прочь попрактиковаться.)

– Ну да, расстояние я определила правильно, – продолжала она. – Вот только интересно, на каких же я тогда параллелях и меридианах?

(Как видите, Алиса понятия не имела о том, что такое параллели и меридианы, – ей просто нравилось произносить такие красивые, длинные слова.)» [1]1
  Перевод Б. Заходера. – Примеч. ред.


[Закрыть]

Если колодец, как и все нормальные колодцы, был направлен к центру Земли, его широта и долгота не изменялись. Углы, определяющие положение Алисы в пространстве, оставались неизменными, менялось лишь её расстояние до центра Земли. Поэтому Алиса могла не беспокоиться.

* * *

Вариант первый: высота и азимут

Наиболее понятный способ определения координат на небесной сфере заключается в том, чтобы указать угол, определяющий высоту звезды над горизонтом, и угол между прямой «север-юг» и проекцией звезды на линию горизонта – азимут (см. следующий рисунок).

Горизонтальная система координат: высота (h) и азимут (а). В Европе азимуты отсчитываются с юга, как показано на рисунке, в Северной Америке – с севера. Зенит представляет собой точку пересечения небесной сферы и вертикальной линии, проходящей через точку, где находится наблюдатель. Иными словами, зенит – это самая высокая точка на небе, а надир – точка, противоположная зениту.

* * *

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ВРУЧНУЮ

Для измерения высоты и азимута звезды используется устройство под названием теодолит.

Однако существует очень простой, хотя и не слишком точный, способ измерения углов вручную. Если мы вытянем руку перед собой, то ладонь будет указывать интервал в 20°, кулак – 10°, большой палец – 2°, мизинец – 1°. Этот способ могут использовать и взрослые, и дети, так как размеры ладони человека увеличиваются пропорционально длине его руки.

Пример измерения углов на пальцах.

* * *

Вариант второй, более удобный: склонение и часовой угол

Определить положение звёзды с помощью азимута и высоты несложно, однако этот метод обладает серьёзным недостатком: координаты привязаны к точке, в которой находится наблюдатель, поэтому одна и та же звезда при наблюдении из Парижа и Лиссабона будет иметь разные координаты, так как линии горизонта в этих городах будут располагаться по-разному. Следовательно, эти данные астрономы не смогут использовать для обмена информацией о проведённых наблюдениях. Поэтому существует и другой способ определить положение звёзд. В нём используются координаты, напоминающие широту и долготу земной поверхности, которые могут применять астрономы в любой точке земного шара. В этом интуитивно понятном методе учитывается положение оси вращения Земли и считается, что небесная сфера вращается вокруг нас (по этой причине ось вращения Земли в Античности называлась осью мира). В действительности, конечно, всё обстоит наоборот: хотя нам кажется, что вращается небо, на самом деле это Земля вращается с запада на восток.

Рассмотрим плоскость, рассекающую небесную сферу перпендикулярно оси вращения, проходящей через центр Земли и небесной сферы. Эта плоскость пересечёт земную поверхность вдоль большого круга – земного экватора, а также небесную сферу – вдоль её большого круга, который называется небесным экватором. Второй аналогией с земными параллелями и меридианами будет небесный меридиан, проходящий через два полюса и расположенный в плоскости, перпендикулярной экватору. Так как все небесные меридианы, подобно земным, равны, нулевой меридиан можно выбрать произвольно. Выберем в качестве нулевого небесный меридиан, проходящий через точку, в которой находится Солнце в день весеннего равноденствия. Положение любой звезды и небесного тела определяется двумя углами: склонением и прямым восхождением, как показано на следующем рисунке. Склонение – это угол между экватором и звездой, отсчитываемый вдоль меридиана места (от 0 до 90° или от 0 до −90°). Прямое восхождение – это угол между точкой весеннего равноденствия и меридианом звезды, отсчитываемый вдоль небесного экватора. Иногда вместо прямого восхождения используется часовой угол, или угол, определяющий положение небесного тела относительно небесного меридиана точки, в которой находится наблюдатель.

Положение звёзды, заданное экваториальными (A, D) и часовыми координатами (Н, D).

Преимущество второй экваториальной системы координат (склонения и прямого восхождения) очевидно: эти координаты будут неизменными вне зависимости от положения наблюдателя. Кроме того, в них учитывается вращение Земли, что позволяет скорректировать вносимые им искажения. Как мы уже говорили, видимое вращение небесной сферы вызвано вращением Земли. Похожий эффект возникает, когда мы сидим в поезде и видим, как рядом с нами движется другой поезд: если не смотреть на перрон, то нельзя определить, какой из поездов на самом деле тронулся с места. Нужна точка отсчёта. Но если вместо двух поездов рассматривать Землю и небесную сферу, найти дополнительную точку отсчёта будет не так-то просто.

В 1851 году француз Жан Бернар Леон Фуко (1819–1868) провёл эксперимент, демонстрирующий движение нашей планеты относительно небесной сферы.

Он подвесил груз весом 28 килограммов на проволоке длиной 67 метров под куполом парижского Пантеона. Колебания маятника Фуко продолжались 6 часов, период колебаний составил 16,5 секунды, отклонение маятника – 11° в час. Иными словами, с течением времени плоскость колебаний маятника смещалась относительно здания. Известно, что маятники всегда движутся в одной плоскости (чтобы убедиться в этом, достаточно подвесить на верёвке связку ключей и проследить за её колебаниями). Таким образом, наблюдаемое отклонение могло быть вызвано только одной причиной: само здание, а следовательно, и вся Земля, вращались вокруг плоскости колебаний маятника. Этот опыт стал первым объективным доказательством вращения Земли, и маятники Фуко были установлены во многих городах.

Портрет Жана Бернара Леона Фуко и маятник в парижском Пантеоне.

Земля, которая кажется неподвижной, вращается не только вокруг своей оси, совершая полный оборот за 24 часа (что эквивалентно скорости примерно в 1600 км/ч, то есть 0,5 км/с, если мы находимся на экваторе), но и вокруг Солнца, совершая полный оборот за 365,2522 дня (со средней скоростью примерно 30 км/с, то есть 108000 км/ч). Более того, Солнце вращается относительно центра нашей галактики, совершая полный оборот за 200 млн лет и двигаясь со скоростью 250 км/с (900000 км/ч). Но и это ещё не всё: наша галактика удаляется от остальных. Таким образом, движение Земли больше похоже на головокружительную карусель в парке аттракционов: мы вращаемся вокруг себя, движемся в пространстве и описываем спираль с головокружительной скоростью. При этом нам кажется, что мы стоим на месте!

Хотя в астрономии используются и другие координаты, описанные нами системы наиболее популярны. Осталось ответить на последний вопрос: как перевести координаты из одной системы в другую? Заинтересованный читатель найдёт описание всех необходимых преобразований в приложении.

* * *

МОДЕЛЬ ЭКСПЕРИМЕНТА ФУКО

Предлагаем читателю провести простой эксперимент. Возьмём круглую коробку и приклеим на неё лист плотного картона или фанеры, на котором закрепим небольшую раму в форме футбольных ворот, как показано на рисунке. Поместим в угол листа куклу, которая будет играть роль наблюдателя. Привяжем к горизонтальной планке рамы нить, на которой закрепим грузило.

Отведём получившийся маятник в сторону и отпустим. Маятник будет колебаться параллельно одной из стен комнаты, в которой мы находимся. Если мы начнём плавно вращать лист фанеры вместе с круглой коробкой, то увидим, что рама и кукла начнут смещаться относительно стены комнаты, но плоскость колебаний маятника будет по-прежнему параллельна стене.

Если мы представим себя в роли куклы, то увидим, что маятник движется относительно пола, но при этом мы не сможем ощутить движение коробки и рамы, на которой он закреплён. Аналогично, когда мы наблюдаем за маятником в музее, то нам кажется, что плоскость его колебаний смещается, однако на самом деле смещаемся мы сами вместе со зданием музея и всей Землёй.

* * *

Задача о расстоянии

Определить углы, указывающие положение любого астрономического объекта, сравнительно просто. По сути, эта система координат ничем не отличается от той, что используют игроки в морской бой. По-настоящему трудная задача, о которой мы упомянули в начале главы, заключается в определении расстояния до наблюдаемого небесного тела. Существуют особые методы определения расстояний, в которых учитываются физические свойства рассматриваемых объектов. Так как мы говорим о математике в астрономии, мы опишем только один метод, применимый к разным объектам, который часто используется в астрономии и заключается в измерении расстояний при помощи параллакса.

Параллакс – это изменение положения объекта относительно точки отсчёта при изменении положения наблюдателя. Это явление знакомо каждому из нас. Делая снимок фотоаппаратом, видоискатель которого расположен на некотором расстоянии от объектива, мы увидим, что изображение не совпадает с тем, что получилось на фотографии. В кадр может не попасть человек, стоящий с краю, или мы можем случайно «обрезать» кому-то ноги. Это происходит потому, что в видоискатель мы видим не совсем то, что попадает в камеру через объектив.

В похожей ситуации оказываются и водители, двигаясь задним ходом: в зависимости от того, куда водитель повернёт голову, он увидит дорогу по-разному. Рассмотрим фонарь, стоящий на тротуаре. Если мы посмотрим на него справа, то увидим его, к примеру, в определённом месте на фасаде здания. Если же мы посмотрим на фонарь слева, то увидим, как он сместится в сторону по сравнению с тем, что мы видели раньше.

Рассмотрим применение параллакса в астрономии. Как показано на рисунке, положение близкой к нам звезды O меняется в зависимости от того, где располагается наблюдатель. Если мы будем оценивать положение звёзды относительно других, достаточно далёких звёзд, то увидим, что оно будет изменяться: при наблюдении из точки A будет казаться, что O расположена слева от двух находящихся рядом звёзд, при наблюдении из точки B – справа. Угол, под которым виден отрезок AB из точки O, называется углом параллакса. Величина этого угла обычно очень мала, особенно для объектов, расположенных за пределами Солнечной системы.

Фотографии Луны, сделанные 28 октября 2004 года из Челси, Великобритания (справа), и из Монреаля (Канада). Луна расположена близко к Земле, поэтому при наблюдении из двух точек, отстоящих друг от друга на 5520 км, она будет выглядеть по-разному. Две фотографии были наложены друг на друга так, чтобы изображённые на них звёзды совпали.

Если мы будем наблюдать за Луной на фоне звёздного неба из двух разных точек земного шара, то сможем вычислить расстояние до неё, зная расстояние между двумя точками, из которых производятся наблюдения. Рассмотрим схему:

Согласно элементарным формулам тригонометрии, имеем:

Следовательно, искомое расстояние будет равно:

В качестве приближённого значения тангенса мы использовали значение самого угла (это соотношение справедливо для малых углов).

Можно определить несколько разновидностей параллакса. Вернёмся к предыдущей схеме: если мы будем считать, что точки A и B – это точки, в которых находится Земля, когда она располагается дальше всего от Солнца, получим годовой параллакс. Длина основания треугольника будет равна расстоянию между этими точками, то есть удвоенному расстоянию между Землёй и Солнцем – примерно 300 млн километров. 150 млн километров, разделяющие Землю и Солнце, называются астрономической единицей (а.е.). Определив угол параллакса p, получим, что расстояние до звезды (в километрах) равно d= 300 000 000/p, где угол p выражен в радианах.