Текст книги "Доктор занимательных наук"

Автор книги: Г.и. Мишкевич

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 15 страниц)

Без вычислений не обойтись

Успех «Занимательной физики», вышедшей в свет уже несколькими изданиями, подсказывал Перельману необходимость и желательность продолжения серии подобных книг. Однако были веские причины, по которым осуществление задуманного отодвигалось на неопределенный срок. Во-первых, немало лет ушло на подготовку новых учебных пособий для школы, а эту работу Яков Исидорович считал наиважнейшей. Во-вторых, много времени и сил отнимала педагогическая деятельность. В-третьих, требовалось накопить достаточное количество материалов. И хотя папки с надписями «Арифметика», «Геометрия», «Алгебра», «Астрономия» уже давно были заведены и непрерывно пополнялись выписками и набросками, время для новой книги серии еще не приспело. Главная трудность, смущавшая Перельмана, заключалась в том, как и в какой мере использовать математический аппарат и числовые примеры, обойтись без которых было совершенно невозможно.

Здесь Якова Исидоровича подстерегали своеобразные Сцилла и Харибда: в сочинениях популярного характера математические выкладки неизбежны, однако чрезмерное увлечение ими грозит превратить общедоступное произведение в ученый трактат. Перельману хорошо запомнились предостережения на сей счет, высказанные крупнейшими учеными. «Лекции, которые действительно научают, – писал Майкл Фарадей, – никогда не будут популярными, лекции, которые популярны, никогда не будут научать». Или: «Тяжкий жребий писать в наши дни математические книги, – утверждал Иоганн Кеплер. – Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если же неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным».

Как обойти это, казалось, непреодолимое препятствие? Перельман решил: надо соединить обе полярности, то есть попытаться писать так, чтобы нисколько не пострадала научная безукоризненность, и при этом отлить изложение в форму занимательного повествования, превратив «опасный» математический аппарат в союзника и естественное подспорье. Иными словами, он задался труднейшей целью соединить строгость научного мышления с образностью и наглядностью изложения.

И эту задачу Перельман решил блестяще!

Еще обучаясь в Белостокском реальном училище, он услышал от учителя Бунимовича изречение Блэза Паскаля: «Предмет математики настолько серьезен, что не следует упускать случая делать его немного занимательным». Не упускать случая делать математику занимательной… Этим искусством Перельман владел в совершенстве.

В одной из своих книг он рассказывает о «Кодексе Юстиниана», созданном в VI веке нашей эры. В «Кодексе» был особый закон «О злодеях-математиках», запрещавший занятия этой наукой. Говоря о научно-популярных книгах, из которых многие авторы начисто удаляют математические выкладки из боязни сделать изложение сухим и отпугивающим читателей, Яков Исидорович писал: «Я не сторонник такой популяризации. Не для того мы тратим целые годы в школе на изучение математики, чтобы выбрасывать ее за борт, когда она понадобится». Перельман постоянно прививал уважение к числу, счету, особенно к большим числам, которые были характерны, например, для планов наших пятилеток (таковы его задачи о миллиардах консервных банок, поставленных одна на другую, или о миллионах тонн угля и стали). В таких случаях особенно умело привлекался парадокс, помогавший создавать интригующе интересный рассказ. Вот, к примеру, очерк об одном из математических монстров – числе 9в9в9. Как пояснить читателю, не искушенному в математике, невообразимую колоссальность этого выражения, в котором всего лишь три девятки? Не производить же вычисление, требующее огромного труда! Но зачем прибегать к такому лобовому приему, далекому от занимательности? Перельман рассуждает по-своему: «Это чудовищное число, но в нем всего лишь только три цифры. Цифра 2 только на семь единиц меньше девятки, но 222 равно лишь 16. Достаточно только начать вычисление этого цифрового великана, чтобы ощутить огромность ожидаемого результата».

Возведя 9 в 9-ю степень (что тоже требует немало времени), вы получите число 387 420 489. Но погодите, главное-то – впереди. Теперь надо возвести 9 в 387 420 489-ю степень. Придется сделать круглым счетом 400 миллионов умножений. Число это никогда никем не было вычислено, а чтобы написать его, потребуется книга в 180 000 страниц, ибо оно состоит из 370 миллионов цифр, и как называется – неизвестно.

Далее следует неожиданная оценка числового исполина: «Количество электронов во всей видимой части Вселенной ничтожно мало по сравнению с этим числовым монстром».

Вот так. Три девятки и обозримая Вселенная.

Однако читателю уготован еще один сюрприз: «У этого числового гиганта есть свой антипод – сверхлилипут: 1 / 9в9в9. И его не прочитать, и оно не имеет названия…».

Оказалось, что «сухая цифирь» может быть изложена настолько живо, что захватит читателя, побудит его не пренебрегать математическими выкладками в книгах, а, следуя им, прочнее закреплять полученные знания.

Глава 4. Написавший библиотеку
«Занимательная геометрия»

Наивысшего расцвета талант и литературная деятельность Перельмана достигли после Великого Октября. Советская власть предоставила ему такие возможности для творчества, о которых ранее он лишь мечтал. Именно с 1918 по 1940 год были написаны основные его произведения.

После выхода в свет «Занимательной физики» прошло почти двенадцать лет. Многие из последующих книг этой серии вышли в свет в 20…30-х годах в ленинградском издательстве «Время» [25]25
    [25] Кооперативное издательство «Время» функционировало с 1922 по 1934 год. Членами правления издательства были академики А.Е. Ферсман, С.Ф. Ольденбург, писатель-популяризатор Я.И. Перельман и другие. Издательство выпустило несколько сот книг научной и художественной литературы.


[Закрыть] , с которым был тесно связан М. Горький. Сохранились его письма директору издательства и по поводу выпуска книг занимательной серии. В письме от 12 ноября 1926 года содержится высокая оценка их. В другом письме – от 15 декабря того же года – писатель, сетуя на задержку выхода книг, писал: «Очень огорчен, что «Занимательная наука» встретила препятствие дальнейшему росту. Это – глупо и грустно».

Можно не сомневаться, что благодаря вмешательству М. Горького издание серии книг не пресеклось.

Серию продолжила «Занимательная геометрия», вышедшая в свет в 1925 году (выдержала 11 изданий). Параллельно шла деятельная работа и над «Занимательной арифметикой». Когда обе рукописи вчерне были готовы, Перельман не мог не задуматься об их судьбе. В его памяти всплыл разговор с Сойкиным, которому он принес рукопись «Занимательной физики». Тогда, как мы помним, Сойкин выразил опасение, как отреагируют ученые-физики и педагоги на выход книги. Примерно о том же думал теперь сам Перельман: ведь его «Занимательной геометрии» и «Занимательной арифметике» будут противостоять учебники таких корифеев педагогики, как А.Ф. Малинин и К.П. Буренин, чье руководство по арифметике выдержало более 25 изданий, или А.П. Киселева с 30 изданиями курса элементарной геометрии. Их пособия были допущены в качестве официальных учебников, по которым учились миллионы школьников.

И опять невольно на ум пришли сравнения. Вот задача из учебника геометрии. Ложка оливкового масла (20 граммов) вылита на воду. Образовалось пятно поперечником 30 метров. Требуется вычислить толщину пленки. Решается эта задача так: измеряется площадь пятна, затем определяется объем масла и, наконец, высчитывается толщина масляной пленки. При этом используются формула определения площади круга, данные о плотности масла и т.д.

Но ведь об этом же можно рассказать и по-другому, например так. На поверхность воды выливается та же ложка масла. Пятно около 30 метров в диаметре в тысячу раз больше длины и во столько же раз больше ширины ложки. Стало быть, толщина пленки в миллион раз меньше толщины слоя масла в ложке. Право же, решение совсем не трудоемкое, более наглядное, а по точности не уступающее каноническому.

Другой пример – задача из учебника арифметики: «Как умножить 3 275 на 537? Это значит, что надобно взять 3 275 слагаемым 537 раз, а для этого можно взять его слагаемым сперва 7 раз, потом еще 30 раз и наконец 500 раз, и полученные суммы сложить. Иначе говоря, можно 3 275 умножить сперва на 7, потом на 30, наконец на 500, и полученные произведения сложить».

Только тупой зубрежкой можно запомнить это правило умножения. Что в нем наглядного? Ничего!

То же можно сказать и о задачах с купцами и их аршинами, цыбиках чая, бассейнах с трубами…

Но нельзя ли попытаться найти иные – занимательные – способы решения? И появляется задача-новелла, в которой присутствуют те же аршины, но в какой ипостаси?

При ревизии одного из магазинов в торговой книге важная запись оказалась залитой чернилами и имела такой вид: «За… кусков мадеполама по 49 руб. 36 коп, за кусок выручили… 7 руб. 28 коп.». Ни числа проданных кусков, ни вырученной суммы разобрать не было возможности – кляксы закрыли существенную часть записи. Способов прочтения скрытых или угасших текстов, которыми широко пользуются нынешние криминалисты и реставраторы, в те времена не существовало. Да они и не понадобились бы Перельману. Живым языком «следователя»-популяризатора он восстанавливает пропуски и весело, непринужденно решает задачу.

В таком ключе написана и «Занимательная геометрия». В предисловии к ее первому изданию говорилось: «Автор прежде всего отделяет геометрию от классной доски, выводит ее из стен школьной комнаты на вольный воздух, в лес, в поле, к реке, на дорогу, чтобы под открытым небом отдаться непринужденным геометрическим занятиям без циркуля и линейки». (Как не вспомнить такие же внеклассные занятия, которые вел учитель Белостокского реального училища Е.Н. Бунимович?)

Обратимся к содержанию книги. Часть первая – «Геометрия на вольном воздухе (в лесу, в поле, у реки, на дороге)». Часть вторая – «Между делом и шуткой в геометрии (геометрия впотьмах, геометрия и экономика, новое и старое о круге)». Эпиграфом к первой части служит высказывание Альберта Эйнштейна: «Первые основы геометрии должны быть заложены не в школьной комнате, а на вольном воздухе. Покажите мальчику, как измеряется площадь луга, обратите его внимание на высоту колокольни, на длину тени, отбрасываемой ею, на соответствующее положение Солнца – и он гораздо быстрее, правильнее и при этом с большим интересом усвоит математическое соотношение, чем когда понятие измерения углов, а то и какой-либо тригонометрической функции внедряются в его голову с помощью слов и чертежа на доске».

Следуя этому совету, Перельман написал поистине веселую «Занимательную геометрию». Книга начинается с воспоминаний далекого детства о том, как в роще под Белостоком лесничий с помощью простой дощечки молниеносно определял высоту деревьев. «Я был тогда очень молод, и такой способ измерения, когда человек определяет высоту дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, являлся в моих глазах чем-то вроде маленького чуда». Тут же историческая параллель: «Самый легкий и самый древний способ – это без сомнения тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Фалес, гласит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени».

В книге множество примеров подобных измерений высоты зданий, деревьев, их толщины, ширины реки и скорости течения в ней. В задачах типа «Где сходятся рельсы?» или «Далеко ли светит маяк?» разбираются способы определения расстояний до удаленных предметов, не пользуясь при этом никакими приборами, а применяя лишь такие простейшие предметы, как спичка, указательный палец, почтовая карточка и тому подобное. В главе «Геометрия Робинзонов» можно узнать о том, как вычислить географические координаты необитаемого острова, описанного Даниэлем Дефо, или жюльверновского «Таинственного острова».

Немало в книге и шуточных задач: «Каков объем бочки, в которой жил Диоген?», «Какова длина нити Ариадны?», «Какой вес и размер имела бы монета достоинством в миллион рублей?» (Оказывается, ее поперечник составил бы 3,3 метра, а масса – 20 тонн!). В другой главе – задача, навеянная Н.В. Гоголем: «Звезды горят и светят над миром и все разом отдаются в Днепре. Всех их держит Днепр в лоне своем: ни одна не убежит от него, разве погаснет на небе». С позиций геометра исследуется этот поэтический образ: нет, не все звезды разом отразятся в Днепре, а только половина их числа на небе…

Мальчик из романа Майн Рида «На дне трюма» оказался в «экстремальных условиях» – в недрах судна среди бочек и тюков. Мешок с сухарями он нашел, а с водой обстояло хуже: бочку-то он нашарил, но сколько в вей воды – неизвестно. Однако юный герой не растерялся. Зная геометрию, он даже в кромешной темноте вычислил количество воды (поверка этого способа, приведенная Перельманом, для любителей математики, заняла три страницы математических формул).

Герой романа Марка Твена «Простаки за границей» очутился в незнакомом номере гостиницы и стал в темноте блуждать по нему, отыскивая свои вещи. Он прошагал… 47 миль (!), пока не набрел на вещи. Яков Исидорович, построив график блужданий незадачливого постояльца, в заключение отметил, что люди, бродящие без компаса в степи в метель или в тумане, обычно ходят по круговой, хотя полагают, что идут прямо (для подтверждения приводятся примеры блуждания по снегу героев романа Жюля Верна «Приключения капитана Гаттераса» и рассказа Л.Н. Толстого «Хозяин и работник»). Из романа Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома» Перельман извлек описание способа квадратуры круга.

Интересно трактуется геометрия подобия. Когда-то на Мадагаскаре водились огромные страусы – эпиорнисы, клавшие яйца длиной 28 сантиметров. Куриное яйцо имеет в длину 5 сантиметров. Скольким куриным яйцам соответствует по объему одно яйцо-гигант?

В книге Джонатана Свифта «Путешествия Гулливера» Яков Исидорович отыскал ряд геометрических задач, в том числе о размерах лилипутов и великанов. Свифт положил в основу сравнения их роста простое линейное соотношение, основанное на числе 12, то есть на соотношении дюйма и английского фута. Поэтому он посчитал паек Гулливера равным 12 пайкам лилипута. Но писатель должен был принять во внимание не линейную, а кубическую зависимость. И тогда, говорит Перельман, результат получился бы иной: обед Гулливера – это не 12, а 12 Ч 12 Ч 12 = 1 728 обедов лилипута. Книга из библиотеки великанов в 1 728 раз больше, ее длина превышает 7 метров, а масса – 3 тонны!

Главу «Геометрическая экономия» Перельман начинает выдержкой из рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно». Герой рассказа зажиточный крестьянин Пахом торгует у башкирского старшины землю: «– А какая цена будет?

– Цена у нас одна: тысяча рублей за день».

Иными словами, сколько за день земли обойдешь, вся твоя, за тысячу рублей.

Едва занялась заря, Пахом отправился в путь. А откуда он начал идти, там старшина положил свою лисью шапку, а в ней – пахомова тысяча.

Прибежал Пахом к шапке с последними закатными лучами Солнца и упал бездыханный…

Этот рассказ, полный глубокого социального и нравственного смысла, Перельман анализирует с точки зрения геометра. Сколько же земли отмерял Пахом за день безостановочного хода? В рассказе Л.Н. Толстого содержатся все необходимые исходные данные для подсчета, и Перельман уточняет: «Л.Н. Толстой несомненно имел перед своими глазами чертеж, когда писал свой рассказ». Оказывается, Пахом успел обойти обширный участок – около 8 000 десятин, однако желанной землицы так и не обрел…

Продолжая «землемерную» тему, Яков Исидорович переносит читателя в глубокую древность. Дидона, дочь Тирского царя, бежала в Африку и высадилась со своими соплеменниками на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько заняла воловья шкура». Когда сделка была совершена, хитрая Дидона разрезала шкуру на множество тончайших ремешков, потом связала их и охватила участок земли. Читателю предлагается вычислить, какова площадь участка при условии, что поверхность целой шкуры равна 4 квадратным метрам. Расчет покажет, что связанными ремешками Дидона объяла ни мало ни много – 1,3 квадратного километра земли! На этом «воловьем» участке, по преданию, соорудили крепость Карфаген.

Есть в книге и другие сюжеты, подсказанные художественными произведениями, в частности легендой о могильных холмах, насыпанных руками воинов:

…Читал я где-то.

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился – и царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

Математик Перельман за поэтической строкой пушкинского «Скупого рыцаря» увидел несколько иную картину: пусть хоть сто тысяч воинов насыпят горстями «гордый холм» – он возвысится всего на полтора метра. Однако «следствие» о холме доводится до конца: даже семьсот тысяч воинов Аттилы могли бы насыпать холм всего лишь в 4,6 метра высотой.

Цель, сформулированная автором в предисловии к «Занимательной геометрии», – «сделать геометрию привлекательной, внушить охоту и воспитать вкус к ее изучению» – великолепно достигнута. «Сухая» школьная премудрость, показанная в книге в необычном свете, благодаря таланту автора, стала действительно привлекательной.

«Занимательная арифметика»

Математика, как известно, возникла из практических нужд людей. И сегодня трудно представить себе человеческую деятельность, лишенную счета и числа. Когда-то даже была назначена крупная премия за написание книги «Как человек без числа жил», но она так и не выплачена по сей день – не нашлось автора.

Роль и значение числа, счета особенно ярко показаны в книге «Занимательная арифметика». Эта книга, появившаяся в 1926 году (выдержала 9 изданий), полна «таинственных» историй, связанных с числом и счетом. Чуть ли не на каждой странице читателя ожидает встреча со сказкой, легендой, старинной притчей, литературным сюжетом арифметического толка. В книге разбираются только четыре действия арифметики, но как!

Глава I. («Старое и новое о цифрах и нумерации») сразу же вводит в мир «таинственного». Рассказывается о «зловещих» знаках, испещривших стены петроградских домов весной 1917 года; Перельман объясняет их появление неграмотностью дворников, по-своему нумеровавших дома всякими крестами, знаками. Есть в книге рассказы о торговых «метах», арифметике за обеденным столом, о различных системах счисления. Где еще, как не в этой книге, вы найдете сведения о старинных способах деления «галерой» или о старинном египетском папирусе Ринда, в котором изложен способ умножения?

Незадолго до выхода в свет этой книги появился русский перевод «Диалектики природы» Ф. Энгельса. В ней Яков Исидорович почерпнул материал для «Занимательной арифметики»: когда дважды два равно 100?; когда дважды два равно 11?; когда число 10 – нечетное? Эти примеры использования двоичной и пятиричной систем счисления Ф. Энгельс описывает в своем труде.

Не упустил автор «Занимательной арифметики» случай истолковать с позиций математика и шуточный рассказ А.П. Чехова «Репетитор». В нем есть такая задача: «Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?».

Долго бились над задачей 12-летний Петя Удодов и его репетитор – семиклассник Егор Зиберов, но решить ее так и не сумели. «Эта задача на неопределенные уравнения, – беспомощно развел руками репетитор. – Это задача, собственно говоря, алгебраическая…».

Но тут подошел отец Пети Удодова. «И без алгебры решить можно, – заявил он. Пощелкал на счетах, и у него получилось 75 и 63, что и нужно было. – Вот-с… по-нашему, по-неученому».

Перельман поясняет, что «щелканье на счетах» было па самом деле вполне правильным способом решения арифметической задачи о сукне: отец Пети, отставной губернский секретарь, умел хорошо обращаться с русскими счетами.

В одной из глав собраны примеры из истории арифметики. Особенно трудными были в старину такие действия над числами, как умножение и деление. «Долбица умножения», «Умножение – мое мучение, а деление – беда» – горевали школьники XV…XVI веков. Существовали десятки способов умножения, один замысловатее другого – «по частям, или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «органчиком»… Еще труднее было действие деления: «галерой, или лодкой», «способом Тартальи», «девяткой».

Отдельная глава посвящена арифметическим диковинкам – числу 12, древнейшему сопернику десятки; числу 365, связанному с календарем; числу Шахразады (1001) и так далее.

В главе «Фокусы без обмана» рассказано о математических секретах различных фокусов с числами. Автор пишет, что фокусы эти «честные, добросовестные, их может проделать каждый». Найдем мы здесь и сюжет, навеянный древнеиндийской повестью «Наль и Дамаянти» – о молниеносно быстром способе подсчета листьев на дереве.

В главе о числовых загадках египетской пирамиды Хеопса занимательно рассказано о тайнах этого сооружения: сумма периметра четырех сторон основания равна 931,22 метра. Разделив это число на удвоенную величину высоты пирамиды (148,208 метра), получим в частном 3,1416, то есть знаменитое число «пи». А ведь об этом соотношении размеров пирамиды европейские математики дознались лишь в XVI веке – спустя 45 столетий после ее сооружения!

Завершает книгу глава об арифметических путешествиях (врач, навещая пациентов дома, совершает за год 20 «восхождений» на Монблан, а лифтер за 15 лет работы «поднимается» на Луну…)