Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ВА)"

Вариационное исчисление

Вариацио'нное исчисление, математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов – переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. В. и. является естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие В. и. тесно связано с задачами механики, физики и т.д.

  Одной из первых задач В. и. была знаменитая задача о брахистохроне (И. Бернулли, 1696): определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения А в нижнее положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у (х ), доставляющей минимум функционалу

  где а и b – абсциссы точек А и В.

  Другой такой же «исторической» задачей является задача об отыскании пути, вдоль которого распространяется свет, идущий от источника света (точка А ) к некоторой точке В, в среде с переменной оптической плотностью (то есть в среде, где скорость распространения v есть функция координат). Для решения этой задачи может быть использован, так называемый, Ферма принцип , согласно которому из всех кривых, соединяющих точки А и В, луч света распространяется вдоль той, по которой свет приходит из A в B за кратчайшее время. В простейшем случае, когда свет распространяется в плоскости, задача сводится к отысканию кривой y (x ), доставляющей минимум функционалу

  Из разрозненных задач подобного рода постепенно в 18 в. начало формироваться В. и. Но и после оформления В. и. в самостоятельную дисциплину она продолжала оставаться связанной с различными проблемами механики и физики. На протяжении 2-й половины 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание механики, опираясь на некоторые общие вариационные принципы (см. Вариационные принципы механики ). Со 2-й половины 19 в. начинают разрабатываться различные вариационные принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике, электродинамике и т.д. Возникают вариационные принципы и в средах с диссипацией энергии. Исследования во всех подобных областях продолжают служить базой формирования новых задач В. и. и областью приложения её методов. Однако со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные границы дисциплины и превративших В. и. в одну из наиболее обширных ветвей современной математики, включающей в себя, с одной стороны, самые абстрактные вопросы, относящиеся в равной степени к топологии и функциональному анализу, а с другой – разнообразные вычислительные методы решения технических или экономических задач.

  Прямые методы . В. и. как самостоятельная научная дисциплина сформировалась в 18 в., главным образом благодаря работам Л. Эйлера .

  Простейшей задачей В. и. называют задачу отыскания функции x (t ), доставляющей экстремум функционалу

  где F — непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. При этом функция x (t ) должна удовлетворять следующим условиям:

  а) она должна быть кусочно дифференцируемой,

  б) при t = t_o и t = T она должна принимать значения

  х (t_o ) = х _{, х (Т) = хт .}     (2)

  Обе задачи, рассмотренные в начале статьи, являются частными случаями простейшей задачи В. и.

  Первые вариационные задачи были задачами механики. Они были поставлены в 18 в. и, следуя традициям того времени, первый вопрос, на который надо было ответить, был вопрос о способе фактического отыскания функции x (t ), реализующей минимум функционала (1).

  Эйлер создал численный метод решения задач В. и., который получил название Эйлера метода ломаных . Этот метод был первым среди большого класса, так называемых, прямых методов ; все они основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче отыскания экстремума функции многих переменных. Поскольку для получения решения с высокой точностью задачу приходится сводить к отысканию экстремума функции с большим числом переменных, она становится весьма сложной для ручного счёта. Поэтому долгое время прямые методы были вне основного русла, по которому направлялись усилия математиков, занимавшихся В. и.

  В 20 в. интерес к прямым методам значительно усилился. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Поясним эти идеи на простом примере. Рассмотрим снова задачу отыскания минимума функционала (1) при дополнит. условии

  x (t_o ) = x (T) = 0      (3)

  и будем разыскивать решение задачи в форме

  где j_n (t) – некоторая система функций, удовлетворяющих условиям типа (3). Тогда функционал J (x) становится функцией коэффициентов a_i :

  J = J (a_i ,..., a_N ),

  и задача сводится к отысканию минимума этой функции N переменных. При известных условиях, наложенных на систему функций {j_n } , решение этой задачи стремится при N ® ¥ к решению задачи (1) (см. Ритца и Галёркина методы ).

  Другая причина усиления интереса к прямым методам – это систематическое изучение конечноразностных методов в задачах математической физики, начавшееся с 20-х гг. 20 в. Применение ЭВМ превращает постепенно прямые методы в основной инструмент решения вариационных задач.

  Метод вариаций. Второе направление исследований – это изучение необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять функция x (t ), реализующая экстремум функционала J (x). Его возникновение также связано с именем Эйлера. Предположим, что тем или иным способом построена функция x (t ). Как проверить, является ли эта функция решением задачи? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Эйлером в 1744. В приведённой ниже формулировке этого ответа употребляется введённое в 60-х гг. 18 в. Ж. Лагранжем понятие вариации (отсюда название – В. и.), являющееся обобщением понятия дифференциала на случай функционалов.

  Пусть x (t ) — функция, удовлетворяющая условию (2), a h (t) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию h (t_o ) = h (T) = 0. Тогда величина

  J (x + eh) = J*(e),

  где e – произвольное действительное число будет функцией e . Вариацией dJ функционала J называют производную

  (dJ*/de)_e = 0.

  Для простейшей задачи В. и.

  Разлагая полученное выражение в ряд по степеням e, получим

  где о (e) – члены более высокого порядка. Так как h (t_o ) = h (T ) = 0, то, проведя интегрирование по частям во втором интеграле, найдём

  Пусть теперь x (t ) реализует экстремум. Тогда функция J*(e) имеет экстремум при e = 0. Поэтому величина dJ должна обратиться в нуль. Отсюда следует: для того чтобы функция x (t ) доставляла экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению

  называемому уравнением Эйлера.

  Это – дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции x (t ). Необходимое условие dJ = 0 может быть применено в ряде случаев для эффективного отыскания решения вариационной задачи, поскольку функция x (t ) необходимо должна быть решением краевой задачи x (t_o ) = x_o , x (T ) = x_T для уравнения (4). Если найдено это решение и оно единственно, то найдено тем самым и решение исходной вариационной задачи. Если краевая задача допускает несколько решений, то достаточно вычислить значение функционала для каждого из решений краевой задачи и выбрать из них то, которому отвечает наименьшее значение J (x ). Однако указанный путь обладает одним существенным недостатком: не существует универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений.

  Уже во 2-й половине 18 в. круг задач, изучаемых В. и., значительно расширился. Прежде всего основные результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., были перенесены на общий случай интегральных функционалов вида

  где x (t ) — вектор-функция произвольной размерности, и на функционалы ещё более общего вида.

  Условный экстремум. Задача Лагранжа. В конце 18 в. был сформулирован ряд задач на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания функции x (t ), доставляющей экстремум функционалу J (x ) при каких-либо дополнительных условиях, кроме условий на концах интервала (t _{, T).} Простейшей задачей подобного вида является класс так называемых изопериметрических задач . Своим названием этот класс задач обязан следующей: среди всех замкнутых кривых данной длины найти ту, которая ограничивает максимальную площадь.

  Значительно более сложной задачей является та, в которой ограничения носят характер дифференциальных уравнений. Эту задачу называют задачей Лагранжа; особое значение она приобрела в середине 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления . Поэтому её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.

  Пусть x (t) и u (t) — вектор-функции размерностей n и m соответственно, причём функция x (t ), которую называют фазовым вектором, при t = t_o и t = T удовлетворяет граничным условиям:

  x (t _{) Î e , x (T) Î eT      (5)}

  где e _{и eT – некоторые множества. Простейшим примером условий типа (5) являются условия (2). Функция x (t ) и функция u (t ), которую называют управлением, связаны условием}

  dx/dt = f (x, u, t),     (6)

  где f — дифференцируемая вектор-функция своих аргументов. Рассматриваемая задача состоит в следующем: определить функции x (t ) и u (t ), доставляющие экстремум функционалу

  Заметим, что и простейшая задача В. и. и изопериметрическая задача являются частным случаем задачи Лагранжа.

  Задача Лагранжа имеет огромное прикладное значение. Пусть, например, уравнение (6) описывает движение какого-либо динамического объекта, например космического корабля. Управление u — это вектор тяги его двигателя. Множества e и e_T – это две орбиты разных радиусов. Функционал (7) описывает расход горючего на выполнение маневра. Следовательно, задачу Лагранжа, применительно к данной ситуации, можно сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космического аппарата, совершающего переход с орбиты e на орбиту e_T за заданное время так, чтобы расход топлива на этот маневр был минимальным.

  Важную роль в теории подобных задач играет функция Гамильтона

  H (x, y, u) = (f, y) – F.

  Здесь y – вектор, называется множителем Лагранжа (или импульсом), (f, y) означает скалярное произведение векторов f и y . Необходимое условие в задаче Лагранжа формулируется следующим образом: для того чтобы функции  и  были решением задачи Лагранжа, необходимо, чтобы  была стационарной точкой функции Гамильтона Н (х, y,u), то есть, чтобы при

  было ¶H/ ¶u = 0, где y – не равное тождественно нулю решение уравнения

  ¶y/t = —¶H/¶x = j(x, y, u, t).      (8)

  Эта теорема имеет важное прикладное значение, так как она открывает известные возможности для фактического нахождения векторов x (t ) и u (t ).

  Развитие В. и. в 19 в. Основные усилия математиков в 19 в. были направлены на исследование условий, необходимых или достаточных для того, чтобы функция x (t ) реализовала экстремум функционала J (x ). уравнение Эйлера было первым из таких условий; оно аналогично необходимому условию

  которое устанавливается в теории функций конечного числа переменных. Однако в этой теории известны ещё и другие условия. Например, для того, чтобы функция f (x ) имела в точке  минимум, необходимо, чтобы в этой точке было

  каков бы ни был произвольный вектор h. Естественно поставить вопрос: в какой степени эти результаты переносятся на случай функционалов? Для того чтобы представить себе сложность, которая здесь возникает, заметим, что функция  может реализовать минимум среди функций одного класса и не давать минимум среди функций другого класса и т.д.

  Подобные вопросы послужили источником разнообразных и глубоких исследований А. Лежандра , К. Якоби , М. В. Остроградского , У. Гамильтона , К. Вейерштрасса и многих других. Эти исследования не только обогатили математический анализ, но и сыграли большую роль в формировании идей аналитической механики и оказали серьезное влияние на развитие разнообразных отделов теоретической физики.

  Развитие В. и. в 20 в. В 20 в. возник целый ряд новых направлений В. и., связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов математики и вычислительной техники. Одно из основных направлений развития В. и. в 20 в. – рассмотрение неклассических задач В. и., приведшее к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина.

  Рассмотрим снова задачу Лагранжа: определить минимум функционала

  при условии

  фазовый вектор x (t ) должен удовлетворять ещё некоторым граничным условиям.

  В своей классической постановке условия задачи Лагранжа не предусматривают никаких ограничений на управление u (t ). Выше (см. раздел Условный экстремум. Задача Лагранжа) подчёркивалась тесная связь между задачей Лагранжа и задачей управления. В рассмотренном там примере u (t ) — тяга ракетного двигателя. Эта величина подчинена ограничениям: тяга двигателя не может превосходить некоторой величины, и угол поворота вектора тяги также ограничен. В данном конкретном примере компонента uⁱ (i = 1,2,3) вектора тяги двигателя подчинена ограничениям

  где а^-_i и a⁺_i – некоторые заданные числа. Подобных примеров можно привести много.

  Таким образом, в технике появилось много задач, которые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнительных ограничениях типа (10), записываемых в форме u ÎG_u , где G_u – некоторое множество, которое, в частности, может быть замкнутым. Такие задачи получили название задач оптимального управления. В задаче Лагранжа можно исключить управление u (t ) при помощи уравнения (8) и получить систему уравнений, которая содержит только фазовую переменную х и множитель Лагранжа j . Для теории оптимального управления должен был быть разработан специальный аппарат. Эти исследования привели к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина. Он может быть сформулирован в форме следующей теоремы: для того чтобы функции  и  были решением задачи оптимального управления чтобы они доставляли минимум функционалу (9)], необходимо, чтобы u (t ) доставляла максимум функции Гамильтона

  где y – множитель Лагранжа (импульс), который является ненулевым решением векторного уравнения

  Принцип максимума позволяет свести задачу оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2n (n — размерность фазового вектора). Принцип максимума и в этом случае даёт более сильный результат, чем теорема Лагранжа, поскольку он требует, чтобы  было не стационарным значением функции Гамильтона Н, а доставляло максимум Н.

  Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть s (х, t ) — значение функционала (9) вдоль оптимального решения. Тогда для того чтобы функция  была оптимальным управлением, необходимо (а в некоторых случаях и достаточно), чтобы функция s (х, t ) удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению с частными производными:

  называемому уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование ).

  Круг вопросов, которыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, всё большее и большее внимание уделяется изучению функционалов J (x ) весьма общего вида, задаваемых на множествах G_x элементов из нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно использовать метод вариаций. Возникли новые методы, основанные на использовании понятия конуса в банаховых пространствах, опорных функционалов и т.д.