Текст книги "Живой кристалл"

Автор книги: Яков Гегузин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 12 страниц)

ОТКРЫТИЕ ДЮЛОНГА И ПТИ

В истории физики 1819 г. отмечен свершением: французские ученые Пьер Луи Дюлонг и Алексис Терез Пти опубликовали результаты своих опытов по измерению теплоемкости твердых тел. Обобщая эти результаты, они сформулировали фундаментальный закон, согласно которому произведение теплоемкости одного грамма вещества в твердом состоянии на его молярную массу есть величина почти одинаковая для всех веществ, не зависит от температуры и составляет около шести калорий. Или, по-иному, теплоемкость в расчете на моль для всех веществ одна и та же: 6 кал/(моль•К). Осторожные слова «почти» и «около» нисколько не умаляют значимости обобщения. Это будет ясно из дальнейшего.

Сейчас трудно надежно реконструировать психологическую канву, на фоне которой было сделано это открытие, но думается, что, найдя такое широкое обобщение, Дюлонг и Пти должны были быть потрясены его величием. Так как моль любого вещества содержит одно и то же количество атомов, то находка Дюлонга и Пти означает, что для повышения на один градус температуры твердого вещества каждый его атом поглощает одно и то же количество энергии. Ничего удивительного нет в том, что все атомы данного элемента равноправны: с чего бы, собственно, им отличаться? А вот что перед законом равны и атомы различных элементов – это должно было бы поразить и открывателей, и их современников.

Для нас, прослеживающих судьбы живого кристалла, закон Дюлонга и Пти может явиться источником сведений о том, как движутся атомы в кристалле, – именно поэтому и начат рассказ о теплоемкости. Ведь тепло, поглощаемое кристаллом при его нагреве, расходуется на увеличение интенсивности теплового движения атомов.

Сделаем конкретное предположение о характере этого движения и попытаемся теоретически оправдать закон Дюлонга и Пти. Можно было бы строить логику в обратном порядке: исходить из закона Дюлонга и Пти и пытаться понять, какому характеру движения атомов он соответствует. Воспользуемся первой возможностью.

Допустим, что каждый атом в узле кристаллической решетки колеблется подобно маятнику независимо от своих соседей, ближних и тем более дальних. Воспользуемся следующей моделью кристалла и происходящего в нем теплового движения. Представим себе атом в виде весомого шарика, укрепленного на трех парах взаимно перпендикулярных пружинок так, как это изображено на рисунке. Три пары пружинок символизируют то обстоятельство, что атом может колебаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Физики говорят так: атом имеет три независимые степени свободы. Итак, принимаем модель: кристалл – совокупность упорядоченно расположенных в пространстве «трехпружинных» маятников, каждый из которых по существу является совокупностью трех осцилляторов.

Прежде чем эту модель положить в основу расчета теплоемкости, необходимо определить энергию колеблющегося маятника. Безотносительно к значению этой энергии можно утверждать, что в течение одного периода колебаний маятника ее величина должна оставаться неизменной, к этому ее обязывает закон сохранения энергии. В предыдущей фразе упомянут «один период» лишь потому, что любой из периодов в равной мере подвластен закону сохранения энергии. В колеблющемся маятнике последовательно происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую, при этом в среднем за период каждая из этих энергий оказывается равной kT/2, и в сумме они составляют полную энергию осциллятора

W_o = kT, где k – уже встречавшаяся константа Больцмана.

В кристалле, масса которого равна молярной, имеетсяNатомов, т. е. 3N маятников, где N = 6 • 10²³ моль^-1 – так называемое число Авогадро. Так как средняя тепловая энергия каждого из атомов W_o, то тепловая энергия, заключенная в кристалле, W = 3NkТ. Зная энергию W, мы легко определим теплоемкость кристалла:

С = W/Т = 3Nk. Если воспользоваться известными значениями N и k и учесть, что одна калория равна 4,2 •10⁷ эрг, легко убедиться, что предыдущая формула означает: С ≈ 6 кал/(моль • К)!

Серьезный успех: мы придумали элементарную модель теплового движения в кристалле и получили закон Дюлонга и Пти. Прочтем наш результат немного по-иному: согласующийся с нашим расчетом и экспериментально подтвержденный закон Дюлонга и Пти свидетельствует о том, что мы, видимо, правильно понимаем характер теплового движения атомов в кристалле, воплощенный в нашей модели.

Все сказанное – правда, однако не вся правда. Хочется сказать так: только «высокотемпературная» часть правды. Дело в том, что прошло не более десяти лет после открытия Дюлонга и Пти, как было обнаружено, что некоторые тугоплавкие вещества, например алмаз, не подчиняются этому закону. А потом было установлено, что теплоемкость таких веществ не является постоянной, как это предсказывает закон Дюлонга и Пти, а увеличивается с ростом температуры, стремясь к тому значению, которое законом предусматривается.

Со временем, когда научились экспериментировать в области низких температур, выяснилось, что особенность поведения тугоплавких веществ – никакая не особенность, а, наоборот, является нормой для всех веществ.

Эта «особенность» впервые обнаружилась на тугоплавких веществах просто потому, что «комнатная» температура по сравнению с их температурой плавления низка. Закон Дюлонга и Пти, обнаружившись, выглядел откровением, а на поверку оказался лишь долей правды, ее «высокотемпературной» частью!

Отвлечемся от того чувства разочарования, которое, видимо, испытывал Дюлонг (Пти ушел из жизни вскоре после открытия закона). Закроем пока глаза на «низкотемпературную» правду и тщательнее вдумаемся в открытие французских физиков: «низкотемпературная» правда не отменяет справедливости закона Дюлонга и Пти в области высоких температур, где закон может быть использован для уточнения характеристик теплового движения атомов.

Из закона Дюлонга и Пти, разумеется применительно к той области температур, где он подтверждается экспериментально, следует, что, участвуя в тепловом движении, атомы в узлах решетки колеблются подобно обычным маятникам. До сих пор мы довольствовались лишь знанием энергии этих колебаний. А теперь построим элементарную теорию колебаний атома в кристалле и установим амплитуду А и период τ₀ этих колебаний.

Немного упростим модель кристалла. Пусть атомы, окружающие данный «одиночный» атом, колебаний не совершают, а лишь, взаимодействуя с колеблющимся, определяют силы притяжения и отталкивания, которые действуют на него в соответствии с потенциалом взаимодействия между ним и окружающими атомами. И еще больше упростим реальную ситуацию, допустив, что атом совершает колебания лишь вдоль определенной прямой, а не во всех трех направлениях в пространстве. В рамках такой модели естественно атом, колеблющийся в узле решетки, мысленно заменить грузиком, колеблющимся на пружинке: грузик – атом, пружинка – упругое окружение. К помощи пружинки мы недавно уже прибегали.

Не увели ли нас предположения и упрощения далеко в сторону от тех реальных условий, в которых колеблется реальный атом в узле реальной кристаллической решетки? Кажется, не увели. Пружинка удачно моделирует наличие силы притяжения (когда она растянута) и силы отталкивания (когда она сжата). Грузик хорошо моделирует атом, так как в нашей задаче, если силы заданы, от атома требуется лишь иметь определенную массу, а грузик ее имеет. А то, что в избранной модели колебания происходят вдоль прямой, существа дела практически не искажает, так как более сложное колебание можно представить в виде суммы прямолинейных, – этой возможностью мы уже пользовались, когда, объясняя открытие Дюлонга и Пти, предполагали, что каждый из атомов участвует в трех прямолинейных колебаниях.

Определим вначале амплитуду колебаний атома. Потенциальная энергия W_п колеблющегося грузика, очевидно, не должна зависеть от того, смещается он влево или вправо от своего среднего положения, когда пружина и не сжата, и не растянута. А это означает, что

где φ – постоянная величина, характеризующая упругие свойства пружины. Эта величина определяет силу, действующую на грузик со стороны пружины: F = – φх.

При максимальном отклонении колеблющегося атома от положения равновесия, т. е. при отклонении на величину амплитуды колебаний А, как мы уже знаем, вся энергия атома kТ будет запасена в виде потенциальной энергии. Это означает, что

φA²/ 2 = kT

и, следовательно,

A = (2kT / φ)^1/2

Полученная формула неприятна тем, что в нее входит неизвестная нам величина φ. Впрочем, ее нетрудно связать с известными характеристиками кристалла. Для этого левую и правую части формулы, которая определяет силу F, поделим на а², где а – межатомное расстояние:

F/а² = -φ/а ^. x/а

Легко усмотреть, что F/a² – напряжение, действующее на атом,х/а – относительное смещение атома. Если оно невелико, последняя формула просто является записью закона Гука, а отношение φ/а имеет смысл модуля упругости Е. Итак, φ = Еа , а амплитуда

A = (2kT/Ea)^1/2 ≈ T^1/2

Из нашего расчета следует, что амплитуда колебаний атома с температурой возрастает по закону T^1/2. У металлов, для которых Е ≈ 10¹² дин/см², а ≈ 3• 10^-8 см, в области предплавильных температур амплитуда А ≈ 2^.10^-9 см и, следовательно, составляет несколько процентов от величины межатомного расстояния. Много это или мало? Конечно же, немного, если иметь в виду сохранение решетки как таковой, если заботиться о том, чтобы тепловые колебания не расшатали кристалл, лишив его порядка в расположении атомов. При найденной нами амплитуде колебаний атомов кристалл сохраняет свою индивидуальность, еще не теряет «черты кристалла».

Определим теперь период колебаний атома. Если иметь в виду лишь приближенную оценку, то сделать это совсем несложно. Когда вся тепловая энергия колеблющегося атома преобразована в его кинетическую энергию, атом движется с максимальной скоростью, которая следует из условия

Мы сделали грубое предположение, сочтя, что на протяжении всего периода колебаний атом движется с максимальной скоростью. Как выясняется, оно привело нас к потере численного множителя 2π. Точная формула выглядит так:

Мы получили результат, противоречащий интуиции: кажется странным, что период колебаний атома в решетке практически не зависит от температуры, разве что лишь в меру очень слабой температурной зависимости модуля упругости. Здесь следует подчеркнуть: не при всех температурах, а лишь при высоких температурах, когда вообще справедливо все то, что рассказано в очерке. Так как масса атома

m ≈ 10^-22 грамм, то τ₀ = 10^-13 – 10^-12 с

Итак, мы оценили две фундаментальные характеристики движения атома в кристалле: амплитуду и период колебаний. Их значения свидетельствуют об очень активной жизнедеятельности атома: он за секунду, не меняя положения оседлости, совершает п = 1/τ₀ = 10¹² – 10¹³ колебаний, проходя при этом путь протяженностью L = па = (10¹² – 10¹³)• 10^-9 см = 10³ – 10⁴ см!

История закона Дюлонга и Пти – отличная иллюстрация к одной из общих закономерностей развития науки: в ее ткань входят не только завершенные «глыбы» правды, но и те «крупицы» знаний, которые оказываются лишь долей правды.

ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА И ДЕБАЯ 

Открытие Дюлонга и Пти оказалось первым этапом почти вековой истории выяснения природы теплоемкости кристалла. Два последующих этапа связаны с именами великих физиков XX века – Альберта Эйнштейна и Петера Дебая. Их достижения относятся к теории. Экспериментальным же изучением теплоемкости в XX веке занимались в великом множестве лабораторий.

Модель маятников, зарекомендовавшую себя при объяснении закона Дюлонга и Пти, Эйнштейн не отверг, предположение об их независимости сохранил, число маятников оставил тем же: 3N. В модель он внес, однако, принципиально важное уточнение: маятники не «классические», а «квантовые». Это значит вот что: в отличие от «классических», они могут менять свою энергию лишь определенными порциями, «квантами». Классическая закономерность «чем – тем», передающая непрерывность связи между величинами, в данном случае несостоятельна.

Кстати, о закономерности «чем – тем», которую мы назвали «классической». Речь идет о том, что различные величины, характеризующие свойства вещества и зависящие одна от другой, в классической, в смысле «не квантовой», физике связаны так, что любое сколь угодно малое изменение одной из величин влечет за собой малое изменение другой величины. Нет скачков, нет ступенек, а есть непрерывное изменение: «чем – тем».

Энергия квантового маятника (в нашем случае это атом, колеблющийся в узле кристаллической решетки) квантуется на порции, величина которых равна ∆W = hν, где h = 6,62• 10^-27 эрг•с – так называемая постоянная Планка, а ν – частота, с которой маятник колеблется. Так как атомный маятник колеблется с огромной частотой ν ≈ 10¹³ с^-1, то ∆W ≈ 6•10^-14 эрг. Величина ∆W оказывается очень малой, она, однако, при комнатной температуре (Т= 300 К) близка к kТ – полной энергии колеблющегося атома (kТ ≈ 4• 10^-14 эрг), и поэтому квантовость поглощения энергии атомом не может не сказаться и на его «личных» характеристиках, и на характеристиках твердого тела, состоящего из совокупности атомов – квантовых маятников.

Последовательность значений энергии, которую может иметь атом, колеблющийся в узле кристаллической решетки, согласно Эйнштейну, образует «энергетическую лесенку». Ее ступеньки отстоят друг от друга на расстоянии ∆W. Энергия обычного маятника (грузик на нитке!), разумеется, тоже обязана квантоваться. Однако, так как частота колебаний грузика на пружине исчезающе мала по сравнению с частотой квантового маятника, величина ∆W в первом случае оказывается очень малой. Вот конкретный пример: маятник с длиной нити l = 100 см и массой груза т = 10 г колеблется с амплитудой А ≈ 10 см. Его энергия оказывается W ≈ 5•10⁴ эрг, а частота ν ≈ 5 • 10^-1 с^-1. Такой частоте соответствует энергия поглощаемого и испускаемого кванта

hν = 3•10^-27 эрг. По сравнению с полной энергией маятника эта величина практически равна нулю, и, следовательно, можно считать, что классическая закономерность «чем – тем» между энергией и частотой практически не искажается.

Сказка о классическом и квантовом маятниках рассказывалась легко и быстро. Думаю только, что многие читатели не удовлетворились ею. У них обязательно должны возникнуть приблизительно следующие вопросы: почему вообще надо заводить разговор о квантовых маятниках, которые так необычно (быть может, лучше «непривычно») себя ведут, поглощая энергию порциями? Почему такие маятники должны существовать? Я понимаю потребность добросовестного читателя задать эти вопросы. К сожалению, однако, ответы на них не последуют, так как они – вопросы эти – из числа тех, которые не следует задавать! Так устроена природа, таковы ее законы, которым она – мудрая! – неукоснительно подчиняется. Здесь я огражу себя от возможных нареканий и перед словами «не следует» поставлю слово «пока»: пока не следует. Сегодня наука развивается, предполагая, что квантовость поглощения и излучения энергии – первооснова природы вещей.

В то время, когда Эйнштейн привнес в науку мысль о том, что твердое тело может поглощать энергию лишь определенными порциями, квантовая физика только рождалась, ее идеи были еще «вещью в себе», в них не очень верил даже М. Планк, предложивший идею квантования энергии. Шаг Эйнштейна был шагом революционным.

Физический смысл идеи Эйнштейна заключается вот в чем. При низкой температуре тепловая энергия, которая, как известно, пропорциональна температуре, может оказаться меньше той минимальной «квантовой» порции энергии, которую атому, колеблющемуся с частотой V, разрешено поглощать. Складывается ситуация, противоречащая здравому смыслу, воспитанному на классических закономерностях: мы добросовестно греем кристалл в обычной «классической» печи, а он, следуя квантовым законам, не должен поглощать тепло. Если бы все атомы имели абсолютно одинаковые судьбы, кристалл обнаружил бы нулевую теплоемкость до температуры T*, при которой kT* = ∆W. Это совсем не малая температура. Так как ∆W ≈ 6^. 10^-14 эрг, а

k = 1,38^. 10^-16 эрг/К, то оказывается, что Т* ≈ 400 К.

В действительности, однако, когда средняя тепловая энергия kT меньше квантовой порции энергии hν, некоторое малое количество атомов, вследствие случайного стечения обстоятельств, может иметь энергию, равную энергии одного кванта. С повышением температуры число таких атомов будет возрастать. Могут даже появиться атомы, энергия которых равна энергии двух и большего числа квантов. А это означает, что они (а с ними и кристалл) будут поглощать энергию и кристалл обнаружит ненулевую теплоемкость.

Здесь можно было бы привести расчет теплоемкости кристалла, основанный на описанной идее Эйнштейна. Не станем этого делать, обратим лишь внимание на физическое содержание результата расчета, естественно следующее из этой идеи. При низкой температуре (Т<< Т*) с ее понижением теплоемкость падает по причине, нам уже известной: между величиной и нулевым значением энергии нет ступеней энергетической лестницы, а число атомов, имеющих энергию hν, убывает. А в области высоких температур (Т >> Т*) кристалл уже «забывает» об энергетической лестнице, так как ее шаг мал по сравнению с kT и она воспринимается не как лестница, а как гладкая наклонная плоскость. В силу вступает классическая закономерность «чем – тем», а с ней и закон Дюлонга и Пти.

Заслугу Эйнштейна переоценить трудно: он не только устранил кричащее противоречие между классическим представлением о теплоемкости твердых тел и результатами ее экспериментального исследования, не только внес очень существенную коррективу в классические представления о непременных признаках жизни кристалла. Он совершил нечто несравненно более значимое: привнес квантовые представления в теорию твердых тел.

Все сказанное Эйнштейном о теплоемкости твердых тел оказалось правдой, однако не вся правда была им сказана. Полученные Эйнштейном формулы, как выяснилось, качественно правильно отражали экспериментально найденные зависимости теплоемкости от температуры. А количественное совпадение теории с результатом эксперимента не достигалось. Его добился Петер Дебай через несколько лет после опубликования работы Эйнштейна.

Основную идею Эйнштейна Дебай сохранил. Он лишь дополнил ее предположением о том, что эйнштейновские «квантовые» маятники колеблются не независимо, они как бы связаны между собой, как, например, связаны отдельные пружины в матрасе: толкнешь любую из них, а колебаться начинают все.

Колебания сильно взаимодействующих атомов можно представить как совокупность слабо взаимодействующих волн, распространяющихся во всем объеме кристалла. «Волны» – в рассуждениях теоретиков шаг вперед по сравнению с представлением об отдельных атомах. Следующий шаг – переход от волн к частицам, точнее, к «квазичастицам». В основе этого перехода лежит идея (еще в середине 20-х годов сформулированная великим французским физиком Луи де Бройлем) о том, что каждой волне можно сопоставить частицу, энергия которой равна ε = hv = hυ/λ, где υ – скорость распространения волны, а λ – ее длина. Подчеркнем, что в интересующем нас случае речь, разумеется, идет не об истинной частице, а о некоторой фиктивной частице, которой предписана способность быть носительницей теплового возбуждения в кристалле.

В такой совокупности связанных маятников в процессе их колебаний будет распространяться множество волн различной длины. Дебай рассудил так: вместо того, чтобы описывать судьбу каждого из связанных маятников, проще проследить за распространяющимися волнами. А это можно сделать, сопоставив каждой волне, для которой характерна частота ν, некоторую фиктивную частицу, энергия которой hv. Эту не реальную, а «квазичастицу» физики называют фонон. Фотон – сгусток световой, а фонон – звуковой энергии, так как в твердом теле волна распространяется со скоростью звука. Фонон – квази, а не настоящая частица. Настоящую материализованную частицу можно было бы изъять из кристалла и поселить где-нибудь в ином месте, например в ином кристалле. А квазичастица существует лишь как возбуждение в твердом теле, а значит, удалить ее из кристалла нельзя. Она ведь не частица, она – придуманная теоретиком квазичастица. Она как бы не частица, а способ выражаться. Квазичастица – одно из фундаментальных представлений, лежащее в основе современной квантовой теории твердого тела. К образу квазичастицы физики-теоретики прибегают при описании практически всех свойств твердых тел: и тепловых, и электрических, и магнитных ^[1].

Вернемся, однако, к фононам. Так как в логике теоретиков фононы пришли на смену слабо взаимодействующим волнам, тепловую энергию кристалла можно считать суммой энергий отдельных фононов. Итак, у истока рассуждений – реальный кристалл, в конце рассуждений – газ свободных «квазичастиц». Это особый газ, существенно отличающийся от обычного классического газа. Дебай, создавая теорию газа, состоящего из фононов, учел температурную зависимость их свойств.

Задачу о теплоемкости твердого тела Дебай свел, таким образом, к задаче о теплоемкости совокупности квазичастиц – фононов.

Изложенные рассуждения от конечной формулы, определяющей теплоемкость кристалла, которую получит теоретик, отделены его вычислительным мастерством, умением пользоваться математикой для точной и строгой формулировки идей.

Филигранно выполнив вычислительную работу, Дебай, в согласии с опытом, показал, что если кристалл составлен из одинаковых атомов, то в области низких температур его теплоемкость с температурой изменяется по закону С ~ T³. Заметьте: в согласии с опытом! А это значит, что картину теплового движения атомов в твердом теле, которая восходит еще к находке Дюлонга и Пти, он дорисовал правильно: атомы колеблются, каждый из них является квантовым маятником, маятники между собой связаны.

Здесь после слов «в согласии с опытом» можно бы поставить точку. Но рассказы о развивающейся науке обрывать точкой нужно очень осторожно. И поэтому в конце очерка обращу внимание читателя на следующее. Я рассказал о теплоемкости кристалла, состоящего из атомов, которые можно моделировать весомым шариком. Это – простейший случай. В металлах есть еще и свободные электроны – у них своя теплоемкость, подчиняющаяся иным, не «решеточным» законам, а в органических кристаллах в узлах сидят не атомы-шарики, а молекулы сложной формы, – у них свое отношение к теплу, заставляющему их не только колебаться вокруг положения равновесия, но и вибрировать, периодически меняя свою форму. Этот тип теплового движения, естественно, влияет на теплоемкость. А еще есть слоистые кристаллы, структура которых похожа на структуру колоды карт. В таких кристаллах атомы по-разному колеблются в плоскости слоя и в направлении, перпендикулярном ему. И это влияет на теплоемкость. О многом в очерке не рассказано. И все же рассказано, пожалуй, о самом главном, что составляет основу наших знаний, – о теплоемкости твердых тел. Или по-иному: о тепловом движении атомов в кристалле, об одном из основных признаков его жизни. В тексте очерка читатель не мог не ощутить подчеркнутой почтительности, обращенной к квантовой механике, которой оказалось под силу раскусить такой твердый орешек, как проблема теплоемкости твердого тела. Эта почтительность, конечно же, оправдана. Здесь, однако, есть место и почтительности, и, пожалуй, удивлению, обращенному к классической механике, той самой, которая с равным успехом описывает и движение планет во Вселенной, и движение атомов з кристалле. Пусть не во всем интервале температур, а только там, где справедливым оказывается закон Дюлонга и Пти. Все равно, удивительна и мощь, и общность классической механики.

Несколько фраз, завершающих очерк. Они были написаны после того, когда мой товарищ, заведомо доброжелательный читатель рукописи, сказал мне:

– Две теории, конечно, существуют, это ты заметил тонко, но только Эйнштейн и Дебай велики по-разному. Я бы на твоем месте это подчеркнул.

Правильный совет, подчеркиваю: Дебай, один из выдающихся физиков XX века, существенно уточнил теорию теплоемкости, созданную Эйнштейном, оказав этим огромную услугу физике твердого тела. А Эйнштейн – это Эйнштейн. Он не «один из», он гений, оказавший существенное влияние на развитие мировой цивилизации. Теплоемкостью твердого тела он тоже занимался...

НУЛЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Вначале о термине «нулевые колебания». Речь идет о тех колебаниях атомов кристаллической решетки, которые происходят и тогда, когда температура кристалла становится равной нулю. Они происходят и при иной, более высокой температуре, одновременно с обычными, классическими колебаниями, которые при нулевой температуре должны замереть. Классические замирают, а нулевые, или квантовые, остаются в чистом виде. Они не чувствительны к температуре! Они неуничтожаемы! Они – непременный признак жизни кристалла.

Если читателю совершенно неизвестны элементарные квантовые представления, буду его просить на начальном этапе наших рассуждений просто поверить мне, а я буду добросовестным и злоупотреблять доверием не стану. Впрочем, в очерке о теории Эйнштейна и Дебая я уже молчаливо пользовался доверием читателя, обсуждая свойства квантового маятника.

Здесь мне надо воспользоваться законом, который в конце 20-х годов сформулировал один из создателей квантовой механики немецкий физик Вернер Гейзенберг. Этот закон часто называют «принципом неопределенности». Речь идет вот о чем. Согласно принципу неопределенности для какой-либо частицы нельзя одновременно абсолютно точно определить координатух и импульс р_х , направленный вдоль оси х. И та, и другая величины могут быть найдены с некоторой неточностью, при этом произведение этих неточностей обязательно превосходит величину постоянной Планка h, деленную на 2π:

∆x ^. ∆р_х ≥ h/2π = ђ

Откуда следует это утверждение? Оно – изначальный, фундаментальный закон природы, которая устроена так, а не иначе. Оно, говоря философскими терминами, отражение объективной реальности. Вопрос «откуда» в данном случае задавать не следует, как не следовало спрашивать, почему энергия маятника квантуется. Впрочем, и принцип неопределенности, и квантование энергии маятника – это две стороны одного и того же закона природы. И Планк, и Эйнштейн, и Гейзенберг потому и велики, что сумели, наблюдая природу, подсмотреть или выпытать у нее фундаментальные законы, которые природа соблюдает. Или, быть может, догадаться о них, почувствовать, что они должны существовать.

То обстоятельство, что импульс атома в узле кристаллической решетки, т. е. в той позиции, где в соответствии со структурой кристалла атом расположен, не может быть равен нулю (потому что нуль – величина точная, а импульс может определяться с некоторой неточностью!), означает, что атом должен двигаться, а так как факт существования кристалла означает, что атом должен находиться неподалеку от узла решетки и, следовательно, ему не позволено смещаться на неограниченные расстояния, то его движение должно быть колебательным.

Итак, один из непременных признаков жизни кристалла – нулевые колебания составляющих его атомов. Нам, живущим в мире «нормальных условий» и «классических» проявлений законов природы, легко воспринять факт существования тепловых колебаний: более высокая температура – колебания активнее, при определенной температуре колебания могут стать настолько активными, что кристалл будет вынужден расплавиться. Тепловые колебания – еще со школьных лет явление настолько привычное, что кажется понятным и тогда, когда истинного понимания нет. Привычное, как правило, не вызывает вопросов, а, следовательно, молчаливо предполагается понятным. А вот нулевые колебания – за пределами привычного. Приблизимся к ним, попытаемся освоиться с ними, оценить величины, которые характеризуют этот вид колебаний.

Вначале о частоте нулевых колебаний. Здесь все ясно: она та же, что и при тепловых колебаниях. Иной она быть не может, так как вне зависимости от причины, вызывающей колебания, атом колеблется в определенной среде, обладающей определенными свойствами. Характеристики среды и атома и определяют частоту его колебаний. Эту частоту легко вычислить, так как ранее мы уже находили τ₀:

ν₀= 1/τ₀ ≈ (аЕ/т)^1/2.

Теперь об энергии нулевых колебаний W_н. Как следует из квантовой механики (поверьте!),

W_н = hν₀/2.

Видимо, читатель хочет спросить: где источник этой энергии нулевых колебаний, которые существуют всегда, пока кристалл есть кристалл, за счет какого горючего она сохраняется? Сегодня не следует этого спрашивать! Нет такого горючего! Эта энергия – необходимое условие существования вещества, ее нельзя позаимствовать у данного вещества и перенести в другое. Философ, со свойственной ему склонностью к трудным словам, сказал бы так: она – непременный атрибут материи, она – форма существования материи, она существует, поскольку существует материя. Мы уже не первый раз встречаемся с тем, что не любая фраза, завершающаяся вопросительным знаком, формулирует вопрос, на который можно и нужно отвечать. Вот так! А вот вопрос о том, велика или мала величина энергии W_н (разумеется, по сравнению с какой-либо иной характерной энергией кристалла), – это вопрос! Его следует задать, и на него следует ответить.

Для различных кристаллов величина энергии нулевых колебаний, естественно, оказывается различной в меру отличия величины ν₀. Изменяется она, однако, в не очень широком интервале значений. Например, для кристалла водорода, который плавится при Т = 14 К, энергия W_н ≈ 10^-14 эрг, а для кристалла золота, который плавится при температуре почти в сто раз более высокой (Т = 1336 К), энергия

W_н ≈ 3,5• 10^-14 эрг. Обладая близкими энергиями нулевых колебаний, эти кристаллы очень существенно отличаются своими характеристиками, например энергиями связи между атомами. Эти энергии известны: Wн₂ ≈ 10^-14 эрг, W_Au ≈ 10^-12 эрг. Если сравнить энергии нулевых колебаний с энергиями связи, то окажется, что в случае золота энергия нулевых колебаний составляет всего около трех процентов от энергии связи, а в случае водорода они очень близки. Так как энергия нулевых колебаний от температуры не зависит, а энергия тепловых колебаний с температурой возрастает, то должна существовать некоторая граничная температура Т_Г, ниже которой главенствуют нулевые, а выше – тепловые колебания. Величина этой температуры может быть определена из условия

W_н = kТ_Г, т. е. Т_Г = W_н /k. Легко вычислить, что Т_Гн₂ = 73 К, а Т_ГAu = 255 К. Кристалл водорода раньше расплавится, чем перейдет в область температур, где главенствуют тепловые колебания, а кристалл золота уже при комнатной температуре, которая ниже температуры его плавления больше, чем на тысячу градусов, окажется во власти главным образом тепловых колебаний.