Текст книги "Из грязи и золота (СИ)"

Автор книги: София Баюн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 20 страниц)

Подяки

Ця книжка так би й залишилася нездійсненною мрією без розуму, далекоглядності, ділових якостей і моральної підтримки нашої надзвичайної літературної агентки Венді Стротман. Вона звела нас обох, знайшла для книжки правильного видавця, прочитала чорнові варіанти багатьох розділів як професійна редакторка, дала книжці назву й допомогла нам зосере­дитися на результаті. Також ми щасливі приймати її вірну дружбу, що підтримувала нас протягом роботи над проектом.

Важко переоцінити внесок нашої редакторки Емілі Лус, чиє бачення книжки виявилося заразним, а надзвичайна увага до стилю оповіді багато чого навчила нас обох. Попри величезний тиск індустрії, що часто змушує видавців робити все швидко заради отримання прибутку, Емілі наполягла на якісному редагуванні книжки, постійно домагаючись від нас більшої виразності, плавніших переходів і чіткішого фокусу. Завдяки її таланту й наполег­ливості книжка стала значно кращою. Також ми вдячні Емі Раян за майстерну коректуру рукопису.

Щодня я одержую на електронну пошту десятки чудових, часто дуже зворушливих листів від людей з усього світу, які дивляться мої лекції онлайн. Ці лекції з’явилися в інтернеті завдяки Річарду (Діку) Ларсону. У 1998 році, коли він очолював Центр розширених навчальних послуг і був викладачем факультету електротехніки в МТІ, він запропонував зняти мої досить нетрадиційні лекції на відео, щоб вони були доступні студентам з інших університетів. Значну фінансову підтримку надали Фонд Лорда в Массачусетсі й доброчинна організація Atlantic Philanthropies. Ініціатива Діка стала попередником онлайн-курсів. Коли у 2001 році платформа МТІ OpenCourseWare відчинила свої двері, мої лекції стали доступними в кожному куточку світу, а зараз їх щороку переглядає мільйон людей.

У 2007 році я став героєм статті Сари Рімер, що вийшла на першій шпальті New York Times 19 грудня. Стаття мала заголовок: «71-річний професор — зірка інтернету» (At 71, Physics Professor is a Web Star). Вона спричинила ланцюгову реакцію подій, що привела до написання цієї книжки. Дякую, Саро!

Останні два роки, навіть ті сімдесят днів, які я провів у лікарні (і ледь не помер), я не переставав думати про книжку. Вдома я постійно обговорював її зі своєю дружиною С’юзан Кауфман. Через цю книжку я не міг заснути багато ночей. С’юзан з усім цим мирилася й підбадьорювала мене. Також вона кинула своїм проникливим редакторським оком на більшість розділів книжки і помітно їх покращила.

Я надзвичайно вдячний кузині Еммі Арбель-Каллус і сестрі Беа Блоксма-Левін за те, що вони поділилися зі мною дуже болісними спогадами про події часів Другої світової війни. Я розумію, як це було важко для них обох. Це було нелегко і для мене. Дякую Ненсі Стібер, моїй близькій подрузі вже тридцять років, і за те, що вона постійно виправляє мої помилки в англійській, і за безцінні коментарі та пропозиції. Також хочу подякувати моєму другові й колезі Джорджу Кларку. Якби не він, я б не почав викладати в МТІ. Джордж дав мені прочитати поданий у Дослідницьку лабораторію Військово-повітряних сил проект компанії American Science and Engineering, з якого народилася рентгенівська астрономія.

Я вдячний Скотту Г’юзу, Енекталі Фіґероа-Фелісіано, Натану Сміту, Алексу Філіппенку, Оуену Джинджерішу, Ендрю Гемілтону, Марку Віттлу, Бобу Джеффу, Еду ван ден Хевелу, Полу Мердіну, Джорджу Вудроу, Джеффу Макклінтоку, Джону Белчеру, Максу Теґмарку, Річарду Ліу, Фреду Расіо, покійному Джону Гачрі, Джеффу Гоффману, Ватті Тейлору, Вікі Каспі, Фреду Баґаноффу, Рону Ремілларду, Крістін Шерратт, Марку Бессетту, Маркосу Ханкіну, Білу Сенфорду й Ендрю Нілі за допомогу в потрібний момент.

І нарешті я безмежно вдячний Воррену Ґольдштейну за його терпіння і гнучкість. Напевно, часом він почувався стомленим (і, можливо, незадоволеним) від занадто великої кількості фізики за малий час.

Волтер Левін

Хочу подякувати людям, які погодилися поговорити зі мною про Волтера Левіна: Лаурі Блоксма, Беа Блоксма-Левін, Пауліні Броберґ-Левін, С’юзан Кауфман, Еллен Крамер, Вісу де Гееру, Емануелю (Чаку) Левіну, Девіду Пулі, Ненсі Стібер і Петеру Стрейкену. Усі вони суттєво допомогли мені зрозуміти Волтера Левіна, навіть якщо декого з них і не процитовано в цій книжці. Едвард Ґрей, Джейкоб Гарні, Лоуренс Маршалл, Джеймс Макдональд і Боб Келмер намагалися вберегти нас із Волтером від помилок у сфері їхньої спеціалізації. Хоч як би ми воліли перекласти все на них, ми беремо на себе повну відповідальність за можливі неточності. Також хочу подякувати Вільяму Лео, випускнику Університету Гартфорда 2011 року, за допомогу у важливий момент. Троє найрозумніших письменників, яких я знаю, — Марк Ґунтер, Джордж Кеннер і Леннард Девіс — дали мені безцінні поради на початку роботи над проектом. Декан Джозеф Фьолькер і помічник ректора Фред Свайцер з Університету Гартфорда по-різному допомогли мені знайти час, щоб закінчити книжку. Я глибоко вдячний своїй дружині Донні Шапер — феноменальній організаторці, а також авторці, за останніми підрахунками, тридцяти книжок — яка зрозуміла та схвалила моє занурення в незнайомий світ. Вісімнадцятого жовтня 2009 року на світ з’явився наш онук Калеб Бенджамін Лурія, і ми з насолодою спостерігали, як він здійснює власні дивовижні експерименти, пізнаючи фізику в побуті. І нарешті висловлюю глибоку вдячність Волтеру Левіну, який за останні кілька років дав мені більше знань із фізики, ніж ми обоє могли собі уявити, та знову розпалив у мені пристрасть, що аж надто довго була приспана.

Воррен Ґольдштейн

Додаток 1

Стегнові кістки ссавців

Логічно припустити, що маса ссавця пропорційна його розміру. Наприклад, порівняймо цуценя із дорослим собакою, який у чотири рази більший. Я припускаю, що в собаки всі лінійні розміри — висота і довжина тіла, довжина й товщина лап, об’єм голови тощо — у чотири рази більші, ніж у цуценяти. У такому разі об’єм (а отже, й маса) собаки приблизно дорівнює масі цуценяти, помноженій на 64.

Щоб краще собі це уявити, візьмімо куб зі сторонами a, b і c. Об’єм цього куба дорівнює a · b · c. Якщо збільшити всі сторони в чотири рази, об’єм стане 4a · 4b · 4c, тобто 64abc. Висловлюючись більш математичною мовою, можна сказати, що об’єм (а отже, й маса) ссавця пропорційний його довжині в третьому степені. Якщо дорослий собака в чотири рази більший за цуценя, його об’єм має бути приблизно в 43, тобто в 64 рази більший. Отже, якщо ми позначимо довжину стегнової кістки l і будемо порівнювати ссавців різного розміру, їхня маса повинна бути приблизно пропорційна l3.

Добре, це була маса. Далі: міцність стегнової кістки, яка несе на собі всю цю вагу, має бути пропорційною її товщині, правильно? Що товщі кістки, то більше навантаження вони витримують — це зрозуміло інтуїтивно. Якщо виразити це математично, міцність стегнової кістки пропорційна площі її перерізу. Його форма близька до кола, і ми знаємо, що площа кола дорівнює πr2, де r — радіус кола. Таким чином, площа пропорційна d2, якщо d — діаметр кола.

Позначимо товщину стегнової кістки d (від «діаметр»). Виходячи із припущення Галілея, маса ссавця мала б бути пропорційна d2 (щоб кістки витримували вагу тварини), але також вона пропор­ційна l3 (це справедливо завжди, незалежно від припущення Галілея). Таким чином, якщо він мав рацію, d2 має бути пропорційне l3, а це те саме, що сказати, що d пропорційне l3/2.

Якщо порівнювати двох ссавців, один з яких у п’ять разів більший за другого (а отже, довжина його стегнової кістки l приблизно в п’ять разів більша), можна очікувати, що товщина його стегнової кістки d приблизно в 53/2 = 11 разів більша. На лекції я показав, що стегнова кістка слона приблизно в 100 разів довша за мишачу. Тому, якщо Галілей не помилявся, ми можемо очікувати, що вона буде приблизно в 1003/2 = 1000 разів товща, ніж кістка миші.

Таким чином, у дуже масивних тварин товщина кістки дорівнюватиме довжині, або навіть стане більшою, і ми отримаємо зовсім не пристосованих до життя ссавців. Це могло б пояснити, чому максимальний розмір ссавців обмежений.

Додаток 2

Закони Ньютона в дії

Закон всесвітнього тяжіння можна записати таким чином:

де Fтяж — це сила взаємного притягання між тілами масою m1 і m2, а r — відстань між ними; G — коефіцієнт, який має назву гравітаційна стала.

Закони Ньютона дозволили обчислити, принаймні в принципі, масу Сонця та деяких планет.

Погляньмо, як це можна зробити. Я почну із Сонця. Припустімо, що m1 — це маса Сонця, а m2 — це маса планети (будь-якої). Вважатимемо, що орбіта планети — коло радіуса r, і позначмо T період обертання планети навколо Сонця (для Землі T становить 365,25 дня, для Меркурія — 88 днів, а для Юпітера — майже 12 ­років).

Якщо орбіта має форму кола або дуже близька до нього (а це так для п’яти із шести планет, відомих у XVII столітті), темп обертання планети постійний, але напрямок її швидкості весь час змінюється. Утім коли напрямок швидкості тіла змінюється, навіть якщо її значення залишається незмінним, це вже буде рух із прискоренням, а отже, згідно із другим законом Ньютона, має бути сила, яка надає тілу цього прискорення.

Ця сила має назву доцентрової (Fдц), і вона завжди спрямована від рухомої планети до Сонця. Звісно, Ньютон не був би Ньютоном, якби не з’ясував, як обчислити цю силу (я виводжу цю формулу під час лекції). Значення доцентрової сили дорівнює

де υ — швидкість руху планети. Але ця швидкість дорівнює окружності орбіти 2πr, поділеній на час T, за який планета робить пов­ний оберт навколо Сонця. Отже, ми можемо записати формулу так:

Звідки береться ця сила? Яке її походження? Ньютон зрозумів, що це має бути гравітаційне притягання Сонця. А отже, дві сили у наведених вище формулах — це одна й та сама сила; вони рівні:

Якщо ще трохи погратися із цією формулою, переставивши змінні (для вас це нагода освіжити шкільні знання з алгебри), ми отримаємо масу Сонця:

Зверніть увагу, що у формулі (5) уже немає маси планети (m2). Її вже можна не розглядати. Нам потрібна тільки середня відстань від планети до Сонця та період її обертання T. Хіба вас це не дивує? Урешті-решт, m2 є у формулах (1) і (2). Але наявність маси планети в обох формулах якраз і є причиною того, що коли ми зрівнюємо Fтяж та Fдц, змінна m2 виключається. У цьому вся краса цього методу, і цим ми завдячуємо серу Ньютону.

Із формули (5) випливає, що співвідношення r3/T2 однакове для всіх планет. Попри те що вони перебувають на зовсім різній відстані від Сонця та мають цілком різні періоди обертання, значення r3/T2 для всіх однакове. Це дивовижне відкриття зробив німецький астроном і математик Йоганнес Кеплер ще в 1619 році, задовго до Ньютона. Але ніхто не міг бодай якось пояснити, чому це співвідношення (куба радіуса до квадрата періоду обертання) постійне. Лише геніальний Ньютон через 68 років показав, що це випливає з його законів.

Таким чином, якщо нам відома відстань від будь-якої планети до Сонця (r), період обертання планети (T) і гравітаційна стала (G), ми можемо за допомогою формули (5) обчислити масу Сонця (m1).

Періоди обертання планет з високою точністю були відомі задовго до XVII століття. Відстані від планет до Сонця також було давно визначено з високою точністю, але тільки у відносному вимірі. Інакше кажучи, астрономи знали, що середня відстань від Венери до Сонця становить 72,4 відсотка відстані від Землі до Сонця, а Юпітер перебуває у 5,2 раза далі від Сонця, ніж Земля. Проте абсолютні значення цих відстаней — це вже зовсім інша історія. У XVI столітті, за часів великого данського астронома Тихо Браге, вважалося, що відстань від Землі до Сонця у 20 разів менша, ніж насправді (це приблизно 150 мільйонів кілометрів). На початку XVIІ століття Кеплер отримав точніший результат, але він усе одно був у сім разів менший за реальну відстань.

Як видно із формули (5), маса Сонця пропорційна кубу його відстані (до планети), тому якщо відстань r буде в сім разів менша за реальну, маса Сонця буде менша за фактичну в 73, тобто у 343 рази — не надто цінний результат.

Поступ стався в 1672 році, коли італійський учений Джованні Кассіні виміряв відстань від Землі до Сонця із точністю приблизно 7 відсотків (для тих часів вражаючий результат), а отже, для r3 похибка була лише майже 22 відсотки. Похибка для G становила, очевидно, мінімум 30 відсотків. Тому припускаю, що на кінець XVIІ століття маса Сонця могла бути визначена з точністю не менше ніж 50 відсотків.

Оскільки відносні відстані від Сонця до планет були відомі досить точно, знаючи абсолютну відстань від Сонця до Землі із точністю до 7 відсотків, у кінці XVIІ століття можна було обчислити абсолютні відстані від Сонця до решти п’яти відомих планет із тією самою точністю.

За допомогою описаного вище способу обчислення маси Сонця можна також визначити масу Юпітера, Сатурна і Землі. Було відомо, що всі ці планети мають супутники. У 1610 році Галілео Галілей відкрив чотири супутники Юпітера, які зараз називають Галілеє­вими супутниками. Якщо m1 — маса Юпітера, а m2 — маса одного з його супутників, ми можемо обчислити масу Юпітера за допомогою формули (5), так само, як і масу Сонця, тільки r у цьому випадку — відстань між Юпітером і його супутником, а T — період обертання цього супутника навколо Юпітера. Чотири Галілеєві супутники (загалом їх у Юпітера 63!) мають періоди обертання 1,77 дня, 3,55 дня, 7,15 дня і 16,69 дня.

Із часом відстані та гравітаційну сталу G виміряли значно точніше. На початок ХІХ століття похибка для значення G становила приблизно 1 відсоток. Похибка для прийнятого зараз значення становить майже 0,01 відсотка.

Розгляньмо конкретний приклад. За допомогою формули (5) обчислимо разом масу Землі (m1), скориставшись орбітою Місяця (маса якого m2). Щоб отримати правильний результат, відстань r потрібно перевести в метри, а період T — у секунди. Тоді якщо ми візьмемо значення G 6,673 · 10−11, то одержимо масу в кілограмах.

Середня відстань до Місяця (r) дорівнює 3,8440 · 108 метрів (384 400 кілометрів). Період його обертання (T) становить 2,3606 · 106 секунд (27,32 дня). Якщо підставити ці числа у формулу (5), отримаємо результат 6,030 · 1024 кілограмів. Найточніше на сьогодні значення маси Землі приблизно дорівнює 5,974 · 1024 кілограмів, що лише на 1 відсоток менше за те, яке я обчислив. Звідки різниця? По-перше, формула, якою ми скористалися, виходить із того, що орбіта Місяця має форму кола, тоді як насправді вона видовжена, або еліптична. У результаті мінімальна відстань до Місяця становить приблизно 363 000 кілометрів, максимальна — майже 406 000 кілометрів. Звісно, закони Ньютона ­можна спокійно застосовувати і для еліптичних орбіт, але від тієї математики у вас може закипіти мозок. Можливо, це вже сталося!

Є ще одна причина, чому наші обчислення дали не зовсім точний результат. Ми припустили, що Місяць обертається навколо Землі по колу і що центр цього кола збігається із центром Землі. А отже, у рівностях (1) і (3) ми прийняли за r відстань між Землею та Місяцем. Це справедливо для рівності (1), проте, як ішлося в розділі 13, як Місяць, так і Земля обертаються навколо спільного центра мас системи Місяць‒Земля, розташованого приблизно на 1600 кілометрів нижче земної поверхні. Тому значення r у рівності (3) трохи менше, ніж у рівності (1).

Живучи на Землі, ми можемо обчислити масу своєї планети іншими способами. Один з них — виміряти прискорення вільного падіння біля її поверхні. Будь-яке тіло з довільною масою m, якщо відпустити його з висоти, падатиме із прискоренням g, яке приблизно дорівнює 9,82 метра на секунду у квадраті23. Середній радіус Землі — майже 6,371 · 106 метра (6371 кілометр).

А тепер повернімося до формули (1). Оскільки F = ma (за другим законом Ньютона), тоді

де r — радіус Землі. Знаючи, що G = 6,673 · 10−11, g = 9,82 метра на секунду у квадраті, а r = 6,371 · 106 метрів, ми можемо обчислити mЗемлі в кілограмах (спробуйте самі!). Якщо трохи спростити рівність (6), отримаємо:

У мене mЗемлі становить 5,973 · 1024 кілограмів (вражає, правда?).

Зверніть увагу, що у формулі (7) уже відсутня маса скинутого тіла m. У цьому немає нічого дивного, адже маса Землі ніяк не може залежати від маси тіла, яке на неї скинули.

Вам також може бути цікаво знати, що, на думку Ньютона, середня густина Землі становить 5000‒6000 кілограмів на кубічний метр. Це не було висновком з якихось астрономічних спостережень і не мало жодного стосунку до котрогось із його законів; це була просто гіпотеза. Насправді середня густина Землі становить 5540 кілограмів на кубічний метр. Якщо дозволите записати припущення Ньютона як 5500 ± 500 кілограмів на кубічний метр, то похибка його результату складає лише 10 відсотків (дивовижно!).

Не знаю, чи сучасники Ньютона сприйняли його припущення за правду, але припустімо, що так. У XVII столітті радіус Землі вже був відомий, тому в ті часи можна було б обчислити її масу із точністю до 10 відсотків (маса — це об’єм, помножений на густину). Тоді можна було б за допомогою формули (7) обчислити G із такою самою точністю. Я розповідаю про це, бо мене захоплює думка, що якби сучасники зважили на гіпотезу Ньютона про середню густину Землі, уже в кінці XVII століття було б можливо визначити гравітаційну сталу G із точністю до 10 відсотків.

23 До речі, на екваторі це прискорення на 0,18 відсотка менше, ніж на полюсах — тому що форма Землі неідеальна. На екваторі порівняно з полюсами тіла віддалені від центра Землі приблизно на 20 кілометрів більше, тому значення g там менше. Згадані 9,82 метра на секунду у квадраті — це середнє значення.

Скляна веселка навколо тіні Волтера Левіна на території музею deCordova в Массачусетсі. «Астрономічна фотографія дня» за 13 вересня 2004 року. Фото надав Волтер Левін.

Стіна туману вкриває телескоп БТА на Північному Кавказі (Росія). Фото надав Волтер Левін.

Коли туман наблизився (точно за розкладом), сонце було ще високо, і от результат — «святий Волтер». Фото надав Волтер Левін.

Біла веселка поблизу Піка Пайкс у Колорадо. Зверніть увагу на темну смугу на внутрішньому краї — додаткову веселку. Фото надав Войтек Рихлік.

Подвійна веселка над радіообсерваторією «Дуже велика антена» (Very Large Array) у штаті Нью-Мексико. Зверніть увагу, що в первинної веселки червона смуга розташована із зовнішнього краю, а у вторинної — із внутрішнього. Крім того, небо всередині первинної веселки значно світліше, ніж за її межами. Утім усередині вторинної веселки небо темніше, ніж за нею. Дуже темну ділянку між дугами називають смугою Александра. Фото надали Кеннет Ланг (Університет Тафтса) і Даґлас Джонсон (Обсерваторія Інституту Баттеля, Вашингтон).

Дочка Волтера Левіна Емма холодного зимового дня безстрашно допомагає батькові створити веселку. Фото надав Волтер Левін.

Додаткові веселки — повторювані зелені й фіолетові смуги. Фото надав Ендрю Данн.

Глорія навколо тіні літака, фотографія Волтера Левіна. Його місце (одразу за крилами) — у центрі глорії. Фото надав Волтер Левін.

Запуск повітряної кулі об’ємом більше мільйона кубічних метрів із Еліс-Спрінгс, Австралія. Фото надав Волтер Левін.

Повітряна куля об’ємом мільйон кубічних метрів на висоті 45 кілометрів крізь телескоп. Фото надав Волтер Левін.

Повітряну кулю об’ємом 960 000 кубічних метрів наповнюють газом, світанок 15 жовтня 1970 року, Мілд’юра, Австралія. Під час цього запуску група Левіна відкрила джерело GX 1+4 і його змінність із періодом 2,3 хвилини. Фото надав Волтер Левін.

Інсталяція Отто Піне «Веселка» для закриття літніх Олімпійських ігор 1972 року в Мюнхені. У її створенні брав участь Волтер Левін (див. розділ 15). Фото надав Вольф Губер.

Крабоподібна туманність (діаметр — приблизно 11 світлових років). Блакитне світло — це випромінювання електронів, які обертаються навколо магнітного поля в туманності. Волокна — залишки атмосфери зорі, що вибухнула в 1054 році. Із Землі туманність здається приблизно в шість разів меншою за Місяць. Фото надали NASA й команда проекту «Спадщина Габбла». Права на фото належать NASA/ESA/JPL/Arizona State University.

Наднова SN 1987A. Три кільця на зображенні — речовина, яку викинула зоря за тисячі років до спалаху. Про найяскравіше внутрішнє кільце докладно розповідається в розділі 12. У центрі кільця видно світло від зорі, що спалахнула. Дві білі зорі не пов’язані з надновою SN 1987A. Фото надали д-р Крістофер Барроуз, ESA/STSci та NASA.

Художнє зображення подвійної зоряної системи Лебідь X-1. Ліворуч — зоря-донор HDE 226868, що, за оцінками, приблизно в 30 разів масивніша за Сонце. Праворуч — акреціювальна чорна діра з акреційним диском, що утворився внаслідок перетікання газу із зорі-донора. Маса чорної діри приблизно в 15 разів більша за масу Сонця. Фото надали ESA, Hubble.