Текст книги "Уставы небес, 16 глав о науке и вере"

Автор книги: Михаил Кацнельсон

С точки зрения величины нет особой разницы, будет ли число жителей города 5040 ( 7! – семь факториал) или 5039 (простое число); с точки зрения теории чисел между ними расстояние как от неба до земли... Если в идеальном платоновском городе ночью умрет один житель и число жителей уменьшится до 5039, то город сразу придет в упадок (Г. Вейль, в кн.: Математическое мышление, с.68).

Магии чисел Вейль противопоставляет принцип непрерывности Лейбница, согласно которому «числа входят в объяснение природы благодаря тому, что они имеют характер величин, а не благодаря теоретико-числовым свойствам». Далее, однако, Вейль отмечает, что в квантовой физике нумерология (магия чисел) снова вступает в свои права.

В современную физику "нумерология" проникает через теорию групп: наблюдаемые физические свойства определяются некоторыми наборами целых чисел – размерностями представлений групп симметрии. Этот метод, введенный в квантовую физику главным образом Вейлем и Вигнером, весьма эффективно работает в проблемах атомных спектров, устойчивости атомных ядер (наиболее стабильны и часто встречаются ядра с "магическими" числами протонов и нейтронов), классификации элементарных частиц. К сожалению, нет возможности объяснить это важнейшее положение достаточно компактным образом (см. книгу Ю. Вигнера "Этюды о симметрии", рассчитанную, однако, на достаточно подготовленного читателя). Здесь мы ограничимся лишь кратким пояснением. Целые числа естественно возникают как номера квантовых состояний. Например, состояние электрона в атоме характеризуется четырьмя числами: так называемым главным квантовым числом n 1,2,3,..., орбитальным квантовым числом l ==1,2,...n-1, магнитным квантовым числом m -l,-l+1,...l-1,l и спиновым квантовым числом, принимающим значения +1/2 и -1/2. При этом энергия электрона в атоме зависит лишь от некоторых из них. Так, в пренебрежении взаимодействием электронов друг с другом энергия зависит лишь от главного квантового числа; на соответствующих уровнях может находиться 2n[2] 2, 8, 18... электронов. Эти магические числа, как впервые понял Н. Бор, определяют длины периодов в таблице Менделеева. В свою очередь, они довольно таинственным образом связаны со свойствами группы вращений в четырехмерном пространстве (с размерностями ее так называемых неприводимых представлений). Аналогичным образом, "магические числа" нейтронов и протонов в ядре определяют его устойчивость. Тот факт, что во Вселенной имеется достаточно много гелия, кислорода, кальция, железа (с атомными весами 4, 16, 40, 56), определяется, в конечном счете, повышенной устойчивостью ядер этих элементов, то есть квантовой "магией чисел" (о происхождении химических элементов в процессе ядерных реакций в звездах см. главу 15). Целые числа, [связанные с размерностями неприводимых представлений некоторых непрерывных групп симметрии,] также определяют свойства элементарных частиц (читатель-гуманитарий может без всякого ущерба для понимания пропустить часть этой фразы, заключенную в квадратные скобки). Не случайно пифагорейско-платоновская вера в магию чисел так восхищала одного из создателей квантовой механики В. Гейзенберга (см. гл.9).

С целыми числами мы сталкиваемся и в биологии. Белковая молекула состоит из 20 видов аминокислот, а ее синтез определяется набором четырех типов оснований-нуклеотидов (аденин, гуанин, тимин, цитозин), которые располагаются вдоль молекулы ДНК. Каждая аминокислота кодируется с помощью трех нуклеотидов. Иногда проводится аналогия этого генетического кода с гексаграммами китайской гадательной книги Ицзин.

Число хромосом у данного биологического вида фиксировано. У большинства растений оно принимает "магические" значения, кратные четырем. У человека 23 хромосомы (хотя у человекообразных обезьян – 24), что обеспечивает неодинаковый вклад деда и бабки в наследственные признаки. Гены обеспечивают строго фиксированные числовые значения характеристик животных и растений до значений порядка 25-30 (количество пальцев, зубов, позвонков и т.д.). Различные "каббалистические" системы связывают числовые признаки человека с характеристиками мироздания (макрокосма). Следующий отрывок, хотя и является пародийным, повторяет серьезные толкования, встречающиеся как в "эзотерических" западных, так и в даосских китайских текстах.

Нет архетипов, существует тело. Живот внутри прекрасен, потому что там созревает ребенок... А теперь давай перейдем к магическим числам, которые обожают твои авторы. Один – это ты, потому что другого такого нет, у тебя один... нос, одно сердце, сам видишь, сколько важных вещей существует в единственном числе. Два глаза, уха, две ноздри... Число три наиболее магическое, потому что наше тело его не знает, в нем нет ничего в количестве трех, это должно быть очень таинственное число, которое мы приписываем Богу, где бы мы ни жили. Однако давай поразмыслим: у тебя есть одна хорошенькая штучка, у меня есть одна хорошенькая штучка – сиди и молчи, свое остроумие оставь при себе, – так вот, если эти две штучки сложить, на свет появится еще одно существо, и нас будет трое... И дальше: две ноги и две руки – это четыре, ну и четыре – тоже хорошее число, ты вспомни: у животных по четыре лапы, маленькие дети ползают на четвереньках, о чем хорошо знал сфинкс. О пяти не стоит даже говорить, у нас пять пальцев на руке, а если посмотришь на свои две руки, то увидишь еще одно священное число – десять... А теперь посмотри на свое тело и сосчитай все части, торчащие из туловища... итого шесть, но у женщины – семь... Сколько отверстий у тебя на теле?

– Ну... – итого восемь.

– Видишь? Еще один повод, чтобы признать восемь хорошим числом. А у меня их девять! И именно через девятое ты появился на свет, вот почему число девять более божественно, чем восемь! ...

Люди, у которых есть хоть капля соображения, глядя на закрытую и теплую внутри печь алхимика, отождествляют ее с чревом матери, и лишь твои сатанисты, видя готовую разродиться Богородицу, думают, что это намек на печь алхимика (У. Эко, Маятник Фуко, гл.63; по цензурным соображениям цитата дана с сокращениями).

Еще один аспект «научной» нумерологии – установление соотношений между фундаментальными мировыми константами (заряд и масса электрона, гравитационная постоянная, скорость света, постоянная Планка), которым также много занимались современные физики, например, П. Дирак и в особенности А. Эддингтон. При этом предполагалось, что все безразмерные физические константы не могут быть произвольными, а должны определяться из каких-то математических постоянных (типа числа пи, нулей Бесселевых функций и т.п.). В настоящее время эта идеология не пользуется особой популярностью и вытеснена «антропным принципом», согласно которому существуют различные Вселенные с различными значениями безразмерных физических констант, но лишь в небольшой их части возможна разумная жизнь (см. главу 15). Упоминание «конструктивной» роли числа можно найти и в библейской традиции:

Не невозможно было бы для всемогущей руки Твоей, создавшей мир из необразного вещества, наслать на них множество медведей или свирепых львов, или неизвестных новосозданных лютых зверей, или дышащих огненным дыханием, или извергающих клубы дыма, или бросающих из глаз ужасные искры, которые не только повреждением могли истребить их, но и ужасающим видом погубить. Да и без этого они могли погибнуть от одного дуновения, преследуемые правосудием и рассеваемые духом силы Твоей; но Ты все расположил мерою, числом (!) и весом... Весь мир пред Тобою, как колебание чашки весов, или как капля утренней росы, сходящей на землю (Премудрость Соломона 11:18-23).

Следующий отрывок цитировался Эддингтоном в связи с проблемами космологии и мировых физических констант.

В кисе твоей не должны быть двоякие гири, большие и меньшие; в доме твоем не должна быть двоякая ефа, большая и меньшая; гиря у тебя должна быть точная и правильная, и ефа у тебя должна быть точная и правильная, чтобы продлились дни твои на земле, которую Господь Бог твой дает тебе [в удел] (Втор. 25:13-15).

На Востоке числа, имеющие большое число делителей (108 или 216 стандартное количество бусинок в четках), считаются «священными» и широко применяются в духовной практике и различных оздоровительных системах, например в цигун, пранаяме (число повторений молитв, мантр, движений и физических упражнений, дыхательные ритмы). Число 108 может расшифровываться как произведение 12 (число знаков Зодиака) на 9 (число планет плюс две фазы Луны), тем самым символизируя небо. Книга Перемен (Ицзин) содержит 64 гексаграммы, которые описывают полный цикл эволюции.

Связь некоторых из первых натуральных чисел и наглядных символов-образов устанавливается в различных "эзотерических" системах, например, в системе Пифагора, каббале, арканах Таро. Впрочем, на практике такие упражнения могут вести к суевериям (например, различные расшифровки апокалиптического "числа зверя" 666). Поразительные по своей нелепости нумерологические изыскания связаны с египетскими пирамидами (их историю и детальный критический разбор можно найти в книге В. Замаровского "Их величества пирамиды", М., Наука, 1986, гл.12). Приведем процитированное в этой книге высказывание Н.Ф. Уилера, изобретшего термин "пирамидиотизм" :

В самом деле, не существует никаких особых причин, чтобы эти мистики избрали предметом своего внимания именно пирамиду Хуфу или чтобы они ею ограничились... У пирамиды-спутницы Абусирской пирамиды Сахура отношение половины периметра основания к высоте равняется Неперову основанию натуральных логарифмов (2,71828...). Но мы могли бы пойти дальше и вместо пирамиды Хуфу предметом расчетов избрать хотя бы лондонский Хрустальный дворец... Когда выбирается подходящая единица измерения – скажем, верста, двойной фут, морской узел – можно без труда установить точный эквивалент расстояния до Тимбукту при помощи длины потолочных балок или количества уличных фонарей на Бонд-стрит; точно также можно было бы установить единицу густоты грязи или средний вес взрослой золотой рыбки (цит. соч., с.361, 362).

Подобной ошибки не избежал и известный писатель С.Лем, который ввел в одном из своих рассказов универсальное время задержки 137 секунд, связав его с фундаментальной безразмерной физической постоянной тонкой структуры, равной 1/137. Впрочем, в этом вопросе нет полной однозначности, поскольку единицы измерения также могут иметь сакральный характер.

Длина и ширина 51 на 27 сантиметров, высота 17,5 сантиметров. Такие, на первый взгляд странные, размеры объясняются, видимо, тем, что в то время и в том месте, где он был изготовлен, применялись другие единицы измерения дюйм, фут или что-то еще.

– Если уж вы так придирчивы, – сказал официант, – учтите: то, что имеет силу для сантиметров, имеет силу и для единиц, в которых когда-то измерялось количество души или любви... (М. Павич, Ящик для письменных принадлежностей)

 
Шагами измеряют пашни,
а саблей тело человеческое,
но вещи измеряют вилкой (Д.Хармс).
 

Поучительные нумерологические исследования, также приведшие к неблагоприятным последствиям, изложены в следующем отрывке:

Так слушайте: номер паровоза, который нужно увести в депо в Лысую-на-Лабе – четыре тысячи двести шестьдесят восемь. Слушайте внимательно. Первая цифра – четыре, вторая – два. Теперь вы уже помните сорок два, то есть дважды два – четыре, это первая цифра, которая, разделенная на два, равняется двум, и рядом получается четыре и два. Теперь не пугайтесь! Сколько будет дважды четыре? Восемь, так ведь? Так запомните, что восьмерка в ряду четыре тысячи двести шестьдесят восемь будет по порядку последней. После того, как вы запомнили, что первая цифра – четыре, вторая два, четвертая – восемь, нужно ухитриться и запомнить эту самую шестерку, которая стоит перед восьмеркой, а это очень просто. Первая цифра – четыре, вторая – два, а четыре плюс два – шесть... Но вы можете прийти к тому же результату еще проще... Восемь без двух – шесть. Теперь вы уже знаете шестьдесят восемь, а шесть минус два – четыре, теперь вы уже знаете четыре и шестьдесят восемь, и если вставить эту двойку, то все составит четыре – два – шесть – восемь. Не очень трудно сделать это иначе, при помощи умножения и деления. Результат будет тот же самый. Запомните.... что два раза сорок два равняется восьмидесяти четырем. В году двенадцать месяцев. Вычтите теперь двенадцать из восьмидесяти четырех, и останется семьдесят два, вычтите из этого числа еще двенадцать месяцев, останется шестьдесят. Итак, у нас определенная шестерка, а ноль зачеркнем. Теперь у нас уже сорок два, шестьдесят восемь, четыре. Зачеркнем ноль, зачеркнем и четверку сзади, и мы преспокойно опять получили четыре тысячи двести шестьдесят восемь, то есть номер паровоза, который следует отправить в депо в Лысую-на-Лабе. И с помощью деления, как я уже говорил, это также очень легко сделать. Вычисляем коэффициент, согласно таможенному тарифу... Вам дурно, господин фельдфебель?... Побегу за носилками.

Пришел доктор и констатировал, что налицо либо солнечный удар, либо острое воспаление мозговых оболочек. Когда фельдфебель пришел в себя, около него стоял Швейк и говорил:

– Чтобы докончить... Вы думаете, господин фельдфебель, этот машинист запомнил? Он перепутал и все помножил на три, так как вспомнил Святую Троицу. Паровоза он не нашел. Так он и до сих пор стоит на шестнадцатом пути.

Фельдфебель опять закрыл глаза (Я. Гашек, Похождения бравого солдата Швейка).

Отметим, что очень тонкое интуитивное ощущение свойств целых чисел характерно для некоторых математиков – для них оно составляет важнейший элемент мышления. По воспоминаниям современников, такими способностями обладал гениальный индийский математик Рамануджан.

Разумеется, приведенные цитаты не ставят целью продемонстрировать глупость любой нумерологии: в конце концов, как отмечалось выше, некоторые явно нумерологические законы – скажем, особая стабильность так называемых "магических ядер" – могут быть обоснованы строго научно. В то же время, представляется уместным напомнить и о связанных с нумерологией опасностях ложного понимания (несмотря на реальность предпосылок!). Сюда, по-видимому, относятся и исторические исследования в духе "Новой хронологии" А.Т. Фоменко. Авторы, обладавшие гуманитарной культурой, ранее проводили более талантливые нумерологические изыскания.

Если взять число лет, равное числу дней в месяце, то мы будем иметь правящие людом могучие времена 27, 28 и 29 лет, каждое с особой судьбой и особым жезлом.

28 лет управляет сменой поколений. Смена поколений волны.

Несколько примеров: Пушкин родился через 28(2 после Державина, Чебышев через 28 после Лобачевского, Герцен через 28(6 после Мазепы. Петр Великий через 28 после Мазепы; оба встретились при Полтаве; Эльбрусы своих поколений Карамзин и Чаадаев тоже встретились через 28; Волынский через 28(2 после Никона. Пугачев через 28(7 после Иоанна Грозного...

Каждое поколение держит в руках игрушку, в которой разочаровывается следующее, и ищет новой. Слово, мосты, законы, изнеженность, проклятие жизни, робкое оправдание жизни (В. Хлебников, Спор о первенстве).

В наши дни широкую известность получили попытки использования компьютеров для анализа Торы каббалистическими методами с целью извлечь скрытую в ней информацию о строении и истории мира. Бестселлером стала книга «Библейский код», где описаны результаты анализа путем выборок каждой пятидесятой буквы. В результате были воспроизведены данные о важнейших исторических событиях и великих людях вплоть до нашего времени. Не вдаваясь в дискуссии о достоверности полученных результатов (внешне они впечатляют и активно применяются для пропаганды Торы в технократических кругах), отметим, что эти исследования не встретили поддержки большинства ортодоксальных раввинов. Печальная история о применении каббалистических и оккультных идей вкупе с компьютером также описана в романе популярного писателя У.Эко «Маятник Фуко» (гл. 8):

... Как только ты начинаешь кромсать глину, пусть даже электронную, то становишься демиургом, а тот, кто берется сотворить мир, идет на компромисс с заблуждением и со злом.

Нумерология используется не только для поиска скрытых числовых кодов, но и для толкования (по крайней мере, под определенным углом зрения) некоторых мест священных текстов. Для "расшифровки" больших чисел используется разложение на простые сомножители либо сложение цифр в десятичной записи. Четвертая книга Моисеева (Числа) и ряд отрывков из других книг, целиком посвященные исчислению народа Израиля, часто служат объектом символических и духовных толкований. Приведем несколько примеров, где подчеркнуто явно упоминаются конкретные числа.

Когда Я пять хлебов преломил для пяти тысяч человек, сколько полных коробов набрали вы кусков? Говорят Ему: двенадцать. А когда семь для четырех тысяч, сколько корзин набрали вы оставшихся кусков. Сказали: семь. И сказал им: как же не разумеете? (От Марка 8:19-21)

Симон Петр пошел и вытащил на землю сеть, наполненную большими рыбами, которых было сто пятьдесят три; и при таком множестве не прорвалась сеть (От Иоанна 21:11).

Число сто пятьдесят три может трактоваться как сумма натуральных чисел от 1 до 17 и характеризовать некую полноту, подобно тому как 10 1+2+3+4.

Из городов, которые вы дадите левитам, [будут] шесть городов для убежища, в которые вы позволите убегать убийце; и сверх их дайте сорок два города (Числа 35:6):

И вышли две медведицы из леса и растерзали из них сорок два ребенка (4-я Царств 2:24).

И взяли их живых, и закололи их – сорок два человека, при колодезе Беф-Екеда, и не осталось из них ни одного (4-я Царств 10:14).

А внешний двор храма исключи и не измеряй его, ибо он дан язычникам: они будут попирать святый город сорок два месяца... И даны были ему уста, говорящие гордо и богохульно, и дана ему власть действовать сорок два месяца (Откровение 11:2, 13:5).

В качестве общедоступной параллели к последнему (достаточно серьезному) набору библейских цитат приведем поучительную историю из фантастического романа Д. Адамса «Автостопом по Галактике». В нем рассказывается, между прочим, о попытке некой цивилизации (представители которой известны на Земле как обыкновенные мыши) получить ответ на Великий Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Остального. С этой целью был построен компьютер уникальной мощности, который работал в течение семи с половиной миллионов лет. Наконец, настало время ответа.

– Тсс-с!– благоговейно прошептал Лункуал.– По-моему, он сейчас заговорит...

– Готов ли ответ?– величаво спросил компьютер. – Да.

Двое за столом задрожали от волнения.

– Простой и ясный?– выдохнул Пфуок. – Простой и ясный, -подтвердил компьютер.

– Ответ на Великий Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Остального?

– Да. – И ты можешь сообщить его нам? – Да. -Прямо сейчас? – Прямо сейчас.

Двое за столом облизали пересохшие губы.

– Хотя я не думаю,– прибавил компьютер, – что ответ вам понравится.

– Не важно!– вскричал Пфуок.– Мы должны знать! Немедленно!...

Пфуок и Лункуал лихорадочно дрожали. Волнение было невыносимым.

– Он вам в самом деле не понравится,– предупредил Пронзительный Интеллектомат.

– Говори! – Хорошо, -сказал он.– Ответ на Великий Вопрос...– Ну! Жизни, Вселенной и Всего Остального...-Ну! – Это...-произнес компьютер и замолчал. – Ну! – Это... – Ну!!!

– Сорок два, – с бесконечным спокойствием сообщил компьютер...

– Сорок два! – завопил Лункуал. – И это все, что ты можешь сообщить нам после семи с половиной миллионов лет работы?

– Я убежден в правильности ответа,– холодно отрезал компьютер.– По правде говоря, – прибавил он, смягчившись, – дело, я думаю, в том, что вы никогда, собственно, не задумывались, в чем состоит этот вопрос.

Еще через десять миллионов лет, после многих событий, включая уничтожение Земли, удалось узнать и сам «Великий Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Остального»: что получится, если 6 умножить на 7? Если вернуться к более серьезному разговору, можно вспомнить, что совершенное (по Платону) число 6 символизирует Творца, а священное число 7 – строение мира .

Символика чисел часто совпадает в разных традициях. Например, число четыре ассоциируется с материальным миром (четыре стороны света, четыре первоэлемента-стихии, см. гл.9), число пять – с пятью органами чувств человека. Науке о символическом смысле чисел – арифмологии посвящен ряд трактатов пифагорейцев и платоников (см., напр., А.Ф. Лосев, История античной эстетики).

Ибо есть у вас пять деревьев в раю, которые неподвижны и летом и зимой, и их листья не опадают. Тот, кто познает их, не вкусит смерти (Евангелие от Фомы 22).

В еврейской народной песне дается такая расшифровка смысла первых натуральных чисел:

 
Что один? Один Бог на небе. Что два? Две скрижали Завета.
Что три? Три патриарха. Что четыре? Четыре праматери.
Что пять? Пять книг Торы. Что шесть? Шесть книг Мишны.
Что семь? Семь дней недели. Что восемь? Восемь дней до обрезания.
Что девять? Девять звезд на небе (!). Что десять? Десять заповедей.
Что одиннадцать? Одиннадцать снопов поклонились Иосифу.
Что двенадцать? Двенадцать колен Израилевых.
Что тринадцать? Тринадцать свойств Бога.
 

Интересна здесь психологическая потребность найти сакральный смысл каждого числа (скажем, звезд на небе можно было бы выделить и больше, и меньше девяти). Даже в тех случаях, когда нумерология не имеет объективного смысла, несомненна ее субъективная важность. Иногда значение, придаваемое тому или иному числу, объясняют «естественными» свойствами человеческой психики. Широко известно, например, принадлежащее американскому психологу Дж.А. Миллеру объяснение выделенности «священного числа» семь: столько независимых блоков информации (например, цифр в последовательности, предметов и т. д.) человек может держать в памяти одновременно (см., например, С. Роуз, Устройство памяти, М., Мир, 1995). Другое естественнонаучное объяснение основано на астрономии: семь «планет» (включая Солнце и Луну), видимых невооруженным глазом; ср. со средневековым алхимическим стишком: Семь металлов создал свет// По числу семи планет...

Символическое (а не буквальное, как часто предполагается в оккультной литературе) значение имеют и гигантские числа, встречающиеся в индийской и буддийской историографии, хронологии и космологии, а также в "эзотерических" традициях каббалы и гностицизма (продолжительность мировых периодов, размеры вселенной, количество эонов-миров).

Будда, испустив свет из [завитка] белых волосков между бровями, озарил восемнадцать тысяч миров на востоке, и не было [места, которого бы этот свет] не достиг: внизу [он достиг] ада авичи, вверху – неба Акашинтха (Лотосовая сутра 1).

В одной из индийских версий мировые сутки состоят их четырех юг (сатья, трета, двапа и кали) и всего составляют 255 620 000 лет, 360 таких суток составляют год Брахмы, а сто таких лет – век Брахмы. В циклических концепциях каббалы (см., напр., книгу Е.А. Торчинова) великий юбилей (буквально по Библии юбилей – 50 лет) составляет 50 000 лет либо 18 000 малых юбилеев.

Большие числа иногда с подчеркнутой точностью упоминаются в художественной литературе, что воспринимается как пародия (достаточно небезобидная, так как пародируются весьма серьезные тексты):

Я утверждаю, что Гаргантюа был одет следующим образом... На его куртку пошло восемьсот тринадцать локтей белого атласа, а на шнуровку – тысяча пятьсот девять с половиной собачьих шкурок. Тогда как раз начали пристегивать штаны к куртке, а не куртку к штанам, что, как убедительно доказал Оккам в комментариях к Exponibilia, магистра Шаровара, противоестественно. На штаны пошло сто пять с третью локтей белой шерстяной материи, и т.д. (Ф. Рабле, Гаргантюа и Пантагрюэль; в других местах указывается точное количество выпитых бочек с вином, съеденных волов и баранов, и т. п.).

До сих пор при обсуждении смысла понятия числа имелись в виду натуральные, то есть целые положительные, числа (кроме рациональных чисел собачьих шкурок и локтей белой шерстяной материи в последней цитате). Понятие рационального числа возникло довольно естественно как отношение целых чисел. Числа более сложной природы естественно возникают в задачах геометрии. Например, уже пифагорейцам было известно элементарное доказательство того, что квадратный корень из двойки – отношение диагонали квадрата к его стороне – не является рациональным числом. История не сохранила имени математика, впервые открывшего этот факт; существует легенда, что после оглашения открытия он был убит (выброшен с корабля в море) потрясенными коллегами. Несмотря на столь решительные меры, скрыть тайну либо сделать это число рациональным не удалось. Такие числа очень долго воспринимались как "ненастоящие", что и соответствует буквальному смыслу слова "иррациональный". Правда, уже Евдокс (IV в. до н.э.) в своей теории пропорций близко подошел к современной концепции иррационального числа как "сечения" множества рациональных чисел. Однако аккуратная формулировка этой идеи и введение иррациональных чисел в науку "на законном основании" произошло лишь в XIX в. (это достижение связано прежде всего с именами немецких математиков Р. Дедекинда, К. Вейерштрасса и Г. Кантора). Тем не менее, даже после этого ряд крупных математиков продолжали по-прежнему скептически относиться к иррациональным числам.

Еще более странными выглядели "трансцендентные" числа, которые (в отличие от упомянутого корня из двух) даже не могут быть корнями никаких алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами. Известно высказывание выдающегося математика XIX века Л. Кронекера: "Господь Бог создал целые числа; все остальное – дело рук человеческих". Он же сказал другому известному математику, Ф. Линдеману, по поводу доказательства последним трансцендентности числа пи (отношения длины окружности к ее диаметру, связанного с классической проблемой квадратуры круга): "Что толку от вашей прекрасной работы? Стоит ли браться за решение подобных проблем, если подобные иррациональные числа вообще не существуют?" (цит. по: М. Клайн, "Математика. Утрата определенности", с. 269).

Вместе с тем, эмпирически мыслящие математики на протяжении многих лет смело пользовались не только иррациональными, но даже и еще более абстрактными комплексными (в частности, мнимыми) числами для решения конкретных задач, не дожидаясь строгих обоснований. Внутренней основой для такой деятельности была по-видимому присущая человеческой психике "архетипическая" идея непрерывности, не сводимая (психологически!) к идее целого числа (подробнее об этом см. в конце главы). Следует, однако, отметить, что широкое введение в математику комплексных чисел в начале XIX века сопровождалось дискуссиями с учеными, боровшихся против формального алгебраического символизма (мнимая единица i) и отстаивавших "геометрический реализм".

Что нужно сказать о мнимых числа? Ум, который старается видеть ясно, разве не сочтет некоторые вещи в них отталкивающими?... Нужно согласиться, что наука стала бы намного более удовлетворительной, если бы все ее части можно было основывать на строгих рассуждениях, на непосредственной очевидности, на простых идеях, осязаемых, как первые понятиях геометрии (Муре, цит. по Ф. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер, Пути и лабиринты. Очерки по истории математики, М., Мир, 1986, с.357).

Правда, уже У. Гамильтон (1805-1865) понимал действия над комплексными числами вполне в современном духе как формальные операции над парами вещественных чисел (x,y). Он же придумал систему гиперкомплексных чисел кватернионов – задаваемых четверками вещественных чисел (четверка Пифагора, Платона и Юнга!). При действии с кватернионами нарушался один из законов обычной арифметики – перестановочность (коммутативность) умножения. Кватернионы оказались очень важными объектами: развитие теории Гамильтона привело к появлению векторного анализа, без чего, в свою очередь, Максвелл не смог бы сформулировать основные уравнения электродинамики. Кватернионы (в виде так называемых «матриц Паули») играют также большую роль в квантовой механике при описании спина – внутренней степени свободы электрона, являющейся аналогом классического момента вращения (подробнее см. в гл.10). Геометрически кватернионы связаны с преобразованиями (вращениями, сдвигами, растяжениями-сжатиями) в трехмерном пространстве Таким образом, алгебраический и геометрический подходы, как и в случае с комплексными числами, в действительности равно необходимы и важны. О соотношении этих двух подходов с точки зрения психологии мы поговорим в конце главы.

8.2 Слово и символика букв

 
Слово только оболочка,
Пленка, звук пустой, но в нем
Бьется розовая точка,
Странным светится огнем.
(Арс.Тарковский, Слово)
 

Так я слышал однажды: Победоносный пребывал в Раджагрихе на горе Гридхракуте вместе с большим собранием монахов-бхикшу, с 1250 монахами и с великим собранием бодхисаттв. В это время Победоносный обратился к достопочтенному Ананде, сказав так: «Ананда, восприми, на благо и спасение всех живых существ эту запредельную мудрость в одну букву, а именно букву А». Так проповедовал Победоносный. Преподобный Ананда, большое собрание монахов, великое собрание бодхисаттв и вся вселенная со всеми богами, людьми, асурами и гандхарвами возрадовались и восславили проповедь Победоносного

(Сутра Победоносной Запредельной Мудрости в Одну Букву).

Вплоть до Нового времени пифагорейско-платоновские идеи о глубинном смысле математической (геометрической и числовой) символики оставались «на обочине» европейской и ближневосточной мысли. По-видимому, убеждение в большей важности «слова» по сравнению с «числом» было общим для христианской, иудейской и исламской традиций, основанной на авраамических религиях Откровения. Напротив, числа играют фундаментальную роль в философии древнего Китая, где типичны высказывания «числа управляют миром». Этот факт, по-видимому, отражает глубокое различие двух цивилизаций. Священные тексты Библии, в огромной степени предопределившие развитие западной культуры, и до сих пор оказывают важное (хотя иногда бессознательное) влияние на жизнь каждого отдельного человека.

Зародыш мой видели очи Твои; в Твоей книге записаны все дни, для меня назначенные, когда ни одного из них еще не было (Псалтырь 138:16).

Тогда я сказал: вот, иду; в свитке книжном написано о мне: я желаю исполнить волю Твою, Боже мой, и закон Твой у меня в сердце (Псалтырь 39:8-9).

Откровение Слова (слышание, Ис.50:5) может быть противопоставлено образному видению (см. гл.5). Уникальность западной библейской традиции иллюстрируется также стихотворением Г. Гессе «Буквы» из приложения к «Игре в бисер»: