Текст книги "Математические головоломки и развлечения"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 30 страниц)

Глава 10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ С КАРТАМИ

В одном из рассказов Сомерсета Моэма есть такой диалог:

– Вы любите карточные фокусы?

– Терпеть не могу.

– Тогда я покажу вам один фокус.

После третьего фокуса жертва под каким-то предлогом сбегает.

Такую реакцию легко понять. Большинство карточных фокусов, если их показывает не искусный профессионал, а любитель, невыносимо скучны. Но существуют и другие карточные фокусы, для показа которых не требуется никакой ловкости рук. Именно они и представляют интерес с точки зрения математики.

Рассмотрим, например, следующий фокус. Зритель и фокусник садятся за стол друг против друга. Фокусник берет колоду карт, обращенных рубашкой вверх, и, перевернув двадцать из них рубашкой вниз, передает колоду зрителю. Зритель тщательно перетасовывает колоду, и перевернутые карты распределяются случайным образом. Держа колоду под столом так, чтобы ни он сам, ни фокусник не могли видеть карты, зритель отсчитывает двадцать верхних карт и, не вынимая из-под стола, передает фокуснику.

Фокусник берет стопку, но продолжает держать ее под столом так, чтобы не видеть карты. «Ни вы, ни я не знаем, – говорит он, – сколько перевернутых карт имеется среди тех 20, которые вы мне дали. Однако мне кажется, что их меньше, чем среди тех 32, которые остались у вас. Не глядя на карты, я сейчас переверну у себя еще несколько карт и попытаюсь уравнять число перевернутых карт в моей части колоды и в вашей».

Фокусник некоторое время возится с картами, делая вид, будто он пытается на ощупь определить у карт верхнюю и нижнюю стороны. Затем он вытаскивает свои карты наверх, раскладывает их на столе и пересчитывает перевернутые. Их оказывается ровно столько же, сколько среди тех 32 карт, которые находятся на руках зрителя.

Этот замечательный трюк лучше всего объяснять на примере одной из самых старых математических головоломок. Представьте себе, что перед вами два сосуда: в один из них налит литр воды, а в другой – литр вина. Один кубический сантиметр воды, взятый из первого сосуда, переливают в сосуд с вином и тщательно перемешивают. Затем берут один кубический сантиметр смеси и переливают его обратно в сосуд с водой. Чего теперь больше: воды в вине или вина в воде? (Мы пренебрегаем тем, что обычно смесь воды и спирта занимает меньший объем, чем сумма объемов спирта и воды до смешивания.)

Ответ таков: вина в воде ровно столько жее, сколько воды в вине. Забавно, что в этой задаче содержится слишком много информации, не относящейся к делу. Совершенно излишне знать, сколько жидкости в каждом сосуде, какое количество ее переливается и сколько раз повторяется переливание. Безразлично, тщательно ли перемешиваются жидкости. Несущественно даже то, одинаково ли количество жидкости в сосудах до переливания. Единственное действительно важное условие заключается в том, что каждый сосуд по окончании всех переливаний содержит точно такое же количество жидкости, какое было в нем сначала. Это условие означает, что какое бы количество вина мы ни взяли из сосуда с вином, нам непременно придется пополнить образовавшийся дефицит таким же количеством воды.[20]20
  Можно сказать так: нехватка вина в сосуде с вином равна количеству вина в сосуде с водой.


[Закрыть]

Если читателю приведенные рассуждения кажутся непонятными, он сможет разобраться в них с помощью колоды карт. Пусть 26 карт, разложенных в ряд на столе рубашками вверх, изображают собой вино, а 26 карт, разложенных в ряд вверх картинками, – воду. Сколько бы вы ни перекладывали карты из одного ряда в другой, если в конце концов в каждом ряду окажется снова по 26 карт, то число карт, лежащих рубашкой вверх в одном ряду, будет в точности совпадать с числом карт другого ряда, лежащих вверх картинкой.

Возьмем теперь стопку из 32 карт, обращенных вверх рубашкой, и стопку из 20 перевернутых карт и будем перекладывать карты из одной стопки в другую любое число раз, следя лишь за тем, чтобы в меньшей стопке все время оставалось 20 карт. Переворачивая меньшую стопку, вы закрываете открытые карты и, наоборот, открываете карты, которые раньше были закрыты. Поэтому после переворачивания в обеих стопках открытых карт станет поровну.

Теперь уже всем, наверное, ясно, как получается фокус с картами. Сначала фокусник переворачивает ровно 20 карт. Когда же он получает стопку из 20 карт от зрителя, число перевернутых карт в ней равно числу перевернутых карт в оставшейся части колоды.

Затем, делая вид, что он переворачивает какие-то новые карты, фокусник на самом деле переворачивает всю стопку из 20 полученных им карт. В результате в этой стопке оказывается столько же перевернутых карт, сколько их содержится среди 32 карт, оставшихся у зрителя. Математиков этот фокус особенно удивляет, потому им и приходят в голову очень сложные объяснения.

На элементарных математических принципах основаны и многие фокусы с отгадыванием числа карт. Вот один из лучших фокусов этого типа. Повернувшись спиной к зрителям, попросите кого-нибудь из присутствующих взять из колоды любое число карт от 1 до 12 и, не называя числа отобранных карт, спрятать их в карман. Затем ваш помощник должен отсчитать сверху колоды ровно столько карт, сколько он уже спрятал у себя в кармане, и запомнить следующую за последней отсчитанной картой.

Когда все это будет сделано, вы поворачиваетесь к публике лицом и просите назвать чью-нибудь фамилию и имя, в которых было бы не менее 13 букв. Допустим, к примеру, кто-то назвал Бенвенуто Челлини. Держа в руках колоду карт, вы обращаетесь к зрителю, в кармане которого спрятаны отобранные им карты, и говорите, что он должен, называя каждую букву в имени и фамилии Бенвенуто Челлини, выкладывать при этом на стол по одной карте. Показывая, как это надо делать, вы снимаете по одной карте с вашей колоды и, произнося вслух каждую букву, выкладываете карты на стол рубашкой вверх. Затем вы собираете эти карты и кладете поверх оставшихся в колоде карт.

Всю колоду вы передаете зрителю и просите его положить те карты, которые лежат у него в кармане, сверху. Не забудьте подчеркнуть, что вы не знаете, сколько карт хранится у него в кармане.

И все же, несмотря на добавление к колоде неизвестного числа карт, после того как зритель произнесет по буквам «Б-Е-Н-В-Е-Н-У-Т-О Ч-Е-Л-Л-И-Н-И» и проделает все, о чем вы говорили, верхней картой в колоде окажется задуманная им карта!

Нетрудно понять, в чем здесь дело. Пусть х – число карт в кармане у зрителя и, следовательно, число карт, лежащих в колоде поверх задуманной им карты, а у – число букв в имени и фамилии названного зрителями лица. Показывая, как надо называть по буквам имя и фамилию, вы изменяете порядок у карт на обратный, вследствие чего «глубина залегания» замеченной карты становится равной у – х. Добавление к колоде х карт приводит к тому, что задуманная карта оказывается на (у – х + х) – м месте, считая сверху. Величины х и – х взаимно уничтожаются, и задуманная карта после того, как будет названо у букв, окажется сверху.

На более тонком использовании того обстоятельства, что результаты отдельных манипуляций с картами могут компенсировать друг друга, основан следующий фокус. Зритель выбирает любые три карты и кладет их закрытыми на стол, не показывая фокуснику. Остальные карты, тщательно перетасовав, зритель возвращает фокуснику.

«Все карты в колоде останутся на своих местах, – говорит фокусник. – Я лишь выну из колоды одну карту. По цвету и значению она совпадет с той, которую вы сейчас выберете». С этими словами он извлекает из колоды одну карту и, не открывая, откладывает ее в сторону.

Оставшиеся карты вручают зрителю и просят его открыть те три карты, которые он ранее выложил на стол. Предположим, что это были девятка, дама и туз. На каждую из открытых карт зритель кладет рубашкой вверх карты из колоды, считая при этом вслух.

Выкладывая карты на девятку, он считает от 10 до 15 (то есть всего выкладывает шесть карт). Дама имеет значение, равное 12 (валет– 11, король—13), поэтому, выкладывая карты на нее, счет нужно начинать с 12. Поскольку кончается счет всегда на 15, дама окажется закрытой тремя картами. Поверх туза (значение 1) нужно выложить 14 карт.

После того как нужное число карт выложено, фокусник просит зрителя сложить значения трех нижних (открытых) карт и найти в колоде карту, номер которой совпадает с полученной суммой. В настоящем примере эта сумма равна 22 (9+12+1), поэтому зритель вынимает двадцать вторую карту. Наконец, фокусник открывает отложенную в самом начале фокуса карту. Обе карты – вынутая только что зрителем и отложенная давным-давно фокусником – совпадают и по значению, и по цвету!

Как делается этот фокус? Выбирая свою карту, фокусник должен посмотреть цвет и значение четвертой карты снизу и отложить карту, совпадающую с ней по цвету и значению. Остальное получается автоматически. (Иногда эта карта оказывается среди трех нижних карт колоды. Как только зритель кончит считать карты, не забудьте попросить его открыть следующую карту.)

Я предоставлю читателю самому провести несложное алгебраическое доказательство того, что фокус должен получаться всегда без осечек».

Простота, с которой тасуются карты, делает их очень удобными Для демонстрации ряда вероятностных теорем, из которых многие достаточно удивительны и вполне заслуживают, чтобы их называли фокусами. Представим себе, например, что у каждого из двух людей имеется по колоде из 52 карт. Один из них считает вслух от 1 до 52. На каждый счет оба выкладывают на стол по одной карте рубашкой вниз. Какова вероятность того, что в какой-то момент на стол будут выложены одновременно две одинаковые карты?

Многие, наверное, считают, что эта вероятность мала, а на самом деле она больше 1/2! Вероятность несовпадения равна 1, деленной на трансцендентное число е. (Это не совсем так, но ошибка составляет менее 1/10⁶⁹) Поскольку число е равно 2,718…, вероятность совпадения приближенно равна 17/27, или почти 2/3. Если найдется желающий поспорить, что совпадения не будет, вы имеете довольно большие шансы выиграть пари. Интересно заметить, что, выкладывая карты из двух колод, мы получаем эмпирический метод для нахождения десятичного разложения числа е, аналогичный нахождению разложения числа π бросанием иглы Бюффона.[21]21
  Французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк Бюффон 1707–1788) одним из первых стал заниматься так называемой геометрической вероятностью и предложил определять число тг экспериментально, бросая иглу длиной l на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, проведенными на одинаковом расстоянии L (L > I) друг от друга, и подсчитывая, какую долю р (вероятности) составляют бросания, при которых игла пересекает одну из прямых, от общего числа бросаний: p = 2l/πL


[Закрыть] Чем больше карт мы возьмем, тем ближе к 1/е будет вероятность несовпадения.

Глава 11. ДЕВЯТЬ НОВЫХ ЗАДАЧ

1. Соприкасающиеся сигареты. Четыре шара можно расположить так, что каждый из них будет касаться трех других. Пять монет можно установить так, что каждая монета будет касаться четырех остальных (рис. 47).

Рис. 47

Можно ли расположить шесть сигарет таким образом, чтобы каждая из них соприкасалась с пятью остальными?

2. Два парома. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам.

Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого.

Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

3. Как найти длину гипотенузы? Прямоугольный треугольник вписан в четверть окружности так, как показано на рис. 48.

Рис. 48

Можете ли вы, пользуясь лишь теми данными, которые приведены на чертеже, вычислить длину гипотенузы АС?

На размышление дается одна минута!

4. Хитрый электрик. Однажды электрику пришлось столкнуться с довольно неприятной задачей.

В трехэтажном доме проведена скрытая проводка. Наружу провода выходят только в двух местах: на третьем этаже и в подвале.

В том и другом случаях вывод представляет собой пучок из 11 абсолютно одинаковых проводов. Какой конец провода в верхнем выводе соответствует тому или иному концу провода в нижнем выводе, неизвестно. Именно это и должен был установить монтер.

Чтобы выполнить свою задачу, он может сделать две вещи:

1) закоротить любые провода вверху или внизу, скрутив их концы;

2) отыскать замкнутый контур с помощью специального тестера, состоящего из батарейки и звонка. Если такой прибор присоединить к концам неповрежденного провода, раздастся звонок.

Не желая понапрасну бегать вверх и вниз по лестнице, электрик, увлекавшийся к тому же исследованием операций, уселся на ступеньке с карандашом и бумагой и вскоре придумал наиболее эффективный способ решения задачи.

В чем состоял его метод?

5. Как пересечь сеть прямых? Одна из самых старых топологических головоломок, известных любому школьнику, состоит в вычерчивании непрерывной линии, пересекающей по одному разу все 16 звеньев замкнутой сети прямолинейных отрезков, изображенных на рис. 49.

Рис. 49

Кривая, проведенная на этом рисунке, не может служить решением головоломки, потому что не пересекает одного звена сети. При построении решения использовать какие-нибудь трюки – проводить кривую через вершины сети, вдоль ее звеньев, складывать лист бумаги и т. д. – нельзя.

Нетрудно доказать, что на плоскости эта головоломка решения не имеет. Возникают два вопроса: можно ли решить ее на сфере?

Существует ли решение на поверхности тора (бублика)?

6. Двенадцать спичек. Если считать, что спичка служит эталоном длины (ее длина принята за единицу длины), то 12 спичек можно различными способами расположить на плоскости так, чтобы получились многоугольники с целочисленной площадью. Два таких многоугольника изображены на рис. 50: площадь квадрата равна 9, площадь креста —5.

Рис. 50

Задача. Пользуясь всеми 12 спичками (длина каждой спички должна быть использована полностью), выложите периметр многоугольника, площадь которого равна 4.

7. Отверстие в шаре. На первый взгляд это совершенно невероятная задача (невероятная потому, что кажется, будто данных для решения недостаточно).

Через центр шара просверлено цилиндрическое отверстие длиной 6 см. Каков объем оставшейся части шара?

8. Влюбленные жуки. Четыре жука – Л, В, С, D – сидят по углам квадрата со стороной 10 см (рис. 51).

Рис. 51

Жуки А и С – самцы, В и D – самки. Они начинают одновременно ползти: А к В, В к С, С к D и D к А. Если все жуки ползут с одинаковой скоростью, то они опишут четыре одинаковые логарифмические спирали, которые пересекаются в центре квадрата. Какое расстояние проползет до встречи каждый жук? Задача решается без вычислений.

9. Сколько детей?

– Я слышу, в саду играют дети, – сказал Джон. – Неужели все они ваши?

– Боже упаси, конечно, нет, – воскликнул профессор Смит, известный специалист по теории чисел. – Там, кроме моих детей, играют еще и дети троих соседей, но наша семья самая большая.

У Браунов детей меньше, чем у меня, у Гринов – еще меньше, а меньше всего детей у Блэков.

– А сколько всего детей? – спросил Джон.

– На этот вопрос я отвечу так, – сказал Смит. – Детей меньше восемнадцати, а если перемножить между собой число детей в семьях, то получится номер моего дома, который вы видели, когда пришли.

Джон достал из кармана блокнот и карандаш и принялся за вычисления. Через некоторое время он поднял голову и сказал:

– Нужна еще кое-какая информация. У Блэков больше одного ребенка?

Как только Смит ответил, Джон улыбнулся и правильно назвал число детей в каждой семье.

Джону задача показалась тривиальной, поскольку он знал номер дома, а профессор сообщил ему, сколько детей у Блэков – один или больше. Но оказывается, что число детей в каждой семье можно определить и без этой дополнительной информации!

Ответы

1. Существует несколько различных способов размещения сигарет.

На рис. 52 показано традиционное решение, которое обычно приводится в старых сборниках головоломок.

Рис. 52

К моему удивлению, около пятнадцати читателей обнаружили, что семь сигарет тоже можно разложить так, чтобы каждая касалась всех остальных! Из-за этого первую задачу следует считать устаревшей. На рис. 53, который прислали Дж. Рибики и Дж. нолдс, показано, как это делается.

Рис. 53

Схема нарисована для критического случая, когда отношение длины сигареты к ее диаметру равно

Тогда точки касания расположены точно на концах сигарет. Это решение годится также для любого отношения длины к диаметру, большего чем

Если изучить размеры существующих сигарет, то получится отношение около 8 к 1, то есть число, большее чем

поэтому наше решение останется в силе. Обратите внимание, что если убрать центральную сигарету, которая на рисунке обращена прямо на читателя, то шесть оставшихся дадут очень симметричное решение первоначальной задачи.

2. Когда паромы встречаются первый раз (верхняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний равна ширине реки.

Рис. 54

Когда каждый из них причаливает к противоположному берегу, эта сумма равна удвоенной ширине реки, а когда они встречаются второй раз (нижняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний в три раза больше ширины реки. Поскольку оба парома двигаются с постоянной скоростью в течение одного и того же промежутка времени, мы можем заключить, что к моменту второй встречи каждый из них прошел расстояние втрое больше пройденного к моменту первой встречи. Это расстояние равно ширине реки. Поскольку белый ааром прошел до первой встречи 720 м, к моменту второй встречи все пройденное им расстояние равно 720 х 3 = 2160 м. Из чертежа видно, что это расстояние на 400 м больше ширины реки, поэтому надо из 2160 вычесть 400. Получится 1760 м. Это и есть ширина реки. Время стоянки паромов в решение не входит.

К решению задачи можно подойти и иначе. Пусть ширина реки х. Вначале отношение расстояний, пройденных паромами, равно (x-720)/720. Ко второй встрече оно будет составлять (2х-400)/х+400. Эти отношения равны, из них мы легко находим х.

3. Линия АС является одной из диагоналей прямоугольника ABCD (рис. 55).

Рис. 55

Вторая диагональ BD служит радиусом окружности, длина которого равна 10 единицам. Поскольку диагонали равны, длина линии АС также равна 10 единицам.

4. Электрик закоротил на верхнем этаже пять пар проводов (закороченные попарно провода соединены пунктирными линиями на рис. 56), оставив один провод свободным. Потом он спустился вниз и с помощью тестера нашел нижние концы закороченных пар. На рисунке показано, какими буквами он обозначил провода. Затем он закоротил те провода, которые соединены пунктиром внизу.

Рис. 56

Вернувшись наверх, он разъединил закороченные провода, но оставил их скрученными попарно. Затем он подсоединил тестер к свободному проводу (он знал, что это верхний конец провода F) и к одному из остальных. Определив второй провод, он смог установить, что это Е₂, а соседний провод – Е₁. Затем он подключил прибор к Е₁ и к проводу, который оказался D₂. Это позволило электрику установить, что соседний конец принадлежит проводу D₁. Следуя своему методу, он легко нашел все провода. Указанный способ годится для любого нечетного числа проводов.

Немного изменив этот метод, можно применить его к любому четному числу проводов больше двух. Предположим, что справа на рис. 56 есть двенадцатый провод. Наверху закорачиваются те же пять пар проводов, а два остаются свободными. Внизу провода закорачиваются, как прежде, а двенадцатый провод обозначается буквой G. Вернувшись наверх, электрик легко находит G: это единственный из двух свободных проводов, который ни с каким другим не связан. Остальные одиннадцать проводов распознаются так же, как раньше.

Существует в каком-то смысле более рациональный метод, применимый к любому числу проводов, кроме двух (задача о двух проводах не имеет решения). Этот метод легко объяснить на схеме из четырнадцати проводов (рис. 57).

Рис. 57

Метод заключается в следующем:

1. Верхний этаж. Закоротите провода по одному, два, три и т. д. Обозначьте закороченные группы буквами А, В, С, D и т. д. Последняя группа может быть неполной.

2. Нижний этаж. Установите выделенные ранее группы проводов с помощью тестера. Пронумеруйте провода и объедините их в новые группы Z, Y, X, W, V…

3. Верхний этаж. Разъедините провода. Теперь их номера можно определить с помощью тестера. Провод 1 —это, конечно, А. Провод 3 – это единственный провод в группе В, соединенный с 1. Его соседом должен быть 2. В группе С только провод 6 соединяется с 1. С 2 соединяется только 5. Провод, остающийся в С, будет 4.

И так далее для других групп.

Чертеж можно неограниченно продолжать вправо. Для случая n проводов чертеж следует оборвать на n-м проводе.

5. Непрерывная линия, которая входит в каждый прямоугольник и выходит из него, обязательно пересекает два отрезка. На рис. 58 каждая из областей А, В и С ограничена нечетным числом отрезков. Следовательно, если линия пересекает все отрезки, то концы ее должны лежать внутри прямоугольников А, В и С. Но у непрерывной кривой только два конца, поэтому на плоскости задача неразрешима.

Рис. 58

Те же рассуждения применимы, если сетка нарисована на сфере или на торе (левый нижний рисунок). Однако на торе сетку можно нарисовать так (правый нижний рисунок), что отверстие тора будет внутри одного из трех прямоугольников А, В или С, и тогда задача решается легко.

6. Из двенадцати спичек можно построить прямоугольный треугольник со сторонами в три, четыре и пять единиц, как показано на рис. 59 слева.

Рис. 59

Его площадь равна шести квадратным единицам.

Изменив положение трех спичек так, как показано на правом рисунке, мы уменьшим площадь фигуры на две квадратные единицы.

Получится многоугольник с площадью, равной четырем квадратным единицам.

Это решение приводится во многих сборниках головоломок.

Имеются и сотни других решений. Существует связь между этой задачей и игрой в полимино, о которой рассказывается в следующей главе. Каждая из пяти фигур тетрамино (состоящих из четырех единичных квадратов каждая) позволяет найти много решений задачи со спичками. Нужно лишь отбрасывать квадраты, заменяя их равновеликими по площади треугольниками до тех пор, пока длина периметра получившейся фигуры не достигнет 12 спичек. Некоторые из таких фигур показаны на рис. 60.

Рис. 60

В каждом стоят фигурки, построенные из одного и того же элемента тетрамино.

Возможно решение в виде звезды (рис. 61).

Рис. 61

Подбирая ширину лучей, можно получать звезду любой площади: от 0 до 11,196 квадратных единиц – площади правильного десятиугольника, наибольшей площади, которую можно ограничить периметром длиной в 12 спичек.

7. Задачу об объеме оставшейся части шара можно решить, не прибегая к высшей математике. Пусть R – радиус шара. Как видно из рис. 62, радиус цилиндрического отверстия равен

а высота сферических шапочек на концах цилиндра равна R – 3.

Рис. 62

Для вычисления объема остатка, получающегося после того, как вырезаны цилиндр и шапочки, нужно прибавить объем цилиндра 6π(R² – 9) к удвоенному объему сферической шапочки и вычесть эту сумму из объема шара

Объем шапочки вычисляется по формуле:

где А – высота, а r – радиус.

При вычислении все члены взаимно уничтожаются, кроме 36π.

Это число и равно объему остатка в кубических единицах. Другими словами, объем остатка постоянен, независимо от размера сферы и диаметра отверстия.

Самое раннее упоминание об этой задаче я нашел у С. Джонса.[22]22
  Jones S. I. Mathematical Nuts. – 1932, pp. 86, 93.


[Закрыть] Там же приводится и аналогичная двумерная задача. Если в кольце произвольного размера провести самую длинную прямую линию, то площадь кольца равна площади круга, построенного на этой прямой как на диаметре (рис. 63).

Рис. 63

Некоторые читатели быстро решили задачу с помощью весьма тонкого рассуждения. Редакция журнала не стала бы предлагать задачу своим читателям, если бы та не имела единственного решения. Но коль скоро задача имеет единственное решение, объем оставшейся части шара не зависит от радиуса отверстия и сохраняет свое постоянное значение даже тогда, когда радиус отверстия становится равным нулю. Поэтому объем оставшейся части шара равен объему шара диаметром 6 см, то есть З6π см³.

8. В любой момент времени жуки находятся в вершинах квадрата, который сжимается и поворачивается по мере сближения жуков. Поэтому путь преследователя всегда будет перпендикулярен пути преследуемого. Это значит, что если А приближается к В, то скорость В не имеет компоненты вдоль направления скорости А.

Следовательно, А поймает В через такой же промежуток времени, как если бы В стоял на месте. Длина каждой спирали будет равна стороне квадрата—10 см.

Если же три жука выползают из вершин равностороннего треугольника, то составляющая скорости каждого жука, направленная к его преследователю, будет равна половине всей скорости жука (косинус угла 60° есть 1/2). Поэтому жуки будут сближаться со скоростью 3/2, если за единицу принять скорость жука относительно бумаги. Жуки встретятся в центре треугольника через промежуток времени, равный отношению стороны треугольника к утроенной скорости жука. Каждый жук при этом проползет расстояние, равное 2/3 стороны треугольника.

9. Когда Джон задумался над задачей профессора, ему было известно, что во всех семьях количество детей различно, а всего детей меньше 18. Кроме того, он знал, что если перемножить число детей, то получится номер дома профессора. Поэтому прежде всего он должен был разложить номер дома на множители, сумма которых была бы меньше 18. Если бы это можно было сделать только одним способом, то Джон решил бы задачу сразу. Поскольку он не мог ее решить без дополнительной информации, мы делаем вывод, что номер дома допускает разложение на множители более чем одним способом. Придя к такому заключению, мы должны выписать все возможные комбинации четырех различных чисел, сумма которых не превышает 18, и вычислить произведения каждой четверки.

Оказывается, что во многих случаях одно и то же произведение получается для разных комбинаций чисел. Как же решить, какое из произведений равно номеру дома?

Ключ к решению заключается в вопросе Джона о том, имеет ли самая маленькая семья больше одного ребенка. Этот вопрос приобретает смысл лишь в том случае, если номер дома 120. Разложить это число на множители можно следующими способами: 1x3x5x8, 1х4х5х6 и 2хЗх4х5. Если бы Смит ответил отрицательно, задача оставалась бы нерешенной. Но раз Джон ее все-таки решил, это значит, что ответ был положительным. Поэтому в семьях было 2, 3, 4 и 5 детей.