Текст книги "Математические головоломки и развлечения"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 30 страниц)

Глава 17. ТЕТРАФЛЕКСАГОНЫ

Об изобретении гексафлексагонов и их построении подробно говорится в главе 1. В тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек, имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим названием тетрафлексагонов. И если свойства гексафлексагонов были тщательно исследованы (по существу, была построена полная математическая теория гексафлексагонов), то о тетрафлексагонах известно гораздо меньше. Артур X. Стоун и его друзья (в особенности Джон У. Тьюки) посвятили много времени складыванию и анализу этих четырехсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить всеобъемлющую теорию, которая охватывала бы все на первый взгляд ничем не связанные между собой разновидности этих головоломок. Тем не менее некоторые из тетрафлексагонов представляют особый интерес с точки зрения занимательной математики.

Рассмотрим сначала простейший тетрафлексагон. Он имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном. Его легко сложить из полоски бумаги, изображенной на рис. 97 (а – лицевая, б – оборотная сторона полоски). Перенумеруем квадраты на обеих сторонах полоски так, как это сделано на рис. 97.

Перевернув полоску бумаги оборотной стороной вверх, перегнем ее слева направо вдоль вертикали, разделяющей две тройки, а затем загнем самый правый нижний квадрат (рис. 97, в) и склеим его оборотную сторону с верхним квадратом прозрачной лентой (рис. 97, г).

Рис. 97 Как сделать тритетрафлексагон.

На верхней поверхности окажутся квадраты с двойками, на нижней – квадраты с единицами. Перегнем тритетрафлексагон по вертикальной оси и сложим его вдвое так, чтобы квадраты с двойниками оказались снаружи. Вывернув получившуюся «книжечку» спереди, мы увидим, что квадраты с единицами исчезли, спрятались внутрь, зато стали видны квадраты с тройками.

Честь изобретения этого устройства принадлежит не Стоуну и его друзьям – вот уже несколько столетий по этой схеме делают шарнирные соединения «двойного действия». На моем письменном столе, например, стоят две рамочки для фотографий, которые соединены так, что образуют тритетрафлексагон, с одинаковой легкостью открывающийся в обе стороны.

Ту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках. Наиболее известны цепочки из деревянных брусков или пластмассовых кубиков, скрепленных между собой крест-накрест проволочками или тесемками. Стоит лишь определенным образом передвинуть отдельные звенья цепочки, как создается полное впечатление, что верхний кубик перемещается в самый низ цепи. На самом деле это не более чем обман зрения, вызванный последовательным изгибанием шарнирных соединений, выполненных по схеме тритетрафлексагона. В 90-е годы прошлого столетия в США широкой популярностью пользовалась основанная на этом же принципе игрушка под названием «Лестница Якова» (рисунок и описание этой игрушки можно найти в книге Альберта А. Гопкинса[33]33
  Hopkins A. A. Magic: Stage Illusions and Scientific Diversions. – 1897.


[Закрыть]). В наше время в магазинах игрушек можно было встретить ее современные варианты – «Кубики клик-клак» и «Кубики флип-флоп».

Существует по крайней мере шесть типов четырехсторонних трафлексагонов, известных под названием тетратетрафлексагоны.

Для изготовления их удобнее всего взять прямоугольный кусок тонкого картона и разграфить его на 12 квадратов. Нумерация квадратов на обеих сторонах листа показана на рис. 98 (а и б).

Рис. 98 Как сделать тетратетрафлексагон.

Пунктиром обозначены линии разрезов. Взяв прямоугольник так, чтобы лицевая его сторона (рис. 98, а) была обращена к нам, отогнем вниз и налево язычок из двух центральных квадратов с цифрами 2 и 1 и подогнем правый столбец. То, что при этом получится, показано на рис. 98, в. Еще раз подогнем правый столбец и загнем на себя и вправо квадрат с тройкой, торчавший до сих пор слева. После этих операций все квадраты с 1 окажутся сверху. Два центральных квадрата склеим прозрачной лентой так, как показано на рис. 98, г.

Вы без труда догадаетесь, как следует перегнуть тетратетрафлексагон, чтобы увидеть квадраты с единицами, двойками и тройками. Несколько труднее увидеть четверки. Разумеется, рвать картон не разрешается. Более сложные тетрафлексагоны этого типа с четным числом поверхностей можно построить из аналогичных прямоугольников, а тетрафлексагоны с нечетным числом «листов» – из зигзагообразных полосок, похожих на ту, из которой мы сложили тритетрафлексагон. В самом деле, чтобы построить трафлексагон этого типа, достаточно взять два ряда квадратиков, но добавление одного или нескольких лишних рядов без изменения основной структуры намного облегчает работу с моделью.

Тетратетрафлексагон, изображенный на рис. 98, часто используется для рекламных трюков: трудность отыскания «листка» с четверками превращает его в занимательную головоломку. Много таких складных игрушек мне доводилось видеть еще в тридцатые годы. В одной из них к скрытому развороту флексагона была приклеена «счастливая» монетка, которую нужно было найти. В другой, которая называлась «Cherchez la femme»,[34]34
  Ищите женщину (фр.)


[Закрыть] задача заключалась в том, чтобы отыскать портрет молодой девушки. И сейчас в магазинах можно увидеть старинный детский фокус, обычно известный под названием «Волшебный доллар». Шарнирные соединения этой игрушки, выполненные по схеме тритетрафлексагона, позволяют показывать незамысловатые фокусы с исчезновением долларовой купюры и других плоских предметов.

Существует совсем другая разновидность тетрафлексагонов, обладающих необычным свойством: их можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Они также имеют по четыре и больше разворотов. На рис. 99 показано, как построить одну из фигур этого типа – гексатетрафлексагон. Прежде всего нужно взять полоску бумаги, вырезанную в форме квадратной рамки (рис. 99, а – вид спереди, б – вид сзади), разграфить ее на квадраты и перенумеровать их так, как показано на рисунке.

Рис. 99 Как сделать гексатетрафлексагон.

После этого полоску бумаги нужно перегнуть вдоль всех прямых, которые отделяют друг от друга соседние квадраты. Линии сгиба должны быть «долинами», а не «горными хребтами», то есть сгибы должны быть обращены острием вниз. Наметив все линии сгиба, полоску нужно разгладить и затем снова сложить, перегнув ее вдоль прямых, указанных на рис. 99, а стрелками (направление сгиба нужно выбирать так, чтобы не «переутюживать» в противоположную сторону уже сделанные складки). Тогда обратная сторона полоски примет вид, показанный на рис. 99, в. Перегнем ее еще раз вдоль линий, указанных на рис. 99, в стрелками, и заправим квадрат с цифрой 3 под квадрат с цифрой 2. В результате все четыре верхних квадрата окажутся помеченными цифрами 2 (рис. 99, г). К левому верхнему квадрату с цифрой 2 приклеим прозрачную ленту, а другой конец ленты приклеим к квадрату с 1, находящемуся с обратной стороны флексагона.

Гексатетрафлексагон можно перегибать и по вертикальной, и по горизонтальной осям. Если брать полоски бумаги в форме квадратных рамок больших размеров, то будут получаться флексагоны с числом разворотов, увеличивающимся на 4: 10, 14, 18, 22 и т. д.

Для получения тетрафлексагонов других порядков следует брать полоски бумаги иной формы.

Самую замечательную головоломку – флексотрубку – Стоун случайно открыл, работая над флексагонами, имеющими форму прямоугольного треугольника («Для них, – сообщал он в одном письме, – мы не стали придумывать специального названия из соображений человеколюбия»). Построив плоский флексагон в форме квадрата, Стоун к своему изумлению обнаружил, что может превратить его в трубку. Как показали дальнейшие эксперименты, трубку можно полностью вывернуть наизнанку, если воспользоваться сложной системой сгибов по сторонам прямоугольных треугольников.

Флексотрубка делается из полоски бумаги, поделенной на четыре квадрата (рис. 100, а), каждый из которых в свою очередь разделен на четыре прямоугольных треугольника.

Рис. 100 Как сложить и вывернуть флексотрубку.

Перегнув полоску в обе стороны по сторонам и диагоналям квадратов, склеим ее концы. У нас получится трубка квадратного сечения. Задача заключается в том, чтобы, пользуясь только намеченными сгибами, вывернуть эту трубку наизнанку. Более долговечную модель можно сделать, наклеив на матерчатую ленту 16 треугольников из картона или тонкого металла. Между треугольниками нужно оставить небольшой зазор, чтобы трубка сгибалась. Выкрасив эти треугольники с одной стороны, вы всегда сможете видеть, как далеко вам удалось продвинуться в выворачивании трубки.

Один из способов решения этой отнюдь не простой задачи показан на рис. 100, б– л. Совместив точки А, превратим трубку в плоский квадрат (рис. 100, в). Положив квадрат на стол, перегнем его вдоль прямой ВВ так, чтобы верхняя половина накрыла нижнюю. У нас получится треугольник, изображенный на рис. 100, г.

Нажав на вершины В, сведем их вместе так, чтобы треугольник превратился в маленький квадрат (рис. 100, д). Особенно внимательно при этом нужно следить за тем, чтобы внутренние выступы разошлись в противоположные стороны. Распечатаем квадрат (рис. 100, е): потянув за середину кармашка С, опустим ее до отказа вниз. Наша бумажная лента будет после этого сложена так, как показано на рис. 100, ж. Треугольник с вершиной в точке D подогнем внутрь, чтобы получился прямоугольник (рис. 100, з).

Раскрыв его, мы снова увидим трубку квадратного сечения (рис. 100, и), которая оказывается вдвое короче исходной.

Проделана половина всех операций – вывернута ровно половина трубки. Сплющим трубку еще раз, снова превратив ее в прямоугольник (рис. 100, к). Этот прямоугольник отличается от показанного на рис. 100, з тем, что он получается при сплющивании трубки по другой диагонали. Начав с операции, показанной на рис. 100, л, «уничтожим следы» того, что уже было сделано, то есть будем производить все действия в обратном порядке. В результате мы и получим вывернутую наизнанку трубку. Известны еще по крайней мере два совершенно различных, но столь же хитроумных способа выворачивания флексотрубки. Додуматься до каждого из них так же трудно, как и до способа, о котором мы только что рассказали.

Не так давно Стоун сумел доказать, что склеенную в форме цилиндра ленту любой ширины всегда можно вывернуть наизнанку, перегибая ее вдоль конечного числа прямых, однако общий метод слишком сложен для того, чтобы мы могли объяснить его здесь.

Естественно, возникает вопрос: можно ли вывернуть бумажный пакет (то есть трубку прямоугольного сечения, заклеенную с одного конца) за конечное число перегибаний? Эта задача еще не решена.

По-видимому, ответ будет отрицательным независимо от соотношения размеров пакета, хотя найти удовлетворительное доказательство этого факта, по всей вероятности, будет крайне трудно.

Глава 18. АНГЛИЙСКИЙ ИЗОБРЕТАТЕЛЬ ГОЛОВОЛОМОК ГЕНРИ Э. ДЬЮДЕНИ

Генри Эрнест Дьюдени – величайший английский изобретатель головоломок. Трудно в наше время найти хоть одну книгу по занимательной математике, в которой (часто без указания авторства) не нашлось бы нескольких блестящих математических задач, рожденных его неисчерпаемой фантазией.

Дьюдени родился в небольшой английской деревушке Мэйфилд в 1857 году и, следовательно, был на 16 лет моложе американского гения головоломок Сэма Лойда. Не знаю, встречались ли когда-нибудь эти мастера головоломки лично, но в 90-х годах прошлого века они успешно сотрудничали в английском журнале Tit-Bits («Лакомые кусочки»), публикуя в нем серию статей с математическими головоломками, а позднее условились обмениваться своими находками, помещая их в отделах математических игр и головоломок различных газет и журналов. Этим и объясняется большое число совпадений и повторов в публикациях Лойда и Дьюдени.

Очевидно, из этих двух мастеров головоломки Дьюдени был лучшим математиком, чем Лойд. Но Лойд с непревзойденным мастерством умел поразить воображение широкой публики остроумными игрушками и различного рода рекламными трюками. Ни одно из творений Дьюдени никогда не достигало такой поистине мировой известности, какой пользовалась лойдовская игра в пятнадцать или головоломка «Таинственное исчезновение», в которой один из нарисованных по кругу китайских воинов исчезал буквально на глазах зрителей. С другой стороны, произведения Дьюдени отличались большей математической глубиной и тонкостью (однажды Дьюдени назвал ребусы и загадочные картинки, которые Лойд выпускал тысячами, «детской забавой, представляющей интерес лишь для слабоумных»). Подобно Лойду, Дьюдени любил облекать свои задачи в форму забавных анекдотов. В этом ему, по-видимому, оказывала помощь его жена Алиса, написавшая более 30 романов, пользовавшихся в свое время огромной популярностью. Дьюдени принадлежат шесть сборников головоломок (три из них составлены после его смерти, последовавшей в 1931 году). И по сей день они остаются непревзойденными шедеврами занимательной математической литературы.

Первая книга Дьюдени «Кентерберийские головоломки»[35]35
  Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки. – М.: Мир, 1979.


[Закрыть] вышла в свет в 1907 году. По замыслу автора она должна была состоять из серии головоломок, которые по очереди рассказывают те самые пилигримы, чьи истории поведал нам Чосер.[36]36
  Чосер Дж. Кентерберийские рассказы. – М.: Гослитиздат, 1946.


[Закрыть] «Не стану объяснять, сколь необычным путем эти головоломки попали ко мне в руки, – писал Дьюдени, – а сразу приступлю к делу… чтобы предоставить моим читателям возможность испробовать свои силы в их решении». Помещенная в этой книге задача галантерейщика принадлежит к числу наиболее известных геометрических находок Дьюдени. Задача состоит в том, чтобы разрезать равносторонний треугольник на четыре части, из которых можно было бы составить квадрат (рис. 101).

Рис. 101 Одна из головоломок Дьюдени. Как разрезать равносторонний треугольник, чтобы из его частей можно было составить квадрат?

Разделим стороны АВ и ВС пополам в точках D и Е. На продолжении отрезка АЕ за точку Е отложим отрезок EF, равный ЕВ. Разделив отрезок AF пополам, опишем дугу AHF с центром в точке G – середине отрезка AF. Продолжим сторону СВ за вершину В до пересечения с проведенной только что дугой в точке Н. Из точки Е как из центра опишем дугу HJ.

На стороне АС отложим отрезок JK равный BE. Из точек D и К опустим перпендикуляры на EJ. Их основания обозначим через L и М. В правом верхнем углу на рис. 101 показано, как следует расположить части треугольника, чтобы составить из них идеальный квадрат. Если получившиеся при разрезании четыре фигуры скрепить между собой в трех вершинах так, как показано на рис. 101 внизу, то они образуют цепочку, которая при складывании по часовой стрелке даст треугольник, а при складывании против часовой стрелки – квадрат. Выступая в 1905 году с докладом о своей задаче перед Лондонским Королевским обществом, Дьюдени демонстрировал решение на модели из красного дерева с бронзовыми шарнирами.

Теорема, впервые доказанная известным немецким математиком Давидом Гильбертом, утверждает, что любой многоугольник, если разрезать его на конечное число частей, можно превратить в любой другой многоугольник, равновеликий первому. Доказательство этой теоремы длинно, но несложно. Оно основано на двух фактах:

1) всякий многоугольник при разрезании его по диагоналям распадается на конечное число треугольников;

2) всякий треугольник можно разрезать на конечное число частей, из которых можно составить прямоугольник с заранее заданным основанием. Это означает, что любой многоугольник самой причудливой формы мы всегда можем превратить в прямоугольник с заданным основанием, если проделаем три операции: разрежем исходный многоугольник на треугольники; разрежем треугольники на части, сложив из этих частей прямоугольники с заданным основанием, равновеликие треугольникам; наконец, прямоугольники с одинаковым (заданным) основанием объединим в один большой прямоугольник с тем же основанием. Производя названные три операции в обратном порядке, мы сможем превратить построенный большой прямоугольник в любой другой равновеликий ему многоугольник.

Совершенно неожиданным является тот факт, что аналогичной теоремы для многогранников – объемных тел, ограниченных плоскими многоугольниками, – не существует. Не существует также и общего метода, который позволил бы нам рассечь плоскостями любой многогранник так, чтобы из получившихся частей можно было сложить любой другой многогранник равного объема, хотя в отдельных частных случаях эта задача вполне разрешима. От надежды найти общий метод пришлось отказаться еще в 1900 году, когда было доказано, что призму нельзя рассечь так, чтобы из ее частей можно было составить равный по объему тетраэдр.

Хотя метод Гильберта гарантирует возможность превращения одного многоугольника в другой с помощью конечного числа разрезов, число получающихся при этом частей может быть очень велико. Изящное решение предполагает использование минимального числа частей. Найти такой минимум часто бывает весьма трудно.

В тонком искусстве геометрических построений Дьюдени неизменно сопутствовал успех, и ему часто удавалось улучшать рекорды, незыблемо державшиеся в течение долгих лет. Например, долгое время считали, что превратить правильный пятиугольник в квадрат можно лишь в том случае, если мы разрежем пятиугольник по крайней мере на семь частей, хотя для превращения в квадрат правильного шестиугольника его достаточно разрезать на пять частей.

Дьюдени удалось превратить правильный пятиугольник в квадрат, разрезав его всего лишь на шесть частей. Этот рекорд остается непревзойденным и поныне. Решение Дьюдени показано на рис. 102.

Рис. 102 Как составить квадрат из разрезанного пятиугольника.

Если кто-нибудь заинтересуется тем, каким образом Дьюдени напал на свой метод, ему следует обратиться к его книге ««Математические забавы».[37]37
  Dudeney Т. Е. Amusements in Mathematics. – London, 1917.


[Закрыть]

Наиболее известная головоломка Дьюдени – задача о пауке и мухе – представляет собой элементарную, но весьма изящную задачу из геометрии геодезических.[38]38
  Дать в нескольких словах простое и строгое определение геодезической довольно трудно. Обычно (хотя это и не совсем верно) геодезическими называют кратчайшие линии на поверхности. Более подробно о геодезических можно прочитать в брошюрах Л. А. Люстерника «Геодезические линии» (М.: Гостехтеоретиздат, 1940) и «Кратчайшие линии» («Популярные лекции по математике», вып. 19. – М.: Гостехтеоретиздат, 1955).


[Закрыть] Впервые она была опубликована в 1903 году в одной английской газете, но внимание широкой публики привлекла лишь два года спустя, после того как ее перепечатала лондонская газета «Дейли мейл». Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого указаны на рис. 103.

Рис. 103 Задача о пауке и мухе.

Посредине боковой стены на расстоянии одного фута от потолка сидит паук. Посредине противоположной стены на высоте одного фута от пола сидит муха. От страха у нее отнялись ноги, и она не может двинуться с места. Спрашивается, каково кратчайшее расстояние, которое должен преодолеть паук для того, чтобы схватить муху?

Для решения задачи нужно построить развертку граней прямоугольного параллелепипеда и провести на ней прямую от местонахождения паука к точке, в которой сидит муха. Поскольку построить развертку можно многими способами, найти кратчайшее расстояние не так легко, как кажется на первый взгляд.

В менее известной задаче Дьюдени, также связанной с построением геодезической, речь идет о цилиндрическом стакане (рис. 104), имеющем четыре дюйма в высоту и шесть дюймов по окружности.

Рис. 104 Задача о мухе и капле меда.

Внутри него на расстоянии одного дюйма от верхнего края на стенке имеется капелька меда. Снаружи на стенке, прямо против капельки, на расстоянии одного дюйма от дна стакана сидит муха.

Каков кратчайший путь мухи к меду? Какое расстояние должна пройти муха, следуя кратчайшим путем к любимому лакомству?

Интересно отметить, что, хотя Дьюдени был мало знаком с топологией, в его время еще только начинавшей развиваться, при решении различных головоломок, связанных с отысканием кратчайших путей или размещением фигур на шахматной доске, он нередко пользовался остроумными топологическими приемами. Одним из таких приемов является его «метод нити и пуговиц». Сущность этого метода хорошо можно понять на примере старинной шахматной задачи, изображенной на рис. 105.

Рис. 105 Изобретенный Дьюдени «метод нити и пуговиц».

Как поменять местами черных и белых коней за наименьшее число ходов? Заменим восемь внешних квадратов доски восемью пуговицами, а все возможные ходы каждого коня отметим прямыми, соединяющими начальную и конечную позиции (на рис. 105 это показано на средней схеме). Представим себе теперь, что эти прямые – не что иное, как нити, связывающие пуговицы. Очевидно, что эти нити, не меняя топологической структуры и связности схемы, можно распутать и расположить говицы по окружности (на рис. 105 такое расположение показано внизу). Теперь сразу видно, что для решения задачи нужно лишь, записывая ходы (чтобы потом воспроизвести их на шахматной доске), переставлять коней в любом направлении по кругу до тех пор, пока они не поменяются местами. То, что поначалу казалось сложным, «метод нити и пуговиц» делает до смешного простым.

Многие задачи Дьюдени относятся к теории чисел. Наиболее трудную из них сформулировал доктор медицины из «Кентерберийских головоломок». У почтенного доктора было два сферических сосуда, один из них имел в окружности ровно фут, другой – два фута. Доктору хотелось выяснить точную величину двух других сосудов той же формы, но иных размеров, которые вмещали бы столько же жидкости, сколько первые два сосуда.

Поскольку объемы сосудов, имеющих одинаковую форму, но отличающихся размерами (в геометрии такие фигуры называются подобными), относятся как кубы соответствующих линейных размеров, задача сводится к решению диофантова уравнения х³ + у³ = 9 в рациональных числах, отличных от 1 и 2. Два таких числа, разумеется, должны быть дробными. Дьюдени нашел дроби

Знаменатели и первой и второй дроби оказались короче ранее известных. Если учесть, что Дьюдени не пользовался никаким калькулятором, то этот факт достоин удивления.

Любителям такого рода задач доставит удовольствие и более простое исследование: найти два рациональных числа, сумма кубов которых равна 6. Французский математик прошлого века Андриен Мари Лежандр доказал, что таких дробей не существует, однако Дьюдени опроверг его «доказательство» и сумел найти решение.

Числители и знаменатели найденных Дьюдени дробей всего лишь двузначны!

Задаче Дьюдени о треугольнике, который нужно разрезать так, чтобы из его частей можно было составить квадрат, было посвящено много писем читателей. Оказалось, что метод Дьюдени после некоторых изменений приложим не только к равносторонним треугольникам, но и к более широкому классу треугольников. Одна читательница сообщила, что задача Дьюдени навела ее сына на мысль сделать набор из четырех столиков, которые при желании можно составить так, чтобы их крышки образовывали либо квадрат, либо равносторонний треугольник. Столики всем очень понравились. Другой читатель, воспользовавшись решением Дьюдени, разбил плоскость на бесконечную мозаику из взаимозацепляющихся квадратов и равносторонних треугольников.

Некоторые читатели, ошибочно полагая, что точки J и К (на рис. 101) расположены непосредственно под точками D и Е, прислали доказательства того, что из четырех частей треугольника нельзя составить точный квадрат. Но по построению точки J и К не совпадают с основаниями перпендикуляров, опущенных из D и Е. Строгое доказательство точности решения Дьюдени можно найти в статье Честера У. Хоули «Еще одна заметка о превращении квадрата в равносторонний треугольник».[39]39
  Mathematics Teacher. – February 1960.


[Закрыть]

Интересный вариант задачи Дьюдени о пауке и мухе опубликовал Морис Крайчик. Восемь пауков отправляются на охоту из точки, расположенной на 80 дюймов выше центра торцовой стенки комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

Каждый из них, следуя своим маршрутом, направляется к мухе, сидящей в точке, расположенной на 80 дюймов ниже центра противоположной стенки комнаты. Каждый паук движется со скоростью 0,65 мили в час. По истечении 625/11 секунды все пауки одновременно настигают муху. Каковы размеры комнаты?

Ответы

Длина кратчайшего пути от паука к мухе равна 40 футам, как видно из развертки комнаты, показанной на рис. 106. Интересно заметить, что эта геодезическая пересекает 5 из 6 граней развертки.

Рис. 106 Ответ к задаче о пауке и мухе.

Муха доползает до капли меда, пройдя 5 дюймов. Ее маршрут на развертке стакана показан на рис. 107.

Рис. 107 Ответ к задаче о мухе и капле меда.

Именно так распространялся бы свет из точки, где сидела муха, в точку, где находится капля меда (от верхнего края стакана луч света отражается по закону: угол падения равен углу отражения). Из чертежа видно, что путь мухи равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами в 3 и 4 дюйма.

Две дроби, сумма кубов которых равна 6, выражаются числами 17/21 и 37/21

Решение задачи о пауках и мухе дано в книге Крайчика.