Текст книги "Математические головоломки и развлечения"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 26 (всего у книги 30 страниц)

Если верно, что цифры в десятичном разложении π случайны, то мы, по-видимому, с полным основанием можем сформулировать парадокс, в какой-то мере аналогичный парадоксу со стадом обезьян, которые, просидев достаточно долго за пишущими машинками, смогут напечатать все пьесы Шекспира. Стифен Барр заметил, что если не ставить пределом точности измерения длины стержней, то с помощью двух стержней, не делая на них никаких зарубок или меток, можно в принципе передать содержание всей «Британской энциклопедии». В самом деле, длина одного стержня принимается за единицу (эталон) длины. Длина другого выбирается так, чтобы она отличалась от единичной на величину, выражающуюся очень длинной десятичной дробью. Цифрами десятичной дроби закодирован текст «Британской энциклопедии»: различным числам (в десятичной записи которых нет нуля) сопоставлены слова и знаки пунктуации, встречающиеся во всех томах энциклопедии от «А» до «Z»; нуль использован для разделения кодовых чисел. Ясно, что таким образом всю «Британскую энциклопедию» можно закодировать одним, хотя и невероятно длинным числом. Поставив перед этим числом запятую и приписав слева единицу, мы получим длину второго стержня Барра.

При чем же здесь π? А вот при чем: если цифры в десятичном разложении π действительно распределены случайно, то где-то в их бесконечной последовательности должен встретиться отрезок, содержащий в закодированном виде всю «Британскую энциклопедию», а также любую книгу, которая была, будет или могла быть написана.

* * *

В 1961 году компьютер ИБМ-7090 вычислила π с точностью до 100625 знаков. Программа была составлена Дэниэлом Шенксом (не имеющим никакого отношения к Уильяму Шенксу; это лишь одно из тех странных совпадений, которыми изобилует история числа π) и Джоном У. Ренчем-младшим. Машинное время составило 8 ч 1 мин; еще 42 мин потребовалось для того, чтобы перевести результат из двоичной в десятичную форму. Вычисление нескольких тысяч знаков π в настоящее время стало популярным средством проверки новых компьютеров и обучения молодых программистов.

«Загадочное и чудесное π,– пишет в своей книге «Что мы знаем о больших числах» Филипп Дж. Дэвис, – стало чем-то вроде покашливания, которым компьютеры прочищают горло».

Ответ

Читателю предлагалось найти сторону квадрата, равновеликого (по площади) фигуре, похожей на вазу (рис. 214) и ограниченной дугами окружности диаметром 10 см.

Рис. 214 Как «квадрировать» вазу.

Ответ: сторона квадрата также равна 10 см. Если пунктирные линии провести так, как показано на рисунке, то станет видно, что сегментами А, В и С можно заполнить «лунки» А', В' и С', при этом образуются два квадрата общей площадью 100 см². На рис. 215 показано, как разрезать вазу всего лишь на три части так, чтобы из них можно было сложить квадрат 10 х 10 см.

Рис. 215 Квадрирование вазы разрезанием ее на три части.

Глава 42. ВИКТОР АЙГЕН, МАТЕМАГ И ВОЛШЕБНИК

В последнее время все больше фокусников-любителей стало обращать внимание на «матемагию» – фокусы, основанные не на ловкости рук, а на том или ином математическом принципе. Профессионалы не любят таких фокусников и стараются их избегать, потому что для обычной аудитории они слишком трудны и непонятны («ученая материя»!), но в небольшой компании, если их показывать не как чудеса, а просто как головоломки, такие фокусы могут быть интересными и занимательными. Мой друг Виктор Айген, инженер по электронному оборудованию и экс-президент «Братства американских повелителей волшебной палочки», всегда находится в курсе последних достижений матемагии. В надежде почерпнуть у него что-нибудь интересное для странички «Математических развлечений», регулярно публикуемой в журнале Scientific American, я нанес ему очередной визит.

Дверь открыл сам хозяин, стройный седовласый человек лет пятидесяти с небольшими морщинками у глаз.

– Не возражаешь, если мы немного посидим на кухне? – спросил он, впуская меня в квартиру. – Жена смотрит телепередачу, и, пока программа не кончится, ее лучше не беспокоить. Налить тебе бурбон-виски?

Мы сели за кухонный столик и подняли стаканы.

– За матемагию! – сказал я. – Что новенького?

Виктор тотчас же извлек из кармана рубашки колоду карт.

– Последняя новинка в карточных фокусах – это принцип Гилбрейта – одна довольно хитрая теорема, открытая Норманом Гилбрейтом, молодым фокусником из Калифорнии.

Разговаривая, Виктор быстро разложил карты на столе так, что черные и красные масти чередовались друг с другом.

– Ты, конечно, знаешь, что если снять часть колоды, взять одну половину колоды в правую руку, другую – в левую и предоставить картам падать одна на другую, то расположение карт будет весьма далеким от случайного?

Я снял верхнюю часть колоды и перетасовал карты по способу Виктора.

– Посмотри на карты, – сказал Виктор. – Видишь, правильное чередование черных и красных карт не нарушилось.

– Вижу.

– Сними карты еще раз, но так, чтобы нижняя карта верхней половины и верхняя карта нижней половины были одного цвета.

Обе половинки порознь передай мне. Карты держи рубашкой кверху, чтобы я не видел их лицевой стороны.

Я послушно выполнил все указания. Виктор опустил обе половинки под стол, так что никто из нас не мог видеть карт, и сказал:

– Я пытаюсь на ощупь определить цвет карт и составить черно-красную пару.

Нужно ли говорить, что первая же пара карт, которую он выложил на стол, была черно-красной. За первой парой последовала вторая, третья… десятая.

– Как ты это делаешь?

Виктор, не дав мне договорить, засмеялся. Бросив оставшиеся карты на стол, он начал открывать одну пару карт за другой. В каждой паре одна карта была красного, а другая – черного цвета.

– Нет ничего проще, – сказал он и пояснил: – Карты нужно снять, верхнюю часть карт положить снизу, а затем – запомни, это самое главное – разделить колоду на две части так, чтобы разделенными оказались две карты одного цвета. Чередование карт нарушится, но карты будут по-прежнему упорядочены и в каждой паре сохранится по одной черной и по одной красной карте.

– Не может быть!

– Подумай немного и ты поймешь, почему так получается, хотя сформулировать доказательство в нескольких словах не так легко. Кстати сказать, мой друг Эдгар Н. Джилберт из лаборатории фирмы «Белл» включил интересную головоломку, основанную на аналогичном принципе, в свою недавнюю работу о тасовании карт и теории информации. Я набросал ее для тебя.

С этими словами он протянул мне листок бумаги, на котором означились буквы:

TLVEHEDINSAGMELRLIENATGOVRAR

GIANESTYOFOFIFFOSHHRAVEMEVSO

– Эти буквы взяты из одной фразы, опубликованной в Scientific American пять лет назад, – пояснил он. – Джилберт написал каждую букву на отдельной карточке, а карточки сложил в колоду так, что всю фразу можно было прочитать, двигаясь сверху вниз.

Разделив колоду на две части и поменяв их местами, он записал новую последовательность, в которой расположились буквы. По его наблюдениям, на расшифровку фразы в среднем уходит около получаса. Дело в том, что, сняв карты, мы лишь незначительно меняем информацию, содержащуюся в исходной последовательности карт, а избыточность различных буквенных комбинаций в английском языке настолько велика, что вероятность составить фразу, отличную от первоначальной, крайне мала (в своей работе Джилберт даже приводит точное значение этой вероятности).

Я загремел кубиками льда в своем стакане.

– Прежде чем наполнить стаканы, – сказал Виктор, – я хочу показать тебе один остроумный фокус с предсказанием. Нам потребуется твой стакан и девять игральных карт. – И он разложил на столе девять карт со значениями от единицы до девятки в виде известного магического квадрата 3x3 (рис. 216).

Рис. 216 Карты и стакан, приготовленные для фокуса с предсказанием.

Все карты были червовой масти, только в центре лежала пятерка пик. Из кармана Виктор достал конверт и положил его рядом с магическим квадратом.

– Я хочу, чтобы ты поставил свой стакан на любую из этих девяти карт, – продолжал он, – но сначала я должен сообщить тебе, что в этом конверте лежит библиотечная карточка, на которой записаны кое-какие инструкции. Составляя их, я исходил из предположения о том, какую карту ты выберешь и как ты будешь переставлять свой стакан потом, когда карты нужно будет выбирать случайным образом. Если мои предположения верны, ты закончишь на карте в центре квадрата.

Он постучал пальцем по пятерке пик.

– А теперь можешь поставить стакан на любую из девяти карт, в том числе и на пятерку пик.

Я поставил стакан на двойку червей.

– Так я и думал, – засмеялся Виктор. Он вытащил из конверта карточку, и я прочитал следующие инструкции:

1. Отбрось семерку.

2. Сделай семь ходов и отбрось восьмерку.

3. Сделай четыре хода и отбрось двойку.

4. Сделай шесть ходов и отбрось четверку.

5. Сделай пять ходов и отбрось девятку.

6. Сделай два хода и отбрось тройку.

7. Сделай один ход и отбрось шестерку.

8. Сделай семь ходов и отбрось туза.

«Ход» состоит в передвижении стакана на соседнюю карту по вертикали или горизонтали, но не по диагонали. Тщательно следуя полученным инструкциям, я старался делать все ходы как можно более случайным образом.

К моему величайшему удивлению, стакан ни разу не оказался на той карте, которую я должен был отбросить, а после того, как я изъял восемь карт, мой стакан, как и предсказывал Виктор, остался стоять на пятерке пик!

– Ты совсем закрутил мне голову, – признался я. – А какую бы карту нужно было отбросить, если бы я поставил стакан на семерку пик?

– Должен признаться, – ответил Виктор, – что в этом фокусе есть немного жульничества, не имеющего отношения к математике.

Расположение карт в виде магического квадрата не имеет никакого отношения к делу. Существенно лишь, где лежат карты: карты, лежащие на нечетных местах – в углах и в центре, – образуют одно множество, карты, лежащие на четных местах, образуют множество противоположной четности. Увидев, что ты поставил стакан на карту из нечетного множества, я дал тебе те инструкции, которые ты видел. Если бы ты поставил стакан на карту из четного множества, то я бы, прежде чем вынимать карточку с инструкциями, перевернул конверт.

Он перевернул библиотечную карточку. На ее обратной стороне оказался второй перечень инструкций:

1. Отбрось шестерку.

2. Сделай четыре хода и отбрось двойку.

3. Сделай семь ходов и отбрось туза.

4. Сделай три хода и отбрось четверку.

5. Сделай один ход и отбрось семерку.

6. Сделай два хода и отбрось девятку.

7. Сделай пять ходов и отбрось восьмерку.

8. Сделай три хода и отбрось тройку.

– И ты считаешь, что эти два свода инструкций – один для случая, когда я ставлю стакан на четное место, другой – на нечетное, – всегда приведут к пятерке пик?

Виктор кивнул.

– Почему бы тебе не напечатать обе стороны карточки с инструкциями в журнале? Пусть читатели поломают голову над тем, как получается этот фокус.

Наполнив еще раз стаканы, Виктор сказал:

– Принцип четности используется во многих математических фокусах. Сейчас я покажу тебе один из них. У тебя создастся впечатление, что я обладаю даром ясновидения.

Он протянул мне карандаш и чистый лист бумаги.

– Сейчас я повернусь к тебе спиной, а ты нарисуешь самую затейливую замкнутую кривую с любым числом самопересечений (постарайся, чтобы их было побольше). Следи только за тем, чтобы ни в одной точке кривая не пересекала себя больше одного раза.

Он повернулся лицом к стене и оставался сидеть так, пока я рисовал кривую (рис. 217).

Рис. 217 Произвольно начерченная замкнутая кривая со случайным образом обозначенными точками самопересечения для фокуса с «ясновидением».

– Каждую точку самопересечения обозначь какой-нибудь буквой. Буквы не должны повторяться, – сказал он через плечо.

Я сделал все, как надо.

– Теперь поставь карандаш в любую точку кривой и начни обводить ее. Каждый раз, дойдя до точки самопересечения, называй вслух стоящую около нее букву. Делай так до тех пор, пока не обведешь всю кривую, но в одном месте – где именно, неважно – две соседние буквы поменяй местами. Под соседними я понимаю буквы, которые расположены рядом друг с другом в направлении обхода кривой. Когда будешь переставлять буквы, мне ничего не говори.

Я начал с точки N, дошел до Р и продолжил свой путь, называя одну за другой встречавшиеся мне буквы. Я видел, что Виктор записывает их в блокнот. Дойдя во второй раз до буквы В и увидев, что дальше стоит F, я мысленно переставил их и назвал сначала F, а потом В. При этом я называл буквы без промедления, в том же темпе, что и раньше, чтобы Виктор не мог догадаться, в каком именно месте я совершил перестановку.

Едва я успел закончить, как он сказал:

– Ты переставил В и F.

– Здорово! – ответил я. – Но как ты узнал?

Виктор засмеялся и повернулся ко мне.

– Этот фокус основан на одной топологической теореме, играющей важную роль в теории узлов, – сообщил он. – Превосходное доказательство ее можно найти в книге Г. Радемахера и О. Теплица.[66]66
  Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления: 4-е изд. – М.: Наука, 1966.


[Закрыть]

Он перебросил мне блокнот, в котором записывал буквы. Буквы попеременно располагались то над горизонтальной прямой, то под ней:

Если не переставлять буквы, то каждая из них должна встретиться один раз вверху, над прямой, и один раз внизу. Все, что мне нужно сделать, – это найти те буквы, которые повторяются дважды вверху и внизу. Именно их и переставили.

– Красивый фокус, – согласился я.

Виктор открыл пачку крекеров и, вытащив две штуки, положил их справа и слева от себя. На обоих крекерах он нарисовал стрелки, указывающие на север (рис. 218). Зажав левый крекер между большим и средним пальцами левой руки так, как показано на рис. 218, он кончиком указательного пальца правой руки надавил на угол А и повернул крекер вокруг диагонали, соединяющей зажатые углы.

Рис. 218 Как держать крекеры в фокусе со стрелками, изменяющими направление.

На обратной стороне Виктор нарисовал еще одну стрелку, также указывающую на север.

Затем он взял в правую руку другой крекер и, повернув его нажатием указательного пальца на угол В, нарисовал на обратной стороне стрелку, указывающую на юг.

– Теперь у нас все готово, – сказал он улыбаясь, – для забавного фокуса, использующего свойства симметрии квадрата относительно вращений. Обрати внимание, что на обеих сторонах левого крекера я нарисовал стрелки, указывающие на север.

Он взял крекер в левую руку и повернул его несколько раз, чтобы продемонстрировать, что обе стрелки смотрят на север.

– На правом же крекере одна стрелка указывает на юг, а другая – на север. – Взяв крекер в правую руку и быстро завертев его, он показал, что стрелки действительно направлены в противоположные стороны.

Положив оба крекера на стол, Виктор осторожно, не изменив ориентации стрелок, поменял крекеры местами.

– Покрути их, пожалуйста, – попросил он. – Я хочу, чтобы ты убедился, что на правом крекере обе стрелки указывают на юг, а на левом – одна на юг, а другая на север.

Виктор передал мне оба крекера, и, повертев их точно таким же образом, как это делал он сам, я убедился, что крекеры действительно поменялись местами.

Виктор положил крекеры перед собой, простер над ними ладони и повелел крекерам незримо вернуться на прежние места. Он повернул крекер, лежащий слева от него, и я с удивлением увидел, что обе стрелки указывают на север! Виктор взял правый крекер, и оказалось, что одна стрелка смотрит на юг, а другая – на север!

– Попробуй сам, – сказал он, – и увидишь, что все получается автоматически. В самом деле, ведь оба крекера совершенно одинаковы. Разница состоит лишь в том, какой рукой ты их держишь.

Если попросишь зрителя проверить крекеры, то можешь не сомневаться, что он возьмет правый крекер в левую руку, а левый крекер – в правую. При этом крекер с противоположно направленными стрелками он возьмет так, чтобы стрелка на лицевой стороне была обращена на север.

Я допил свой стакан. Виски в бутылке оставалось только на одну порцию. Кухня слегка покачивалась.

– А сейчас я покажу тебе фокус, – сказал я, взяв из пачки еще один крекер, – статистическое испытание. Я подброшу крекер.

Если он упадет нижней стороной вверх, остатки виски получаешь ты. Если он упадет вверх другой стороной, виски допиваешь снова ты. Если же он упадет вверх ни той, ни другой стороной, то последнюю порцию получаю я.

Виктор смотрел на меня настороженно.

– О'кей! – сказал он.

Я сжал крекер в кулаке и подбросил вверх крошки.

Мертвая тишина. Даже холодильник перестал бормотать.

– Вижу, что виски, которое я должен был выпить, бросилось тебе в голову, – сказал наконец Виктор без тени улыбки. – И должен заметить, что такой дурацкий фокус вряд ли стоит показывать старому другу.

* * *

Нестрогое доказательство принципа Гилбрейта можно провести следующим образом. Сняв часть карт (из заранее подготовленной колоды с правильным чередованием черных и красных карт), мы окажемся в одной из двух возможных ситуаций: нижние карты в каждой из половин колоды могут быть либо одного цвета, либо двух разных цветов. Предположим, что нижние карты различаются по цвету.

После того как упадет первая из нижних карт, нижние карты в обеих половинах колоды станут одного цвета. Если первая упавшая карта была черной, обе нижние карты будут красными; если же она была красной, то обе нижние карты после этого будут черными. Поэтому безразлично, из какой половины брать следующую карту – из правой или из левой. И в том и в другом случае, уронив на стол следующую нижнюю карту, мы получим пару карт различного цвета. После того как упадет вторая карта, мы возвращаемся к исходной ситуации: нижние карты в обеих половинах колоды имеют разный цвет. Уронив на стол любую из них, мы снова добьемся того, что обе нижние карты будут одного цвета, противоположного цвету только что выложенной карты, и т. д. Рассуждение можно повторять до тех пор, пока вся колода не окажется исчерпанной.

Предположим теперь, что при первоначальном разбиении колоды на две части нижние карты каждой из половин оказались одного цвета. Первой может упасть любая из этих карт. Ко всем последующим парам карт применимо только что проведенное рассуждение.

Останется лишь одна карта. Ясно, что цвет ее должен отличаться от цвета отложенной в самом начале карты. Поэтому в том случае, когда колоду карт делят между двумя картами одного цвета (то есть между «готовыми» парами карт различных цветов), верхнюю и нижнюю карту колоды нужно объединить в одну пару, а все остальные пары уже готовы.

Фокус с картами и стаканом можно показывать многими способами. Один из читателей рассказал, что он, случайным образом выбрав девять карт, раскладывал их в три ряда по три карты в каждом, а потом просил зрителя поставить на любую из карт миниатюрный череп. В черепе было небольшое отверстие, в которое он вставлял скатанную полоску бумаги со своим предсказанием: названием карты, находящейся в центре. Карточку с нужными инструкциями он вынимал из кармана (в двух карманах, правом и левом, лежали две разные карточки). Указания, содержавшиеся в инструкциях, относились не к названию карты, а к ее «координатам».

Другой читатель разработал вариант фокуса, в котором инструкции зрителю давал голос, записанный на граммофонную пластинку, а стакан или другой предмет нужно было переставлять по девяти карточкам, носившим названия девяти планет. Пластинку, разумеется, можно было ставить либо на одну, либо на другую сторону.

Ответ

Предложение, записанное на карточках, расшифровывается так:

«The smelling organs of fish have evolved in a great variety of forms»

(«Органы обоняния рыбы чрезвычайно разнообразны по форме»).

Глава 43. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК

Из всех великих математических гипотез, не доказанных и не опровергнутых по сей день, простейшей – в том смысле, что понять ее может даже маленький ребенок, – следует считать знаменитую топологическую проблему четырех красок. Предположим, что нам требуется раскрасить географическую карту. Сколько красок нужно взять для того, чтобы никакие две «сопредельные» страны, имеющие общую границу, не были выкрашены в один цвет? Нетрудно начертить карту, для раскраски которой требуются лишь четыре краски. Зная только элементарную математику, вполне можно разобраться в строгом доказательстве того, что пять красок достаточно для раскраски любой карты. Можно ли утверждать, что для тех же целей необходимо и достаточно взять четыре краски?

Иначе говоря, можно ли начертить карту, для раскраски которой необходимо иметь пять красок? Математики, размышлявшие над этой задачей, склоняются к мнению, что сделать этого нельзя, но утверждать с уверенностью невозможность построения карты, требующей для своей раскраски пяти цветов, они не могут.

Не проходит и месяца, чтобы кто-нибудь не прислал мне пространного «решения» проблемы четырех красок. Почти во всех случаях оказывается, что автор очередного «решения» спутал проблему с гораздо более простой задачей – доказательством того, что невозможно начертить карту, на которой было бы всего лишь пять стран и каждая из этих стран примыкала бы к четырем остальным странам (две страны, имеющие лишь одну общую точку, примыкающими друг к другу, не считаются). Я сам тоже в какой-то мере способствовал этому распространенному заблуждению, написав как-то раз научно-фантастический рассказ под названием «Остров пяти красок» о вымышленном острове, который один польский тополог разделил на пять областей так, что каждая область имела общую границу с четырьмя остальными. Нетрудно доказать, что такую карту начертить нельзя. Можно предположить, что отсюда автоматически следует решение проблемы четырех красок для всех карт, но такое заключение неверно.

Чтобы разобраться, в чем здесь дело, рассмотрим простую карту, изображенную на рис. 219,а (истинная форма областей роли не играет, важно лишь то, как области примыкают друг к другу; проблема четырех красок потому и относится к топологии, что в ней речь идет о свойстве плоских фигур, не меняющемся при деформации поверхности, на которой эти фигуры начерчены).

В какой цвет выкрасить еще не закрашенную область? Очевидно, цвет должен быть либо красным, либо каким-то новым, четвертым цветом, отличающимся от уже нанесенных на карту. Предположим, что мы избрали вторую альтернативу и выкрасили пустую область в зеленый цвет. Добавим теперь еще одну область. Вполне очевидно, что закончить раскраску карт (с соблюдением всех условий) без привлечения пятого цвета нельзя. Вернемся снова к карте и выкрасим пустую область вместо зеленого в красный цвет. Такая раскраска приводит к трудностям, если с первыми четырьмя областями соприкасаются две другие области (см. карту на рис. 219,в). Ясно, что для раскраски этих двух областей нам понадобятся четвертая и пятая краски. Является ли все сказанное доказательством того, что для раскраски некоторых карт необходимо брать пять красок?

Рис. 219 При раскрашивании карты в четыре цвета часто приходится начинать всю работу сначала, выбирая другие краски. 1 – белый; 2 – черный; 3 – красный; 4 ~ серый; 5 – розовый.

Отнюдь нет. В обоих случаях мы можем обойтись всего лишь четырьмя красками, следует только вернуться к исходной карте и изменить первоначальную схему раскраски.

При раскрашивании сложных карт с десятками «стран» мы то и дело будем попадать в подобные «тупики» и возвращаться к тому, с чего начали. Следовательно, для решения проблемы четырех красок необходимо либо доказать, что во всех случаях, изменив надлежащим образом схему раскраски, можно добиться успеха, либо придумать какой-нибудь способ, который позволил бы исключить все ненужные варианты раскраски любой карты в четыре цвета. Стифен Барр предложил замечательную топологическую игру, основанную на трудности предвидения таких «тупиковых» раскрасок. Игрок А чертит произвольную область. Игрок В раскрашивает ее и пририсовывает новую область. Игрок А раскрашивает новую область и добавляет еще одну область. Игра продолжается.

Каждый из игроков раскрашивает область, начерченную противником, и дорисовывает свою область. Проигрывает тот, кто вынужден воспользоваться пятой краской. Я не знаю лучшего способа понять трудности, которые встречаются на пути решения проблемы четырех красок, чем просто поиграть в эту любопытную игру.

Часто говорят, первыми, кто понял, что для раскраски любой карты требуется взять лишь четыре краски, были картографы. Математик Кеннет О. Мэй усомнился в справедливости этого утверждения. Проведя тщательное исследование происхождения проблемы четырех красок, Мэй не нашел в старинных книгах по картографии ни формулировки проблемы, ни указания на то, что она известна авторам этих книг. По-видимому, впервые проблему четырех красок в явном виде сформулировал Фрэнсис Гетри, студент из Эдинбурга. Он упомянул о ней в письме брату Фредерику (ставшему впоследствии химиком), который в свою очередь сообщил ее (в 1852 году) своему преподавателю математику Августу де Моргану.

Широкую известность проблема четырех красок приобрела после того, как в 1878 году выдающийся математик Артур Кэли сообщил, что он размышлял над этой проблемой, но так и не сумел ее решить.

В 1879 году английский юрист и математик Альфред Кемпе опубликовал то, что, по его мнению, было решением проблемы, а год спустя представил в журнал Nature статью со сверхсамоуверенным названием «Как раскрасить карту четырьмя красками».

В течение десяти лет математики считали проблему решенной, но потом П. Дж. Хивуд указал на роковой пробел в доказательстве Кемпе. С тех пор математические умы безуспешно пытались найти решение проблемы. Внешне невинная формулировка проблемы четырех красок – кажется, что решить ее совсем нетрудно, – многим сулит ложные надежды. В своей автобиографической книге «Бывший вундеркинд» Норберт Винер писал о том, что и он, подобно всем математикам, пытался найти решение проблемы четырех красок, но каждый раз найденное решение, как заколдованное золото в волшебной сказке, обращалось в его руках в груду глиняных черепков. В настоящее время проблема четырех красок положительно решена для всех карт с числом стран, не превышающим 38. Может показаться, что 38 —очень маленькое число, но полученное решение становится менее тривиальным, если учесть, что число топологически различных карт с числом стран, не превышающим 38, оказывается больше чем 10³⁸. Даже современные быстродействующие компьютеры не в состоянии перебрать все эти варианты в сколько-нибудь разумный отрезок времени.

Отсутствие доказательства для проблемы четырех красок на плоскости становится еще удивительнее, если учесть, что аналогичные проблемы решены для более сложных поверхностей (при рассмотрении проблемы четырех красок поверхность сферы не отличается от плоскости: любую карту на сфере можно превратить в эквивалентную карту на плоскости, сферу проколоть в точке, лежащей внутри любой области, а затем растянуть на плоскости). Для раскраски односторонних поверхностей, таких, как лист Мёбиуса, бутылка Клейна и проективная плоскость, необходимо и достаточно шести красок. Для раскраски карты на поверхности тора, или бублика, число красок должно быть равно семи. Одна из таких карт показана на рис. 220,в.

Рис. 220 Для раскраски карты на торе достаточно семи красок. Для получения тора лист бумаби (а) сворачивают в трубку (б), концы которой склеиваются (в) (тор показан в увеличенном виде).

Обратите внимание на то, что каждая область ограничена шестью отрезками прямых и примыкает к шести другим областям.

Проблема раскраски карты по сути дела решена для всех сколько-нибудь серьезно изученных сложных поверхностей, но стоит лишь взять поверхность, топологически эквивалентную плоскости или сфере, как решение проблемы ускользает от топологов. Хуже всего, что всякие видимые причины, объясняющие, почему так происходит, отсутствуют. Все предпринятые попытки, казалось, гарантировали успех, и лишь на самом последнем этапе, когда цепочка рассуждений вот-вот должна была замкнуться, обнаруживался досадный просчет, мнимый успех улетучивался подобно миражу.

Трудно заранее предсказать, каким окажется решение знаменитой проблемы, но можно не сомневаться, что того, кто первым сумеет подтвердить или опровергнуть гипотезу о возможности раскраски любой карты четырьмя красками, ожидает всемирное признание и слава. «Прорыв» в неприступной обороне проблемы может произойти по одному из трех направлений:

1. Будет начерчена карта, для раскраски которой непременно требуются пять красок. «Если взять на себя смелость и составить прогноз на будущее, – пишет Г. С. М. Коксетер в великолепной статье «Проблема четырех красок, 1840–1890 годы», – то я должен высказать предположение, что карта, требующая для своей раскраски пяти красок, вполне может существовать, но даже простейшая из таких карт имеет столько стран (их могут быть сотни и даже тысячи), что ни у кого из тех, кто столкнется с ней, не хватит терпения, чтобы проделать все необходимые проверки и исключить возможность ее раскраски с помощью четырех красок».

2. Будет обнаружено доказательство гипотезы, может быть, с помощью какого-нибудь нового метода, который внезапно откроет многие запертые двери в здании математики.

3. Будет доказано, что доказать или опровергнуть гипотезу невозможно. Это утверждение может показаться странным, но в 1931 году Курт Гёдель установил, что во всякой дедуктивной системе, достаточно сложной для того, чтобы она включала арифметику, существуют математические теоремы, «неразрешимые» в рамках этой дедуктивной системы. До сих пор удалось доказать «неразрешимость» (в смысле Гёделя) лишь очень немногих великих гипотез.

Является ли проблема четырех красок такого рода математической теоремой? Если это так, то ее можно считать «истинной» только в том случае, если ее или какую-нибудь другую тесно связанную с ней теорему включить в качестве нового недоказуемого постулата в расширенную дедуктивную систему.

К сожалению, доказательство того, что пяти красок достаточно для раскраски карт на плоскости, а шести или более красок необходимо и достаточно для раскраски некоторых более сложных поверхностей, слишком длинно, чтобы приводить его здесь. Некоторое представление о том, как протекает доказательство этих теорем, читатель сможет получить из следующего остроумного доказательства теоремы о раскраске в два цвета.

Рассмотрим все возможные карты на плоскости, образованные прямыми. Примером такой карты может служить обычная шахматная доска. Менее правильный узор изображен на рис. 221 слева.

Достаточно ли двух красок для раскрашивания всех таких карт?