Текст книги "Математические головоломки и развлечения"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 25 (всего у книги 30 страниц)

Глава 40. УПАКОВКА ШАРОВ

Шары одинаковых размеров можно складывать в пирамиды и располагать в пространстве множеством самых различных способов.

Возникающие при этом конфигурации шаров, или, как еще принято говорить, укладки и упаковки, обладают многими любопытнейшими свойствами. Этим и объясняется тот интерес, который питает к подобного рода задачам занимательная математика. Изучать свойства упаковок и расположение шаров лучше всего на моделях.

Изготовив набор из 30 шаров, читатель намного облегчит себе понимание того, о чем мы расскажем в этой главе. Лучше всего взять 30 теннисных мячей. Мячи можно покрыть тонким слоем резинового клея и, высушив, складывать из них великолепные модели тех упаковок, о которых сейчас пойдет речь.

Для начала совершим небольшой экскурс в двумерные задачи аналогичного содержания. Если шары разложить на столе в виде квадрата (рис. 205, справа), то число шаров будет одним из так называемых «квадратных» чисел. Если же шары разложить в виде треугольника (см. рис. 205, слева), то число шаров будет одним из «треугольных» чисел. И квадратные и треугольные числа служат простейшими примерами того, что в древности было принято называть «фигурными числами». В старину их изучением занимались многие математики (знаменитый трактат о фигурных числах написал Паскаль), и хотя в наше время им уделяют мало внимания, они позволяют интуитивно понять многие аспекты элементарной теории чисел.

Достаточно, например, одного лишь взгляда на левую часть рис. 205, чтобы понять, что сумма любого числа целых положительных слагаемых, начинающихся с единицы, равна треугольному числу. Взглянув на правую часть рис. 205, мы сразу же заметим, что квадратные числа получаются при сложении последовательных нечетных чисел, начинающихся с 1.

Рис. 205 Происхождение треугольных (слева) и квадратных (справа) чисел.

Рис. 206 позволяет сразу же понять интересную теорему, известную еще пифагорейцам: всякое квадратное число есть сумма двух последовательных треугольных чисел. Алгебраическое доказательство этой теоремы просто.

Рис. 206 Связь между квадратными и треугольными числами.

Треугольное число, выражающее количество шаров, уложенных на плоскости в виде треугольника со стороной из п шаров, равно сумме 1 + 2 + 3 +.. + n, которую можно представить в виде 0.5n(n + 1).

Предыдущее треугольное число дается формулой 0.5n(n-1). Сложив оба выражения и вычеркнув члены с противоположными знаками, мы получим n2. Существуют ли числа, которые бы в одно и то же время были и квадратными и треугольными? Оказывается, существуют, причем их бесконечно много. Наименьшее из таких чисел (если не считать единицы, которая входит в любую последовательность фигурных чисел) равно 36, затем идут 1225, 41616, 1413721, 48 024 900… Вывести формулу для n-го члена этой последовательности довольно трудно.

Трехмерные аналоги плоских фигурных чисел возникают при укладке шаров в пирамиды. Правильные треугольные пирамиды, все грани и основание которых имеют вид равносторонних треугольников (такие пирамиды называются тетраэдрами), порождают так называемые тетраэдрические числа. Последовательность этих чисел выглядит так: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84… Общий член ее выражается формулой 1/6∙n(n + 1)(n + 2), где n – число шаров, уложенных вдоль ребра пирамиды. Четырехугольные пирамиды с квадратом в основании и боковыми гранями в форме равносторонних треугольников (то есть половинки правильного октаэдра) порождают (четырехугольные) пирамидальные числа 1, 5, 14, 30, 55, 91,140…. Общий член этой последовательности дается формулой 1/6∙n(n+1)(2n + 1). Подобно тому как квадрат можно разрезать вдоль прямой на два последовательных треугольника, четырехугольную пирамиду можно рассечь плоскостью на два последовательных тетраэдра. (При построении моделей пирамид, порождающих пирамидальные числа, нужно следить за тем, чтобы шары нижнего слоя не раскатывались в стороны. Их можно удерживать на месте с помощью бортиков из линеек или дощечек.)

Свойства двух названных нами типов пирамидальных чисел легли в основу многих занимательных задач. Предположим, например, что городские власти собираются поставить на одной из площадей города памятник в виде четырехугольной пирамиды, сложенной из пушечных ядер.

Какое наименьшее число ядер нужно взять для того, чтобы их сначала можно было уложить в виде квадрата, а затем – в виде четырехугольной пирамиды, грани которой имеют форму равносторонних треугольников? Самое удивительное в ответе (4900 ядер) – его единственность. Доказательство этой задачи сложно и было получено лишь в 1918 году. Другой пример: продавец фруктов уложил апельсины в виде двух тетраэдров, но потом передумал и уложил их в виде одного большого тетраэдра. Каким должно быть наименьшее число апельсинов для того, чтобы их можно было уложить и в виде двух маленьких, и в виде одного большого тетраэдра? Если оба меньших тетраэдра одинаковы, то ответ единствен: 20 апельсинов. А как обстоит дело, если меньшие тетраэдры неодинаковы по размеру?

Представим теперь, что у нас очень большая коробка, что-то вроде тех ящиков, в которые упаковывают при перевозке пианино, и мы хотим наполнить ее как можно большим числом теннисных мячей. Как нужно для этого укладывать мячи? Прежде всего мы должны уложить слой мячей так, как показано на рис. 207 (окружности, проведенные тонкими линиями).

Рис. 207 При гексагональной упаковке шары следует класть в ямки А, при кубической – в ямки В.

Второй слой мячей следует укладывать поверх зазоров между мячами первого слоя (на рисунке второй слой обозначен окружностями, проведенным более жирными линиями). Приступая к укладке третьего слоя, мы сталкиваемся с необходимостью отдать предпочтение одному из двух возможных вариантов:

1. Каждый мяч можно положить в ямку, помеченную буквой А, то есть поместить его прямо над мячом первого слоя. Если, продолжая укладку, мы будем каждый раз помещать мячи очередного слоя строго над мячами слоя, расположенного через ряд под ним, то мячи образуют так называемую плотную гексагональную упаковку.

2. Каждый мяч можно поместить в углубление В, прямо над зазором между мячами первого слоя. Если придерживаться этого способа укладки мячей (при котором каждый новый мяч располатается прямо над мячом, лежащим на три слоя ниже), то в результате получается так называемая плотная кубическая упаковка.

Именно так упакованы шары, сложенные в виде четырехугольной пирамиды с боковыми гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, и в виде тетраэдров. Различие состоит лишь в том, что в четырехугольной пирамиде слои располагаются параллельно боковым граням, а в тетраэдре – основанию.

При заполнении слоев плотной упаковки мы можем при желании переходить от гексагональной упаковки к кубической и наоборот и получать различные «гибридные» формы плотнейших упаковок. Во всех плотных упаковках – гексагональной, кубической и гибридных – каждый шар касается двенадцати соседних шаров и плотность упаковки (отношение объема, занятого шарами, к объему всего пространства) равна

или почти 75 %.

Следует ли такую плотность считать наибольшей? Более плотные упаковки неизвестны, но в статье о связи между плотной упаковкой и порами в застывшей пене (1958) Г. С. М. Коксетер высказал интригующее замечание о том, что наиболее плотная упаковка еще не найдена. Действительно, двенадцать шаров можно расположить так, что все они будут касаться одного и того же центрального шара, и лишь немногого не хватает, чтобы к этим двенадцати можно было добавить тринадцатый шар. Большие пустоты в расположении двенадцати шаров вокруг центрального шара наводят на мысль о том, что при некоторой неправильной упаковке плотность может оказаться выше 0,74… (для сравнения напомним, что при плотнейшем расположении кругов на плоскости пустот, размеры которых были бы сравнимы с диаметром круга, вообще нет). Никому еще не удалось доказать, что упаковка с плотностью, превышающей 0,74…, невозможна. Не доказано даже, что касание с двенадцатью соседними шарами необходимо для плотнейшей упаковки. Высказанная Г. С. М. Коксетером гипотеза побудила Джорджа Д. Скотта проделать ряд экспериментов с шарами, упакованными случайным образом. Он насыпал большое количество стальных шариков в сферические колбы и взвешивал их. Полученные Скоттом результаты показали, что устойчивые случайные упаковки соответствуют плотностям в диапазоне от 0,59 до 0,63. Это означает, что если упаковка с плотностью, большей 0,74…, и существует, то строить ее необходимо по тщательно продуманной схеме, которая еще никому не известна.

Приняв плотную упаковку за плотнейшую, мы сможем предложить читателю очень трудную задачу: чему равно наибольшее число стальных шариков диаметром 1 см, которые могут уместиться в квадратной коробке размером 10 х 10 х 5 см?

Если плотно упакованные круги на плоскости равномерно «раздувать» до тех пор, пока не заполнятся все промежутки между ними, то получится узор, напоминающий пол в ванной комнате, выложенный шестиугольными плитками. (Кстати сказать, этим и объясняется столь широкое распространение «шестиугольного паркета» в природе: в пчелиных сотах, в пене между двумя почти соприкасающимися плоскими поверхностями, в пигментах на сетчатке глаза, на поверхностях некоторых диатомей и т. п.) А что произойдет с плотно упакованными шарами, если их равномерно расширять в замкнутом сосуде или подвергать равномерному давлению извне? Каждый шар, оказывается, превратится в многогранник (грани которого соответствуют касательным плоскостям, проведенным в точках касания шара с соседними шарами). При кубической упаковке каждый шар превращается в ромбический додекаэдр (рис. 208, а), все двенадцать граней которого имеют вид одинаковых ромбов. При гексагональной упаковке каждый шар переходит в трапецеромбический додекаэдр (рис. 208, б), у которого шесть граней имеют вид ромбов, а другие шесть – трапеций.

Рис. 208 При раздувании шаров, образующих плотную упаковку, они превращаются в додекаэдры.

Если трапецеромбический додекаэдр разрезать пополам показанной на рисунке плоскостью и одну из половинок повернуть на 60° относительно другой, то получится ромбический додекаэдр.

В 1727 году английский физиолог Стифен Хейлз описал в своей книге «Статистика растений» один опыт: насыпав в горшок зеленых горошин, он подверг их сжатию и получил «весьма правильные додекаэдры». Этот опыт получил название «горошин Бюффона» (потому что несколько позднее такой же опыт описал Бюффон).

У большинства биологов он не вызывал никаких сомнений до тех пор, пока Эдвин Б. Мацке, ботаник из Колумбийского университета, не повторил его. Из-за неправильной формы, неодинаковых размеров, неоднородной плотности и случайного расположения насыпанных в контейнер горошин их форма после сжатия оказалась настолько случайной, что ее трудно было отнести к какому-нибудь определенному типу многогранников. В 1939 году появилось сообщение о новых экспериментах Мацке: он сжал свинцовую дробь и обнаружил, что при кубической упаковке дробинок образуются ромбические додекаэдры, а при случайной упаковке преобладают четырнадцатигранники неправильной формы. Мацке указал, что полученные им результаты имеют важное значение для исследования таких структур, как пена или живые клетки в недифференцированных тканях.

Задача о плотнейшей упаковке наводит на мысль о прямо противоположном вопросе: какую упаковку можно назвать редчайшей, то есть при каком расположении шаров в пространстве достигается минимум плотности? Чтобы вся структура была жесткой, каждый шар должен касаться по крайней мере четырех остальных, а точки касания не должны лежать в одном полушарии или на одном экваторе. В книге «Наглядная геометрия» Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена[62]62
  Гильберт Д, Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: 2-е изд. – М. – Л.: Гостехтеоретиздат, 1951.


[Закрыть] описана упаковка, которую в то время считали редчайшей. Ее плотность составляла 0,123. Однако уже в следующем году голландские математики Г. Хееш и Ф. Лейвз сообщили подробности более редкой упаковки с плотностью всего лишь 0,0555 (рис. 209).

Рис. 209 Редкая упаковка Хееша и Лейвза. Большие шары сначала располагают так, как показано на левом рисунке, а затем каждый из больших шаров заменяют тремя маленькими. Результат показан на рисунке справа. Плотность такой упаковки составляет всего лишь 0,0555.

Существует ли еще более редкая упаковка? Вот еще один интересный вопрос, который так же, как и вопрос о плотнейшей упаковке, пока еще остается нерешенным.

* * *

Единственность ответа (4900 ядер) в задаче о числе шаров, которые можно уложить и в виде квадрата, и в виде четырехугольной пирамиды, была доказана Г. Н. Уотсоном A918). Предположение о единственности ответа высказал еще в 1875 году французский математик Эдуард Люка. Аналогичное предположение можно найти у Г. Дьюдени A917).

Числам, которые одновременно являются и треугольными и квадратными, посвящена обширная литература. Известна формула для n-го квадратно-треугольного числа:

Вопрос о плотнейшей решетчатой упаковке шаров решен для всех пространств, размерность которых не превышает восьми.[63]63
  Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 7, Am. Math. Soc., 1963, pp. 53–71.


[Закрыть] В трехмерном пространстве ответ на вопрос дают описанные нами кубическая и гексагональная упаковки с плотностью 0,74… При переходе к девятимерному пространству, как замечает К. Рейд в своей книге «Введение в высшую математику» A959), задача претерпевает одно из тех неожиданных загадочных превращений, которые столь часто встречаются в геометрии многомерных евклидовых пространств. Насколько мне известно, задача о плотнейшей упаковке гиперсфер в девятимерном пространстве никем еще не решена. Девятимерное пространство служит поворотным пунктом и в тесно связанной с проблемой упаковки задаче о числе одинаковых сфер, касающихся одной и той же сферы того же радиуса. Лишь в 1953 году К. Шютте и Б. Л. Ван-дер-Варден впервые доказали, что для трехмерного пространства ответ равен 12.[64]64
  'Math. Ann., 125, 1953, pp. 325–334.


[Закрыть] Более позднее доказательство можно найти в статье Дж. Лича «Задача о тринадцати сферах».[65]65
  Mathematical Gazette, 40, № 331, February 1956, pp. 22–23.


[Закрыть] Соответствующая задача на плоскости имеет очевидный ответ: 6 (ровно столько одинаковых монет – но не больше! – могут касаться одной и той же монеты). Если прямую рассматривать как «вырожденную сферу», то ответ для одномерного пространства равен 2. Для четырехмерного пространства доказано, что 24 гиперсферы могут касаться одной и той же двадцать пятой гиперсферы, а для пространств размерности 5, 6, 7 и 8 максимальное число гиперсфер равно соответственно 40, 72, 126 и 240. Для девятимерного пространства задача остается нерешенной.

Ответы

Наименьшее число апельсинов, из которых можно сложить либо две пирамиды (тетраэдра) неодинаковых размеров, либо одну большую пирамиду-тетраэдр, равно 680. Это тетраэдрическое число можно представить в виде суммы двух меньших тетраэдрических чисел: 120 и 560. Вдоль ребер пирамид можно уложить 8, 14 и 15 апельсинов.

В квадратную коробку с основанием 10 см² и высотой 5 см стальные шарики диаметром 1 см можно плотно уложить многими способами, и в зависимости от способа укладки коробка будет вмещать различное число шаров. Максимальная емкость – 594 шарика – достигается следующим образом. Перевернув коробку на бок, нужно уложить первый слой шариков. Первый ряд должен состоять из 5, второй – из 4, третий – снова из 5, четвертый – снова из 4 и т. д. шариков. Всего получится одиннадцать рядов (шесть рядов по пяти шариков в каждом и пять рядов по четыре шарика в каждом).

На все ряды первого слоя у вас уйдет 50 шариков, а незаполненная полоска вдоль стенки коробки будет иметь в ширину около 0,3 см.

Второй слой также должен состоять из одиннадцати рядов. Первый и последний ряды содержат по четыре шарика, остальные – попеременно то пять, то четыре шарика. Во втором слое умещается всего лишь 49 шаров. (Последний ряд на 0,28… см выступает над последним рядом первого слоя, но, поскольку эта величина меньше оставшегося после укладки первого слоя зазора в 0,3 см, все шары второго слоя умещаются в коробке.) Всего в коробку входит двенадцать слоев (общей высотой 9,98… см), состоящих попеременно то из 50, то из 49 шариков, то есть 594 шарика.

Глава 41. ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО «ПИ»

«Лицо Пи было скрыто маской. Все понимали, что сорвать ее, оставшись при этом в живых, не сможет никто. Сквозь прорези маски пронзительно, безжалостно, холодно и загадочно смотрели глаза», – так писал в своей книге «Кошмары выдающихся личностей» Бертран Рассел.

Отношение длины окружности к ее диаметру, которое древние греки обозначили буквой π («пи»), возникает во многих ситуациях, не имеющих никакого отношения к окружностям. Английский математик Август де Морган назвал как-то «пи» «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».

Приведем лишь один пример. Рассмотрим множество целых положительных чисел. Если из них случайным образом выбрать два числа, то какова вероятность того, что выбранные числа не будут иметь общего делителя? Ответ неожидан: искомая вероятность равна 6/π². Тем не менее именно то обстоятельство, что π связано с окружностью, сделало его наиболее известным представителем бесконечного класса трансцендентных чисел.

Что такое трансцендентное число? По определению трансцендентным называют число, которое не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Квадратный корень из 2 —число иррациональное, но это – «алгебраическое иррациональное» число, потому что – это—«алгебраическое иррациональное» число, потому что корень из 2 есть корень квадратного уравнения х² – 2 = 0. Число π не может быть корнем ни одного алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, оно получается в результате некоторого предельного перехода. Дробная часть десятичной записи числа тг, как и у всех иррациональных чисел, бесконечна и непериодична.

Ни одна дробь с целым числителем и знаменателем не может быть в точности равной π, но существует много простых дробей, которые дают исключительно хорошее приближение числа π. Самая замечательная из таких дробей была найдена еще в V веке до нашей эры знаменитым китайским астрономом Цю Шунь-ши.

На Западе ее открыли лишь тысячу лет спустя. Получить ее можно с помощью числового фокуса. Напишем по два раза первые три нечетных числа: 1,1, 3, 3, 5, 5. Три последних числа сделаем числителем, а три первых – знаменателем дроби: 355/113. Трудно поверить (а между тем это чистейшая правда), что эта дробь позволяет вычислить π с точностью до седьмого знака. Приближенные значения π можно получать и с помощью корней из различных чисел. Так, древние заменяли π числом 10^1/2 (3,1413…). Еще лучшее приближение дает 31^1/2 (3,1413…). Для любителей нумерологии заметим, что первые две цифры десятичного разложения π – это те самые тройка и единица, которыми записано число 31. Длина ребра куба объемом 31 см³ отличается от π меньше чем на 0,001 см. Неплохим приближением к π может служить сумма 2^1/2 + 3^1/2, равная 3,146…

Первые попытки вычислить точное значение π тесно связаны с попытками решить классическую проблему квадратуры круга.

Можно ли, пользуясь только циркулем и линейкой, построить квадрат, площадь которого была бы в точности равна площади данного круга? Если бы мы могли представить π в виде рациональной дроби или корня линейного или квадратного уравнения, то с помощью циркуля и линейки нам нетрудно было бы построить отрезок прямой, длина которого была бы в точности равна половине длины окружности. Отсюда уже совсем просто было бы получить квадратуру круга: для этого достаточно построить прямоугольник, у которого одна сторона равна радиусу окружности, а другая – половине ее длины. Площадь такого прямоугольника равна площади круга, а превратить его в равновеликий квадрат легко. Наоборот, если бы задача о квадратуре круга была разрешима, то это бы означало, что мы можем построить отрезок прямой, длина которого была бы в точности равна π. Однако существуют совершенно строгие доказательства трансцендентности числа тг и невозможности построения с помощью циркуля и линейки отрезка, длина которого выражается трансцендентным числом.

Предлагались сотни способов приближенного построения π; одно из наиболее точных построений основано на уже упоминавшемся нами приближенном представлении числа π в виде рациональной дроби, найденной китайским астрономом. Проведем в четверти единичного круга несколько линий (рис. 210) так, чтобы отрезок bc был равен 7/8 радиуса, dg – 1/2, отрезок de был параллелен отрезку ас, а df – параллелен отрезку be. Тогда, как легко видеть, расстояние fg равно 16/113, или 0,1415929… Поскольку 355/113 = 3 + 16/133, отложим отрезок втрое длиннее радиуса, продолжим его на расстояние fg и получим новый отрезок, длина которого отличается от π меньше чем на одну миллионную.

Рис. 210 Как построить отрезок прямой, длина которого отличается от π меньше чем на 0,0000003.

Тысячи людей, бившихся над решением задачи о квадратуре круга, были уверены, что им удалось построить отрезок, длина которого в точности равна π, но никто из них не смог превзойти английского философа Томаса Гоббса, в котором высокий интеллект сочетался с глубочайшим невежеством. Во времена Гоббса даже образованного англичанина не обучали математике, поэтому Гоббс до сорока лет не заглядывал в «Начала» Евклида. Впервые в жизни прочитав формулировку теоремы Пифагора, он воскликнул: «Боже, но это невозможно!» Однако затем шаг за шагом он проследил все доказательство и убедился в его правильности. С тех пор и до конца своей долгой жизни Гоббс с пылом влюбленного все свои помыслы безраздельно отдавал геометрии. «Геометрия чем-то напоминает вино», – писал он позднее. Рассказывают, что, когда у него под рукой не оказывалось более подходящей поверхности, Гоббс имел обыкновение чертить геометрические фигуры у себя на ноге или на простынях.

Если бы Гоббс так и остался любителем, то его последующие годы протекали бы более спокойно, однако чудовищное самомнение привело к тому, что он возомнил себя способным на великие математические открытия. В 1665 году, в возрасте 67 лет, он выпустил в свет на латинском языке книгу под названием «De corpore» («О телах»), в которой, помимо прочего, излагался остроумный метод решения задачи о квадратуре круга. Его метод и в самом деле позволял найти превосходное приближение числа π, но Гоббс считал свой метод точным. Джон Валлис, знаменитый английский математик и специалист по криптографии, изложил ошибки Гоббса в памфлете. Так началась самая продолжительная, нелепейшая и бесполезная словесная перепалка, в которой когда-либо участвовали два блестящих ума. Спор длился почти четверть века, обе стороны перемежали в своих публичных выступлениях едкий сарказм грубой бранью. Валлис продолжал бессмысленную «драку» отчасти ради собственного развлечения, отчасти для того, чтобы выставить Гоббса в смешном свете и тем самым очернить его религиозные и политические убеждения, которые Валлис порицал.

На первые нападки Валлиса Гоббс ответил переизданием своей книги на английском языке с добавлением, озаглавленным «Шесть уроков профессорам математики…» (думаю, читатели простят мне, если я не стану приводить полностью характерные для XVII века длиннейшие заглавия). Валлис парировал выступление своего противника, опубликовав «Поправку, в которой нуждаются познания мистера Гоббса в одной школьной дисциплине, не говоря уже о его "Шести уроках"». В ответ на это Гоббс разразился «Замечаниями об абсурдной геометрии, деревенском языке, церковной политике в Шотландии и дремучем невежестве Джона Валлиса». Тот не заставил себя ждать и выпустил труд под названием «Hobbiani Pincti Dispunctio, или опровержение замечаний мистера Гоббса».

Несколько позднее (опубликовав анонимно в Париже абсурдный метод решения задачи об удвоении куба) Гоббс писал: «Либо я сошел с ума, либо все они (профессора математики) не в своем разуме. Третьего быть не может, разве что они скажут, будто мы все рехнулись».

«Довод моего противника не нуждается в опровержении, – был ответ Валлиса, – ибо если он сошел с ума, то вряд ли его можно убедить доводами рассудка. Если же мы все сошли с ума, то мы не в состоянии даже попытаться опровергнуть его довод».

С небольшими перерывами борьба продолжалась до самой смерти Гоббса, последовавшей на 91-м году жизни философа. «Мистер Гоббс всегда был далек от мысли бросать кому-нибудь вызов, – писал Гоббс в одной из своих филиппик против Валлиса (и действительно, в отношениях с другими людьми Гоббс был крайне робок), – но, бросив ему вызов, вы убедитесь, что перо его не уступит в остроте вашему. Все сказанное вами состоит наполовину из лжи, наполовину из брани. Оно ничем не отличается от того зловония, которое испускает старая кляча, если, обкормив ее овсом, мы слишком туго затянем подпругу. Я кончил. Я уделил вам достаточно внимания и не намерен возвращаться к этому неприятному для меня занятию вновь…»

Не станем подробно обсуждать здесь то, что Валлис назвал удивительной «неспособностью» Гоббса «научиться тому, чего он не знает». Достаточно сказать, что Гоббс опубликовал около десятка различных способов решения задачи о квадратуре круга. Первое и лучшее решение показано на рис. 211.

Рис. 211 Один из способов решения задачи о квадратуре круга, принадлежащий Гоббсу.

Внутри единичного квадрата проведены дуги ас и bd. Каждая из них равна четверти окружности единичного радиуса. Точка q делит дугу bf пополам. Проведем отрезок rq, параллельный стороне квадрата, и продолжим его за точку q на расстояние, равное rq (то есть отложим на продолжении отрезок qs = rq). Проведем отрезок fs и продолжим его до пересечения со стороной квадрата в точке t. Гоббс утверждал, что отрезок bt в точности равен дуге bf, а так как дуга bf составляет 1/12 единичной окружности, то число π равно шестикратной длине отрезка bt. При этом значение π получается равным 3,1419…

Одну из главных причин всех затруднений Гоббса понять нетрудно. Он никак не мог привыкнуть к мысли о том, что точки, линии и поверхности можно рассматривать абстрактно как геометрические объекты, размерность которых меньше трех. «По-видимому, он так и ушел в могилу, – пишет в книге «Ссоры авторов» Исаак Дизраэли, – с твердым убеждением, что поверхности обладают и глубиной и толщиной, несмотря на все возражения геометров, выслушанные им при жизни». Гоббс являет собой классический пример человека выдающихся способностей, вступившего в область науки, для которой он плохо подготовлен, и растратившего всю энергию на решение пустых псевдонаучных вопросов.

Хотя невозможность решения задачи о квадратуре круга строго доказана, задача о квадратуре фигур, ограниченных дугами окружности, часто бывает вполне разрешимой. Именно это обстоятельство все еще пробуждает ложные надежды у «квадратурщиков».

Рис. 212 Титульный лист одной из книг Гоббса, содержащей «решение» задачи о квадратуре круга.

Интересный пример такой квадрируемой фигуры показан на рис. 213.

Рис. 213 Скольким квадратным единицам равна площадь этой фигуры?

Контур нижней части этой вазы образован дугой в 3/4 окружности радиусом 10 см. Верхняя половина ограничена тремя четвертушками той же окружности. Как быстро сможет читатель назвать с точностью до последнего десятичного знака длину стороны квадрата, имеющего площадь, равную площади этой фигуры?

Близкими родственниками «квадратурщиков» были вычислители π – те, кто порой затрачивал целые годы для того, чтобы вручную найти новые знаки в десятичном разложении π, оставив позади все ранее проведенные вычисления. Для этого использовали бесконечные ряды или произведения, сходящиеся к π. Одно из простейших выражений для π открыл Валлис:

В числителях дробей по два раза повторяются последовательные четные числа. (Отметим случайное сходство между первыми пятью знаменателями и цифрами в рациональном приближении числа π, открытом китайским астрономом!) Несколько десятилетий спустя великий Лейбниц открыл другую изящную формулу:

Самым неутомимым вычислителем π был английский математик Уильям Шенкс. Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков числа π. К сожалению, несчастный Шенкс ошибся в пятьсот двадцатом знаке, и все последующие цифры в полученном им выражении неверны. (Ошибку обнаружили лишь в 1945 году, поэтому семисотсемизначное разложение Шенкса и поныне еще можно встретить во многих книгах.) В 1949 году электронно-вычислительная машина «ЭНИАК», проработав в течение 70 часов, вычислила более 2000 знаков числа π. Позднее с помощью компьютера, проработавшего всего лишь 13 минут, были вычислены 3000 знаков π. В 1959 году один компьютер в Англии и другой во Франции вычислили 10000 десятичных знаков π.

Самое странное в найденных Шенксом 707 знаках π состоит в том, что эти знаки «свысока» смотрят на цифру 7: если каждая из остальных цифр, как и должно быть, встречается среди первых 700 знаков около 70 раз, то семерка появляется лишь 51 раз. «Если бы все циклометристы и апокалипсисты объединили свой разум, – писал де Морган, – и до тех пор, пока они не придут к единому мнению относительно причин этого явления, не печатали бы ни единой строки, то они заслужили бы признательность всего человечества». Спешу добавить, что после того, как все 707 первых знаков π были вычислены верно, недостающие семерки заняли подобающее им место и справедливость была восстановлена. Математики-интуиционисты придерживаются того мнения, что утверждение об «истинности или ложности» любого высказывания лишено смысла, если вы не можете подтвердить или опровергнуть это высказывание, и всегда приводят пример такого высказывания: «В десятичном разложении числа π встречаются три семерки подряд». Ныне мы с полной уверенностью можем утверждать, что высказывание «В десятичном разложении числа 7Г встречаются подряд пять семерок» истинно. Среди недавно полученных десятичных знаков для π были обнаружены не только однократно повторяющиеся тройки всех цифр от 0 до 9, но и несколько групп из 4-х семерок (и совершенно неожиданная очередь из 6-ти девяток).

До сих пор π благополучно выдерживало все статистические испытания на случайность. Это кажется непонятным тем, кто полагает, что у столь простой и изящной кривой, как окружность, должно бы быть менее дикое отношение между «обхватом» и поперечником, но большинство математиков твердо уверены в том, что среди цифр десятичного разложения π никогда не будет обнаружено никакого порядка. Разумеется, эти числа не случайны в том смысле, что они определяют число π, но в этом же смысле не случаен и миллион «случайных» цифр в таблицах так называемых «случайных чисел». Они также представляют некоторое число, к тому же целое.