Текст книги "Математические головоломки и развлечения"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 23 (всего у книги 30 страниц)

3. Независимо от того, сколько листков бумаги берут играющие в гугол, вероятность выбрать листок с наибольшим числом никогда не опускается ниже 0,367879 (предполагается, что играющий придерживается оптимальной стратегии). Эта величина обратна числу е и служит пределом вероятности выигрыша, когда число листков стремится к бесконечности.

Если для игры взято десять листков (это число особенно удобно), то вероятность выбрать листок с наибольшим числом равна 0,398. Оптимальная стратегия состоит в том, чтобы, перевернув три листка, выбрать наибольшее из значащихся на них чисел, а затем продолжать переворачивать листки до тех пор, пока не встретится еще большее число. При достаточно продолжительной игре такая тактика гарантирует выигрыш в двух случаях из пяти возможных.

Анализ игры в гугол сводится к следующему. Пусть π – число листков бумаги, взятых для игры, р – число листков, перевернутых до того, как было выбрано число, превосходящее любое из чисел, проставленных на этих листках. Перенумеруем листки по порядку от 1 до π. Пусть (k + 1) – номер листка с наибольшим числом. Для того чтобы мы могли выбрать наибольшее число, k должно быть не меньше р (в противном случае, при k < р, наибольшее число будет для нас безвозвратно «утеряно», так как окажется на одном из р первых листков), при этом наибольшее из чисел на листках от 1 до А; должно одновременно быть наибольшим из чисел от 1 до р (в противном случае мы бы не смогли дойти до наибольшего из всех чисел, так как остановили бы свой выбор на наибольшем из чисел, значащихся на листках с номерами от 1 до р). Вероятность найти наибольшее число, если оно выписано на (k + 1) – м листке, равна p/k, а вероятность того, что наибольшее число действительно стоит на (k+1) – м листке, равна 1/n. Поскольку наибольшее число может стоять только на одном листке, мы получаем для вероятности «накрытия» этого числа следующую формулу:

При заданном значении п (числа листков) формула позволяет находить оптимальное значение р (числа листков, которые нужно перевернуть) – то значение р, при котором выписанное выражение достигает максимума. При π, стремящемся к бесконечности, p/n стремится к 1/e, поэтому хорошим приближением для р можно считать ближайшее к n/e целое положительное число. Итак, при игре с п листками стратегия заключается в том, чтобы переворачивать листки до тех пор, пока их число не превысит n/e, а затем выбрать первое же число, большее максимального, из чисел, записанных на перевернутых n/e листках.

Разумеется, приведенное выше рассуждение исходит из предположения о том, что играющему не известны наибольшее и наименьшее из чисел, выписанных на листках, и поэтому, увидев очередное число, он не может судить о том, насколько близко оно к верхней или нижней границе того отрезка числовой оси, которой принадлежит выбранное число. Если играющий располагает такими сведениями, то все рассуждение становится неприменимым. Например, если вместо листков бумаги при игре в гугол взять десять долларовых купюр с их банковскими номерами, то, вытащив доллар, номер которого начинается с девятки, вам лучше всего объявить этот номер наибольшим. По аналогичным причинам игра в гугол, если говорить строго, неприменима и к задаче о девушке, жаждущей выйти замуж, ибо, как отметили многие читатели, девушка, по-видимому, великолепно осведомлена о достоинствах своих поклонников и подходит к ним с определенными мерками. Если первый же, кто делает ей предложение, очень близок к ее идеалу, то, как написал нам один из читателей, «она будет просто дурой, если не примет предложения».

Задача о максимизации значения выбранного объекта (а не вероятности выбора объекта с наибольшим значением), насколько известно, была впервые поставлена знаменитым математиком Артуром Кэли в 1875 году.

4. Примем за единицу длины ширину (или равную ей глубину) строя курсантов, а за единицу времени – то время, которое требуется им, чтобы пройти единицу длины. В принятых единицах скорость передвижения строя также будет единичной. Пусть х – полное расстояние, пройденное терьером (его скорость будет выражаться той же величиной х). Когда пес бежит к первой шеренге, его скорость относительно курсантов равна х – 1. При возвращении в последнюю шеренгу скорость терьера составляет х + 1. Каждый раз он пробегает (относительно строя) расстояние 1 и на путешествия в оба конца затрачивает единицу времени. Это позволяет нам составить уравнение

которое можно переписать в виде квадратного уравнения

Положительный корень этого уравнения равен

Умножив его на 15, получаем окончательный ответ: 36,15… м. Иначе говоря, терьер пробегает расстояние, равное длине стороны квадрата, в форме которого выстроены курсанты, плюс расстояние, равное длине диагонали того же квадрата.

Аналогичным образом получается приближенный ответ и для лойдовского варианта задачи, когда собачка бегает вокруг марширующего строя.

Пусть, как и прежде, ширина строя равна единице и единице равно время, за которое курсанты проходят 15 м. Тогда и скорость их также равна 1. Пусть а; – расстояние, пройденное собакой (и скорость собаки). Скорость собаки относительно строя равна х – 1,

когда собака бежит поперек строя, и х + 1, когда собака возвращается в последнюю шеренгу. Так как собака обегает строй за единицу времени, можно составить уравнение

которое можно переписать в виде уравнения четвертой степени:

Только один положительный корень х = 4,18112… не является посторонним. Умножив его на 15, получаем ответ: 62,7168… м.

Исходную формулу полученного выше уравнения можно привести к виду

очень похожему на уравнение, возникающее в первичном варианте задачи. Чтобы выполнить преобразование, нужно лишь извлечь квадратные корни из правой и левой частей исходного уравнения.

Возможны многочисленные варианты этой задачи: для строя, марширующего в направлении, параллельном диагонали квадрата; для строев, имеющих форму правильных многоугольников с чи-

числом сторон, превышающим 4; для построений по кругу; вращающихся строев и т. п.

Задача о терьере – это лишь иная формулировка задачи об истребителе-перехватчике, совершающем разведывательный полет по сторонам квадрата, в центре которого находится движущееся судно. Она легко решается с помощью векторных диаграмм на «планшете», на который в военно-морском флоте принято наносить обстановку.

5. Простейший способ укладки пояса Барра, при котором концы пояса оказываются прямыми, а сам он принимает вид прямоугольника, имеющего всюду одинаковую толщину, показан на рис. 192.

Рис. 192 Как Барр сложил свой пояс.

Это позволяет скатать пояс в аккуратный валик без каких-либо уродливых выступов (что хоть в какой-то мере вознаграждает нас за длительную возню с его укладкой). Предложенный способ пригоден при любой длине пояса и всегда приводит к желаемому результату независимо от того, под каким углом обрезаны углы пояса.

6. Предположение о том, что «девушка» – это Джин Браун, секретарь факультета, быстро приводит к противоречию. На первую реплику секретаря отвечает особа с черными волосами, поэтому волосы Браун не могут быть черными. Но они не могут быть и каштановыми, ибо тогда их цвет соответствовал бы фамилии. Поэтому волосы Браун могут быть только белыми. Такое заключение означает, что профессор Блэк имеет каштановые волосы, а профессор Уайт – черные. Но замечание особы с черными волосами вызывает восклицание у профессора Уайта, в силу чего они не могут быть одним и тем же лицом.

Таким образом, нам не остается ничего другого, как предположить, что Джин Браун мужчина. Волосы профессора Уайта (или Уайт) не могут быть белыми (ибо тогда их цвет соответствовал бы его или ее фамилии), не могут они быть и черными, поскольку профессор Уайт ответил (ответила) особе с черными волосами.

Следовательно, они должны быть каштановыми. Если у девушки не каштановые волосы, то профессор Уайт не может быть девушкой.

Браун мужчина, поэтому девушкой должен быть профессор Блэк.

Так как ее волосы не могут быть ни черными, ни каштановыми, она должна быть платиновой блондинкой.

7. Поскольку при полете из A в В дует попутный, а при полете из В в А – встречный ветер, многие поддаются искушению и думают, что опережение графика в первом случае и запоздание во втором компенсируют друг друга, так что полное время в полете остается таким же, как и при отсутствии ветра. Такое заключение неверно, ибо время полета с попутным ветром меньше, чем время полета против встречного ветра, в силу чего в итоге самолет запаздывает. Полное время полета при постоянном по величине и направлению ветре, независимо от этой величины и направления, всегда больше, чем в безветренную погоду.

8. Пусть х – число первоначально купленных хомяков (и равное ему число купленных попугаев), у – число хомяков среди семи оставшихся непроданными обитателей зоомагазина. Тогда число непроданных попугаев равно 7—у. Число проданных хомяков (по цене 2,20 доллара за штуку – 2 доллара «себестоимость» + 10 % надбавки) равно х – у, а число проданных попугаев (по 1,10 доллара за каждого) равно х – 7 + у.

Вырученная хозяином сумма составляет 2х долларов за хомяков и х долларов за попугаев, то есть всего 3,3x – 1,1y -7,7 долларов. От продажи хомяков хозяин получил 2,2(х – у) долларов, а от продажи попугаев – 1,1(х – 7 + у) долларов, то есть всего 3,3x – 1,1у – 7,7 доллара.

Приравняв оба полученных выражения для выручки, мы после упрощений получим следующее диофантово уравнение с двумя целочисленными неизвестными:

3x = 11у + 77.

Поскольку х и у – целые положительные числа и у не может превышать 7, проще всего подставить вместо у восемь возможных значений (в том числе и нулевое) и посмотреть, при каком из них х также принимает целое значение. Таких значений только два: 5 и 2. Каждое из них можно было бы считать решением задачи, если бы не одно обстоятельство: попугаев покупают парами. Это дополнительное условие исключает у = 2, так как при этом х (число проданных попугаев) был бы равен нечетному числу 33. Следовательно, у = 5.

Теперь уже ничто не мешает нам восстановить полную картину.

Владелец зоомагазина приобрел 44 хомяка и 22 пары длиннохвостых попугаев, уплатив за всю покупку 132 доллара. Он продал 39 хомяков и 21 пару попугаев за 132 доллара. Оставшиеся пять хомяков стоят (с учетом надбавки) 11 долларов, а два попугая – 2,20 доллара, то есть всего 13,20 доллара. Эта сумма – ответ задачи – и определяет потенциальную прибыль хозяина.

Глава 38. ВЫРЕЗАНИЕ ИЗ БУМАГИ

В главе 31 уже говорилось о занимательных задачах, возникающих при одном лишь складывании листа бумаги без разрезания. Еще более интересные и поистине неисчерпаемые возможности по-новому, иногда с довольно неожиданной точки зрения взглянуть на давно знакомые теоремы планиметрии открываются перед нами, когда в игру вступают ножницы.

Рассмотрим, например, хорошо известную теорему о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна развернутому углу (то есть составляет 180°). Вырежем из листа бумаги треугольник, поставим рядом с каждой его вершиной жирную точку и обрежем все его углы. Сложив помеченные точкой уголки вместе, вы убедитесь, что три внутренних угла треугольника действительно образуют развернутый угол (рис. 193,а).

Рис. 193 Доказательство теорем планиметрии с помощью ножниц.

Попробуем проделать такую же операцию с внутренними углами любого (в том числе и не выпуклого, как на рис. 193,б) четырехугольника. Четыре отрезанных угла в сумме всегда дают полный угол (360°). Продолжив стороны любого выпуклого многоугольника за вершины так, как показано на рис. 193, в, мы получим так называемые внешние углы (на рисунке они отмечены точками). Независимо от того, сколько сторон в многоугольнике, вырезав и приложив друг к другу его внешние углы, мы всегда получим угол в 360°.

Если одна или несколько сторон многоугольника пересекаются, мы получаем то, что иногда принято называть самопересекающимся многоугольником. Хорошо известным примером таких многоугольников может служить пятиугольная звезда, или пентаграмма, – символ братства пифагорейцев. Начертите звезду сколь угодно неправильной формы (если хотите, можно нарисовать даже одну из вырожденных звезд, изображенных на рис. 194, у которых одна или две вершины расположены внутри тела звезды), отметьте точками углы при вершинах, вырежьте звезду и отрежьте все помеченные углы, приложив их один к другому.

Рис. 194 Заставив спичку скользить вдоль сторон этих звезд, мы убедимся в том, что сумма углов, отмеченных точками, равна 180°.

Вы с удивлением обнаружите, что углы при вершинах любой звезды, так же как и внутренние углы треугольника, в сумме всегда составляют развернутый угол. Справедливость этой теоремы подтверждается и другим, не менее причудливым эмпирическим методом, который можно было бы назвать методом скользящей спички. Начертив большую звезду, положим на одну из ее сторон спичку (как следует класть спичку, показано на рис. 194). Будем сдвигать спичку вдоль стороны до тех пор, пока ее головка не совпадет с вершиной звезды, а затем повернем спичку влево так, чтобы она расположилась вдоль другой стороны нашей звезды. Ориентация спички на плоскости изменилась по сравнению с первоначальной на угол, равный углу при вершине звезды. Сдвинем теперь спичку вдоль новой стороны до следующей вершины и проделаем там то же самое. Так будем продолжать до тех пор, пока спичка не вернется в исходное положение. При этом она, описав по часовой стрелке угол в 180°, окажется перевернутой: ее головка будет направлена не вверх, а вниз. Угол, описанный спичкой, очевидно, равен сумме углов при пяти вершинах пятиугольной звезды.

Методом скользящей спички можно воспользоваться как для подтверждения правильности всех упоминавшихся выше теорем, так и для отыскания новых. Он служит удобным способом измерения углов любых многоугольников, в том числе и звездчатых, и многоугольников с любыми самыми сложными самопересечениями. Так как спичка при возвращении в исходное положение имеет направление, либо совпадающее с первоначальным, либо противоположное ему, сумма описанных ею углов (разумеется, при условии, что спичка всегда поворачивается в одном и том же направлении) всегда кратна развернутому углу. Если же спичка, описывая углы, может поворачиваться в обе стороны, как это часто бывает в случае самопересекающихся многоугольников, то получить сумму углов оказывается невозможным, хотя можно сформулировать некоторые другие теоремы. Например, если спичка скользит по периметру самопересекающегося многоугольника, изображенного на рис. 195, то она будет поворачиваться по часовой стрелке во всех углах А и против часовой стрелки во всех углах В.

Рис. 195 Сумма углов этого самопересекающегося многоугольника, обозначенных буквой А, равна сумме его углов, обозначенных буквой В.

Таким образом, мы не можем получить сумму всех восьми углов этого многоугольника, но можем утверждать, что сумма углов А равна сумме углов В. Наше заключение нетрудно проверить, вырезав многоугольник из бумаги и отрезав все его углы или дав строгое геометрическое доказательство.

Известная 47-я теорема Евклида—теорема Пифагора—допускает много изящных доказательств с помощью ножниц. Мы приведем лишь одно замечательное доказательство, открытое в прошлом веке Генри Перигэлом, лондонским биржевым маклером и астрономом-любителем. Постройте квадраты на катетах любого прямоугольного треугольника (рис. 196).

Рис. 196 Доказательство теоремы Пифагора с помощью листа бумаги и ножниц.

Разделите большой квадрат (или любой из квадратов, если прямоугольный треугольник равнобедренный) на четыре одинаковые части, проведя через центр квадрата две взаимно перпендикулярные прямые, одна из которых параллельна гипотенузе треугольника. Вырежьте из листа бумаги части большего квадрата и меньший квадрат. Не меняя их ориентации на плоскости, вырезанные части можно передвинуть так, что они составят один большой квадрат (на рис. 196 этот квадрат показан пунктиром), построенный на гипотенузе.

Перигэл открыл свой способ разрезания квадрата где-то около 1830 года, но опубликовал его лишь в 1873 году. Он был в таком восторге от своего открытия, что приказал отпечатать схему разрезания квадрата на своей визитной карточке и изготовил и роздал сотни головоломок, в которых из пяти частей нужно было сложить два квадрата. (Тем, кто не видел схемы разрезания, сложить эти части так, чтобы они сначала составили два квадрата, а затем один большой, довольно трудно.) Из некролога, помещенного в 1899 году в заметках Лондонского королевского астрономического общества, мы узнаем любопытную деталь о Перигэле: «… главной целью его жизни в астрономии» было убедить других, «в особенности молодых людей, еще не закосневших в противоположном мнении», что выражение «Луна обращается вокруг Земли» неправильно передает характер движения нашего естественного спутника. Перигэл писал брошюры, строил модели и даже сочинял поэмы, чтобы доказать инакомыслящим правильность своей точки зрения, «с неизменной стойкостью духа перенося все новые и новые разочарования и убеждаясь, что ни одно из использованных им средств не приносит желаемого результата».

Разрезание многоугольников на части и составление из последних новых многоугольников принадлежит к числу наиболее увлекательных областей занимательной математики. Доказано, что любой многоугольник можно разрезать на конечное число частей, образующих любой другой многоугольник, равновеликий первому, но разрезание фигур представляет интерес лишь в тех случаях, когда число частей достаточно мало, чтобы метаморфоза поражала воображение зрителей. Кто мог предсказать, что правильную шестиугольную звезду можно разрезать всего лишь на пять частей, из которых составляется квадрат (рис. 197)?

Рис. 197 Как нужно разрезать правильную шестиугольную звезду для того, чтобы ее можно было превратить в квадрат.

(Для того чтобы составить квадрат из частей пятиугольной звезды, ее требуется разрезать не менее чем на восемь частей.) Ведущим специалистом по разрезанию геометрических фигур, по-видимому, считается австралиец Гарри Линдгрен. На рис. 198 показан принадлежащий ему способ разрезания правильного двенадцатиугольника, из частей которого составляется квадрат.

Рис. 198 Как разрезать правильный двенадцатиугольник, чтобы из его частей сложить квадрат.

Существует еще один совершенно иной класс развлечений, также связанный с вырезанием из бумаги, но знакомый больше фокусникам, чем математикам: лист бумаги сначала несколько раз складывают, затем делают один-единственный прямой разрез и, развернув, показывают зрителям тот или иной удивительный результат.

Например, развернутый лист бумаги может иметь форму правильного многоугольника или более сложной геометрической фигуры, в нем может появиться отверстие столь же причудливой формы и т. п.

Фокусникам хорошо известен необычный фокус с одним разрезом под названием «двухцветный разрез». Квадратный кусок клетчатой ткани размером восемь клеток на восемь, напоминающий обычную шахматную доску (клетки могут быть, например, красными и черными), определенным образом складывают и производят один разрез ножницами. В результате красные квадраты оказываются отделенными от черных, а вся «доска» – разрезанной на отдельные квадраты. Взяв лист кальки (тонкая бумага позволит нам видеть контуры клеток, даже когда она будет сложена в несколько раз), нетрудно наметить линию разреза для этого фокуса и способы вырезания простых геометрических фигур. Вырезание же более сложных узоров представляет довольно сложную задачу.

Старый фокус неизвестного происхождения, также связанный с разрезанием листа бумаги, показан на рис. 199.

Рис. 199 Старый фокус с разрезанием листа бумаги.

Обычно, показывая его, рассказывают историю о двух современных политических лидерах, один из которых пользовался всеобщей любовью, а другой – ненавистью. Оба скончались и предстали перед небесными вратами. У Плохого лидера, как водится, не оказалось никаких документов на право входа, и он обратился за помощью к стоявшему за ним Хорошему лидеру. Хороший сложил свой листок бумаги так, как показано на рис. 199, а – д, и разрезал сложенный лист по пунктирной линии. Часть листа, торчащую вверх слева, он оставил себе, а все остальное отдал Плохому лидеру. Святой Петр, взяв из рук Плохого лидера части листа, сложил из них слово «hell» – ад (рис. 199,е) и отправил Плохого по указанному адресу. Развернув часть листа, предъявленную Хорошим лидером, святой Петр увидел крест, изображенный на рис. 199,ок.

Неизогнутый ровный лист бумаги, очевидно, нельзя разрезать по прямой так, чтобы получились криволинейные фигуры, но если лист бумаги навернуть на конус и пересечь его плоскостью, то край листа в зависимости от угла наклона секущей плоскости будет иметь вид окружности, эллипса, параболы или гиперболы. Все эти кривые, как и должно быть, являются коническими сечениями и были изучены еще древними греками. Менее известен тот факт, что синусоиду можно построить очень быстро, если лист бумаги обернуть много раз вокруг цилиндрической свечи, а затем перерезать наискось и свечу и бумагу. Развернув обе половинки листа, вы увидите, что края вырезаны по синусоиде – одной из фундаментальных форм волнового движения в физике. Этот фокус полезен и для домашних хозяек, желающих украсить край бумаги, которой они застилают кухонные полки.

В заключение приведем две занимательные задачи на складывание и вырезание. В обеих задачах речь идет о построении кубов.

Первая из них легкая, вторая потруднее.

1. Полоска бумаги имеет в ширину 3 см. Какова длина самой короткой полоски, из которой можно сложить куб с длиной ребра 3 см? Сложенный куб должен иметь все шесть граней.

2. Квадрат белой бумаги со стороной 9 см выкрашен с одной стороны в черный цвет и расчерчен на девять квадратов, каждый из которых имеет размер 3x3 см. Если разрезы разрешается делать только по проведенным линиям, можно ли разрезать лист бумаги так, чтобы из него сложить куб, все шесть граней которого были бы черного цвета? Развертка куба должна состоять из одного куска.

Разрезать и складывать развертку по каким-либо прямым, кроме уже проведенных, нельзя.

* * *

Существуют, разумеется, самые разнообразные геометрические доказательства того, что сумма углов при вершинах трех изображенных на рис. 194 различных типов пятиконечных звезд равна 180°. Читателю полезно самому додуматься до них, хотя бы для того, чтобы оценить, насколько проще и нагляднее доказательство с помощью метода скользящей спички.

Ответы

Самая короткая полоска бумаги шириной 3 см, из которой можно сложить куб размером 3 х 3 см, имеет в длину 21 см. Как складывать полоску, показано на рис. 200.

Рис. 200 Как сложить куб с длиной ребра 3 см из полоски бумаги шириной 3 и длиной 21 см.

Если полоска с одной стороной выкрашена в черный цвет, то для того, чтобы сложить куб с шестью черными гранями, потребовалось бы взять полоску длиной 24 см.

Сложить куб с шестью черными гранями из квадратного куска бумаги, выкрашенного с одной стороны в черный цвет, можно многими различными способами. Для этого выкройка должна содержать не менее восьми квадратов, но положение отсутствующего (девятого) квадрата ничем не фиксировано. На рис. 201 показана выкройка, у которой вырезан центральный квадрат, и способ, позволяющий сложить из нее черный куб.

Рис. 201 Разрезав квадратный лист бумаги так, как показано вверху слева, вы сможете сложить куб, все шесть граней которого будут черного цвета. (Нижняя сторона листа бумаги окрашена в черный извет.)

Во всех решениях общая длина разреза равна пяти сторонам квадрата. (Если используется весь большой квадрат, то есть все девять маленьких, то длина разреза может быть уменьшена до периметра маленького квадрата.)