Текст книги "Есть идея!"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 17 страниц)

Экономия на спичках

Однажды Мабель вздумала показать проф. Квибблу головоломку из спичек.

Мабель. Нужно построить четыре одинаковых по размеру квадрата, передвинув только 2 спички. Ломать спичку, укладывать их по две или так, чтобы они пересекались, не разрешается.

Проф. Квиббл. Ваша головоломка, милая Мабель, известна давным-давно. Чтобы решить ее, нужно передвинуть вот эти 2 спички.

Затем проф. Квиббл отложил 4 спички, после чего на столе осталось 12 спичек.

Проф. Квиббл. Попробуйте составить из этих 12 спичек 6 единичных квадратов (со стороной, равной длине спички).

Сколько Мабель ни билась, решить головоломку проф. Квиббла ей так и не удалось. Не могли бы вы помочь Мабель?

Игры со спичками

Мабель упустила из виду одно важное обстоятельство: ставя задачу, проф. Квиббл не говорил, что спички должны оставаться на плоскости. Если же выйти из плоскости в трехмерное пространство, то из 12 спичек можно составить 12 ребер куба, у которого, как известно имеется 6 квадратных граней. Мы видим, что ключ к решению спичечной головоломки проф. Квиббла аналогичен идее, позволившей Рози по-новому разрезать головку сыра.

Более известен другой вариант той же задачи, в котором из 6 спичек требуется составить 4 одинаковых равносторонних треугольника. Решение состоит в том, чтобы из 6 спичек построить каркас правильного тетраэдра.

А вот еще 6 «спичечных» задач на сообразительность. Удастся ли вам их решить?

1. Передвинув как можно меньше спичек, составьте квадрат.

2. Уберите как можно меньше спичек так, чтобы оставшиеся спички образовали 4 равносторонних треугольника таких же размеров, как и 8 треугольников в исходной конфигурации, и нигде не торчали свободные концы.

3. Передвинув как можно меньше спичек, заставьте рыбку плыть в противоположную сторону.

4. Передвинув как можно меньше спичек, заставьте поросенка повернуться в противоположную сторону.

5. Передвинув как можно меньше спичек, извлеките вишенку из бокала. «Пустой» бокал не обязательно должен стоять на ножке: он может лежать на боку. Передвигать вишенку запрещается.

6. Передвинув как можно меньше спичек, извлеките оливу из бокала для коктейля. Как и в предыдущей задаче, пустой бокал не обязательно должен стоять. Передвигать оливу запрещается.

Поместив решения этих забавных головоломок, мы бы только испортили вам удовольствие. Сообщаем лишь, что первую задачу можно решить, передвинув 1 спичку, вторую – убрав 4 спички, третью, четвертую и пятую – передвинув соответственно 3, 2 и 2 спички, шестую – не передвинув ни одной спички.

Хитроумные разбиения

Рэнсом – землемер, который специализируется в разбиении участков самой причудливой формы на конгруэнтные части.

Однажды его попросили разделить вот такой участок на 4 одинаковые части. Как это сделать?

Разделить участок можно единственным способом – так, как показано на рисунке.

В следующий раз Рэнсому понадобилось разделить на 4 конгруэнтные части участок, имевший форму равнобочной трапеции. Сделать это было нелегко.

Однако Рэнсом не отступил перед трудностями и сумел найти единственное решение.

Разделить на 4 конгруэнтные части квадратный участок для такого специалиста, как Рэнсом, было сущей забавой, но когда его попросили разделить квадратный участок на 5 конгруэнтных частей, он стал в тупик.

Рэнсом. Как же это сделать? Ведь должно же существовать какое-то решение… Есть идея! Все ясно!

Не могли бы вы сказать, как Рэнсом решил разделить квадратный участок?

Рэнсом. Мой метод до смешного прост и позволяет делить квадрат на любое число конгруэнтных частей.

Задачи на разрезание

Если хотите позабавиться, предложите своим друзьям решить три задачи Рэнсома. В двух первых задачах участки в форме угла и равносторонней трапеции удается разбить на 4 одинаковые части – уменьшенные копии исходного участка. Эти решения косвенно наводят на мысль о том, что и квадрат должен быть разбит на 5 частей довольно причудливой формы, так как его нельзя разделить на 5 квадратов.

Предложенное Рэнсомом простое решение приходит в голову очень немногим. Можно доказать, что квадрат можно разделить на 5 конгруэнтных частей только так, как это сделал Рэнсом, и никак иначе.

Если ваш приятель «попадется» на третьей задаче, вам удастся поймать его вторично, задав ему четвертую задачу, тесно связанную с предыдущей. Прежде всего покажите ему, как поле, изображенное на рис. 11, можно разделить на 4 конгруэнтные части, и спросите, можно ли это поле разделить на 3 конгруэнтные части?

После нескольких попыток ваш друг скорее всего признает себя побежденным и преисполнится уверенности, что ему досталась необычайно трудная задача. Каково же будет его удивление, когда он узнает, что эта задача допускает неожиданно простое решение, аналогичное предложенному Рэнсомом разбиению квадрата на 5 конгруэнтных частей. Это решение приведено на рис. 12. Как и в случае квадрата, метод позволяет производить разбиение поля на любое число конгруэнтных частей.

Задачи, которые приходится решать землемеру Рэнсому и ресторатору Джо, относятся к одному из увлекательнейших разделов занимательной математики, называемому иногда теорией разбиений. Их неожиданные решения могут подсказать, как следует браться за многие практические задачи геометрии на плоскости и в пространстве. Две первые задачи Рэнсома представляют особый интерес, поскольку в каждой из них участок делится на меньшие участки, повторяющие по форме исходный– Фигуры, которые можно без просветов и наложений, как плитками, вымостить уменьшенными их копиями (репликами), принято называть реп-плитками.

На рис. 13 показано еще несколько реп-плиток. Можете ли вы разрезать каждую из них на несколько конгруэнтных частей, повторяющих по форме исходную фигуру? Располагай мы неограниченным запасом реп-плиток любой формы, из них можно было бы построить непериодическое разбиение плоскости. Например, рассмотрим Г-образную фигуру, «реп-плиточность» которой доказал, решив первую задачу, Рэнсом. Сложенные вместе, четыре такие фигуры образуют новую Г-образную фигуру, которая в 4 раза больше исходной. Из четырех новых фигур в свою очередь можно составить еще большую Г-образную фигуру. Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго и выложить Г-образными фигурами все возрастающих размеров бесконечную плоскость. Неограниченно долго можно продолжать не только составление все более крупных Г-образных реп-плиток, но и разрезание их на все более мелкие фигуры.

О реп-плитках мы знаем немного. Все известные pen-плитки помимо непериодического разбиения плоскости порождают еще и периодическое разбиение плоскости, то есть позволяют выложить ими всю плоскость так, что, подвергая фундаментальную область узора только параллельным переносам без поворотов и отражений, ею можно покрыть всю плоскость. Существует ли реп-плитка, порождающая только непериодическое разбиение плоскости? Этот трудный вопрос теории разбиений остается пока без ответа.

Еще меньше известно об объемных реп-плитках. К числу их заведомо принадлежит куб, так как из 8 кубов можно составить 1 куб большего размера так же, как из 4 квадратов можно сложить 1 квадрат побольше. Можете ли вы назвать еще какие-нибудь объемные реп-плитки?

Если конгруэнтные части по форме не должны повторять составленную из них фигуру, то возможности для придумывания задач-головоломок расширяются. Например, Т-образная фигура на рис. 14 составлена из 5 квадратов. Ее невозможно разрезать на четыре Т-образные фигуры, но, может быть, вам удастся разбить ее на 4 конгруэнтные фигуры какой-нибудь другой формы?

Разрезание плоскости фигуры даже на две конгруэнтные части может оказаться трудной задачей. На рис. 15 вы видите несколько фигур, на которых можете испытать силу своего геометрического воображения. Решения (способы разрезания) приведены в конце книги.

Еще один интересный класс задач на разрезание образуют задачи на разрезание одного заданного многоугольника на наименьшее число частей любой формы, из которых можно составить другой заданный многоугольник. Например, на сколько частей достаточно разрезать квадрат, чтобы из них можно было составить равносторонний треугольник? (На 4 части.) Наиболее полно теория разбиений и весь круг вопросов, связанных с разрезанием, изложен в книге Гарри Линдгрена «Занимательные задачи на разрезание»[4]4
  Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание. – М.: Мир, 1977.


[Закрыть].

Мисс Евклид и ее кубики

Мисс Евклид поставила на кафедру большой деревянный куб.

Мисс Евклид. Сегодня я проведу с вами контрольную. Я задам вам всего 3 вопроса об этом кубе.

Мисс Евклид. Этот куб можно распилить на 64 единичных куба. Для этого требуется провести 9 разрезов.

Мисс Евклид. Если бы перед каждым разрезом части куба разрешалось бы перекладывать, то можно было бы ограничиться 6 разрезами. Мой первый вопрос к вам: как доказать, что число разрезов не может быть меньше 6?

Пока класс трудился над ответом на первый вопрос, мисс Евклид провела на двух гранях куба диагонали, проходящие через общую вершину.

Мисс Евклид. Мой следующий вопрос: чему равен угол между этими двумя диагоналями?

Прежде чем задать свой третий вопрос, мисс Евклид положила на верхнюю грань куба линейку.

Мисс Евклид. Как с помощью этой линейки проще всего измерять длину диагонали куба АВ?

На сколько вопросов мисс Евклид вы смогли бы ответить? Я смог ответить на 2 из 3 вопросов.

Каверзные задачи

Решение задачи 1. Докажем, что куб 4×4×4 невозможно разрезать на 64 кубика менее чем 6 плоскими разрезами (при условии, что после каждого разреза части куба разрешается перекладывать). Рассмотрим для этого любой из 8 внутренних кубиков. Ни один из внутренних кубиков не имеет «готовых» граней, которые бы совпадали с гранями большого куба. Следовательно, каждую из 6 граней внутреннего куба необходимо выделить, для чего требуется провести 1 плоский разрез. Поскольку ни одна плоскость не может выделить более одной грани куба, то число разрезов, которые необходимо провести, чтобы высечь все 6 граней куба, должно быть не меньше 6.

Существует ли общий метод, позволяющий распилить любой прямоугольный параллелепипед с целочисленными длинами ребер на единичные кубы при минимальном числе разрезов (части параллелепипеда разрешается переставлять)? Да, такой метод существует и заключается в следующем. Рассмотрим 3 разных куба, длины ребер которых равны длине, ширине и высоте параллелепипеда. Для каждого куба определим минимальное число разрезов, которые необходимо провести, чтобы разделить его на слои единичной толщины. Для этого проведем плоский разрез перпендикулярно ребру куба через целую точку, расположенную как можно ближе к середине ребра (если в длине ребра укладывается четное число единиц, то распил делит ребро пополам; если же в длине ребра укладывается нечетное число единиц, то распил проходит на расстоянии половины единицы длины от середины ребра), переложим полученные части и будем повторять всю процедуру до тех пор, пока весь куб не распадется на слои единичной толщины. Сумма трех минимумов (по одному для каждого ребра) даст нам ответ задачи.

Например, чтобы распилить на единичные кубики прямоугольный параллелепипед 3×4×5, необходимо провести 7 плоских разрезов: 2 для ребра 3, 2 для ребра 4 и 3 для ребра 5. Доказательство этого алгоритма было впервые опубликовано в журнале Mathematics Magazine в 1952 г.

Решение задачи 2. Задача решается просто, если сообразить, что на еще одной грани куба можно провести третью диагональ, соединяющую концы диагоналей, проведенных мисс Евклид (рис. 16).

Три диагонали образуют равносторонний треугольник. Так как каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°, то и угол между проведенными мисс Евклид диагоналями равен 60°.

Вторая задача мисс Евклид допускает изящное обобщение. Предположим, что мисс Евклид провела на поверхности куба две прямые, соединяющие середины A, B и C трех ребер (рис. 17). Чему равен угол ABC между этими прямыми?

Решение задачи находим по аналогии с предыдущим решением. Прежде всего соединим отрезками прямых середины ребер на четырех остальных гранях так, чтобы все шесть отрезков образовали замкнутую ломаную. Ясно, что все шесть отрезков имеют одинаковую длину и углы между любыми двумя смежными отрезками также одинаковы. Следовательно, если бы нам удалось доказать, что все шесть вершин ломаной лежат в одной плоскости, то мы могли бы утверждать, что наша шестизвенная замкнутая ломаная имеет форму правильного шестиугольника. Доказать нужное нам утверждение нетрудно, но в его справедливости вы можете убедиться экспериментально, распилив деревянный куб на две половинки вдоль плоскости, проходящей через середины шести ребер.

То, что поперечное сечение, делящее куб на две половины, может иметь форму правильного шестиугольника, неожиданно и в какой-то мере противоречит интуиции. Ну, а коль скоро мы знаем, что две проведенные мисс Евклид линии являются двумя смежными сторонами правильного шестиугольника, то найти угол между ними не составляет никакого труда: он равен 120°.

Рис. 17 наводит на мысль о еще одной интересной задаче. Предположим, что муха хочет проползти по поверхности куба из точки A в точку C. Можно ли считать путь, образованный отрезками AB и BC, кратчайшим?

Эту задачу легко и просто решит тот, кто догадается, что кратчайший путь из точки A в точку B на поверхности куба можно найти, если две смежные грани куба развернуть так, чтобы их плоскости совпали: кратчайшим будет отрезок прямой, соединяющий на развертке точки A и C. Развернуть две смежные грани куба так, чтобы плоскости их совпали, можно двумя способами, выбрав либо переднюю и верхнюю грань, либо переднюю и правую грань, поэтому при решении задачи необходимо соблюдать осторожность. В первом случае мы получаем путь длиной √2, во втором – путь длиной √2,5.Следовательно, на рис. 17 изображен кратчайший путь на поверхности куба из A в C.

Решение задачи 3. Разумеется, длину диагонали куба можно определить, измерив линейкой длину ребра и дважды применив теорему Пифагора. Но диагональ куба можно измерить линейкой гораздо более простым способом. Поставив куб на край стола, отмерим отрезок, равный по длине ребру куба, и концы отрезка пометим, после чего сдвинем куб на длину ребра вдоль края стола (рис. 18). Расстояние от A до B в точности равно диагонали куба, и его можно измерить линейкой.

Как вы стали бы измерять радиус большого шара, если бы у вас под рукой была только линейка, длина которой составляет ⅔ от диаметра шара? Один из простых способов состоит в том, чтобы запачкать шар сажей или губной помадой и прижать его к стене так, чтобы на стене в точке касания осталась отметка. Измерив линейкой расстояние от пола до отметки, вы определите радиус шара. Можете ли вы предложить аналогичные методы, позволяющие при помощи какого-нибудь ухищрения измерить высоту конуса или пирамиды? Можете ли вы точно измерить радиус цилиндрической трубы, если под рукой у вас имеется только плотницкий угольник?

По ковровой дорожке

Ковровое покрытие для кольцевого коридора в здании нового аэропорта было поручено изготовить компании, возглавляемой мистером Тэком.

Увидев план коридора, мистер Тэк решил, что над ним подшутила, я разгневался: единственным размером, указанным на чертеже, была длина хорды, касательной к внутренней стене коридора.

Мистер Тэк. Уберите чертеж, чтобы я его больше не видел! Как, скажите на милость, я смогу представить смету на ковровое покрытие, если мне не известна площадь коридора? Посоветуюсь-ка я с моим дизайнером мистером Шарпом.

Мистер Шарп, искусный геометр, выслушал мистера Тэка спокойно.

Мистер Шарп. Длина этой хорды, мистер Тэк, – единственный размер, который мне нужен. Я подставлю его в известную мне формулу и узнаю площадь коридора.

Мистер Тэк с минуту удивленно смотрел на мистера Шарпа, а потом улыбнулся.

Мистер Тэк. Благодарю вас, мистер Шарп, я могу назвать вам площадь коридора и без этого.

Знаете ли вы, как мистер Тэк сумел определить площадь кольцевого коридора?

Удивительная теорема

Мистер Тэк рассуждал следующим образом. Мистер Шарп пользуется заслуженной репутацией искусного и сведущего геометра, поэтому, если он говорит, что у него есть формула, позволяющая вычислять площадь кольца по длине хорды, касательной к внутренней окружности, то она у него действительно есть. Если длина хорды, касательной к внутренней окружности, будет оставаться равной 100 м, то, как бы ни изменялись радиусы внешней и внутренней окружностей, по формуле мистера Шарпа площадь кольца должна оставаться неизменной.

Далее мистер Тэк спросил себя, что произойдет, если радиус внутреннего кольца уменьшится до нуля – своего минимального значения. Кольцо в этом случае превратится в круг, а хорда длиной 100 м станет диаметром круга. Площадь круга равна π·50² кв. м ≈ 7854 км. м. Следовательно, если предположить, что формула мистера Шарпа существует, то площадь кольца также должна быть равна 7854 кв. м.

В общем случае кольцо имеет такую же площадь, как круг с диаметром, равным длине наибольшего отрезка прямой, который только умещается в кольце. Эту удивительную теорему нетрудно доказать, если воспользоваться формулой для площади круга.

Трехмерный аналог этой задачи звучит так: найти объем отрезка толстостенной цилиндрической трубы, если помимо его длины известна длина самого длинного отрезка, который только умещается на одном из торцов трубы (рис. 19). Этот отрезок соответствует касательной в двумерной задаче, и, зная его длину, мы без труда находим площадь поперечного сечения трубы. Умножив площадь сечения на длину отрезка трубы, найдем его объем.

Менее очевидным трехмерным аналогом задачи о площади кольца является следующая красивая задача. Через центр шара просверлено сквозное цилиндрическое отверстие. Длина канала 6 см. Чему равен объем оставшейся части сферы? И в этом случае кажется, что ответить на вопрос задачи, невозможно: слишком скудны сведения, которыми мы располагаем. Однако исходя из совершенно элементарных соображений, можно показать, что оставшаяся часть сферы имеет такой же объем, как сплошная сфера, диаметр которой равен длине просверленного канала.

Как и в предыдущем случае, ответ задачи мы получаем сразу же, как только предположим, что задача разрешима! Действительно, если решение задачи существует, то объем части сферы, оставшейся после просверливания сквозного отверстия, не должен зависеть от диаметра отверстия. Устремим поэтому диаметр отверстия к наименьшему значению – нулю. Отверстие при этом сжимается в прямую – диаметр сплошной сферы. Следовательно, объем оставшейся части сферы равен 4/3·π·3³ куб. см = 36π куб. см.

Торт для именинницы

Обед шел к концу. Мистер Джонс сидел за столом вместе с женой, десятилетним сыном и семилетней дочерью Сьюзен.

Был день рождения Сьюзен, и миссис Джонс испекла небольшой квадратный торт 20 см × 20 см и толщиной 5 см, обильно покрытый глазурью сверху и с четырех сторон.

Мистер Джонс. Замечательный торт! Всем хватит. Первый кусок торта я отрежу для Сьюзен. Ей сегодня исполнилось 7 лет, и я отступлю на 7 см от углов и проведу разрезы через центр.

Кусок получился причудливой формы, и Сьюзен, которой он достался, пожаловалась.

Сьюзен. Папа, ты отрезал мне маленький кусочек, меньше четверти! Даже если ты отрезал мне четверть торта, то глазури на ней маловато!

Брат Сьюзен придерживался другого мнения.

Брат. Какая ты жадина, Сьюзен! Мне кажется, что папа отрезал тебе слишком много. Не мешало бы тебе кое с кем поделиться излишками.

Мистер Джонс. Вы оба заблуждаетесь. Сьюзен получила ровно четверть торта и ровно четверть глазури.

Не могли бы вы объяснить, прав ли мистер Джонс?

Чтобы убедиться в правоте мистера Джонса, достаточно продолжить линии разрезов за центр до пересечения с противоположными сторонами торта. Продлив каждый разрез, вы тотчас же убедитесь, что они делят торт на четыре конгруэнтные части.

Как разрезать праздничный пирог?

Задача о разрезании пирога легко обобщается с квадрата на другие правильные многоугольники.

Предположим, например, что торт или праздничный пирог испечены в форме равностороннего треугольника и разрезы проведены под углом 120° из центра (рис. 20). Ясно, что каждый кусок составляет треть пирога. В этом нетрудно убедиться, если провести штриховую линию. Если пирог испечен в форме правильного пятиугольника, то, проведя из центра два разреза под углом 72°, мы отрежем от пирога одну пятую. Если пирог имеет форму правильного шестиугольника, то, чтобы отрезать от него одну шестую, необходимо провести из центра два разреза под углом 360° : 6 = 60°. Тот же метод обобщается и на правильные многоугольники с большим числом сторон, хотя угол между разрезами не всегда выражается целым числом градусов.

Разрезание квадрата на 4 конгруэнтные части другой формы долгое время было одной из излюбленных задач на разрезание. Если, разрезав картонный квадрат на 4 части так, как показано на рис. 21, вы предложите кому-нибудь из своих знакомых составить квадрат из четвертушек, то, как правило, ваш приятель сочтет задачу трудной. После того как он успешно справится с ней, попросите его составить из тех же четвертушек два квадрата.

Последняя задача в отличие от предыдущих носит несколько жульнический характер: решить ее ваш приятель сможет лишь в том случае, если догадается, что одним из двух квадратов служит отверстие в середине другого квадрата (рис. 22). Размеры отверстия зависят от угла, который линия разреза составляет со стороной исходного квадрата. Если этот угол равен 90°, то отверстие исчезает. Если угол равен 45°, то отверстие достигает наибольших размеров.