Текст книги "Есть идея!"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 17 страниц)

Мистер Ши Ли Хой

Проф. Слог пригласил мистера Ши Ли Хоя на передачу, как только увидел в телефонном справочнике номер его телефона. Заметили ли вы что-нибудь необычное в английском написании имени и фамилии мистера Ши Ли Хоя и номере его телефона?

Если перевернуть рисунок «вверх ногами», то английское написание имени и фамилии мистера Ши Ли Хоя переходит в номер его телефона и наоборот.

Цифры и буквы

Цифры на индикаторе микрокалькулятора, если их считывать в перевернутом виде, очень напоминают по своим очертаниям несколько стилизованные буквы латинского алфавита. Именно на этом основаны шуточные задачи, решаемые с помощью микрокалькуляторов и снискавшие в последнее время широкую известность.

Первая из этих шуток, с которой, по-видимому, и началось увлечение подобными задачами, облечена в форму рассказа об одном эпизоде арабо-израильской войны. Мы приводим вариант этой задачи, предложенной автором многотомного «Искусства программирования для ЭВМ» Дональда Э. Кнута: 337 арабов и 337 израильтян сражаются на участке пустыни, имеющем форму квадрата со стороной 8424 м. Кто выиграет от этого? Чтобы ответить на вопрос, возведем в квадрат числа 337 и 8424 и, просуммировав их, получим: 71077345. На индикаторе микрокалькулятора это число, если считывать его в перевернутом виде, напоминает название известной нефтяной компании SHELL OIL.

О числах, переходящих в слова при считывании их в перевернутом виде с индикатора микрокалькулятора, написаны целые книги. В следующей табличке показано, какую строчную или прописную букву латинского алфавита напоминает, если ее рассматривать в перевернутом виде, каждая из 10 цифр:

Пользуясь этой таблицей, вы сможете без труда придумать несколько задач-шуток, решением которых будут числа, переходящие при считывании их с индикатора в перевернутом виде в соответствующие слова. Десятичной запятой (или точкой) можно разделять два слова.

Вот несколько хороших задач-шуток (в скобках рядом с каждым ответом указан русский перевод).

1. Как называется столица штата Айдахо? (4 × 8777 – Бойсе.)

2. Что сказал астронавт, впервые ступив на поверхность Луны? (13527 : 3 – Боже!)

3. Чем больше берешь, тем больше остается. Что это такое? (√13719616 – дыра.).

4. Бутылка виски «Бурбон» стоит в Чикаго 8 долларов. Что предпочитают любители спиртного в Ню-Йорке? (8 × 4001– выпивку.)

5. Что сказал доктор Ливингстон, когда Стэнли, разыскав его в дебрях Африки, спросил: «Доктор Ливингстон, если я не ошибаюсь?» ((18 × 4) : 3 + 3 – междометие, выражающее крайнее изумление.)

6. Существуют ли аналогичные шутки, использующие слова не только английского, но и других языков с латинским алфавитом? (Прибавьте единицу к предыдущему ответу.)

Неуловимые буквы «Г»

Проф. Слог. Мистер Ши Ли Хой, предлагаю вам первую задачу. Приз – 5 долларов. Перед вами 24 спички. Можете ли вы, сняв со стола 13 спичек, сложить из оставшихся сто «г»?

Мистер Ши Ли Хой. Еще Конфуций говорил, что если задачу нельзя решить, ее следует поцеловать и оставить в покое.

Проф. Слог. Вы рано сдаетесь, мистер Хой. Помните: мы играем в слова, и сто «г» для большей ясности можно прочитать вслух.

Мистер Ши Ли Хой. Я уже прикидывал и так, и этак. Сложить 100 букв «г» из 24 спичек невозможно: не хватит спичек.

Проф. Слог. Ваше время истекло. Жаль, что вы забыли о слове «стог» – оно читается, как «сто «г»».

Арифметические каламбуры

Головоломка, которая оказалась не под силу мистеру Ши Ли Хою, решается просто, если догадаться, что сто «г» может означать не сто букв «г», а одно слово «стог».

А вот еще один вариант той же головоломки. Его решение требует иной догадки. Спички сложены так же, как и прежде. На этот раз требуется взять 20 спичек так, чтобы осталось 8. Решение – цифра 8 – выглядит так:

Если две предыдущие головоломки со спичками покажутся вашим друзьям слишком легкими, предложите им следующий, более трудный вариант. Спички разложены так же, как и прежде. Требуется взять 13 спичек так, чтобы осталось 8. На этот раз нужно догадаться, что из спичек можно сложить арифметическое выражение, значение которого равно 8.

Существует бесчисленное множество других головоломок со спичками, палочками, карандашами, соломинками и аналогичными предметами. Предлагаем вам и вашим друзьям еще две задачи. Составьте из 12 спичек следующее арифметическое «равенство»:

Требуется превратить его в настоящее равенство или неравенство, взяв или переложив одну спичку. Задача допускает много решений. Приведем лишь 4 из них:

Разложите теперь спички так, как показано на рисунке:

Устройте с друзьями состязание: кто сумеет прочитать в этих трех фигурках больше слов? Кто останется с носом?

Мини-кроссворд проф. Слога

Проф. Слог. Справившись с нашим следующим заданием, мистер Ши Ли Хой, вы выиграете приз в 20 долларов. Перед вами простой кроссворд. В нем всего 3 слова по горизонтали и 2 по вертикали. Вам дается 3 мин, чтобы решить его.

За 3 мин мистер Ши Ли Хой сумел отгадать лишь первое слово по горизонтали.

Мистер Ши Ли Хой. Мне очень жаль, профессор, но я не могу придумать больше ни слова!

Проф. Слог. Поверьте, мне тоже очень жаль, мистер Ши Ли Хой. Вы не заметили, что все три слова по горизонтали пишутся одинаково, хотя и отличаются по значению.

Проф. Слог. А теперь, пока мы ожидаем нашего следующего гостя, небольшое задание для наших телезрителей. Не можете ли вы так переставить буквы в трех словах «ВОЛОС НА ЛОКОН», чтобы получилось слово «КОЛОННА»?

Магические квадраты и анаграммы

Кроссворды с полным основанием можно отнести к числу комбинаторных задач: ведь речь идет о составлении пересекающихся последовательностей символов. Современные ЭВМ обладают достаточно большой памятью, чтобы вместить все слова любого естественного языка, и ничто не мешает нам, по крайней мере в принципе, составить программы, которые будут весьма успешно разгадывать кроссворды. Можно написать и такие программы, которые сами будут составлять кроссворды.

Большинство кроссвордов имеют «дырочки» – черные клетки или пробелы, разделяющие слова. В самых древних кроссвордах, не утративших своего первозданного вида, «дырочек» не было (так же как их нет в нашем шуточном кроссворде). Слова располагались, образуя так называемый «словесный квадрат». Вот, например, как выглядит такой словарь 4-го порядка (из четырехбуквенных слов):

ПУСК

УЗОР

СОДА

КРАБ

Четыре слова («пуск», «узор», «сода» и «краб») можно прочитать и по горизонтали, и по вертикали. Если по горизонтали стоят одни слова, а по вертикали другие, то словесный квадрат называется двойным:

ИГЛА

КРУГ

РАПА

АДАТ

Чем выше порядок, тем труднее составлять словесные квадраты, как простые, так и двойные. Попробуйте самостоятельно составить несколько словесных квадратов 4-го порядка. Если вы успешно справитесь с этим заданием, попытайтесь составить квадраты 5-го и 6-го порядка. Построить квадраты 7-го и еще более высокого порядка чрезвычайно трудно. Знатокам и ценителям удавалось изредка составлять словесные квадраты 8-го, 9-го и 10-го порядков, но при этом почти всегда приходилось использовать необычные, странно звучащие слова.

Последний вопрос проф. Слога (как из букв, входящих в слова «ВОЛОС НА ЛОКОН», составить слово «КОЛОННА») относится к так называемым анаграммам – составлению новых слов или фраз из букв, входящих в какое-нибудь другое слово или предложение (решение приведено в конце книги). Существует множество анаграмм самого забавного свойства, например:

ШАМОТ – ТОМАШ

МАРС – СРАМ

ОКОРОК – РОКОКО

Может быть, вам удастся придумать примеры и получше.

В старину анаграммы использовались для закрепления приоритета учеными, не торопившимися по тем или иным соображениям раскрывать суть своего открытия. Например, Галилей сообщил об открытии фаз Венеры в анаграмме: «Haec immatura a me jam frustra leguntur. O. V.», означавшей: «Этого от меня хотят слишком рано и напрасно». И лишь впоследствии дал правильную расшифровку анаграммы: «Cynthya figuras aemulatur mater amorum» («Мать любви [Венера] подражает видам Цинтии [Луны]»).

Мари Бирам

Следующим гостем проф. Слога была Мари Бирам. Что необычного в ее имени?

Может быть, эта реклама вин поможет вам. Надпись на рекламе обладает тем же свойством, что и имя Мари Бирам.

«Золото лоз» и «Мари Бирам» – палиндромы, то есть надписи, которые читаются одинаково в обе стороны: от начала к концу и от конца к началу.

Ада

Можете ли вы привести другие примеры имен и фамилий, обладающих палиндромной симметрией? (Это не так просто, как кажется.) Вот несколько примеров: Анна, Тим Смит, Нелла Аллен, Тит.

Загадочные картинки

Проф. Слог. Добро пожаловать к нам в студию, Мари! Эти картины имеют самое непосредственное отношение к вашему первому заданию. На каждой из них изображено какое-нибудь известное математическое понятие. Разумеется, я имею в виду не «портрет», а скорее «скрытое изображение».

Проф. Слог. Позвольте мне пояснить, что я имею в виду, на примере. На этой картине изображено число π.

Мари. Кажется, я начинаю понимать, в чем дело. Официант подает, хотя и не очень вежливо, на стол пирог, и в первом слоге слова «пирог» скрыто «изображение» числа π.

Проф. Слог. Совершенно верно. А вот перед вами 3 картинки-загадки. За каждую отгадку вы получаете приз в 10 долларов. Начнем с первой картинки. Что это?

Мари. Мне кажется, я отгадала. На этой картинке изображен «полли ном», то есть «полином», или «многочлен».

Проф. Слог. Правильно! А что изображено на второй картинке?

Мари. На ней изображена пара редких животных «бола». Значит, в этой картинке скрыто «изображение» параболы?

Проф. Слог. Против этого трудно что-нибудь возразить, Мари. Посмотрим, как вы справитесь с последней картинкой.

Мари. Это совсем просто. Перед нами «радикал».

Рисуночное письмо

Загадочные картинки, в которых по определенным правилам «зашифровано» Какое-нибудь слово, называются ребусами. Попробуйте придумать ребусы для нескольких математических терминов.

В близком родстве с ребусами состоит другая разновидность «рисуночного письма» – так называемые пиктограммы, изображающие то, что означает слово. Сущность пиктограмм отчетливо ясна из приводимых нами примеров (рис. 1). Пиктограммы – новый, еще совсем юный вариант традиционных ребусов, успевших изрядно состариться.

Пиктограммы, передающие образно смысл слов, давно стали неотъемлемой частью современной рекламы и плаката. Шрифты и надписи несут добавочную смысловую нагрузку, «рисуя» то, о чем должен говорить зрителю плакат (рис. 2). Художники нередко используют этот прием при создании обложки. Пиктограммы находят также широкое применение в дорожных знаках, придавая им большую выразительность.

Британский плакат о вреде курения.

«Сумасшедшие» предложения

Проф. Слог. Следующее задание, дорогая Мари, посложнее. Вы должны сказать мне, что замечательного вам удастся заметить в трех надписях, которые я вам покажу. За каждую отгадку вы получаете приз в 20 долларов.

Проф. Слог. Вот первая надпись. Прочитайте ее внимательно и, пожалуйста, оставьте в покое мои уши. Не щекочите их перышком!

Мари. Не могу! Вы так умны и хороши собой, что я влюбилась в вас по уши.

Проф. Слог. Никакие объяснения в любви не помогут вам получить приз.

Мари. Я все равно получу его, так как справилась с заданием. Первая надпись палиндром, как и мое имя, она читается одинаково в обе стороны.

Проф. Слог. Очень хорошо, дорогая Мари. А что вы скажете об этой надписи?[6]6
  Знание английского языка для выполнения этого задания не обязательно. – Прим. перев.


[Закрыть]

Мари. Позвольте взглянуть. Так! Это – почти палиндром, но не совсем. Минуточку! Поняла! Эта надпись читается одинаково в прямом и в перевернутом (вверх ногами или, если угодно, вниз головой) положении.

Проф. Слог. Вы снова правы, Мари! Переходим к последнему заданию.

Мари. Я заметила закономерность. Каждое слово в этой надписи на 1 букву длиннее предыдущего.

Проф. Слог. Великолепно! Вот еще 20 долларов, которые вы выиграли. Что вы собираетесь делать с этими деньгами?

Мари. Приглашу вас сегодня поужинать со мной, а затем покажу вам свою коллекцию словарей.

Проф. Слог. Согласен. До скорой встречи, Мари! А теперь, дорогие телезрители, пока наш следующий гость еще не пришел, мы воспользуемся свободной минутой, чтобы предложить вашему вниманию еще одну словесную задачку.

Проф. Слог. Какое слово из 5 букв все выпускники Гарвардского университета произносят плохо?

Еще немного о палиндромах

Тысячи замечательных палиндромов известны на всех основных языках. Придумать палиндром не так трудно, попробуйте и вы убедитесь в этом сами. Вот несколько известных примеров палиндромов на русском языке: «Кирилл лирик», «Ты сыт?», «Аргентина манит негра», «Я не реву – уверен я».

В классических палиндромах единицей служат буквы. Но можно составить и «крупноблочные» палиндромы, в которых единицами будут целые слова. Два замечательных примера таких палиндромов принадлежат Дж. А. Линдону:

1. «You can cage a swallow, can't you, but you can't swallow a cage, can you?» («Вы можете посадить ласточку в клетку, но проглотить клетку вы не можете, не так ли?»)

2. «Girl bathing on Bikini, eyeing boy, finds boy eyeing bikini on bathing girl» («Девушка, купающаяся на острове Бикини и украдкой поглядывающая на молодого человека, видит молодого человека, не отрывающего глаз от бикини на купающейся девушке»).

Существуют поэмы, которые читаются одинаково от начала к концу и от конца к началу либо по строкам, либо целиком.

Палиндромы – аналоги того, что математики называют двусторонней, или билатеральной, симметрией. Тела людей и многих животных обладают двусторонней симметрией. Многие творения человеческих рук также обладают двусторонней симметрией, например кресла, кофейные чашки и тысячи других предметов. Любые фигуры и тела, обладающие двусторонней симметрией, при отражении в зеркале переходят в себя. В этом и проявляется аналогия между билатеральной и палиндромной симметрией, при которой последовательность символов остается неизменной, если очередность символов изменить на противоположную.

Говоря о символах, мы имеем в виду не только буквы, но и цифры. Числовой палиндром – это число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Одна знаменитая гипотеза в теории чисел так и называется – «гипотеза о палиндромах». Возьмем любое число в десятичной системе счисления, вывернем его «наизнанку», записав от конца к началу, и сложим оба числа. То же самое проделаем с суммой и будем повторять всю процедуру до тех пор, пока не получим палиндром. Например, число 68 порождает палиндром в 3 шага:

Гипотеза о палиндромах состоит в том, что независимо от того, какое число выбрано, после конечного числа шагов вы непременно получите палиндром.

Никто не знает, верна ли эта гипотеза. Доказано, что для двоичной системы и всех систем счисления с основанием, равным любой степени двойки, эта гипотеза не верна. Для систем счисления с другими основаниями доказать гипотезу о палиндромах пока не удалось.

Наименьшее десятичное число, которое может служить контрпримером, опровергающим гипотезу о палиндромах, равно, по-видимому, 196.

Математики проделали на ЭВМ сотни тысяч шагов, но получить палиндром так и не удалось, хотя никем не доказано, что он никогда не появится.

Математики исследовали также простые числа-палиндромы (которые делятся на 1 и на самих себя). Многие считают, что существует бесконечно много простых чисел-палиндромов, но эта гипотеза также пока не доказана. Высказывалось предположение и о том, что существует бесконечно много таких пар чисел-палиндромов, как, например, 30103 и 30203, в которых средние цифры отличаются на 1, а все остальные цифры совпадают.

Простое число-палиндром должно иметь нечетное число знаков: каждое палиндромное число с четным числом знаков кратно 11 и, следовательно, не может быть простым. Можете ли вы доказать, что палиндромное число с четным числом знаков всегда делится на 11? (Указание: число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих в разрядах с четными номерами, и суммой цифр, стоящих в разрядах с нечетными номерами, кратна 11.)

Много палиндромов среди квадратов, например 11 × 11 = 121. Квадраты оказываются палиндромами гораздо чаще, чем выбранные наугад целые числа. То же можно сказать и о кубах. Более того, если куб – палиндром, то можно почти с уверенностью сказать, что и кубический корень из него также будет палиндромом (например, 11 × 11 × 11 = 1331). Поиск палиндромов среди четвертых степеней, проведенный с помощью ЭВМ, пока не дал ни одного палиндрома, корень четвертой степени из которого не был бы также палиндромом. Поиск палиндромов среди пятых степеней пока оказался безуспешным. Высказана гипотеза, согласно которой не существует чисел-палиндромов вида x^k при k > 4.

Надпись на плакате «NOW NO SWIMS ON MON» («Никто не плавает теперь по понедельникам») – самый длинный из известных текстов, обладающих симметрией относительно поворота на 180°. Существует довольно много примеров отдельных слов, обладающих такой симметрией либо в рукописном, либо в печатном виде. На рис. 3 вы видите некоторые из них.

Предложение «Я бы сам всех макак удивил» можно было бы сравнить со снежным комом: каждое следующее слово на одну букву длиннее предыдущего, слова увеличиваются в размерах, как снежный ком, катящиеся по склону. Существуют и более длинные предложения такого типа. Удается ли вам придумать несколько таких предложений?

Ответ на последний вопрос проф. Слога: все выпускники Гарвардского университета произносят «плохо» слово «плохо» из 5 букв. Нетрудно придумать и другие вопросы того же типа.

Мистер Неку Рите

Следующим гостем телепередачи «Состязание любителей слова» был президент сигаретной компании из Хакеттстауна (штат Нью-Джерси) мистер Неку Рите. Почему проф. Слогу так понравилось имя нового гостя?

Если по-другому разбить имя и фамилию гостя, то получится «Не курите». Для президента сигаретной компании имя, что и говорить, весьма подходящее!

Дом от дыха

Хотя наш рассказ-загадка в картинках может показаться тривиальным, он показывает, что пробел как элемент алфавита имеет первостепенное значение для правильного понимания предложений. Пробелы между словами играют такую же роль, как скобки, пробелы и т. п. в математических выражениях. Смысл математического выражения нередко можно сильно изменить, «передвинув» одну-единственную скобку подобно тому, как сдвиг пробела почти до неузнаваемости изменил привычный призыв «НЕ КУРИТЕ».

Значения многих слов изменяются, если ввести пробел. Например, «штукатурка» превратится в словосочетание «штука турка», а «прохвост» – в безобидное «про хвост».

В старые времена, когда основным видом транспорта была лошадь, на улице одного американского городка над коновязью красовалась вывеска:

Д ЛЯЛОШ АДЕЙИМ УЛОВ

Можете ли вы, расставив по-другому пробелы, расшифровать таинственную надпись?

Близка по духу и другая игра в слова, известная еще нашим дедушкам и бабушкам: в предложении скрыто какое-то имя или географическое название, которое требуется найти. Например, название какого штата таится в следующем предложении: «Едва смолкли голоса, как кто-то восторженно воскликнул: «Ай, да хор! Молодцы!»

Нетрудно видеть, что подчеркнутые буквы образуют название американского штата Айдахо. Попробуйте теперь обнаружить название одной из частей света в предложении, взятом, – должно быть, из какого-то фантастического романа: «За стеклом иллюминатора в резком свете прожектора, слезившем глаза, зияла пасть глубоководного чудовища».

Столь же легко замаскировать и математические термины. Например, название хорошо известного всем геометрического термина спрятано в предложении: «Изящный кувшин был выкован из меди, а на ручке мастер выгравировал свои инициалы».

Существуют и всевозможные усложненные варианты. Например, одно предложение может быть скрыто в другом, вполне осмысленном. Для проявления «скрытого изображения» часть букв необходимо зачеркнуть. Особого искусства требует составление тройной фразы с «двойным дном», в которой осмысленные предложения образуют все буквы, зачеркнутые буквы и буквы, оставшиеся после зачеркивания. Приведем арифметический аналог такой тройной фразы: 15 + 11 = 26. Последние цифры порождают равенство 5 + 1 = 6, после их вычеркивания остается равенство 1 + 1 = 2. Возможно, вам удастся придумать более сложные примеры.

Прямые люди

Проф. Слог. Ваше первое задание, мистер Рите, связано с этой таблицей, на которой выписаны четыре имени. Приз за успешное выполнение задания – 6 коробок превосходных кубинских сигар.

Проф. Слог. Проведя 3 линии, мы легко можем разделить таблицу на 4 графы так, чтобы в каждой из них было вписано только 1 имя. Нельзя ли добиться того же с помощью 2, а не 3 линий?

Мистер Рите молча попыхивал сигарой, пока его время не истекло.

Мистер Рите. Этого сделать нельзя!

Проф. Слог. Вы заблуждаетесь, мистер Рите. Задача решается очень просто. Должно быть, сигарный дым затуманил ясность вашего мышления.

Честно и прямо

Задача проф. Слога решается сразу, стоит лишь догадаться, что каждое имя можно разбить на две части, а из «осколков», комбинируя их в других сочетаниях, составить те же четыре имя.

Идея разбиения на части прямыми встречается и во многих других головоломках. Обычно речь идет о том, чтобы несколькими прямыми разделить ту или иную картинку на части, каждая из которых содержала бы лишь одну деталь. Типичная головоломка такого рода изображена на рис. 4. Можете ли вы провести 3 прямые так, чтобы каждый кружок оказался отрезанным от всех остальных? Решение оказывается неожиданно простым, если догадаться, что части, на которые рассекают квадрат 3 прямые, не обязательно должны быть прямоугольниками и что 3 прямыми квадрат можно разделить на 7 частей.

Интересные варианты той же идеи возникают, если вместо кружков взять числа. Требуется разделить квадрат прямыми на части так, чтобы в каждой части числа обладали каким-нибудь общим отличительным свойством. Свое искусство в решении задач этого типа вы можете испытать на следующей головоломке (рис. 5). Требуется провести 4 прямые так, чтобы они разделили квадрат на 11 частей и сумма чисел в каждой части была равна 10. Решение этой задачи приведено в конце книги.