Текст книги "Есть идея!"
Автор книги: Мартин Гарднер
сообщить о нарушении
Текущая страница: 11 (всего у книги 17 страниц)
Аховы тесты
Полиция обратилась за помощью к известному специалисту по решению головоломок, профессору психологии Аху. Свои необычайно остроумные решения он назвал «феноменами Ах» и предложил множество тестов, позволяющих выявлять «феномены Ах» у испытуемых.
Одни из его тестов осуществляется с помощью двух веревок, свисающих, с потолка в пустой комнате.
Проф. Ах. Расстояние между этими веревками достаточно велико, поэтому, держась за одну веревку, невозможно дотянуться до другой.
Проф. Ах. Задача состоит в том, чтобы связать свободные концы веревок, не пользуясь ничем, кроме ножниц.
Справитесь ли вы с этим тестом?
Проф. Ах. А вот еще один тест, который я также очень люблю. В центр небольшого восточного ковра я ставлю открытую бутылку пива. Требуется достать ее, сняв о ковра.
Проф. Ах. К бутылке нельзя прикасаться ни рукой, ни ногой, ни любой другой частью тела или каким-нибудь предметом. Разумеется, проливать пиво на ковер также не разрешается.
Если вы не справитесь с этим тестом, может быть, следующий тест покажется вам более простым.
Проф. Ах. Для этого теста нам понадобится газета. Вы с приятелем должны встать на газетный лист так, чтобы ни один из вас не мог прикоснуться к другому. Сходить с газеты не разрешается.
Покажите, на что вы способны. Это ваш последний шанс успешно справиться с одним из тестов проф. Аха.
Когда проф. Ах предложил последний тест одной из студенток, она не только справилась с заданием, но и предложила профессору свой тест.
Студентка. Уважаемый профессор! Не могли бы вы бросить теннисный мяч так, чтобы он, пролетев короткое расстояние, остановился и начал двигаться в обратном направлении?
Проф. Ах. Может ли мяч стукнуться о препятствие?
Студентка. Ни в коем случае! Не разрешается также ударять мяч чем-нибудь или привязывать его к чему-нибудь.
После того как проф. Ах признал свое поражение, студентка показала ему, как решается задача. Решение оказалось удивительно простым.
Проф. Ах. И как я только об этом не подумал!
О чем не подумал проф. Ах?
Аховы решения
Тест с веревками. Думаете, можно выполнить задачу, если повиснуть на одной веревке и раскачаться на ней, как Тарзан на лиане? Вы ошибаетесь по двум причинам: во-первых, веревка недостаточно прочна, чтобы выдержать взрослого человека, и, во-вторых, даже если бы веревка не оборвалась под вашим весом, вы все равно не смогли бы дотянуться до другой веревки. Тем не менее картинка дает ключ к правильному решению.
Привязав ножницы к одной веревке, вы можете раскачать их, как маятник. Подтянув другую веревку к маятнику и дождавшись, когда ножницы качнутся навстречу, вы сможете поймать их и связать обе веревки.
Решение этой задачи требует двух необычных идей. Необходимо догадаться, во-первых, что веревки следует раскачать и что, во-вторых, ножницы можно использовать в качестве груза маятника, то есть «не по назначению». Трудности, возникающие у людей при использовании различных устройств и предметов не по назначению, психологи называют специальным термином «функциональная ограниченность». Услыхав о ножницах, мы думаем лишь о том, как разрезать ими веревку, что, разумеется, не может помочь в решении теста.
Тест с ковром. Поскольку к бутылке нельзя прикасаться ничем, то решить тест сумеет тот, кто догадается, что ковер уже касается бутылки и его можно каким-то образом использовать для того, чтобы сдвинуть ее, например на пол.
Догадка оказывается верной. Действительно, начните скатывать ковер и, когда рулон дойдет до бутылки, аккуратно придерживая его за концы, столкните им бутылку с ковра, не прикасаясь к ней ничем, кроме свернутого в рулон ковра.
Как и в предыдущей задаче, функциональная ограниченность блокирует путь к решению. Мы так убеждены, что ковром можно только покрыть пол, и упускаем из виду, что ковром можно столкнуть бутылку.
Тест с газетой. Вы сумеете решить тест, если догадаетесь, что два человека, стоящие на газетном листе и разделенные дверью, не могут прикоснуться друг к другу. Просуньте под дверь лист газеты, встаньте на него по одну сторону от двери, а ваш приятель пусть встанет на него по другую сторону от двери. Дверь не позволит вам коснуться друг друга, пока вы не сойдете с газетного листа.
Тест с теннисным мячом. Решению теста препятствует неявно принимаемое допущение о том, что мяч нужно бросить горизонтально. В действительности ничто не мешает бросить мяч вертикально. Тогда, поднявшись на определенную высоту, он остановится, после чего начнет двигаться обратно.
Другое решение – бросить мяч так, чтобы он катился вверх по склону холма. Такое решение можно было бы заранее исключить, потребовав, чтобы мяч находился в воздухе, но поскольку в условии задачи это не оговорено, второе решение вполне законно.
Еще несколько тестов. Чтобы помочь вам в развитии «феномена Ах», приведем еще пять задач-тестов:
1. Можете ли вы бросить на пол с высоты 1 м картонную спичку так, чтобы она упала на ребро?
2. Рабочие смешивают известь с песком и цементом для заделки швов между бетонными блоками в фундаменте здания. В одном из блоков имеется узкий прямоугольный канал глубиной 2 м. В этот канал случайно падает вывалившийся из гнезда птенец. Отверстие слишком узко, чтобы в него можно было просунуть руку, впрочем, достать до дна канала все равно было бы невозможно. Не могли бы вы предложить простой и надежный способ, позволяющий в целости и сохранности извлечь птенца из канала в бетонном блоке?
3. К крюку в потолке на нити длиной около 2 м подвешена кофейная чашка. Можете ли вы перерезать нить ножницами посредине так, чтобы чашка не упала на пол? Держать нить, пока вы ее перерезаете, или чашку запрещается.
4. В плотине недостает одного кирпича. Через образовавшуюся брешь размером 5 см × 20 см льется вода. Обнаруживший течь голландец имеет при себе пилу и цилиндрический деревянный шест диаметром 50 мм. Как ему лучше всего распилить шест, чтобы заткнуть брешь?
5. Нижняя часть винной бутылки имеет форму цилиндра. Высота ее составляет ¾ высоты бутылки. Верхняя четверть бутылки, состоящая из горлышка и плавного перехода к нижней части, имеет неправильную форму. В бутылку до середины ее налита жидкость. Открывать бутылку запрещается. Можете ли вы, пользуясь только линейкой, точно определить, какая часть объема бутылки заполнена жидкостью?
Ответы на эти 5 задач-тестов приведены в конце книги.
Аховы награды
Ежегодно по окончании курса лекций по аховым феноменам проф. Ах награждал специально учрежденной им медалью Аха наиболее отличившегося из своих слушателей. На этот раз на получение медали претендовали 3 кандидата.
Чтобы выбрать наиболее достойного из них, проф. Ах решил прибегнуть к тесту. Он усадил всех трех кандидатов на скамью и попросил их зажмурить глаза.
Проф. Ах. На каждого из вас я надену синюю или красную шляпу. Прошу не открывать глаза без моей команды.
Каждому из 3 кандидатов на медаль проф. Ах надел красную шляпу.
Проф. Ах. Прошу всех открыть глаза. Пусть каждый из вас, увидев на ком-нибудь красную шляпу, поднимет руку. Первый, кто сможет определить, какого цвета шляпа у него на голове, получит медаль.
Все трое подняли руки. Через несколько минут Джон вскочил с места.
Джон. Ах, я знаю! На мне красная шляпа!
Джон. Если бы на мне была синяя шляпа, то Мери сразу бы догадалась, – что на ней красная шляпа, так как иначе нельзя было бы объяснить, почему Барбара подняла руку.
Джон. Барбара рассуждала бы так же, как Мери, и сразу догадалась бы, что на ней красная шляпа, так как иначе нельзя было бы объяснить, почему Мери подняла руку.
Джон. А поскольку ни Мери, ни Барбара не заявили о том, что знают, какого цвета их шляпы, то их молчание означает одно: красную шляпу они видят не только друг на друге, но и на мне.
Решить эту классическую логическую задачу-головоломку не составляет особого труда, если речь идет о 3 действующих лицах. Но предположим, что их не трое, а четверо, и у каждого на голове красная шляпа.
Как быть в этом случае?
Цвет шляпы и математическая индукция
Переход в этой задаче от 3 кандидатов на награду к 4 и последующее обобщение на случай произвольного числа кандидатов познакомит вас с весьма важным методом доказательства, известным под названием «метод математической индукции». Этот метод применим лишь в том случае, когда подлежащие доказательству утверждения можно упорядочить, как ступени лестницы. Вы доказываете, что всякое утверждение истинно, если истинно предыдущее, и проверяете, что первое утверждение истинно. Но коль скоро оно истинно, то истинны и все остальные утверждения: если вы можете ступить на первую ступень, то вам удастся подняться по лестнице сколь угодно высоко (или: если вы ступаете не на первую ступень, то вам удастся подняться или спуститься на любую другую ступень).
Предположим, что у проф. Ах особенно отличились и претендуют на награду 4 студента и что он надел им на головы красные шляпы. Все четверо подняли руки. Предположим, что один из них сумел догадаться, какого цвета шляпа у него на голове, чуть раньше других. Победитель (или победительница) рассуждает так:
– Предположим, что у меня на голове синяя шляпа. Тогда все три моих товарища видят, что она синяя. Значит, каждый из них видит по 2 красные шляпы и жаждет узнать, какого цвета шляпа на голове у него самого. Но именно в такой ситуации находились действующее лица в предыдущей задаче, когда ахову награду оспаривали лишь 3 кандидата. Один из них догадался, что у него на голове красная шляпа.
Но никто из моих соперников не заявляет, что у него на голове красная шляпа, хотя прошло уже достаточно много времени, чтобы каждый мог, не торопясь, тщательно обдумать свои умозаключения. Причина молчания может быть только одна: все они видят, что у меня на голове красная шляпа. Следовательно, мое исходное предположение ложно. Значит, у меня на голове красная шляпа.
Это рассуждение (принесшее своему автору заслуженную награду) допускает обобщение на случай n кандидатов. Если число претендентов на ахову награду равно 5, то самый умный из них увидит перед собой 4 красные шляпы и вскоре поймет, что любой из его соперников может рассуждать так, как рассуждал победитель в состязании 4 кандидатов, и, следовательно, определить цвет своей шляпы. А поскольку все соперники не торопятся заявлять, что у них на головах красные шляпы, то причина подобной сдержанности может быть только одна: все они видят перед собой по 4 красные шляпы. «Значит, – заключил свои рассуждения самый умный из 5 кандидатов, – у меня на голове должна быть красная шляпа». Аналогичные рассуждения применимы в случае любого числа претендентов на ахову награду. Самый умный из n кандидатов всегда может свести задачу к предыдущему случаю, который в свою очередь сводится к предыдущему и т. д., пока задача не сведется к уже решенной задаче о 3 претендентах на ахову награду.
В свази с рассмотрением задачи в общем случае возникает интересный вопрос относительно того, насколько хорошо она определена и не содержит ли она в своих условиях чрезмерный произвол, исключающий возможность однозначного ответа. При каких предположениях задача в общем случае допускает однозначный ответ? Обязательно ли предполагать, что быстрота, с которой соображает каждый из n претендентов на ахову награду, может служить его отличительным признаком, то есть всех претендентов можно упорядочить но быстроте, с которой они думают? Нужно ли предполагать, что с увеличением n возрастает продолжительность времени, в течение которого претендент на награду успевает прийти к заключению о цвете своей шляпы? Предположим, что число претендентов на ахову награду возросло до 100 человек. Верно ли утверждение о том, что по истечении достаточно продолжительной паузы самый умный из них заявит, что у него на голове красная шляпа, затем с некоторым запозданием к аналогичному выводу придет второй по сообразительности из претендентов, затем третий и так далее до тех пор, пока последний тугодум (из лучших студентов проф. Аха) не поймет, что у него на голове красная шляпа?
Классическая задача о шляпах (или колпаках) существует во множестве вариантов. Вот один из них, отчетливо показывающий, насколько усложняется задача, если шляпы на головах действующих лиц могут быть трех или более различных цветов. Предположим, что из 5 белых, 2 красных и 2 черных шляп выбраны какие-то 5 шляп и надеты на головы 5 людей. Если все шляпы белые, то каким образом один из великолепной пятерки, более сообразительный, чем остальные, догадается, что у него на голове белая шляпа?
Особым изяществом отличается следующий вариант исходной задачи с шляпами 2 цветов и 3 действующими лицами, позволяющий исключить все недомолвки и неоднозначности, присущие задаче в ее традиционной постановке. Предположим, что трое людей сидят на стульях в затылок друг другу и каждый смотрит только прямо перед собой. Сидящий сзади видит шляпы обоих людей, сидящих перед ним. Сидящий посредине видит шляпу только того, кто сидит перед ним, а сидящий впереди не видит перед собой ни одной шляпы. (Все трое как бы страдают прогрессирующей слепотой, причем сидящий сзади видит лучше двух остальных, а сидящий впереди полностью ослеп.)
Судья соревнования на сообразительность выбирает 3 шляпы из 3 белых и 2 черных шляп. Сидящие зажмуривают глаза и открывают их по команде лишь после того, как им на головы наденут шляпы, а лишние шляпы уберут.
Судья спрашивает сидящего сзади, знает ли он цвет своей шляпы и получает отрицательный ответ. Сидящий посредине на тот же вопрос отвечает также отрицательно.
Когда же судья спрашивает у сидящего впереди, знает ли тот цвет своей шляпы, то получает ответ: «Знаю, у меня на голове белая шляпа». Каким образом сидящий впереди отгадал цвет своей шляпы?
Он рассуждал следующим образом: «Сидящий сзади ответит судье утвердительно лишь в том случае, если он видит 2 черные шляпы. Поскольку на вопрос судьи он ответил отрицательно, то это означает, что по крайней мере одна из двух шляп, которые он видит, не черная. Предположим, что у меня на голове черная шляпа. Тогда сидящий на среднем стуле видит черную шляпу и, услышав, что сосед сзади на вопрос судьи ответил отрицательно, догадается, что у него самого на голове должна, быть белая шляпа, так как в противном случае сосед сзади видел бы 2 черные шляпы и на вопрос судьи ответил бы утвердительно. Следовательно, если бы у меня на голове была черная шляпа, то сидящий посредине на вопрос судьи ответил бы утвердительно. Но он ответил отрицательно. Значит, он видит перед собой белую шляпу у меня на голове. Отсюда я заключаю, что мое исходное предположение ложно и у меня на голове белая шляпа».
Как и предыдущий вариант, эта задача также легко обобщается методом математической индукции на случай n людей «с прогрессирующей слепотой», сидящих в затылок друг другу на n стульях. Судья обходит всех участников состязания на сообразительность и каждому по очереди задает один и тот же вопрос: «Знаете ли вы, какого цвета шляпа у вас на голове?», причем первый спрашивает того, кто сидит сзади, потом сидящего перед ним и т. д. Запас шляп состоит из n белых и n − 1 черных шляп. Рассмотрим случай n = 4. Сидящий впереди «слепой» знает, что если шляпа черная, то трое сидящих сзади него видят ее и знают, что среди доставшихся им шляп черных не более двух. Тем самым задача сводится к предыдущей. Если на вопрос судьи сидящий сзади и тот, кто сидит непосредственно перед ним, ответили бы отрицательно, то сидящий непосредственно за «слепым» ответил бы утвердительно, как и в предыдущем случае. А поскольку он отвечает утвердительно, то «слепой» отбрасывает свое первоначальное предположение как ложное и заключает, что его шляпа должна быть белой. Математическая индукция позволяет распространить доказательство на случай n человек. Если на вопрос судьи все, кроме «слепого» отвечают отрицательно, то у всех n на головах должны красоваться белые шляпы.
Теперь мы уже достаточно подготовлены и к более трудному варианту. Предположим, что трем участникам состязания на сообразительность судья раздает шляпы, выбирая их в любом наборе из 3 белых и 2 черных шляп. Участников состязания судья опрашивает в том же порядке, что и прежде. Будет ли кто-нибудь из них на вопрос судьи всегда отвечать утвердительно? Предоставляем вам возможность самостоятельно решить эту задачу и доказать, что ее можно обобщить на случай n человек и n белых и n − 1 черных шляп. Кое-кто из участников на вопрос судьи всегда будет отвечать утвердительно. Первый, кто всегда отвечает судье утвердительно, – это первый из тех, кто сам носит белую шляпу и не видит ни одной белой шляпы перед собой.
Шляпы двух цветов эквивалентны шляпам, пронумерованным двоичными числами 0 и 1. Во многих задачах такого типа цвета шляп отличаются большим разнообразием (одну из таких задач мы рассмотрели) и разобраться в них легче, если каждый цвет заменить соответствующим натуральным числом. Рассмотрим, например, следующую игру для 2 лиц.
Судья выбирает любую пару последовательных натуральных чисел. Кружочек с одним из этих чисел судья приклеивает на лоб одному игроку, а кружочек со вторым числом – на лоб другому игроку. Каждый игрок видит число на лбу у другого, но не видит числа у себя на лбу.
Судья по очереди спрашивает у каждого из участников, знает ли тот, какое число у него на лбу, до тех пор, пока кто-нибудь из них не назовет число у себя на лбу. Методом математической индукции можно доказать, что если большее из 2 чисел равно n, то один участник игры ответит «да» n или n − 1 раз. Доказательство этого утверждения начинается с рассмотрения простейшего случая: чисел 1 и 2. Человек с числом 2 на лбу отвечает «да» на первый или на второй вопрос (в зависимости от того, к кому из двух участников игры судья обратится прежде), так как, видя на лбу у партнера число 1, он сразу же заключает, что у него самого на лбу число 2.
Рассмотрим теперь случай, когда выбраны числа 2 и 3. На первый вопрос человек с числом 3 на лбу ответит «нет», потому что у него на лбу могло бы стоять и число 1, и число 3. Затем он может рассуждать так: «Предположим, что у меня на лбу число 1. Тогда мой партнер, у которого на лбу число 2, на вопрос судьи ответил бы «да» (как в предыдущем случае). Следовательно, если он ответит «нет», то это будет означать, что у меня на лбу стоит число 3, а не 1». И когда судья задаст игроку с числом 3 на лбу свой вопрос вторично, тот ответит «да». Так же как в задачах со шляпами, это рассуждение обобщается на случай любых двух последовательных натуральных чисел.
Для полного решения задачи необходимо лишь знать, в каких случаях игрок ответит «да» на n-й вопрос и в каких на (n − 1)-й вопрос. Исследовав задачу до конца, вы убедитесь в том, что это зависит от двух причин: во-первых, от того, кому из игроков судья задает первый вопрос, и, во-вторых, от четности числа n.
Более тонкое обобщение задачи было исследовано недавно знаменитым математиком из Кембриджского университета Джоном Хортоном Конуэем. Вот что оно собой представляет. Каждому из n участников игры на лоб приклеивается кружок с номером. Номера могут быть любыми неотрицательными целыми числами. Сумма всех этих чисел равна одному из k чисел (k ≤ n), выписанных на доске, среди которых нет двух одинаковых. Все участники игры по предположению обладают безграничной мощью интеллекта и отличаются абсолютной честностью. Каждый участник игры видит все номера, кроме своего, и все числа на доске.
Первого из участников игры спрашивают, может ли он назвать свой номер. Если он отвечает «нет», то тот же вопрос задают второму и так далее по кругу до тех пор, пока один из участников не ответит «да». Конуэй утверждает (хотя это кажется невероятным), что рано или поздно кто-то из участников непременно ответит «да».
Нелегкий выбор
Проезжая через небольшой городок по дороге в Лас-Вегас, Джон обнаружил в своей автомашине неисправность. Оставив машину в ремонтной мастерской, он решил пойти подстричься.
В городке было всего две парикмахерских. Одна из них принадлежала Биллу, другая Джо.
Заглянув через витрину в парикмахерскую Билла, Джон передернулся от отвращения.
Джон. Какая ужасная грязь! На зеркалах толстый слой пыли, на полу валяются волосы, владельцу парикмахерской не мешало бы побриться, да и подстрижен он кое-как.
Джон перешел на другую сторону улицы и решил попытать счастья у Джо.
Заглянув сквозь витрину в парикмахерскую Джо, Джон увидел иную картину.
Джон. Совсем другое дело! На зеркалах ни пылинки, пол чисто подметен, и сам Джо аккуратно подстрижен.
Но в парикмахерскую Джо наш Джон так и не зашел. Он предпочел подстричься в грязной парикмахерской у Билла. Почему?
Кому отдать предпочтение?
Ни один парикмахер не стрижет сам себя. Поскольку в городке, где вынужден был остановиться Джон, всего 2 парикмахерских, то каждый из парикмахеров вынужден стричься у своего конкурента. Джон мудро рассудил, что ему лучше подстричься у парикмахера-грязнули, потому что именно он так аккуратно подстриг владельца парикмахерской, блиставшей чистотой и порядком.
А вот еще одна задача, очень близкая по духу предыдущей. Два горняка после долгого трудового дня в шахте поднялись на поверхность. У одного из них лицо было чистым, у другого запорошено угольной пылью. У выхода с шахтного двора горняки пожелали друг другу спокойной ночи. Горняк с чистым лицом прежде, чем отправиться домой, вытер лицо носовым платком. Горняк с лицом, запорошенным угольной пылью, отправился домой в таком виде, как был. Можете ли вы объяснить их не совсем обычное поведение?
