Текст книги "Есть идея!"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 17 страниц)

Как взвесить гиппопотама

Так уж повелось, что бремя забот о священном гиппопотаме нес на своих плечах вождь племени, собственноручно кормивший и всячески ублажавший своего подопечного.

Каждый год в день своего рождения вождь, прихватив с собой лодку сборщика податей и священного гиппопотама, отправлялся вверх по реке в те места, где стояла хижина, возведенная специально для сбора дани.

Племя платило вождю дань – столько золотых слитков, сколько требовалось, чтобы уравновесить священного гиппопотама. На чашу огромных весов ставили священное животное и уравновешивали его грудой слитков золота на другой чаше.

Однажды вождь племени так раскормил священного гиппопотама, что весы не выдержали непомерной тяжести и сломались. На починку их потребовалось бы несколько дней. Над торжественной церемонией сбора дани нависла угроза срыва.

Вождь племени был вне себя от ярости. Он вызвал сборщика податей.

Вождь. Я не желаю ждать. Золото мне нужно сегодня и ровно столько, сколько весит священный гиппопотам. Если ты не придумаешь, как отмерить нужное количество золота до захода солнца, я прикажу отрубить тебе голову.

Несчастный сборщик податей от страха почти перестал что-либо соображать. Лишь огромным усилием воли ему удалось собраться с мыслями.

После нескольких часов напряженных размышлений ему пришла в голову блестящая мысль. Вы не догадываетесь, что именно он придумал?

Как и все гениальное, предложенный им выход из создавшегося положения был необычайно прост. Сборщик податей ввел священного гиппопотама на пустую лодку вождя и отметил снаружи на борту лодки уровень, до которого та погрузилась в воду.

Затем он свел гиппопотама на берег и принялся нагружать лодку золотыми слитками. Так он трудился до тех пор, пока лодка не погрузилась в воду по сделанную ранее отметку, после чего с полным основанием доложил вождю, что вес груды золота в лодке равен весу священного гиппопотама.

Эврика!

По закону Архимеда, плавающее тело вытесняет объем воды, масса которого равна массе тела. Следовательно, если священного гиппопотама ввести на лодку, то та погрузится в воду, вытеснив количество воды, масса которой равна массе гиппопотама.

А вот еще одна задача на близкую тему. Предположим, что лодка плавает в достаточно малом бассейне, где уровень воды можно точно измерить. Священного гиппопотама свели на берег, лодку нагрузили эквивалентной по массе грудой золотых монет и на стенке бассейна отметили уровень воды.

Предположим, что мы принялись швырять монеты одну за другой за борт лодки на дно бассейна. Глубина погружения лодки в воду при этом уменьшается. А что произойдет с уровнем воды в бассейне? Будет он подниматься или опускаться?

Даже физики иногда затрудняются ответить на этот вопрос. Одни полагают, что уровень воды в бассейне не изменится. Другие утверждают, будто уровень воды в бассейне поднимается из-за того, что утонувшие монеты вытеснят какой-то объем воды. И те, и другие заблуждаются.

Чтобы разобраться, в чем корень ошибки, необходимо снова вернуться к закону Архимеда. Каждое плавающее тело, вытесняет объем воды, масса которого равна массе тела. Золото гораздо тяжелее воды, поэтому объем воды, вытесняемой нагруженной золотом лодкой, гораздо больше объема самого золота. Когда же золото оказывается на дне бассейна, то оно вытесняет лишь объем воды, равный своему собственному объему. Поскольку этот объем гораздо меньше объема, который вытесняет лодка, груженная золотом, то уровень воды в бассейне понизится.

Физик Дж. Гамов однажды привел яркий пример, поясняющий решение нашей задачи. Некоторые звезды состоят из вещества в миллионы раз более плотного, чем вода. Кубический сантиметр такого вещества весит не одну тонну. Если швырнуть его за борт лодки, он опустится на дно бассейна и вытеснит лишь 1 см³ воды, то есть ничтожно малое количество, поэтому вода в бассейне опустится. Ситуация с золотом точно такая же, только вода в бассейне опустится гораздо меньше.

Итак, мы отправили все золото на дно бассейна и отметили уровень воды на борту лодки. Предположим, что гиппопотаму захотелось искупаться. После того как он войдет в бассейн, уровень воды поднимется на 2 см. На сколько придется поднять отметку на борту лодки?

Представьте, что вы пьете прямо из бутылки кинки-колу и хотите оставить ровно половину объема всей бутылки. Отмерить нужное количество жидкости нетрудно: пейте до тех пор, пока поверхность жидкости в наклоненной вами бутылке не дойдет до того места, где стенки бутылки встречаются с донышком.

А вот аналогичная задача, требующая иного решения. В бутыль неправильной формы из прозрачного стекла налит концентрированный раствор кислоты. На стенках бутылки имеются 2 отметки: одна соответствует 10 л кислоты, другая – 5 л.

Кто-то отлил немного кислоты, отчего уровень ее в бутыли стал чуть ниже отметки 10 л. Вам требуется отлить для опыта ровно 5 л кислоты. Кислота слишком опасная и летучая, чтобы ее можно было переливать в другие мерные сосуды. Как легко и просто отмерить ровно 5 л кислоты?

Одно из решений состоит в том, чтобы, бросая в бутыль стеклянные шарики (или шарики из любого другого материала, не разъедаемого кислотой), довести уровень кислоты до отметки 10 л, после чего отливать кислоту до тех пор, пока ее уровень в бутыли не сравняется с отметкой 5 л.

Как распределить домашние обязанности

Мистер и миссис Джонс только что поженились. У каждого из них есть постоянная работа, и они решили распределить между собой и обязанности по дому.

Стремясь к честному распределению обязанностей по дому, супруги Джонс составили перечень всех работ по дому на неделю.

Бастер. Я беру на себя половину обязанностей, дорогая. Остальные обязанности предоставляю тебе.

Жанет. Прошу прощения, Бастер, но, по-моему, ты распределил обязанности нечестно. Мне ты оставил всю грязную работу, а себе взял то, что чище и полегче.

С этими словами миссис Джонс взяла список обязанностей по дому и отметила те работы, которые бы ей хотелось взять на себя. Ее муж не согласился с новым распределением обязанностей.

Жанет. Если ты думаешь, что я буду делать всю грязную работу, то ты просто сошел с ума.

Пока супруги пререкались, в дверь позвонили. Это пришла мать миссис Джонс.

Миссис Смит. Из-за чего драка, голубки? Ваши крики слышны на лестнице.

Выслушав доводы Бастера и его жены, миссис Смит улыбнулась.

Миссис Смит. Я нашла великолепное решение. Сейчас я покажу вам, как распределить обязанности по дому, чтобы вы оба остались довольны.

Миссис Смит. Пусть один из вас разделит перечень обязанностей на 2 части, каждую из которых он бы охотно взял на себя, а другой выберет себе любую половину. Тогда обязанности будут распределены в соответствии с желаниями каждого из вас, не так ли?

Но год спустя, когда миссис Смит переехала к молодоженам, ситуация несколько осложнилась. Миссис Смит охотно согласилась взять на себя треть обязанностей по дому, но все трое никак не могли придумать, как справедливо разделить между собой обязанности. Не взялись бы вы им помочь?

Честный раздел

Задача о честном разделе, с которой столкнулась чета Джонсов, в книгах по занимательной математике обычно фигурирует, как задача о разделе пирога между двумя людьми, каждый из которых хотел бы заполучить не меньше половины.

Эту задачу мы решили, а вот задача о честном разделе пирога между тремя людьми, каждый из которых хотел бы заполучить не менее трети пирога, осталась нерешенной.

Она допускает следующее решение. Один из любителей пирога медленно ведет большим ножом над пирогом. Пирог может быть любой формы. Вести нож нужно так, чтобы доля пирога по одну сторону ножа непрерывно возрастала от нуля до максимума. Как только любой из трех участников раздела сочтет, что по одну сторону ножа осталась треть пирога, он произносит вслух: «Режь!» Тот, кто держит нож, немедленно отрезает кусок пирога и отдает тому, что подал команду. Если команду «Режь!» подадут одновременно двое или даже трое любителей пирога, отрезанный кусок вручается любому из них.

Двое остальных вполне удовлетворены куском пирога, доставшимся им на двоих: ведь этот кусок составляет не менее ⅔ от всего пирога. Задача о разделе этого куска сводится к предыдущей задаче о честном разделе между двумя претендентами и решается, если один режет, а другой выбирает.

Метод честного раздела допускает очевидное обобщение на случай n участников. Один из участников ведет ножом над пирогом. Первый, кто подаст команду «Режь!», получает первый кусок (если команду подадут сразу несколько человек, отрезанный кусок достается одному из них по жребию). Затем процедура повторяется с n − 1 остальными участниками. Так продолжается до тех пор, пока не останутся 2 участника. Последняя порция пирога делится между ними по принципу «я режу, ты выбираешь», или, если угодно, при помощи все той же универсальной процедуры: один ведет ножом над пирогом, и каждый может скомандовать «Режь!», если сочтет, что по одну сторону ножа осталось не менее ½ порции, доставшейся им на двоих. Общее решение задачи о справедливом разделе может служить прекрасным примером доказательства, проводимого при помощи метода математической индукции. Ясно, что тот же алгоритм справедливого раздела применим и к задаче о распределении домашних обязанностей между n обитателями квартиры, не оставляющем ни у кого ни малейшего повода для неудовольствия.

Математик из Кембриджского университета Джон X. Конуэй рассмотрел задачу о справедливом разделе при гораздо более жестких требованиях. Традиционный алгоритм позволяет каждому участнику получить долю, которую тот считает не меньше причитающейся ему. Существует ли алгоритм, при котором каждый участник будет также пребывать в уверенности, что никому из остальных не достанется больше, чем ему самому? Поразмыслив, вы поймете, что при числе участников больше трех традиционный алгоритм не дает такой уверенности. Конуэй и другие нашли решение задачи для случая, когда число участников с обостренным чувством справедливости равно трем. Для большего числа участников решение, насколько известно, пока не найдено.

Воздушный акробат

В звоннице средневековой церкви сохранились две бесценные веревки, за которые звонари раскачивали колокола. Обе веревки проходят через небольшие отверстия в потолке комнаты звонарей. Потолок очень высокий. Расстояние между отверстиями 25 см, а диаметр каждого из них таков, что веревки свободно проходят сквозь них.

Тони, бывший акробат, вознамерился похитить веревки – отрезать от каждой из них кусок побольше.

Тони. Как назло, колокола на самом верху звонницы заперты на семь запоров. Проникнуть можно только в комнату звонарей.

Тони. Придется залезть по веревкам и отрезать от каждой из них кусок побольше. Жаль, до потолка здесь так высоко, что если я отрежу больше трети видимой части веревки, то упаду и сломаю себе шею.

Тони размышлял довольно долго, пока, наконец, не придумал, как похитить обе веревки почти целиком.

Что бы вы сделали на его месте?

Решение Тони было весьма остроумным. Прежде всего он связал свободные концы веревок. Затем залез по одной из них (обозначим ее A) под самый потолок.

Повиснув под потолком на веревке A, Тони перерезал веревку B примерно на полметра ниже потолка и свисающий из отверстия остаток связал в петлю.

Продев в петлю руку, Тони повис на веревке B и перерезал веревку A под самым потолком, приняв все меры предосторожности, чтобы отрезанный кусок веревки A не упал на пол. Затем он продел веревку A сквозь петлю и принялся протягивать ее, пока наверху не оказались связанные концы веревок A и B.

После этого Тони слез по сложенной вдвое веревке, выдернул ее из петли и ушел, унося с собой всю веревку A и почти всю веревку B.

А как бы вы это сделали?

Манипуляции с веревкой

Задачу, о которой вы узнали, прочитав рассказ о дерзком похитителе веревок, нельзя считать строго определенной, поэтому и решений у нее может быть несколько. Возможно, что приведенное нами решение наиболее «практично», но вы заведомо сумеете предложить еще несколько других вариантов, которыми мог бы воспользоваться вор. Не исключено, что ваше решение окажется лучше.

Например, похититель мог бы завязать на веревке В так называемую колышку – специальный узел, используемый моряками и альпинистами для временного укорочения снасти (рис. 6). Повиснув на веревке B, он мог бы обрезать веревку A под потолком (и дать ей упасть на пол), после чего перерезать веревку B в точке X. Всем альпинистам хорошо известно, что узел будет держать, пока вор не соскользнет по веревке B вниз. Дернув за веревку B, он распустит колышку и получит почти всю веревку B, за исключением небольшого ее куска под самым потолком.

Другое возможное решение. Похититель взбирается наверх по веревке A. Ухватившись одной рукой за веревку B и вися на веревке A, он начинает перерезать волокно за волокном веревку A, пока не почувствует, что та вот-вот оборвется. Затем он стягивает обе веревки вместе и вися на двух веревках одновременно, начинает перерезать веревку B под самым потолком так же, как он перерезал веревку A, и спускается по двум веревкам вниз. Каждая из веревок в отдельности не выдержала бы его веса, но с половинной нагрузкой веревки справляются благополучно. Очутившись на полу, вор сильным рывком обрывает веревки по месту надреза.

Третий способ предполагает, что отверстия в потолке достаточно велики. Сначала похититель связывает свободные концы веревок A и B у пола. Затем взбирается по веревке A, перерезает веревку B под потолком и проталкивает ее длинный конец в отверстие для веревки B, пока тот не покажется из отверстия для веревки A, после чего начинает протягивать веревку B до тех пор, пока ее конец не окажется у пола, а узел – под потолком у отверстия для веревки B. Ухватившись у самого потолка за веревку B, продернутую сквозь отверстие для веревки A, и нижнюю часть веревки A, подтянутую теперь к потолку, похититель перерезает верхнюю часть веревки A (торчащую из отверстия для веревки A) как можно выше и, спустившись по двойной веревке, сдергивает ее на пол.

А вот более хитроумный вариант предыдущего решения. Свободные концы веревок остаются не связанными. Похититель взбирается по веревке A, перерезает веревку B, проталкивает ее длинный конец сквозь отверстие для веревки B и вытягивает его из отверстия для веревки A, после чего захлестывает его вокруг веревки B и завязывают узлом (рис. 7). Повиснув на веревке B, похититель перерезает веревку A и привязывает конец ее к узлу. Спустившись по веревке B, он тянет за веревку A, веревка В проскальзывает сквозь петлю и падает вниз.

Еще один вариант. Похититель взбирается по веревке A и завязывает петлю на верхней части веревки B. Повиснув на этой петле, он перерезает веревку A, проталкивает ее конец сквозь отверстие для веревки A и вытягивает его из отверстия для веревки B, после чего привязывает к петле. Повиснув на двух веревках, он перерезает веревку B под потолком над петлей, спускается по двум веревкам вниз и, потянув за веревку B, сдергивает их вниз.

Некоторые из приведенных выше решений практически не осуществимы: если бы похититель вздумал воспользоваться любым из них, то колокола зазвонили бы и он был бы пойман с поличным. Одно из достоинств самого первого решения состоит в том, что похититель осторожно натягивая веревку B, прежде чем повиснуть на ней, мог бы избежать лишнего шума (колокол B при соблюдении всех мер предосторожности не зазвонил бы). Прежде чем влезть по веревке A, похитителю также следовало бы осторожно натянуть ее.

Во многих классических процедурных задачах, аналогичных задачам о переправах, фигурирует переброшенная через блок длинная веревка, к каждому концу которой прикреплено по корзине. Льюис Кэрролл очень любил следующий вариант такой задачи.

Пленная королева вместе со своим сыном и дочерью заточены в каморке на самом верху высокой башни. Снаружи у их окна прикреплен блок, через который перекинута веревка. На каждом конце веревки висит по корзине. Вес обеих корзин совершенно одинаков. Верхняя корзина, находящаяся как раз против окна темницы, пустая, в нижней корзине, достающей до земли, лежит камень массой 30 кг, служащий противовесом.

Блок сильно заржавел и вращается со скрипом достаточно медленно для того, чтобы спуск в корзине был безопасен для каждого, чья масса превышает массу противовеса не более чем на б кг. При большей разности масс удар о землю может причинить тяжкие увечья. Разумеется, если одна корзина поднимается, то другая опускается.

Масса королевы 78 кг, масса ее дочери 66 кг и масса сына 36 кг. Укажите простейший, то есть состоящий из наименьшего числа шагов, алгоритм побега. Корзины достаточно велики, чтобы вместить либо 2 людей, либо одного человека и камень. При побеге августейшим пленникам никто не помогает, и они не могут помочь себе, потянув за веревку. Иначе говоря, блок действует только в том случае, если масса в одной корзине превосходит массу в другой корзине.

Простейшее решение легко найти, если воспользоваться «аналоговым устройством»: написать массы на отдельных карточках и подвигать их вверх и вниз. Вам не удастся организовать побег всех трех узников менее чем за 9 шагов. Вот как выглядит наиболее экономичный алгоритм побега:

1. Сын вниз, камень вверх,

2. Дочь вниз, сын вверх.

3. Камень вниз.

4. Королева вниз, камень и дочь вверх.

5. Камень вниз.

6. Сын вниз, камень вверх,

7. Камень вниз.

8. Дочь вниз, сын вверх.

9. Сын вниз, камень вверх,

Задачи этого типа иногда усложняются введением животных, которые не могут самостоятельно влезать в корзины и вылезать из корзин. Льюис Кэрролл предлагает следующий вариант предыдущей задачи. На вершине башни вместе с королевой находились не только ее сын, дочь и груз, но и свинья массой 24 кг, собака массой 18 кг и кошка массой 12 кг. Спускать четвероногих нужно с теми же предосторожностями, что и людей, но теперь кто-нибудь непременно должен быть и наверху и внизу, чтобы класть животных в корзины и доставать их оттуда.

Удастся ли вам построить алгоритм побега короче 13 шагов? В обеих задачах тому, кто последним выйдет из корзины, следует поторапливаться, иначе он рискует получить по голове падающим противовесом!

Катастрофа на острове

Орвилл поставил свою машину на берегу небольшого озера.

Орвилл. Какой ровный берег! Для запуска моей радиоуправляемой авиамодели лучшего места не найти. Ни тебе деревьев, ни скал. Единственное дерево – на островке посреди озера.

Орвилл хотел было заставить модель облететь вокруг дерева, но не рассчитал расстояние. Модель врезалась в дерево и упала на землю.

Орвилл не на шутку встревожился. Оставлять модель на острове не хотелось: слишком много сил и средств было израсходовано на нее. Озеро было глубоким, а плавать Орвилл не умел. В багажнике машины у Орвилла на всякий случай хранилась веревка, длина которой на несколько метров превышала поперечник озера в самой широкой части, но как воспользоваться веревкой Орвилл не знал.

И вдруг Орвилла осенила простая и в то же время остроумная идея.

Орвилл. Делать нечего, придется намокнуть, зато модель будет спасена.

Как Орвилл достал свою модель?

Стоит подумать, прежде чем пускаться вплавь

Орвилл достал свою модель следующим остроумным способом. Он подогнал свою автомашину к самому краю воды и привязал к переднему бамперу длинную веревку. Держась за свободный конец веревки, он обошел дважды вокруг озера, отчего веревка обвилась вокруг ствола дерева, и, как следует натянув веревку, привязал свободный конец к бамперу. Получилась подвесная дорога: двойная веревка, натянутая между деревом на острове и бампером автомашины на берегу. Держась за веревку, Орвилл добрался до острова и, захватив модель, благополучно вернулся на берег.

В другой старинной головоломке речь идет о том, как, используя подручные средства, перебраться с суши на остров, который расположен в центре квадратного озера (рис. 8). Путешественнику необходимо побывать на острове. Плавать он, как и Орвилл, не умеет. На берегу путешественник нашел две одинаковые доски, но каждая из них слишком коротка и немного не достает до острова.

Как, пользуясь двумя досками, путешественник может попасть на остров? Решение показано на рис. 9.

Обобщим классическую задачу: предположим, что путешественник нашел на берегу несколько досок. Сможет ли он добраться до острова, если доски окажутся более короткими, чем в классической головоломке?

С тремя досками вы справитесь довольно легко, построив мост, изображенный на рис. 10. Но найти решение с 5 или 8 короткими досками несравненно труднее. На рис. 11 изображен мост, построенный из 8 досок.

В идеализированной постановке остров вырождается в точку, доски заменяются отрезками прямых, а для «перекрытия» достаточно касания. Представим себе, что мы располагаем неограниченным запасом одинаковых «досок». Предельный случай показан на рис. 12. Если озеро имеет форму квадрата со стороной, равной 2 единицам длины, то каждая доска (даже если их у нас бесконечно много) не может быть короче √2/2. Доказать это можно с помощью теоремы Пифагора.

Попытайтесь решить ту же задачу в идеализированной постановке для «озер», имеющих какую-нибудь другую форму, например круглых или многоугольных.