Текст книги "Есть идея!"
Автор книги: Мартин Гарднер
сообщить о нарушении
Текущая страница: 5 (всего у книги 17 страниц)
Невидимые размеры
В центре городского парка находится, круглая площадка для игр. Магистрат вознамерился устроить на этой площадке бассейн в форме ромба.
Мэр города Дорис Райт, рассмотрев представленные архитектором проекты, высказала свое мнение.
Мэр Райт. Мне нравится вот этот проект бассейна, облицованного красным кафелем. Какова длина каждой стороны ромба?
Вопрос мэра поставил в тупик архитектора Фрэнка Лойда Ронга.
Мистер Ронг. Сейчас прикину. Расстояние от A до B равно 5 м, а расстояние от B до C – 4 м. По этим данным можно найти длину стороны BD, например вычислить ее по теореме Пифагора.
Мистер Ронг приступил было к вычислениям, как вдруг достопочтенную миссис Райт осенило.
Мэр Райт. Есть идея! Длина стороны бассейна – ровно 9 м. Тут и считать нечего.
Мистер Ронг. Вы абсолютно правы!
Что позволило мэру и архитектору с такой легкостью найти длину стороны бассейна?
Диагональ и радиус
Миссис Райт заметила, что каждая сторона бассейна совпадает с диагональю некоего прямоугольника, другая диагональ которого равна радиусу круглой площадки для игр. Диагонали прямоугольника равны. Следовательно, длина стороны бассейна равна радиусу круглой площадки для игр. А поскольку этот радиус составляет 5 + 4 = 9 м, то и длина каждой стороны бассейна равна 9 м. Теорема Пифагора не понадобилась.
Вы сможете лучше оценить все остроумие догадки миссис Райт, если попытаетесь вычислить длину стороны бассейна более традиционным способом. Если вы захотите воспользоваться только теоремой Пифагора и подобием треугольников, то решение получится чрезмерно громоздким. Известная из планиметрии теорема о пересекающихся хордах, гласящая, что произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит хорды, одинаково для всех хорд, пересекающихся в данной точке, позволяет несколько сократить решение. Применяя эту теорему, вы числите высоту прямоугольного треугольника (составляющего четверть бассейна), равную √56. Затем по теореме Пифагора, зная два катета, вы найдете гипотенузу, равную 9 м.
С задачей о бассейне, так изящно решенной миссис Райт, тесно связана знаменитая задача о водяной лилии, встречающаяся в одном из произведений Лонгфелло. Когда стебель лилии стоит вертикально, цветок ее на 10 см возвышается над поверхностью озера. Если лилию оттянуть в сторону, не давая стеблю провиснуть, то цветок ее коснется воды в точке, отстоящей на 21 см от того места, в котором выходил из воды прямостоящий стебель. Какова глубина озера в том месте, где растет лилия?
Задачу Лонгфелло нетрудно решить, если начертить схему, изображенную на рис. 4. По существу эта схема ничем не отличается от проекта бассейна, представленного архитектором Ронгом. Требуется определить длину отрезка x. Как и задачу о длине стороны бассейна, задачу о лилии можно решить разными способами. Но если воспользоваться теоремой о пересекающихся хордах, то ответ получается особенно легко и быстро.
А вот еще одна замечательная задача о бассейне, трудная с виду, но легко решаемая, если сообщить, в чем ее изюминка. Дельфин находится у западного края круглого бассейна в точке A, проплывает по прямой 12 м и упирается «носом» в край бассейна в точке B. Повернувшись, он проплывает по прямой в другом направлении 5 м и снова касается края бассейна в точке C, диаметрально противоположной точке A. Какое расстояние пришлось бы преодолеть дельфину, если бы он из точки A поплыл прямо в точку C?
Задача о дельфине решается легко и просто, если воспользоваться теоремой о том, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, – прямой, и заметить, что угол ABC именно такой угол. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 5 м и 12 м. Следовательно, гипотенуза равна 13 м. Мораль всех этих задач ясна: во многих случаях геометрическую задачу можно решить до смешного просто, если вовремя вспомнить соответствующую теорему евклидовой геометрии.
Пасутся кони на другом поле
На заседании шахматного клуба мистер Бишоп предложил следующую задачу.
Мистер Бишоп. Как поменять позиции черных и белых коней за наименьшее число ходов?
Один из членов клуба сделал 2 первых хода так, как показано на диаграмме. Переставить белых коней в верхние углы доски, а черных – в нижние он сумел за 24 хода.
Другому члену клуба удалось решить задачу мистера Бишопа за 20 ходов.
Но никому не удавалось решить задачу менее чем за 18 ходов, пока не появилась Фанни Фиш.
Мисс Фиш. Есть идея! Я знаю, как решить задачу за 16 ходов, и могу доказать, что ее нельзя решить за меньшее число ходов.
Прежде чем приступить к объяснению, Фанни начертила диаграмму, на которой отрезками прямых изображены возможные ходы каждого коня.
Мисс Фиш. Представьте себе, что отрезки прямых – это нити, а восемь клеток нанизаны на них, как бусины, и их можно расположить по окружности.
Мисс Фиш. Каждый ход на доске соответствует вполне определенному ходу на окружности. Чтобы поменять позиции коней, их необходимо переместить по окружности, двигая в одном направлении.
Мистер Бишоп. Вы совершенно правы, Фанни. Чтобы перейти на новую позицию, каждый из 4 коней должен совершить по 4 хода. Таким образом, задачу можно решить за 16 ходов, а более экономного решения не существует.
Фанни заменила одного из белых коней красным и задала членам шахматного клуба новую задачку: как поменять местами белого и красного коня за наименьшее число ходов?
Как, по-вашему, почему Фанни улыбалась, предлагая эту задачку?
Шахматные кони и звездчатые фигуры
Фанни решила шахматную задачу, сведя ее к изоморфной задаче, допускавшей простое (хотя и далеко не тривиальное!) решение. Поставленную Фанни задачу можно решить тем же методом. Соединив нитями клетки, занятые конями, и развернув получившееся «ожерелье» в окружность, мы увидим, что кони нанизаны на нити в следующем порядке: черный, черный, красный, белый. Фанни улыбалась, так как понимала, что переставить красного и белого коней невозможно: они следуют друг за другом в неизменном порядке, потому что ни один конь не может перепрыгнуть через другого коня, если они оба движутся по кругу (в любом направлении) и обгон запрещен. Понятно ли вам почему?
При движении по окружности по часовой стрелке белый конь всегда следует непосредственно за красным. Если бы белый и красный кони могли поменяться полями, которые они занимали на доске с самого начала, то порядок следования был бы изменен на обратный и красный конь двигался бы по кругу непосредственно за белым. Ясно, что такое перестроение невозможно. Действительно, оно означало бы, что один из коней (либо белый, либо красный) перепрыгнул через двух черных коней. Сведя мини-шахматную задачу к топологической задаче о расположении четырех точек на простой замкнутой кривой, мы получили возможность весьма просто доказать, что решения исходной задачи не существует. Получить доказательство «несуществования» другим способом было бы чрезвычайно трудно. Попробуйте, и вы убедитесь в этом сами.
Вам понравилась задача о перестановке шахматных коней? Вот еще одна такая задача, по трудности даже превосходящая обе предыдущие. Рассмотрим позицию на шахматной доске 3×4, изображенную на рис. 5. Как и прежде, трех черных и трех белых коней требуется поменять местами так, чтобы белые кони оказались на верхней горизонтали, а черные заняли нижнюю горизонталь, причем выполнить перестановку за наименьшее число ходов.
В этом случае, как видно на рис. 6, изоморфный граф более сложен. Этот граф представляет собой диаграмму, на которой показаны все возможные ходы коней, Предположив, что вершины нашего графа – пуговицы или бусины, а ребра – нити, мы обнаружим, что развернуть его в окружность, как в предыдущей задаче, невозможно, но наш граф из нитей и пуговиц нам удастся уложить так, как показано на рис. 7. Числа на этом рисунке соответствуют номерам клеток на рис. 4 и 5.
Ясно, что задача о перестановке шахматных коней на этом графе изоморфна исходной задаче, но решается несравненно легче. Удастся ли вам найти минимальное решение в 18 ходов?
Метод нитей и пуговиц позволяет проанализировать одну старинную игру. Для нее нам понадобится особая «доска» – звездчатый граф, изображенный на рис. 8, и семь монет или небольших фишек.
Игра состоит в следующем. Положив монету на любую вершину графа, вы можете сдвинуть ее вдоль черной ломаной линии (ребер графа) в любую другую вершину. После того как ход закончен, прикасаться к монете и перемещать ее в другую вершину запрещается.
Затем вы кладете вторую монету на любую незанятую вершину графа и передвигаете ее вдоль ребер в любую другую незанятую вершину. Так вы продолжаете действовать до тех пор, пока все семь монет не займут свое место на вершинах графа.
Очень скоро вы обнаружите, что расставить все семь монет удается, если действовать по тщательно продуманному плану: малейшая небрежность приводит к позиции, не позволяющей достичь в игре успеха. Не могли бы вы указать, каких правил следует придерживаться при расстановке и перемещении монет, чтобы вам неизменно сопутствовал успех?
Звездчатый граф можно полностью «раскрыть» подобно графам в двух первых задачах о перестановке шахматных коней, его удается развернуть в окружность. После того как это сделано, семь монет нетрудно расположить на окружности и проанализировать, как они могут двигаться. Справиться с этой задачей можно многими способами. Одна из наиболее простых выигрышных стратегий состоит в том, чтобы делать любой ход первой монетой, а все следующие монеты ставить и передвигать всегда так, чтобы по окончании хода они заняли вершину, которую занимала в исходном положении предыдущая монета.
Предложите сыграть в эту игру своим друзьям. Лишь очень немногие из них смогут расставить все семь монет, даже если вы один раз быстро продемонстрируете им, как следует играть.
Невиданный меч
Присмотритесь повнимательнее к этой картинке. Что художник нарисовал неправильно?
Взгляните на меч в руке рыцаря: его невозможно вложить в ножны.
Эти два меча (если только они не имеют утолщений) можно вложить в ножны соответствующей формы. Можете ли вы придумать еще какую-нибудь форму для меча и парных ему ножен?
Вам пришла в голову мысль перейти от плоских кривых к пространственным? Оказывается, помимо двух традиционных форм мечей, вкладывающихся в ножны, тем же свойством обладают только мечи, выкованные в форме винтовой линии.
Незаменимая кривая
Винтовая линия играет важную роль в современной науке, – особенно в биологии и физике элементарных частиц. Молекулы ДНК имеют форму винтовой линии. В отличие от своих одно– и двумерных двоюродных сестер – прямых и окружностей – винтовая линия обладает «закрученностью», то есть может быть правой и левой. Прямая и окружность неотличимы от своих зеркальных отражений, но отличить винтовую линию от ее зеркального отражения не составляет ни малейшего труда. В зеркале винтовая линия, по выражению Алисы из Зазеркалья (Льюис Кэрролл), «идет наоборот».
Существует множество примеров винтовых линий в природе и в повседневной жизни. Винтовая линия по традиции считается правой, если она закручивается по часовой стрелке по мере удаления от вас. Винты, болты и гайки, как правило, имеют правую нарезку. Винтовые лестницы, стебли сахарного тростника, пружины, волокна в канатах и кабелях и стружки могут закручиваться как вправо, так и влево.
К числу примеров встречающихся в природе винтовых линий относятся рога многих животных, раковины морских моллюсков, гигантский зуб нарвала, ушная раковина человека, пуповина. В мире растений винтовая линия встречается в строении стеблей, побегов, усиков, семян, цветов, шишек, листьев и т. д. Взбираясь на вершину дерева или спускаясь с нее, белка описывает винтовую линию. Вылетая из пещеры, летучие мыши также движутся по винтовым линиям. Винтовые линии, навитые на конус, можно без труда обнаружить в таких атмосферных явлениях, как вихри или смерчи. Вода, стекая в раковине, также закручивается в воронку, сотканную из винтовых линий. Много других примеров винтовых линий вы найдете в книге М. Гарднера «Этот правый, левый мир»[3]3
Гарднер М. Этот правый, левый мир. – М.: Мир, 1967.
[Закрыть].
Правильная винтовая линия – это кривая, навитая на круговой цилиндр под постоянным углом к образующим (напомним, что образующими называются прямые на поверхности цилиндра, параллельные его оси). Пусть ϑ – угол, под которым винтовая линия пересекает образующие цилиндра. При ϑ = 0° винтовая линия, как нетрудно видеть, вырождается в прямую, а при ϑ = 90° – в окружность.
Аналитически в этом можно удостовериться, если записать параметрические уравнения винтовой линии и проварьировать входящий в них угол ϑ от 0° до 90°. И прямая, и окружность – предельные формы более общей пространственной кривой, получившей название винтовой линии. Правильная винтовая линия – единственная пространственная кривая постоянной кривизны. Этим и объясняется, почему мечи, вкладывающиеся в ножны, можно изготовить только в форме правильной винтовой линии (что выглядело бы несколько необычно) и двух ее предельных случаев – прямой и окружности.
Проекция винтовой линии на плоскость, перпендикулярную ее оси, имеет форму окружности. Спроецировав винтовую линию на плоскость, параллельную оси, мы получим синусоиду. В этом нетрудно убедиться, если снова воспользоваться параметрическими уравнениями кривой. Многие свойства синусоиды можно изучать по ее близкой родственнице – винтовой линии.
В этой связи мы хотим рассказать одну забавную историю-задачу, допускающую (при надлежащем подходе) очень простое решение. Внутри цилиндрической башни высотой 100 м ходит лифт. Снаружи башни имеется винтовая лестница, образующая с вертикалью постоянный угол ϑ = 60°. Диаметр башни 13 м.
Однажды мистер и миссис Пицца поднялись на лифте на смотровую площадку, расположенную на вершине башни. Их сын Томато Пицца предпочел идти наверх пешком. Когда он добрался до смотровой площадки, вид у него был не блестящий.
– Не мудрено, что ты устал, сынок, – заметил мистер Пицца. – Ведь тебе пришлось проделать вчетверо больший путь, чем нам, и все пешком.
– Ты ошибаешься, папа, – ответил Том. – Я прошел лишь вдвое больший путь, чем вы проехали.
Кто прав: Том или его отец?
Кое-кто склонен думать, будто для того, чтобы вычислить длину винтовой лестницы, необходимо знать диаметр башни. В действительности информация о диаметре башни совершенно лишняя!
Дело в том, что винтовую лестницу можно развернуть в гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 30° и высотой 100 м, а гипотенуза такого треугольника вдвое больше высоты (катета, лежащего против угла 30°), Следовательно, прав был Том.
Убедиться в этом вы можете, развернув какую-нибудь картонную трубку. Возможно, исход эксперимента несколько удивит вас: вы увидите, что длина шва (винтовой линии, как бы навитой на трубку) не зависит от диаметра цилиндра, в который скручен прямоугольный треугольник.
Пари на полюсе
Знаменитый игрок Дэн, по прозвищу Ставлю Доллар, сидел в баре со своим другом Диком, по профессии пилотом.
Дэн. Дик, ставлю доллар, что ты не сможешь решить простой задачки. Самолет пролетает 100 км, держа курс на юг, затем 100 км на восток и 100 км на север, после чего оказывается в исходной точке. Откуда он вылетел?
Дик. Принимаю пари, Дэн. Задачка твоя давно известна. Самолет вылетел с Северного полюса.
Дэн. Правильно. Держи доллар. Ставлю еще доллар, что ты ни за что не догадаешься, откуда еще мог вылететь самолет.
Дик погрузился в размышления.
Дик. Другой точки, кроме Северного полюса, нет и быть не может, и я берусь доказать это. Предположим, что самолет вылетает из точки, расположенной между Северным полюсом и экватором.
Дик. Ясно, что в этом случае конечная точка маршрута не может совпадать с исходной. Если же самолет вылетает из точки, расположенной на экваторе, то конечная точка маршрута оказывается примерно в 100 км от исходной точки.
Дик. Если же самолет вылетает из точки, расположенной в южном полушарии, то конечная точка будет отстоять от исходной более чем на 100 км.
Дэн. Может, ты хочешь поспорить на 2 доллара, что самолет не мог вылететь ниоткуда, кроме Северного полюса?
Дик принял пари и проиграл. Почему?
Предположим, что самолет стартовал из точки, расположенной на параллели А, отстоящей на расстояние 116 км от Южного полюса, и пролетел к югу 100 км.
Пролетев 100 км на восток, он совершит полный оборот вокруг Южного полюса. Пролетев затем 100 км на север, он непременно вернется в исходную точку.
Дик. Ты прав, вот твои 2 доллара.
Дэн. Ставлю еще доллар, что, по-твоему, я не смогу указать других мест на земном шаре, вылетев откуда и пролетев сначала 100 км на юг, затем 100 км на восток и 100 км на север, самолет сможет вернуться в исходную точку. Под «другими местами» я понимаю точки, не лежащие на параллели А и не совпадающие с Северным полюсом.
Дик. Тогда ставлю 50 долларов, что таких точек на земном шаре нет.
Бедный Дик снова проиграл. Какую важную идею он упустил из виду?
Откуда вылетать?
Заключая второе пари, Дик упустил из виду весьма важное обстоятельство: точка, откуда вылетает самолет, может быть выбрана так близко от Южного полюса, что, пролетев 100 км на восток, он опишет вокруг полюса не один оборот, как в предыдущем решении, а два полных оборота. Так возникает новая параллель, все точки которой служат решениями исходной задачи. Аналогичным образом самолет может вылететь из любой точки еще меньшей окружности и, держа курс на восток, совершить три, четыре и т. д. оборота вокруг полюса. При любом целом положительном n можно указать соответствующую параллель, вылетев из любой точки которой и держа курс на восток, самолет совершит n оборотов вокруг полюса. Следовательно, точки, из которых может вылететь самолет, заполняют бесконечно много параллелей, стягивающихся к полюсу,
А вот еще одна навигационная задача, связанная с замечательной кривой на сфере – локсодромой, или линией постоянного курса. Самолет вылетает из точки, расположенной на экваторе, и берет курс на северо-восток. Где закончится его полет, если запасы горючего можно считать неограниченными? Какова длина маршрута и как он выглядит?
Возможно, вы удивитесь, когда узнаете, что маршрут полета имеет вид спирали, пересекающей все меридианы под одним и тем же углом и заканчивающейся на Северном полюсе. Такую кривую правильнее было бы рассматривать как винтовую линию, навитую на сферу, стягивающуюся к Северному полюсу и успевающую описать вокруг полюса бесконечно много витков. Если самолет условно принять за точку, то маршрут, хотя и успевает совершить бесконечно много оборотов вокруг полюса, имеет конечную длину, которая поддается вычислению. Следовательно, поддерживая в полете постоянную скорость, самолет достигнет Северный полюс за конечное время.
При нанесении на плоскую карту форма локсодромы искажается в зависимости от выбора картографической проекции. На меркаторской проекции, известной по карте мира, локсодрома переходит в прямую. Именно поэтому меркаторская проекция находит столь широкое применение в решении навигационных задач. Если судно или самолет следуют постоянным курсом, то, чтобы проложить его на карте, достаточно провести прямую.
А что произойдет, если самолет, взлетев с Северного полюса, возьмет курс на юго-запад? Эта задача обратна предыдущей. Полет, как и прежде, будет происходить по локсодроме, но сказать, где приземлится самолет в конце пути, мы не можем. В этом можно легко убедиться, обратив время: из какой бы точки, расположенной на экваторе, ни вылетел самолет, он, двигаясь вспять, неизменно окажется на Северном полюсе. Если же самолет, достигнув экватора, пересечет его и будет лететь тем же курсом, то локсодрома стянется к Южному полюсу.
При проецировании на плоскость, касательную к полюсу (и параллельную плоскости экватора), локсодрома переходит в равноугольную, или логарифмическую, спираль. Эта спираль пересекает радиус-вектор под постоянным углом.
Задача о четырех жуках, входит в сокровищницу занимательной математики. Она также связана с построением маршрутов и логарифмической спиралью, но допускает неожиданно простое решение, избавляющее от необходимости производить утомительные выкладки. Вы познакомитесь с ней, прочитав небольшой рассказ о семействе Пицца и их любимцах – четырех черепашках.
Том Пицца, тренер и художественный руководитель черепашек, выдрессировал своих питомцев так, что Абнер (A) всегда полз к Берте, Берта (B) – к Чарлзу, Чарлз (C) – к Далиле (D) и Далила – к Абнеру. Однажды он расставил черепашек по углам квадратной комнаты так, что они образовали вершины квадрата ABCD, включил секундомер и принялся наблюдать за тем, что произойдет.
– Интересно получается, сынок, – сказал мистер Пицца. – Каждая черепашка ползет прямиком к своему соседу справа. Все черепашки движутся с одинаковой скоростью и поэтому в любой момент времени находятся в вершинах некоторого квадрата (рис. 9).
– И квадрат этот все время поворачивается и уменьшается, – добавил Том. – Смотри! Видишь? Черепашки сошлись в центре!
Предположим, что каждая черепашка ползет с постоянной скоростью 1 см/с и что комната, где они находятся, имеет форму квадрата со стороной 3 м. Через сколько времени черепашки встретятся в центре комнаты? (Каждую черепашку мы условно принимаем за точку.)
Мистер Пицца попытался было решить задачу, интегрируя по траектории черепашки, и уже достал из кармана программируемый микрокалькулятор последней модели, как вдруг миссис Пицца воскликнула:
– Не нужно никакой высшей математики, Пеппероне! Задача решается очень просто! Черепашки встречаются в центре комнаты через 5 мин.
Какая идея пришла в голову миссис Пицца?
Рассмотрим каких-нибудь двух черепашек, расположенных в двух соседних вершинах квадрата, например Абнера и Берту. В каждый момент Берта движется под прямым углом к Абнеру, ползущему к ней, так как Абнер всегда ползет к Берте, а Берта всегда ползет к Чарлзу. Именно поэтому черепашки все время находятся в вершинах квадрата. Поскольку Берта никогда не ползет к Абнеру и не уползает от него, то ее движение не увеличивает и не уменьшает разделяющее их расстояние и при подсчете времени движением можно пренебречь. Дело обстоит так, как если бы Берта оставалась в своем углу комнаты, а Абнер полз к ней вдоль стенки.
В этом и состоит ключ к решению задачи. Криволинейный путь Абнера должен совпадать по длине со стороной начального квадрата, а так как эта сторона равна 300 см и Абнер ползет со скоростью 1 см/с, то он доползет до Берты за 300 с, или 5 мин. То же можно сказать и о всех остальных черепашках. Следовательно, все черепашки встречаются в центре комнаты по истечении 5 мин.
При помощи микрокалькулятора можно построить траектории черепашек – кривые, описываемое вершинами вращающегося и одновременно сжимающегося квадрата, если нанести на диаграмму последовательные положения вершин через определенные промежутки времени. Результат такого рода выкладок представлен на рис. 10.
Можете ли вы обобщить задачу на случай, когда в исходной позиции точки расположены в вершинах любого правильного многоугольника? Начните с равностороннего треугольника, затем перейдите к правильному пятиугольнику и т. д. Можете ли вы указать общую формулу, позволяющую по известной длине стороны исходного многоугольника вычислять длину пути? Что произойдет в предельном случае, когда бесконечно много точек (черепашек) начинают двигаться по направлению к своим соседям справа (или слева) и вершин многоугольника с бесконечным числом сторон? Встретятся ли они когда-нибудь? Предположим теперь, что исходные многоугольники неправильные. Что произойдет, например, если четыре черепашки займут исходные позиции в вершинах прямоугольной, а не квадратной комнаты?
Предположим, что черепашки Тома Пиццы после встречи в центре комнаты расползаются, причем каждая из них движется по прямой от своего соседа слева? Можно ли утверждать, что черепашки непременно расползутся по углам комнаты?
