Текст книги "Есть идея!"
Автор книги: Мартин Гарднер
сообщить о нарушении
Текущая страница: 1 (всего у книги 17 страниц)
Мартин Гарднер
Есть идея!
От переводчика
Причудливая логика научного открытия далека от логики формальной, а обстоятельства, сопутствующие прорыву на более высокую ступень познания, далеко не всегда соответствуют важности момента. Скрытая работа мысли происходит не только, в тиши кабинета, у чертежной доски и в рабочее время, но и в самой, казалось бы, неподходящей обстановке, и малейшего толчка извне иногда бывает достаточно, чтобы сумерки ожидания осветились яркой вспышкой мгновенного озарения и разрозненные фрагменты загадочной мозаики сложились в единую картину.
Кто не слышал о яблоке Ньютона, о паутинке, подсказавшей конструкцию сказочно легкого подвесного моста, об Эйнштейне, лихорадочно делающем выкладки на обратной стороне подвернувшегося под руку старого конверта? Из воспоминаний Пуанкаре мы знаем, что долго не дававшееся ему доказательство важной теоремы из теории автоморфных функций неожиданно было найдено, когда он занес было ногу на ступеньку автобуса. Из воспоминаний П. С. Александрова мы узнаём о том, как П. С. Урысон решил задачу, поставленную перед ним Д. Ф. Егоровым: дать топологическое определение линии и поверхности. После двух месяцев напряженных размышлений П. С. Урысон «проснулся с готовым, окончательным и всем теперь хорошо известным определением размерности. Произошло это в деревне Бурково, вблизи Болшево, на берегу реки Клязьмы… В то же утро, во время купания в Клязьме, П. С. Урысон рассказал мне [П. С. Александрову] свое определение размерности и тут же, во время этото разговора, затянувшегося на несколько часов, набросал план всего построения теории размерности с целым рядом теорем, бывших тогда гипотезами, за которые неизвестно было как взяться и которые затем доказывались одна за другой в течение последующих месяцев».
Проблемам психологии творческого акта в математике посвящена обширная литература, созданная трудами Ж. Адамара и А. Пуанкаре, Д. Гильберта и Дж. фон Неймана, Г. Харди и Д. Пойа, а также многих других математиков, философов и психологов. Теперь она пополнилась книгой Мартина Гарднера «Есть идея!»
Замечательный американский популяризатор, бывший до недавнего времени бессменным редактором раздела «Математические игры» в журнале Scientific American, M. Гарднер во многом определил лицо современной занимательной математики, наполнив ее новым содержанием и максимально приблизив к математике серьезной. Книга «Есть идея!» выдержана в лучших, подлинно «гарднеровских» традициях. Ее отличает тщательный и умелый подбор материала, яркая занимательность формы, доступность и подлинная популярность, насыщенность новыми постановками задач, призванными пробудить творческие силы читателя, стимулировать его к самостоятельной работе, приобщить к радости открытия нового.
М. Гарднер не следует ни одному из своих предшественников. Он не предлагает читателю схемы правдоподобных рассуждений, подкрепленных интереснейшими примерами индуктивных умозаключений из математического творчества Леонарда Эйлера, как Д. Пойа, не делится своими соображениями о природе математики и математических доказательств, как Г. Вейль и Дж. фон Нейман, не углубляется в психологию математического открытия, как Ж. Адамар и А. Пуанкаре. М. Гарднер учит читателя тому, чему, казалось бы, невозможно учить: высокому искусству нешаблонного, или, как предпочитает говорить сам Гарднер, «нелинейного» мышления, учит не рассказом, а показом, давая пищу не только уму, но и сердцу, вовлекая в игру, заставляя решать удивительные по красоте задачи, предлагая увлекательные темы для дальнейших размышлений.
Можно надеяться, что для нашего читателя встреча с новой книгой М. Гарднера станет таким же праздником, какими были встречи с его предыдущими книгами.
Ю. Данилов
Предисловие
«Творческий акт имеет мало общего с логикой или рациональными рассуждениями. Вспоминая обстоятельства, при которых их озарила блестящая идея, математики нередко отмечали, что вдохновение не имело прямого отношения к тому, чем они в это время занимались. Иногда озарение наступало в тот момент, когда человек ехал в транспорте, брился или размышлял о чем-нибудь другом. Творческий процесс нельзя по желанию довести до наивысшей точки или продлить самыми радужными посулами. Он проистекает особенно успешно, когда разум предается праздности и воображение свободно расправляет крылья.»
Моррис КлайнScientific American,март 1955 г.
Психологи-экспериментаторы любят рассказывать историю об одном профессоре, который изучал способность шимпанзе решать задачи. В центре комнаты к потолку достаточно высоко, чтобы обезьяна, подпрыгнув, не могла достать его, был подвешен банан. В комнате не было ничего, кроме нескольких ящиков из-под фруктов, разбросанных как попало. Тест заключался в том, чтобы проверить, догадается ли шимпанзе составить из ящиков пирамиду в центре комнаты, взобраться на вершину пирамиды и схватить банан.
Обезьяна тихо сидела в углу, наблюдая за тем, как экспериментатор расставляет ящики по комнате. Она терпеливо ждала, пока профессор не оказался посредине комнаты, и, когда тот проходил под бананом, внезапно вспрыгнула ему на плечи и, оттолкнувшись от него, взмыла в воздух, схватила банан и была такова.
Мораль этой юмористической истории понять нетрудно: задача, которая кажется нам трудной, может Иметь неожиданно простое решение. Обезьяна могла руководствоваться природным инстинктом или накопленным опытом, но главное в том, что она сумела найти прямое решение задачи, которое ускользнуло от внимания профессора.
Суть математики – непрестанный поиск все более простых способов доказательства теорем и решения задач. Нередко первое доказательство какой-нибудь теоремы требует целой статьи объемом в 50 страниц убористого текста, доступного лишь посвященным. A через несколько лет другому математику, быть может даже менее знаменитому, приходит в голову блестящая идея, позволяющая упростить и сократить доказательство настолько, что оно умещается в нескольких строках.
Озарения такого рода, приводящие к кратким, изящным решениям, привлекали и продолжают привлекать внимание психологов. Наступают они внезапно, как гром среди ясного неба. Широкой известностью, пользуется история о том, как ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон, возвращаясь как-то вечером домой, изобрел на мосту кватернионы. Он внезапно понял, что в арифметической системе коммутативный закон отнюдь не обязательно должен выполняться. Рассказывают, что эта мысль настолько поразила Гамильтона, что он остановился на мосту как вкопанный и нацарапал основные формулы алгебры кватернионов на каменных перилах, «Высеченные в камне», эти формулы и Польше украшают исторический мост.
Что именно происходит в мозгу творческой личности, когда на нее нисходит озарение? Этого не знает пока никто. Озарение, взлет, интуитивное постижение истины – процесс довольно загадочный, не поддающийся попыткам расчленить его на составные части и воспроизвести при помощи ЭВМ, Современные 8 ЭВМ решают задачи, автоматически шаг за шагом выполняя огромнее количество операций в соответствии с командами, записанными в программе. Лишь невероятные скорости, с которыми ЭВМ выполняют элементарные операции, позволяют современным ЭВМ решать некоторые задачи, остающиеся непосильными для человека, так как решение таких задач потребовало бы от него несколько тысяч лет безостановочных вычислений.
Внезапное озарение, творческий взлет разума, перед которым, как при вспышке молнии, открывается простой и короткий путь к решению задачи, по самой своей природе выделяется на фоне общего темна развития. Как показали последние исследования, личности с особо сильной склонностью к такого рода озарениям обладают средним уровнем развития и никакой корреляции между высоким уровнем развития и способностью интуитивно постигать истину, по-видимому, не существует. Человек может обладать высоким I. Q.[1]1
О тестах интеллектуальных способностей (I. Q.) см., например, в книге: Айзенк Г. Проверьте свои способности. – М.: Мир, 1972.
[Закрыть], измеряемым по обычным тестам, и более чем скромными способностями к нестандартному мышлению. С другой стороны, люди, не блещущие в остальном особыми талантами, могут обладать весьма ярко выраженной способностью к озарению. Например, Эйнштейн не отличался особенно глубокими познаниями в математике, и его оценки и в гимназии, и в цюрихском Политехникуме оставляли желать много лучшего. Тем не менее взлеты творческой фантазии, которые привели его к созданию общей теории относительности, были настолько мощными, что полностью революционизировали физику.
В этой книге перед вами предстанет тщательно подобранная система задач, которые кажутся трудными и действительно трудны, если пытаться решать их традиционными методами. Но стоит лишь вам избавиться от оков традиционного мышления и воспарить до высот озарения, как перед вами откроются простые и ясные решения. Не следует особо огорчаться, если сначала задачи будут упорно не поддаваться решению. Не заглядывайте в ответ до тех пор, пока вам не удастся самостоятельно решить задачу. Постепенно вы постигнете дух оригинального, «нелинейного» мышления и, возможно, с удивлением почувствуете, что озарение стало нисходить на вас чаще, чем прежде. Если это произойдет, то довольно скоро вы обнаружите, что ваше умение находить нестандартные решения оказывается полезным во многих ситуациях, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной жизни. Предположим, например, что требуется подтянуть ослабевший винт. Нужно ли непременно отправляться за отверткой или можно с успехом обойтись оказавшейся под рукой мелкой монетой?
Немалое удовольствие вы получите, предлагая задачи из нашего сборника своим друзьям и знакомым. Во многих случаях они будут долго размышлять над предложенной вами задачей, пока наконец не признают себя побежденными, а задачу безнадежно трудной. Когда же вы покажете им, что задача решается очень просто, они, без сомнения, получат большое удовольствие. Не исключено, что озарения каким-то образом связаны с удовольствием, получаемым от игры. Тот, кто умеет находить нестандартные решения, при встрече с головоломкой или трудной задачей испытывает радость, сравнимую с той, которая знакома любителям бейсбола или шахмат. Дух игры, по-видимому, предрасполагает к озарениям, позволяющим находить оригинальные решения.
Способность к нестандартному мышлению отнюдь не обязательно коррелирует с быстротой соображения. Тугодумы могут получать удовольствие от задачи ничуть не меньше тех, кто схватывает все на лету, и при поиске неожиданных решений могут оказаться сильнее «скородумов». Возможно, что удовольствие, получаемое при нестандартном решении задачи, побудит кого-нибудь к более глубокому изучению традиционных методов решения. Эта книга предназначена для любого читателя, наделенного чувством юмора и способностью понимать задачи.
Несомненно, существует тесная взаимосвязь между озарениями и творческой деятельностью в науке, искусстве и любой другой области человеческой деятельности. Великие революции в науке почти всегда были и будут следствием неожиданного интуитивного постижения истины. Что такое наука, как не систематические попытки ученых решать те трудные задачи, которые поставила перед ними природа? Природа бросает вызов любознательности ученого, который пытается понять, как именно и почему происходит в природе то или иное явление. Ни изнурительный метод проб и ошибок, которым Эдисон подбирал подходящий материал для волоска своей электрической лампы, ни даже дедуктивные рассуждения, опирающиеся на соответствующие знания, во многих случаях не позволяют решить задачу. Решение, как правило, открывается неожиданно, и его по праву можно было бы назвать решением типа «Эврика». Восклицание «Эврика!» («Нашел!») заимствовано нами из древней легенды о том, как Архимед, сидя в ванне, открыл способ, позволяющий определить, сколько золота утаили мастера при изготовлении короны царя Сиракуз. Рассказывают, будто Архимед так обрадовался своему открытию, что выскочил из ванны и, забыв об одежде, бросился бежать по улице, крича: «Эврика! Эврика!»
Собранные в книге задачи разделены на шесть категорий: комбинаторные, геометрические, теоретико-числовые, логические, процедурные и словесные. Это категории не взаимоисключающие, они неизбежно перекрываются, и задачи, отнесенные нами к одной из них, можно было бы включить и в другие. Каждую задачу мы стремились облечь в форму какой-нибудь забавной истории, чтобы создать у читателя приятное настроение и тем самым вовлечь его в игру. Мы надеялись, что такое настроение позволит читателю с большей легкостью отринуть установившиеся, стандартные способы решения задач. Всякий раз, когда вам случится решать новую задачу, мы настоятельно рекомендуем обдумать ее со всех сторон, сколь бы странными и причудливыми ни казались иные подходы, вместо того чтобы напрасно тратить время на длинное и громоздкое решение.
К каждой задаче с замечательными иллюстрациями канадского графика Джима Глена мы присовокупили несколько замечаний. В них речь идет о характере задач и показывается, как во многих случаях рассмотренная нами игровая ситуация связана с важными аспектами современней математики. В некоторых случаях мы предоставляем читателю возможность испытать свои силы на еще не решенных задачах.
Стремясь облегчить поиск нестандартных решений, мы хотим обратить внимание читателя на следующие вопросы, которые иногда могут служить своего рода путеводными нитями и позволяют хотя бы приблизительно систематизировать возможные подходы:
1. Нельзя ля свести задачу к более простому случаю?
2. Нельзя ли преобразовать задачу к изоморфной задаче, легче поддающейся решению?
3. Не существует ли для решения задачи какого-нибудь простого алгоритма?
4. Нельзя ли для решения задачи применить какую-нибудь теорему из другой области математики?
5. Можно ли проверить правильность полученного решения на наглядных примерах или контрпримерах?
6. Какие аспекты задачи несущественны для решения и лишь отвлекают ваше внимание?
Не будет преувеличением сказать, что в наше время многие склонны поддаваться все более сильному искушению сводить решение всех математических задач к составлению программ для ЭВМ. Современная быстродействующая ЭВМ, проделав исчерпывающий перебор всех возможных случаев методом проб и ошибок, действительно может решить ату или иную задачу за считанные доли секунды или за несколько секунд, но на составление хорошей программы и ее отладку потребуется несколько часов или дней. Составление программы также не всегда сводится к стандартным операциям и требует своих озарений. Но удачная идея может привести к решению задачи и без обращения к ЭВМ и сделать излишним составление программы.
Было бы печально, если бы блага НТР оказали на человечество растлевающее влияние и оно интеллектуально обленилось бы настолько, что утратило бы способность к творческому мышлению. Главная цель предлагаемой вниманию читателя подборки задач и состоит в том, чтобы предоставить ему широкие возможности для оттачивания и развития способности находить нестандартные решения.
Мартин Гарднер
Глава 1
Комбинаторные находки
Неожиданные решения задач на составление и перечисление комбинаций
Комбинаторный анализ, или комбинаторика, занимается изучением способов составления комбинаций из предметов. Пожертвовав самую малость общностью, комбинаторный анализ можно определить как раздел математики, который занимается изучением способов объединения по заранее заданным правилам элементов в множества и свойств возникающих при таком объединении множеств.
Например, наша первая задача сводится к установлению способов объединения в множества разноцветных шариков. Требуется найти наименьшие множества шариков, удовлетворяющие определенным условиям. Во второй задаче речь идет о способах установления очередности встреч между участниками турнира по настольному теннису, разыгрываемого по олимпийской системе (важный аналог этой задачи встречается при автоматической сортировке данных).
В комбинаторном анализе часто требуется найти число всех возможных способов объединения предметов в множества по определенным правилам. С проблемой перечисления, как принято называть эту разновидность комбинаторных задач, мы познакомим читателя при подсчете числа различных маршрутов, которыми Сьюзен может следовать в школу. В нашем случае объединяемые элементы представляют собой прямолинейные отрезки маршрутов, проходимые по строкам или столбцам матрицы. Поскольку подсчет маршрутов связан с рассмотрением геометрических фигур, мы вступаем в область комбинаторной геометрии.
Комбинаторные аспекты присущи всем разделам математики, и не удивительно поэтому, что читатель обнаружит комбинаторные задачи во всех без исключения главах нашей книги. Так, существует комбинаторная теория чисел, комбинаторная топология, комбинаторная логика, комбинаторная теория множеств и даже, как мы увидим в последней главе, посвященной словесным играм, комбинаторная лингвистика. Особенно важную роль комбинаторика играет в теории вероятностей: без подсчета всех комбинаций нельзя было бы найти распределение вероятностей. Много задач по теории вероятностей собрано в книге Уитворта «Выбор и случай»[2]2
Whitworth W. A. Choice and Chance. London, 1901.
[Закрыть]. Слово «выбор» в заголовке книги указывает на ее комбинаторный аспект.
Самая первая задача в нашей книге также имеет непосредственное отношение к теории вероятностей: ведь, в ней требуется указать комбинацию цветных шариков, которая с полной гарантией (то есть с вероятностью, равной 1) позволила бы удовлетворить определенным требованиям. Читая нашу книгу, нетрудно убедиться в том, что из простых вопросов о перечислении способов объединения предметов по тому или иному признаку возникает поистине безбрежное море вероятностных задач. Перечисление маршрутов, по которым Сьюзен могла бы следовать в школу, тесно связано с треугольником Паскаля и теми применениями, которые он находит при решении элементарных задач теории вероятностей.
Число комбинаций, дающих решение данной комбинаторной задачи, очевидно, может быть равно нулю, единице, любому конечному числу и даже обращаться в бесконечность. Например, нечетное число ни одним способом невозможно представить в виде суммы двух четных чисел. Число 21 представимо в виде произведения двух простых чисел одним и только одним способом. Число 7 представимо в виде суммы из двух целых положительных чисел тремя различными способами (слагаемые каждой из трех допустимых комбинаций нанесены на противоположные грани игральной кости). Существует бесконечно много пар четных чисел, сумма которых четна.
Найти «доказательство невозможности», то есть доказать, что не существует ни одной комбинации с требуемыми свойствами, в комбинаторном анализе зачастую бывает чрезвычайно трудно. Например, лишь недавно удалось, доказать, что для правильной раскраски стран на плоской карте достаточно четырех красок. «Проблема четырех красок» долгое время оставалась знаменитой нерешенной задачей комбинаторной топологии. Решить ее, то есть найти «доказательство невозможности», удалось лишь после того, как была составлена специальная, необычайно сложная программа для ЭВМ.
С другой стороны, многие комбинаторные задачи, для которых найти «доказательство невозможности» на первый взгляд кажется необычайно трудным делом, при правильном подходе решаются легко и просто. В задаче «Упрямые плитки» мы увидим, как простая «проверка на четность» сразу же приводит к доказательству неразрешимости задач, найти которое другим путем было бы нелегко.
Вторая задача о непригодных пилюлях вскрывает комбинаторный характер рассуждений, связанных с использованием различных систем счисления. Как будет показано, и сами числа, и их цифровая запись в позиционной системе счисления зависят от некоторых комбинаторных правил. Более того, любое дедуктивное умозаключение, будь то в математике или в формальной логике, оперирует с комбинацией символов, выстроенных в «строку» по определенным правилам. Эти правила позволяют решить, допустима ли та или иная строка символов в рассматриваемой теории или недопустима. Именно поэтому отец комбинаторики Лейбниц называл искусство строить умозаключения комбинаторным искусством – ars combinatoria.
Жевательная резинка
Миссис Джонс не повезло: ее близнецы заметили автомат для продажи разноцветных шариков жевательной резинки прежде, чем миссис Джонс успела миновать его.
Первый близнец. Мама, купи мне жевательную резнику!
Второй близнец. И мне, и мне! Я хочу шарик такого же цвета, как у Билли.
Автомат был почти пуст. Предугадать, какого цвета шарик выпадет, если опустить в щель автомата монету в 1 пенс, невозможно. Сколько однопенсовых монет придется приготовить миссис Джонс, чтобы из купленных шариков заведомо можно было выбрать 2 шарика одного и того же цвета?
Потратив 6 пенсов, миссис Джонс заведомо могла бы извлечь из автомата 2 красных шарика; 4 пенса ушли бы на «добывание» 4 белых шариков, а 2 пенса – на 2 красных шарика. Израсходовав 8 пенсов, миссис Джонс заведомо получила бы 2 белых шарика. Следовательно, миссис Джонс необходимо приготовить 8 центов. Правильно?
Нет, не верно! Если бы первые два шарика, выкатившиеся из автомата, были разного цвета, третий шарик непременно совпал бы по цвету с одним из них. Следовательно, миссис Джонс необходимо приготовить всего лишь 3 пенса.
Предположим теперь, что в автомате осталось 6 красных, 4 белых и 5 синих шариков. Сможете ли вы подсчитать, сколько монет в 1 пенс следует приготовить миссис Джонс, чтобы среди выкатившихся из автомата шариков заведомо нашлось 2 шарика одного и того же цвета?
По-вашему, ей хватит 4 центов? А что вы скажете о бедной миссис Смит, которая безуспешно пыталась отвлечь от автомата для продажи жевательной резинки внимание своей тройни?
На этот раз в автомате находились 6 красных, 4 белых шарика и лишь 1 синий шарик. Сколько монет достоинством в 1 пенс следует приготовить миссис Смит, чтобы среди купленных шариков заведомо были 3 шарика одного цвета?
Сколько центов?
Вторая задача о шариках жевательной резинки лишь незначительно отличается от первой. Идея решения второй задачи по существу та же: первые три шарика могут быть разного цвета (например, один шарик может быть красным, один синим и один белым). Это наименее благоприятный случай, так как к достижению желаемого результата ведет самая длинная последовательность испытаний. Четвертый шарик заведомо совпадает по цвету с одним, из трех первых шариков. Итак, чтобы 2 шарика оказались одного и того же цвета, необходимо купить 4 шарика. Следовательно, миссис Джонс следует приготовить 4 цента.
Обобщение на случай n множеств шариков (каждое множество составляют шарики одного цвета) очевидно: если имеется n множеств шариков, то следует быть готовым к тому, что придется купить n + 1 шариков (чтобы 2 шарика заведомо были одного и того же цвета).
Третья задача потруднее двух предыдущих. У миссис Смит не близнецы, а тройня. В автомате находятся б красных, 4 белых шарика и 1 синий шарик. Сколько монет достоинством в 1 цент должна приготовить миссис Смит, чтобы среди шариков, выданных автоматом, заведомо были 3 шарика одного цвета?
Как и прежде, начнем с рассмотрения наименее благоприятного случая. Миссис Смит может получить из автомата 2 красных, 2 белых шарика и 1 синий шарик, то есть всего 5 шариков. Шестой шарик должен быть либо красным, либо белым и, следовательно, подходить по цвету к ранее выпавшим из автомата либо 2 красным, либо 2 белым шарикам. Значит, миссис Смит должна приготовить 6 центов. Если бы синих шариков в автомате было не меньше двух, то в наименее благоприятном случае миссис Смит могла бы сначала извлечь из автомата по 2 шарика каждого цвета, и, чтобы получить 3 шарика одного и того же цвета, ей непременно понадобился бы седьмой шарик.
«Неожиданное» решение – это своего рода «прозрение», позволяющее оценить длину серии испытаний в наименее благоприятном случае. Ту же задачу можно было бы решить и более сложным способом: обозначить каждый из 11 шариков «своей» буквой, выписать все возможные варианты выдачи шариков из автомата и установить, в каком случае длина цепочки испытаний до появления трех шаров одного цвета имеет наибольшую длину. Но при таком решении потребовалось бы перебрать 11! = 39 916 800 последовательностей всех возможных исходов испытаний. Если мы условимся не различать шары одного цвета, то и тогда при таком подходе пришлось бы перебрать 2310 последовательностей возможных исходов.
Обобщение задачи на случай, когда требуется определить наименьшее число монет, при котором из выданных автоматом шаров заведомо можно выбрать k шариков одного цвета, приводит к следующему решению. Если имеются шары n цветов (шаров каждого цвета не меньше k), то для получения k шаров одного цвета необходимо выбрать не более n(k − 1) + 1 шаров. Читателю доставит удовольствие самостоятельно исследовать, что произойдет в том случае, если шаров одного или нескольких цветов будет меньше k.
Задачи этого типа можно промоделировать не только на автоматах для продажи жевательной резинки, но и многими другими способами. Например, сколько карт необходимо вытащить из колоды в 52 листа, чтобы 7 карт заведомо были одной масти? Здесь n = 4, k = 7, и наша формула дает ответ? 4(7–1)+1=25.
Мы рассмотрели лишь очень простые комбинаторные задачи, но и они приводят к интересным и трудным вопросам теории вероятностей. Например, какова вероятность извлечь 7 карт одной масти, если вы вытаскиваете из колоды, не возвращая, n карт, где n – любое число от 7 до 24? (Вероятность извлечь 7 карт одной масти, очевидно, равна 0, если из колоды вытащить менее 7 карт, и равна 1, если вытащить более 24 карт). Как изменятся вероятности, если мы условимся возвращать каждую извлеченную карту и тщательно тасовать колоду перед тем, как вытягивать из нее очередную карту? Более трудный вопрос: каково математическое ожидание (среднее по длинной серии испытаний) числа карт, которые необходимо извлечь (с возвратом или без возврата) из колоды, чтобы k из них заведомо были одной масти?
