Текст книги "Путешествие к далеким мирам"
Автор книги: Карл Гильзин
сообщить о нарушении
Текущая страница: 25 (всего у книги 26 страниц)
Скорость корабля превышает 10 километров в секунду, более 36 тысяч километров в час. Чтобы сделать посадку безопасной, надо уменьшить скорость корабля путем торможения его двигателем.
Командир включает двигатель, и снова на 3 с лишним минуты инерционная перегрузка вдавливает тела путешественников в пружинящие сетки коек. Скорость корабля снижается до 5 километров в секунду. Меньше чем через 40 секунд после начала торможения сбрасываются ставшие ненужными крыльевые баки.
Корабль начинает планирующий спуск с высоты в несколько сот километров. Больше одного полного оборота вокруг земного шара совершит он, пока его скорость снизится до скорости полета реактивных самолетов, потом станет еще меньше. Конечно, корабль летит навстречу Солнцу, на восток, то есть в том же направлении, в котором Земля вращается вокруг своей оси, – в этом случае вращение Земли помогает скорее погасить относительную скорость корабля. Вот уже видна на горизонте Москва. Она остается немного в стороне; корабль летит к тому же космопорту, с которого он недавно стартовал в свое далекое путешествие. Уже совсем близко аэродром космопорта. Движением ручки управления от себя командир корабля направляет его нос вниз, к Земле. Включенный двигатель гасит оставшуюся скорость – корабль плавно садится на заранее выпущенные «ноги»-шасси.
Приветственные крики, радостные возгласы, все машут руками, суетятся… Земля!
* * *
Вы скажете: «Мечта, фантазия». Верно, мечта. Конечно, фантазия. Но сколько таких дерзновенных мечтаний уже превращено наукой, творческим человеческим трудом в реальную действительность!
И мы твердо знаем, что придет время – и время это не за горами, – когда будет осуществлена и эта дерзновеннейшая из дерзновенных мечта человечества.
Мы убеждены, что осуществить эту мечту суждено советскому народу, строящему светлое будущее человеческого общества – коммунизм.
Мы твердо верим, что пройдут годы, и межпланетные корабли с людьми отправятся в полет к далеким и таким манящим мирам.
Разрешите же пожелать и вам, мои юные читатели, участвовать в таком полете.
Приложение
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЛАСТИ АСТРОНАВТИКИ
(ДЛЯ ЛЮБИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ)
Приложение состоит из трех разделов.
В первом разделе приводятся основные формулы реактивного движения. Эти формулы позволяют определить необходимый запас топлива на космической ракете для достижения ею заданной скорости или, наоборот, скорость, которая может быть достигнута данной космической ракетой как одноступенчатой, так и многоступенчатой. Кроме того, приводятся формулы для определения силы тяги различных реактивных двигателей. Таким образом, в этом разделе сообщаются основные сведения, необходимые для расчета космического корабля и его двигателя. Эти сведения нужны, в первую очередь, конструктору корабля и его бортинженеру.
Во втором разделе приводятся основные формулы, определяющие законы движения тела в поле тяготения другого тела, то есть формулы небесной механики, преобразованные для решения задач астронавтики. Эти формулы позволяют решать задачи, связанные с полетом межпланетного корабля – находить траекторию его движения, величину скорости в различные моменты времени, продолжительность полета. Такие сведения нужны, прежде всего, штурману межпланетного корабля.
Наконец, в третьем разделе сообщаются основные сведения из области астрономии, нужные астронавту, прежде всего, для характеристики возможных целей его будущих полетов – планет солнечной системы и их спутников, а также некоторых звезд.
В наиболее важных случаях формулы даются с выводами, если они не требуют использования высшей математики. Это должно помочь лучшему усвоению физической закономерности, описываемой данной формулой.
Приводятся также примеры, иллюстрирующие применение формул.
Раздел первыйОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ И РЕАКТИВНОЙ ТЕХНИКИ
Формула служит для определения скорости ракеты.
В этой формуле
V– конечная скорость ракеты, которую она приобретает после выработки всего имеющегося на ней топлива. При этом полет ракеты считается происходящим в пространстве, в котором нет среды, оказывающей сопротивление полету, то есть атмосферы, и не действуют силы тяготения. Такое условное пространство Циолковский называл свободным. Эти условия существуют в мировом пространстве на достаточном удалении от звезд;
С– скорость истечения газов из сопла ракетного двигателя. Величины С и V должны исчисляться в одинаковых единицах; обычно такой единицей является м/секили км/сек;
M нач. – начальная, или взлетная, масса ракеты, то есть ее масса до запуска двигателя (с полным запасом топлива);
M кон. – конечная масса ракеты, то есть ее масса после остановки двигателя из-за выработки всего топлива, находившегося на ракете. Значит,
М нач. = М кон + М топл.
( Мтопл. – масса топлива, запасенного на ракете перед стартом).
В литературе можно встретить и другие выражения для этой формулы, вытекающие из приведенной выше:
V = 2,3 · C·lg m
(m – отношение масс,
часто это отношение называют «числом Циолковского»);
V =C·ln m
(In – натуральный логарифм);
(е – 2,71828… основание натуральных логарифмов).
Иногда вводится понятие относительного запаса топлива μ T, показывающего, какая часть взлетного веса ракеты приходится на долю топлива. Очевидно,
Примеры использования формул
1. Скорость истечения газов из двигателя равна 2,5 км/сек, необходимая конечная скорость ракеты 15 км/сек. Каковы должны быть отношение начальной и конечной масс ракеты и относительный запас топлива на ракете?
Воспользуемся формулой V = 2,3· C·lg m.
15 = 2,3·2,5·lg m; lg m = 2,6; m≈400.
то есть вес топлива составляет 99,75 процента взлетного веса ракеты.
Такую ракету построить нельзя.
2. Отношение масс ракеты m= 10. Какова должна быть скорость истечения газов, чтобы ракета достигла скорости 8 км/сек?
Воспользуемся формулой V = 2,3· C·lg m.
Такую скорость истечения можно получить с помощью высококалорийных топлив.
Если составная ракета состоит из nступеней, а скорость истечения газов из двигателей всех ступеней одинакова и равна С, то конечная скорость последней ( n-й) ступени
V n = 2,3· С·lg ( m 1· m 2… m n)
где m 1· m 2… m n – отношения масс отдельных ступеней ракеты (1-й, 2-й… n-й), представляющие собой отношение начальной массы каждой ступени (включающей массу всех последующих ступеней в качестве полезной нагрузки) к этой же массе за вычетом массы топлива, запасенного на данной ступени.
Примеры использования формулы
Допустим, что ракета состоит из двух ступеней со следующими весовыми данными:
1-я ступень: вес ракеты – 2000 кг, вес топлива – 8000 кг;
2-я ступень: вес ракеты – 400 кг, вес топлива – 1600 кг.
Скорость истечения газов из двигателей обеих ступеней одинакова и равна С = 2500 м/сек.
Какова будет конечная скорость второй ступени ракеты?
По вышеприведенной формуле
V 2 = 2,3 ·2,5·lg15 = 6,76 км/сек.
Если бы ракета была не составной и имела такое же количество топлива, то ее конечная скорость была бы
= 4,02 км/сек.
Как выводится эта формула, например, для трехступенчатой ракеты
Но тогда V 3 = 2,3· C·lg m 1 + 2,3· C·lg m 2 + 2,3· C·lg m 3 = 2,3· C·lg( m 1· m 2· m 3).
Эта формула позволяет определить величину тяги реактивного двигателя любого типа. Формула получается на основе закона механики (следствие второго закона Ньютона), по которому изменение количества движения тела равно действующей на него силе (в единицу времени).
Для ракетного двигателя
R = M·C
где R– сила тяги в кг;
М– масса газов, вытекших из двигателя за секунду (масса равна секундному весовому количеству газов, деленному на ускорение земного тяготения, то есть где G сек – в кг/сек
С – скорость истечения газов в м/сек.
Для воздушно-реактивных двигателей формула для тяги иная, так как изменение скорости воздуха, проходящего через двигатель, равно
C–V,
где V– скорость полета; добавкой топлива к воздуху обычно пренебрегают, так как она относительно невелика. Поэтому в случае воздушно-реактивного двигателя
R = М ( С – V)
Примеры использования формул
1. В пороховой ракете сгорает 1 кг пороха в секунду. Газы вытекают со скоростью 1200 м/сек. Какую тягу развивает двигатель?
2. На реактивном истребителе установлен турбореактивный двигатель, через который в полете со скоростью 1440 км/час протекает 120 кг воздуха в секунду. С какой скоростью вытекают при этом газы из двигателя, если его тяга равна 6 т?
С ≈ 900 м/сек.
Скорость истечения газов из сопла ракетного двигателя зависит от теплотворности применяемого топлива и степени совершенства двигателя:
C макс= 91,5√ H
где С макс. – максимальная теоретическая скорость истечения в м/сек,
Н– теплотворность топлива, то есть количество тепла, выделяющегося при сгорании 1 кгтоплива (измеряется в ккал/кг).
Значит, скорость истечения изменяется пропорционально корню квадратному из теплотворности топлива.
Пример использования формулы
На сколько увеличится теоретическая скорость истечения газов при переходе с пороха, имеющего теплотворность 1000 ккал/кг, на жидкое топливо (керосин + жидкий кислород) с теплотворностью 2400 ккал/кг?
C пороха = 91,5√1000 = 2890 м/сек,
C ж. топл. = 91,5√2400 = 4490 м/сек,
Конечно, истинные скорости истечения из-за различных потерь в двигателе будут иными, значительно меньшими (для пороха 1400–1800 м/сек, для жидкого топлива 2200–2500 м/сек).
Как выводится эта формула
В двигателе тепловая энергия топлива преобразуется в кинетическую энергию вытекающих газов. Если это преобразование происходит без потерь, то по закону сохранения энергии где А– тепловой эквивалент работы;
Следовательно, С =√2 gH/A = √2·9,81·427 Н ≈ 91,5√ Н
Влияние топлива на скорость истечения непосредственно сказывается через параметры газов в двигателе. Эта зависимость дается формулой где Т– абсолютная температура газов в камере сгорания двигателя;
μ – молекулярный вес продуктов сгорания;
const – приближенно постоянная величина для данного двигателя и данных условий его работы (точнее, она несколько зависит и от состава продуктов сгорания).
Значит, скорость истечения газов прямо пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры газов и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярного веса газов.
Пример использования формулы
На сколько изменится скорость истечения газов из жидкостного ракетного двигателя, если температура в нем увеличится с 2500 до 3000°К, а молекулярный вес газов уменьшится с 18 до 14?
По приведенной выше формуле
Значит, скорость истечения увеличится на 24 процента.
Раздел второйОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
где F– сила притяжения между двумя небесными телами;
f– константа тяготения (гравитационная постоянная),
f = 6,67·10 -8 см 3/г сек 2;
m 1, m 2 – массы притягивающихся тел;
r– расстояние между центрами тяжести этих тел.
Пример использования формулы
Какая сила притяжения больше и на сколько – Луны и Солнца или Луны и Земли?
Сила притяжения Луны и Солнца:
Сила притяжения Земли и Луны:
Очевидно,
Значит, Луна притягивается Солнцем примерно вдвое сильнее, чем Землей.
Следствия закона тяготения
Вес тела и ускорение земного тяготения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли:
Здесь G и g– соответственно вес тела и ускорение земного тяготения на высоте Ннад Землей;
R– радиус земного шара ( R– 6378 км);
G 0 – вес тела у земной поверхности.
Пример использования формул
На сколько уменьшатся вес и ускорение земного тяготения на высоте орбиты спутника, равной 800 км?
Изменение веса:
то есть вес уменьшится на 21 процент.
На столько же уменьшится и ускорение земного тяготения, то есть g = 9,81·0,79 = 7,75 м/сек 2.
Как найти величину круговой скорости, то есть той скорости, с которой должен двигаться спутник, чтобы его высота над Землей оставалась неизменной?
Высота спутника не меняется в том случае если он каждое мгновение на столько же удаляется от Земли в своем движении по инерции, на сколько приближается к ней в результате непрекращающегося падения на Землю. Это и позволяет найти необходимую круговую скорость спутника.
Рассмотрим движение спутника за 1 секунду, причем для простоты будем считать, что спутник движется у самой поверхности Земли, то есть высота равна нулю. Тогда за 1 секунду спутник приблизится к центру Земли, в результате притяжения к ней, на величину
На эту же величину он должен удалиться от центра Земли, что позволяет построить прямоугольный треугольник (см. рисунок).
Так можно определить круговую скорость искусственного спутника Земли (масштаб построения не соблюден).
По теореме Пифагора
V окp. = √9,81·6 378 000 = 7910 м/сек.
Эту же задачу можно решить и иначе. Если высота спутника не меняется, то это значит, что его центростремительное ускорение в точности равно ускорению земного тяготения. (Это вовсе не означает, как иногда пишут, что центробежная сила «уравновешивает» вес спутника.)
Следовательно,
и
V окp= √ g 0 R,
как и ранее.
Как изменяется круговая скорость с высотой орбиты спутника?
Очевидно; на высоте Н
V кp = √ g(R+H)
Но так как то
Это значит, что круговая скорость изменяется обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до центра Земли.
| Высота Н в км | Круговая скорость Vкр. в м/сек |
|---|---|
| 0 | 7 910 |
| 255 | 7 760 |
| 1 000 | 7 360 |
| 1 670 | 7 040 |
| 35 800 | 3 080 |
| 384 000 (орбита Луны) | 1 010 |
Время, за которое спутник совершит один полный оборот вокруг Земли, равно, очевидно, длине пути за оборот, деленной на круговую скорость:
( Т– так называемый сидерический, или звездный, период обращения).
Но вследствие чего
Подстановка значений R и g 0 дает следующую довольно точную для приближенных расчетов формулу:
T ≈ 0,01 ( R+H) 3/2
| 0 | 5 070 (1,4 часа) |
| 255 | 5 400 (1,5 часа) |
| 1 000 | 6 340 (1,76 часа) |
| 1 670 | 7 200 (2 часа) |
| 35 800 | 86 400 (24 часа) |
| 384 000 | 2,36·10 6 (27,3 суток) |
Скорость отрыва (или параболическая скорость) есть та скорость, которая должна быть сообщена телу у поверхности Земли, чтобы полностью преодолеть поле земного тяготения – удалить тело в бесконечность.
Величина скорости отрыва V отр. определяется тем, что кинетическая энергия тела должна в этом случае в точности равняться работе преодоления поля тяготения; с помощью высшей математики получаем:
то есть работа полного преодоления поля земного тяготения равна работе поднятия тела при постоянном ускорении силы тяжести, равном его значению у земной поверхности g 0, на высоту земного радиуса R.
Так как √g 0R есть круговая скорость, то скорость отрыва V отp. в 1,41 раза больше круговой скорости:
V отр. = √2 V кр = 1,41· V кр
| отр | |
|---|---|
| 0 | 11,2 |
| 300 | 10,9 |
| 1 000 | 10,4 |
| 1 670 | 9,9 |
| 35 800 | 4,3 |
| 384 000 | 1,42 |
Примеры движения по кругу или по параболе, о которых шла речь выше, являются лишь частными случаями движения тела в поле тяготения небесного тела большой массы. Как известно из небесной механики, в общем случае орбитой такого движения является одна из кривых второго порядка (так называемых конических сечений): круг, эллипс, парабола или гипербола. Общий закон этого движения дается следующей формулой (так называемое уравнение живых сил, упрощенное для случая космического корабля, то есть тела небольшой массы):
или где V– скорость движения тела массы пренебрежимо малой по сравнению с М;
М– масса небесного тела;
f – гравитационная постоянная;
L– расстояние до центра тяжести небесного тела;
а– большая полуось орбиты;
g 0 – ускорение силы тяжести на поверхности небесного тела на расстоянии R 0 от его центра.
Как видно из формул, характер орбиты зависит лишь от величины, но не направления скорости V. Различные типы орбит соответствуют следующим частным случаям:
а) а = ∞,
орбита – парабола;
б) а > ◯, V < V параб., орбита – эллипс;
в) L = а, V = V круг =
частный случай эллиптической орбиты – круговая;
г) а < ◯, V> V параб., орбита – гипербола (V гиперб.).
Примеры использования формулы
По какой орбите будет двигаться космический корабль, летящий на расстоянии 100 000 км от центра Земли со скоростью 5 км/сек?
По формуле откуда a ≈ – 24 000;
так как а < ◯, то V = V гиперб., орбита – гипербола.
Наиболее важными для астронавтики являются эллиптические орбиты, по которым будут двигаться не только все новые искусственные спутники Земли, но чаще всего и космические корабли. Полет по гиперболической орбите – дело более отдаленного будущего (советская космическая ракета, запущенная 2 января 1959 года, летела в поле земного тяготения по гиперболе, а вокруг Солнца движется по эллипсу).
Формулы расчета эллиптических орбит могут быть получены из приведенного выше уравнения живых сил путем упрощений;
для движения вокруг Солнца:
где V– в км/сек,
L,a– в астрономических единицах (1 а. е. – расстояние от Земли до Солнца, равное примерно 150·10 6 км);
для движения вокруг Земли:
где V– в км/сек,
L, а– в радиусах земного шара.
Примеры использования формул
1. Какова должна быть скорость корабля при взлете с Земли для того, чтобы он смог совершить полет на Меркурий по наивыгоднейшей, то есть касательной, эллиптической орбите?
Траектория полета на Меркурий по касательной эллиптической орбите.
В этом случае
и
Так как круговая скорость Земли равна 29,8 км/сек, то, очевидно, кораблю при взлете нужно сообщить скорость против направления движения Земли по орбите, равную 29,8 – 22,3 = 7,5 км/сек.
2. Какова будет скорость корабля в упомянутой выше задаче на орбите Меркурия?
В этом случае L 2=0,387 а. е., а = 0,6935 а. е., вследствие чего
Так как круговая скорость Меркурия равна 47,9 км/сек (это можно проверить и так – она равна круговой скорости Земли, деленной на √0,387, то есть то корабль будет двигаться быстрее Меркурия на величину 57,5 – 47,9 = 9,6 км/сек.
Траектория полета ракеты с Земли на спутник.
3. Какова должна быть взлетная скорость ракеты, доставляющей о Земли груз на искусственный спутник, находящийся на суточной орбите (высота 35 800 км), если сопротивление воздуха не учитывать? Какова будет скорость этой ракеты на орбите спутника?
В этом случае
При взлете L 1 = 1, поэтому
На орбите поэтому
Примечание. Для решения этой задачи можно воспользоваться соотношением, связывающим величины скоростей в апогее и перигее эллиптической орбиты:
V ап· L ап = V пер. L пер,
где V ап., V пер.– соответственно скорости движения в апогее и перигее (в задаче V 2, V 1);
L ап, L пер., – расстояния апогея и перигея от центра Земли (в задаче L 2, L 1).
Это соотношение непосредственно вытекает из закона сохранения момента количества движения.
Так как L ап = L 2 = 6,6; L пер = 1 и V пер.= V 1 = 10,4 км/сек, то
Точно так же в предыдущей задаче
4. Какова будет скорость советской искусственной планеты в ее движении вокруг Солнца?
По предварительным сведениям, опубликованным в советской печати, наибольшее расстояние новой планеты от Солнца будет равно 197,2 миллиона километров, а наименьшее – 146,4 миллиона километров. Следовательно, большая ось орбиты будет равна 343,6 миллиона километров.
Но тогда и максимальная скорость планеты (в перигелии):
а минимальная скорость (в афелии):
При движении по эллипсу вокруг Солнца продолжительность полного обращения может быть определена с помощью третьего закона Кеплера, по которому квадраты времен обращения планет относятся как кубы их средних расстояний от Солнца (то есть кубы больших полуосей эллиптических орбит):
где Т– продолжительность одного обращения;
а– большая полуось эллиптической орбиты.
Проще всего производить сравнение с периодом обращения Земли, равным, как известно, одному году, или 365 суткам. Тогда
Т = 365·a 3/2
где Т– в сутках, а– в астрономических единицах.
При движении вокруг Земли период обращения можно сравнивать с периодом обращения кругового спутника у самой поверхности, то есть на высоте Н = О. Этот период равен, как указывалось выше, 5070 секундам.
Поэтому
Т = 5070·a 3/2
где Т– в секундах,
а– в радиусах земного шара.
Примеры использования формул
1. Какова продолжительность полета корабля с Земли до Меркурия по наивыгоднейшему касательному полуэллипсу?
Период обращения по наивыгоднейшему эллипсу
Т = а 3/2 = 0,693 3/2 ≈ 0,58 лет.
Продолжительность полета
2. Какова продолжительность полета грузовой ракеты с Земли до суточной орбиты по касательному полуэллипсу (сопротивлением воздуха и активным участком траектории пренебрегаем)?
Т=5070·3,8 3/2 = 37 600 секунд
Продолжительность полета
= 18 800 секунд, или ≈5,2 часа.
3. Какова продолжительность полета на Луну по наивыгоднейшему касательному полуэллипсу?
В этом случае поэтому Т = 5070 · 30,6 3/2 ≈ 860 000 секунд, или около 240 часов.
Продолжительность полета
≈ 120 часов (5 суток).
4. Какова величина больших полуосей орбит советских искусственных спутников?
В начале движения периоды обращения советских искусственных спутников равнялись:
первого спутника
Т 1 = 96,17 минуты = 5770 секунд;
второго спутника
Т 2 = 103,75 минуты = 6225 секунд;
третьего спутника
Т 3 = 106 минут= 6360 секунд.
По формуле Т = 5070 3/2 находим:
Истинные величины больших полуосей отличаются от приведенных выше приближенных, которые даны лишь в качестве иллюстрации.
5. Каков период обращения советской искусственной планеты, запущенной 2 января 1959 года?
Так как для этого случая а =1,145 (см. выше), то
Т = 365·1,145 3/2≈ 450 суток,
что соответствует данным, опубликованным в советской печати.
