Текст книги "Квантовый ум. Грань между физикой и психологией"

Автор книги: Арнольд Минделл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 63 страниц) [доступный отрывок для чтения: 23 страниц]

Комплексные числа

При добавлении мнимых чисел к полю действительных чисел их описательные способности увеличиваются. Получающаяся смесь действительных и мнимых чисел называется комплексными числами. Комплексные числа представляют собой сочетание действительных и мнимых чисел. Например, 3 + 4i – это комплексное число.

Комплексные числа можно записывать в общем виде как a + ib, где а и b – любые действительные числа. Иными словами, а и ib – это действительная и мнимая части комплексных чисел.

Точно так же, как действительные числа вместе создают поле действительных чисел, комплексные числа добавляют к этому полю новое, мнимое измерение. Мы можем изображать это комплексное поле в виде карты или графа. Подобно тому, как у наших обычных карт есть два направления или две оси, а именно направления восток-запад и север-юг, комплексные числа имеют действительную и мнимую оси, как показано на следующем рисунке.

Рис. 7.1. Поле или карта комплексных чисел

Теперь, даже хотя некоторым читателям это поле будет в новинку, мы по-прежнему можем на нем играть. Просто думайте о нем как о карте. Например, давайте найдем, где располагается комплексное число 3 + 2i. Чтобы найти это число, отсчитайте три единицы вправо по оси действительных чисел, а потом поднимитесь на две единицы вверх по оси мнимых чисел, и у вас будет 3 + 2i. Я отметил его точкой, как показано на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Местоположение комплексного числа 3 + 2i

Комплексное поле – это действительно математическое поле, поскольку оно имеет замыкание. Вы можете проверить это, если хотите, складывая или вычитая любые комплексные числа. Результатом будет то, что вы всегда остаетесь в поле комплексных чисел. Оно имеет замыкание. Вы не могли находить квадратный корень отрицательного числа в поле действительных чисел потому, что там не было мнимых чисел! Теперь у нас есть более полное поле, одно из самых полных в математике. По существу, комплексные числа включают в себя все действительные и мнимые числа.

Поля осознания

Некоторым людям не нравятся графы, проекции или поля, наподобие тех, что обсуждались выше. Они не считают их интересными. Но мне они нравятся, так как я думаю об этой графе не просто как о количественном описании нашей способности считать действительные и мнимые количества и качества, но также как о поле, которое говорит нам кое-что о нас самих. Поскольку числа представляют собой описания различных аспектов нашего поведения при наблюдении, мы могли бы называть поле комплексных чисел в математике полем «наблюдения» или «осознания».

Поле комплексных чисел представляет ту идею, что все, что бы мы ни видели, обладает как действительными, так и мнимыми (или необщепринятыми) характеристиками. Более того, все эти характеристики комплексного поля, включающего в себя действительные и мнимые числа, подчиняются одним и тем же правилам сложения, вычитания, умножения и деления, то есть различных типов амплификации.

Возьмем, например, отдельное дерево. Допустим, мы думаем, что это чудесная береза и что она выглядит очень по-матерински. Во всем мире люди наделяли большие зеленые деревья материнскими качествами. Вы можете представить себе такое дерево?

В любом случае, слово «дерево» имеет как реальные, так и необщепринятые характеристики, поскольку могут быть некоторые люди, которым не кажется, что большое зеленое дерево обладает материнскими качествами. Ладно, материнские качества относятся к необщепринятой реальности.

Я воспринимаю дерево как березу, которая выглядит по-матерински. Это восприятие представляет собой психологическую аналогию числа a + ib. Тогда действительное число а представляло бы аспекты дерева, относящиеся к общепринятой реальности, – то, что это береза, ее размер (скажем, 3 метра в высоту), ее возраст (скажем, 10 лет) и так далее. Мнимое число ib относилось бы к чувственным восприятиям, к чувству, которое мы испытываем по отношению к этому дереву, тот факт, что мы ощущаем его материнские качества.

Вспомните, что а и b в комплексном числе а + ib – это действительные числа и что ib представляет собой мнимый компонент этого комплексного числа. По аналогии, действительное число b в числе а + ib – это термин «материнский», который представляет собой общепринятый термин, описывающий необщепринятые реакции на березу.

Мы можем представить эту информацию о комплексных числах в графической форме (см. рис. 7.3).

Действительная или ОР часть березы (ее высота и т.п.)

Рис. 7.3. Действительные и мнимые, или ОР– и НОР-аспекты восприятия.

Обычно мы не замечаем различные части нашего восприятия. Мы просто видим дерево, и оно нам нравится. Однако комплексные числа помогают нам понимать и различать некоторые замечательные свойства нашего восприятия. Часть нашего осознания, относящуюся к общепринятой реальности, мы называем наблюдением. Ту его часть, которая относится к необщепринятой реальности, я называю чувственным (sentient) осознанием.

Утверждение, что дерево – это береза и она выглядит по-матерински, является способом представления конкретного осознания березы, точно так же, как в математике применение формулы a + ib является способом представления конкретного комплексного числа. Таким образом, осознание дерева как березы, выглядящей по-матерински, по аналогии можно представить определенным комплексным числом (сочетающим в себе действительное и мнимое числа) в общем пространстве НОР.

Вспомните – математики (пока) так не думают. Они не приписывают мнимым числам какого-либо значения. По существу, Галилей призывал объявить вне закона «вторичные» качества материи, вроде материнской заботливости, любви и красоты, поскольку мы не можем их измерять (в общепринятой реальности).

Сегодня математики говорят, что мнимые числа – это чисто мысленные построения, не относящиеся ни к чему конкретному. Однако мы можем видеть, что действительные числа образуют поле осознания, описывающее ОР-аспекты событий, и что комплексное поле действительных и мнимых чисел символизирует поле осознания, которое описывает события ОР и НОР.

Таким образом, каждая отдельная точка на комплексной плоскости символизирует осознание, обладающее и реальными, и воображаемыми характеристиками, наподобие реальной березы, которая имеет столько-то метров высоты, а также кажется вам выглядящей по матерински. Каждый человек, объект или феномен, с которым мы взаимодействуем, каждое событие, которое мы замечаем, имеет реальные, общепринятые и воображаемые, необщепринятые аспекты. Математической аналогией этого может служить комплексное число, сочетающее в себе действительные и мнимые числа.

Независимо от того, спим мы или бодрствуем, вещи, которые мы замечаем, обладают характеристиками, относящимися и к ОР, и к НОР. Наше новое, дифференцированное поле осознания по-прежнему имеет замыкание, так как мы можем сновидеть, бодрствовать, складывать или усиливать, умножать, возводить в квадрат и делать со своим осознанием все, что нам угодно, и по-прежнему находиться в поле осознания, пока мы используем термины ОР для описания реальных и воображаемых переживаний. Мы можем сказать, что наше поле осознания – это ОР-описание Вселенной или, скорее, нашего отношения к Вселенной.

Иерархия чисел

Рассмотрим еще некоторые особенности комплексных чисел. Отметьте, например, что, хотя между комплексными и действительными числами существует сходство, между ними есть и различия. Помните – можно сказать, что 5 больше, чем 3, но нельзя сказать, что комплексное число, например, 5 + 5i больше или меньше, чем любое другое комплексное число, скажем 3 + 3i. Понятие величины относится к общепринятой реальности. Мы не можем измерить 5i или 3i!

В поле действительных чисел можно сравнивать величину и количество. Поле комплексных чисел с мнимыми числами – это дело воображения, неизмеримых субъективных качеств. Точно так же нельзя сказать, что дерево, которое напоминает вам о чувстве материнской заботы, оказывает на вас более или менее сильное влияние, чем на кого-то другого, кто считает его просто красивым. В отношении «величины» этих терминов не существует общепринятого мнения.

Однако в сновидении мы определенно замечаем увеличение или уменьшение значения и ощущения важности. В сновидениях деревья могут быть удивительными, катастрофическими, чудесными, волнующими, устрашающими, гигантскими или незначительными. То, что в реальности было нормальным, возможно, незначительным деревом, в ходе сновидения может становиться колоссальным. Оно может непропорционально увеличиваться.

Так или иначе, теперь у нас есть иерархия чисел⁸. Комплексные числа вида a + ib включают в себя и действительные, и мнимые числа а и ib. Действительные числа можно считать комплексными числами без мнимых компонентов ib, а мнимые числа – это комплексные числа без действительного компонента a.

Комплексные числа аналогичны всем наиболее общим типам нашего опыта, который представляет собой сочетание реальных и воображаемых качеств. В дальнейшем я буду называть комплексный опыт (или переживание) просто «опытом» и подразумевать этим осознание реальных и воображаемых количеств и качеств, смесь повседневной реальности и фантазии или сновидения, характеристик ОР и НОР.

Иными словами, все, что мы называем реальным, – это особый случай более сложной реальности, в котором воображаемое отсутствует или маргинализируется субъектом. В целом, всякий раз, когда кто-либо говорит о сновидении или фантазии, мы должны думать о том особом состоянии сознания, которое основное направление современной научной мысли не признает значимым для наблюдений, если только или до тех пор пока это состояние сновидения не возводит себя в квадрат или не развертывается так, чтобы его можно было рассматривать в качестве реального.

Комплексные числа представляют собой образец, который включает в себя не только то, как развертываются наши процессы медитативного осознания, но и то, как мы наблюдаем все окружающее.

Примечания

1. Вскоре после этого появились рациональные числа (то есть любые числа, которые можно выразить отношением двух целых чисел, например 1 и 2), за ними последовали иррациональные числа (которые нельзя выразить отношением двух целых чисел, например квадратный корень из 2 или число пи). Рациональные и иррациональные числа вместе называются множеством действительных чисел.

2. Астроном Джордж Гамов, живший в XX в., упоминает эти замечания Джерома Кардана в своей книге «Один, два, три… бесконечность» (С. 42).

3. Дополнительную информацию о символизме чисел можно найти в книге Марии Луизы фон Франц «Числа и время» (Numbers and Time, Ch. 4-7).

4. Никакая аксиоматическая математическая система не является достаточно мощной, чтобы доказать собственную непротиворечивость. Для такого доказательства требуются дополнительные аксиомы извне системы. См. статью Курта Гёделя «О формально неразрешимых утверждениях» (K. Goedel «On formally undecidable propositions»), С. 711-715: Сб. От Фреге до Гёделя, хрестоматия по математической логике 1879 – 1931 гг. (From Frege to Goedel, a Source Book in Mathematical Logic, edited by Jean van Heijenoort). Простое обсуждение работы Гёделя можно найти в книге Фрэнка Дж. Суитца «От пяти пальцев до бесконечности: путешествие по истории математики» (Frank J. Swetz. From Five Fingers to Infinity: A Journey through the History of Mathematics).

5. Дальнейшее обсуждение можно найти в книге Карла Б. Бойера «История математики» (Carl. B. Boyer, A History of Mathematics), С. 611 и следующие.

6. Физик Дэвид Дарлинг приводит это утверждение о Галилее, которое вначале меня потрясло, в книге «Дзен физики» (David Darling. Zen Physics, Р. 123). Я был поражен потому, что процессуально-ориентированная психология, развитием которой я с увлечением занимался на протяжении многих лет, основывается на первичных и вторичных процессах, то есть процессах, с которыми отождествляемся и разотождествляемся. Для понимания людей необходимы и те, и другие.

7. Альберт Эйнштейн, «Смысл относительности», С. 1.

8. Все числа являются комплексными числами, и потому комплексные числа находятся на вершине иерархии. Комплексные числа представляют собой сумму действительных и мнимых чисел. Мнимые числа – это действительные числа, умноженные на V-1. А действительные числа бывают рациональными или иррациональными.

8. Конъюгация означает осознанное сновидение

Если вы сохраняете свой ум достаточно активным, в то время как склонность к вхождению в БДГ-сон сильна, то вы чувствуете, что ваше тело засыпает, но вы, то есть ваше сознание, остается бодрствующим. В следующим момент вы понимаете, что находитесь в мире сновидения, полностью осознавая этот факт.

Стивен Лаберж, исследователь сновидений, в книге «Осознанное сновидение».

Продолжая наше путешествие, мы увидели, что математика комплексных чисел может помочь нам обдумывать то, как сознание входит в процесс наблюдения. Кроме того, математика может помогать нам наблюдать, как наше осознание влияет на субатомный мир и на все окружающее. Математика подобна тайному коду для взаимодействий между наблюдателем и наблюдаемым, и изучение того, как расшифровывать тайну, – это волнующее приключение. В нем мы будем находить не только повседневную реальность, но и принцип осознанного сновидения, то есть сохранения осознания в сновидениях.

Помните идею комплексного поля? Это своего рода карта. Подобно тому, как, зная местоположение своего дома, вы можете найти его на карте к востоку, западу, северу или югу от центра вашего города, комплексные числа могут находиться на поле комплексных чисел, одна ось которого является действительной, а другая – мнимой. Например, на рис. 7.2 в главе 7 комплексное число 2 + 3i находится на расстоянии двух единиц вправо по оси действительных чисел и трех единиц вверх по оси мнимых чисел.

Конъюгаты и зеркальные отражения

В общем, любое комплексное число a + ib может быть представлено на поле комплексных чисел.

Рис. 8.1. Число a + ib на комплексной плоскости Теперь давайте пойдем дальше. Я хочу показать, как точка a + ib может отражаться на этой карте, то есть на комплексной плоскости. Представьте себе, что комплексная плоскость – это комната, на которую мы смотрим сверху. При взгляде сверху действительная ось выглядит как линия, соответствующая зеркальной стене.

Когда вы смотрите на себя сверху, кажется, что ваше отражение смотрит на вас снизу, то есть с другой стороны зеркала)

Рис. 8.2. Ваше отражение

Если бы вы стояли в точке a + ib, глядя в зеркало на стене, то видели бы собственное отражение в зеркале. Ваше отражение выглядело бы так, будто вы стоите в точке a – ib, на другой стороне зеркала, за стеной. Если бы вы стояли на расстоянии 3 метра от зеркала, то b было бы равно 3 м, а -b, где находится ваше отражение, соответственно, -3, то есть за зеркалом. Ваше зеркальное отражение – это более или менее то же самое, что и вы, за исключением того, что оно находится в точке —b, а не +b'.

Теперь вернемся к комплексной плоскости. Точно так же, если бы вы стояли в точке a + ib, то видели бы свое зеркальное отражение стоящим в точке a – ib. Точка a – ib – это, так сказать, зеркальное отражение a + ib.

Математики называют это зеркальное отражение комплексного числа конъюгатом (или сопряженным комплексным числом. – примеч. пер.). Иными словами, если мы меняем знак перед i в комплексном числе a + ib на противоположный, то получаем его конъюгат a – ib. Если два комплексных числа различаются только знаком своих мнимых частей, то они представляют собой конъюгаты. Например 4 + 3i и 4 – 3i – это конъюгаты.

В определенном смысле, это кажется простым и это действительно просто. Но это очень важно, поскольку математики могут делать с этими простыми конъюгатами много разных вещей, а физики используют их для понимания реальности. Прежде чем переходить к такому представлению о мире, давайте сперва рассмотрим особенности комплексных чисел. Два конъюгата отражают друг друга. На рисунке 8.3 показано, что точка a + ib отражает свой конъюгат – точку a – ib.

Рис. 8.3. Комплексные конъюгаты представляют собой отражения

Отражение комплексного числа – это его конъюгат. Они одинаковы, за исключением смены знака перед мнимой частью ib.

Психология отражения и конъюгации

Теперь давайте подумаем о психологических аналогах комплексных чисел и их конъюгатов. В главе 7 мы видели, что наше восприятие, подобно комплексному числу, состоит из качеств, относящихся как к общепринятой, так к необщепринятой реальности. Наше поле осознания, включающее в себя все, что мы замечаем, скажем дерево, имеет и реальные, и воображаемые качества. Например, мы можем видеть дерево и как березу (качество ОР), и как заботливое дерево (качество НОР).

Давайте посмотрим, чем могло бы быть отражение, или конъюгат, переживания НОР. У нас есть много способов отражения. К примеру, мы можем повторять другому человеку сказанные им слова. Мы также можем отражать его движения, повторяя их. Когда мы отражаем, другой человек может слышать или видеть то, что он делает. Если чьи-то слова или жесты происходят бессознательно, отражение этих сигналов может позволить другому человеку осознать, что произошло.

Повторение и отражение помогают другому человеку становиться сознательным. Отражение – это основополагающий элемент в создании сознания, что в данном случае означает понимание того, что все возникающие у нас бессознательные жесты, чувства и мысли либо отражаются кем-то еще, либо представляют собой самоотражения. Чем были эти жесты и чувства до того, как стать сознательными? Просто полусознательными, мнимыми, воображаемыми переживаниями человека, у которого они возникали.

В некотором смысле, все, что вы делаете, отражается окружающими вас вещами. Это похоже на то, как если бы вы, находясь в горах, выкрикивали свое имя. Вы могли бы слышать возвращающееся к вам эхо, то есть звуковое отражение. Это было бы так, будто горы окликают вас по имени. Отражения помогают нам знать, что мы находимся здесь.

Менее общеизвестное отражение происходит спонтанно, когда мы просыпаемся утром. Если мы внимательны и во время процесса пробуждения используем свое осознание, то заметим, что мы не только помним сновидения, но и отражаем их. В некотором смысле, сновидение продолжается и после того, как мы проснулись. После завтрака мы обычно забываем сновидящую часть самих себя, однако она продолжается и в течение всего дня, как можно обнаружить путем изучения оговорок, случайный жестов и внезапных фантазий.

Допустим, например, что вам приснилось, будто кто-то вас критикует. Если вы уделяете внимание процессу своего пробуждения, то можете заметить или услышать, что вы критикуете сами себя. Возможно, это заставит вас чувствовать себя расстроенным или подавленным. Никто не любит критику. И вдруг вы понимаете свой сон! Критичный человек в сновидении – это критичная часть вас самих, которую вы не осознаете.

Как будто фигура того критичного человека в сновидении отражается в полусознательном состоянии в форме вашей собственной самокритики! Используя математику в качестве метафоры для психологии, можно сказать, что комплексные конъюгаты соответствуют двум формам сновидения: одна происходит без осознания, а другая – с осознанием. Один конъюгат соответствует чувственным переживаниям, происходящим с нами в сновидении, в то время как другой конъюгат соответствует тем же самым чувственным переживаниям, отражаемым нашей более осознающей самостью.

Короче говоря, существуют два состояния сновидения или чувствительности. Будем называть первое состояние сновидением, а второе – осознанным сновидением. В дальнейшем мы будем снова возвращаться к конъюгатам, углубляя свое понимание психологических процессов комплексных чисел.

Конъюгация порождает действительные числа

Здесь мы сосредоточимся на еще одном удивительном свойстве комплексных чисел. Когда вы умножаете комплексное число на его конъюгат, результатом становится полностью действительное число R^2,3,4. Если мы умножаем число a + ib на a – ib, то результат равен а² + b², где а² и b² – это действительные числа без всякого мнимого знака i перед ними. Например, (3 + 4i)*(3 – 4i) = 3² + 4² = 25. Это действительное число 25 не имеет никаких мнимых качеств.

Удивительный и важный момент для физики и для психологии состоит в том, что умножение комплексного числа на его конъюгат дает действительное число, не обладающее никакими мнимыми качествами⁵. Поначалу эта фраза может звучать абстрактно, но она содержит в себе понятие, жизненно важное для физики и психологии. Умножение комплексного числа на его конъюгат порождает реальность, подобно тому, как осознанное отражение сновидения содействует сознанию.

Ранее в этом путешествии мы обнаружили, что возведение числа в квадрат создает для него область или площадь. Число 3 – это квадратный корень числа 9, то есть 9 представляет собой область, представляемую числом 3. Умножение комплексных чисел на их конъюгаты во многом похоже на возведение в квадрат⁶. Мы могли бы сказать, что умножение числа на его конъюгат создает для этого числа область в повседневной жизни.

Поскольку комплексное число соответствует воображаемому опыту, умножение комплексного числа на его конъюгат представляет опыт активного осознанного воплощения сновидения в повседневную жизнь. Осознанное сновидение порождает общепринятую реальность.

В отличие от действительных чисел комплексные числа не поддаются непосредственному измерению, так как содержат в себе мнимые компоненты. Точно так же, хотя мы не можем непосредственно измерять воображаемые чувственные переживания и точно знать, что ощущает сновидящий, мы можем судить об общем влиянии сновидения по исходящим от него бессознательным жестам и сигналам. Хотя мы не можем доказать другому человеку, что нам снилось, мы в любой момент можем показать ему следствия сновидений с помощью танца или обмена идеями. Отражая некоторые из своих бессознательных движений, можно создавать удивительный танец. Если вы обнаруживаете, что двигаете пальцами в определенном ритме, то, отражая этот ритм, вы могли бы спеть чудесную песню.

Сходным образом, хотя физики не могут непосредственно измерять комплексные числа типа a + ib, результаты конъюгации могут быть измерены, поскольку конъюгация создает действительные числа. При конъюгации мнимые элементы отпадают. Если я хочу понять сновидение (назовем его a + ib), то могу медленно и осторожно пробуждаться, замечая, как ночное сновидение отражается в процессе моего пробуждения. Прослеживая, как переживания сновидения самоусиливаются, наблюдая за тем как они «возводят себя в квадрат», создавая область в повседневной жизни, я могу обнаруживать реальный смысл того, что до этого было воображаемым.

Осознанное сновидение усиливает обычные сновидения. Оно отличается от сновидения тем, что осознающий сновидящий осведомлен о том, что он осознает свое сновидение, тогда как в обычном состоянии сновидения сновидящий, как правило, не осведомлен о том, что он может достигнуть осознанности и развертывать сновидение.

Итак, умножение комплексного числа на его отражение, дающее действительное число, имеет психологическую аналогию, которая состоит в том, чтобы позволять опыту сновидения порождать реальность, находя его значение в повседневной реальности посредством осознанного сновидения.

Осознанное бодрствующее сновидение усиливает сновидение и преобразует бессознательные действия в сознательные, реальные действия. Осознанное сновидение развертывает сновидения в реальность. Оно представляет собой разновидность конъюгации и ключевой психологический инструмент для развертывания процессов НОР. Кроме того, осознанное сновидение – это шаманский метод, который можно применять к психосоматическим переживаниям.

Теперь, если хотите, можете попробовать эксперимент с осознанным сновидением. Обнаружьте движение, которое вы переживаете или склонны переживать в своем теле в настоящий момент. Отражайте его, повторяя его снова, отражая его как можно точнее. Потратьте на это несколько минут. Единственное, что вам нужно, – это сосредоточивать внимание на призрачном качестве движения до тех пор, пока оно не сделается понятным или не реализуется.