Текст книги "Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]"
Автор книги: Всеволод Беллюстин
Жанры:
Математика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 8 (всего у книги 15 страниц)
Испанскій способъ дѣленія.
Это самая употребительная, самая распространенная форма дѣленія. Теперь ея уже нѣтъ въ учебникахъ и объ ней не вспоминаютъ, но почти въ теченіе тысячи лѣтъ, съ IX вѣка до XIX, она являлась общеизвѣстной и популярной формой. Начало ей положили арабы; черезъ Испанію она была принесена въ Западную Европу и потому получила названіе «испанскаго» способа. Участь его можно сравнить съ той, которую пришлось испытать обученію грамотѣ по методу: «буки азъ ба». Теперь этотъ методъ отжилъ свой вѣкъ и скоро о немъ, навѣрное, забудутъ, а въ свое время онъ пользовался общепризнаннымъ авторитетомъ и на немъ воспитывался длинный рядъ поколѣній: наши отцы, дѣды и прадѣды, и дѣды нашихъ прадѣдовъ. Тоже случилось съ испанскимъ дѣленіемъ. Сколько надъ нимъ старались, сколько хлопотали надъ его усовершенствованіемъ, а сейчасъ его забыли. Правду сказать, горевать объ этомъ не приходится, потому что—то было дѣленіе длинное, сбивчивое и обильное всякими недоразумѣніями. Надо думать, что корень его скрывается въ индусской математикѣ, судя по тому, что вычислять подобнымъ образомъ очень удобно было на пескѣ, какъ то было принято у индусовъ. Когда же этотъ способъ сталъ примѣняться на бумагѣ, то получилось нѣчто несообразное по основной идеѣ: цифры, которыя слѣдовало стирать, оставались нетронутыми (иногда зачеркивались), нагромождались другъ на друга и давали массу лишняго и безполезнаго письма. Приведемъ примѣры.
1) Примѣръ Альхваризми, араба IX столѣтія. Требуется 46468 раздѣлить на 324, частное 143.
Какъ видно, дѣлимое въ срединѣ; подъ нимъ помѣщается дѣлитель и при томъ переписывается столько разъ, сколько цифръ въ частномъ; такое передвиженіе осталось, конечно, отъ вычисленій на пескѣ, когда такъ легко было стирать цифры и писать ихъ еще разъ въ болѣе удобномъ положеніи; первая цифра частнаго будетъ 1, первый остатокъ 140 пишется надъ частнымъ; теперь надо дѣлить 1406 на 324, въ частномъ будетъ 4; умноженіе 324 на 4 идетъ съ высшихъ разрядовъ и одновременно же происходитъ вычитаніе. Вотъ гдѣ, между прочимъ, основаніе для австрійскаго способа, разобраннаго нами выше. Такъ какъ 3×4=12, то вычитаемъ 12 изъ 14-ти и иолучаемъ 2, которое и пишемъ надъ 4-мя; далѣе 2×4=8, 8 изъ 10=2, слѣд. надъ нулемъ надо помѣстить 2, а прежнюю цифру десятковъ 2 надо замѣнить новой 1, написавши эту 1 надъ двумя. Такъ дѣйствіе идетъ до самаго конца, т.-е. умноженіе производится съ высшихъ разрядовъ и сопровождается вычитаніемъ, при чемъ измѣненныя цифры переписываются выше.
2) Альнасави, арабскій писатель XI вѣка, нѣсколько упрощаетъ письмо и даетъ хоть небольшой просторъ устному счету. 2852:12 онъ рѣшаетъ такъ:
Интересно отмѣтить, какъ Альнасави изображаетъ частное. Цѣлое число 237 онъ пишетъ вверху, подъ нимъ остатокъ, а подъ нимъ уже дѣлителя; все это считается обозначеніемъ смѣшанной дроби 2378/12.
Греческій монахъ Максимъ Планудесъ, одинъ изъ немногихъ представителей византійской учености, даетъ еще болѣе легкій образецъ дѣленія, но, конечно, Планудесъ потому такъ легко справляется, что примѣръ-то самъ по себѣ не замысловатъ. 4865 : 5=973. Вычисленіе идетъ такъ:
4) Алькальцади, жившій въ XV ст., хотя и является заключительнымъ звеномъ въ блестящей цѣпи арабскихъ математиковъ, но все-таки не можетъ обойтись безъ того, чтобы не переписать дѣлителя нѣсколько разъ даже въ легкомъ примѣрѣ. 924 : 6 у него представляется въ такомъ видѣ:
3 2
9 2 4
6 6 6
–
1 5 4
Частное въ самомъ низу, дѣлитель надъ нимъ, еще выше дѣлимое и, наконецъ, въ самой верхней строкѣ послѣдовательные остатки.
5) Петценштейнеръ въ XV ст., нѣмецкій пегагогъ, нисколько не измѣняетъ основного хода дѣйствія и всего только вводитъ ту подробность, что пишетъ частное справа за чертой. Дано раздѣлить 467 на 19.
Получается довольно красивое расположеніе, съ ясной наклонностью къ симиетріи. Начиная съ этихъ поръ, математики обращаютъ вниманіе на то, чтобы груда цифръ не представляла собой чего-то безпорядочнаго и несимметричнаго, а образовывала изящную фигуру, построенную по извѣстной идеѣ. Особенно любили изощряться надъ построеніемъ фигуръ итальянцы, и надо отдать имъ справедливость, что они много успѣли въ этой безполезной и даже вредной игрѣ; вѣдь всякая погоня за ненужнымъ и постороннимъ вредитъ, въ концѣ концовъ, главной и существенной цѣли; такъ и здѣсь, одинъ авторъ передъ другимъ старались придумать что-нибудь оригинальное, красивое и стройное по внѣшнему виду, но забывали главное достоинство, т.-е. быстроту вычисленій, удобство и вѣрность.
6) Лука-де-Бурго ухитрился представлять дѣленіе фигурой корабля съ трюмомъ, рулемъ, мачтами и парусами.
Дальше этого идти ужъ трудно и путь всевозможныхъ ухищреній можно считать исчерпаннымъ. Хорошо еще, что педагоги тогдашняго времени большею частію не неволили учениковъ къ тому, чтобы они непремѣнно умѣли строить эти изящныя фигуры; они обыкновенно предпочитали только хвастаться другъ передъ другомъ, кто сколько знаетъ способовъ и кто сколько изобрѣлъ.
Какъ видимъ изъ фигуры, частное 9876 стоитъ съ правой стороны у знака дѣленія (угла); лѣвѣе, въ одной съ нимъ строкѣ. располагается дѣлимое; что же касается дѣлителя 9876, то онъ помѣщенъ четыре раза: первый разъ подъ дѣлимымъ, второй разъ онъ расчлененъ на 987 и 6, третій разъ на 98, 7, и 6, и, наконецъ, въ послѣдній разъ на 9, 8, 7 и 6, при чемъ 9 стоитъ въ самомъ низу, 8 во второй строкѣ снизу, 7 въ третьей снизу, и 6 въ четвертой, подъ дѣлимымъ, на самомъ правомъ мѣстѣ. Дѣйствіе начинается съ того, что 97535 дѣлится на 9876, въ частномъ получается 9; те-перь надо 9876 умножить на 9 и полученное произведеніе вычесть изъ 97535, при чемъ умноженіе начинается съ высшихъ разрядовъ, вычитаніе производится одвовременно съ нимъ. 9 × 9 = 81, 8 изъ 9 = 1, 1 пишемъ надъ 9-ю, 1 изъ 7 = 6, пишемъ 6 надъ 7-ю; далѣе 8 × 9 = 72, вычитаемъ 7 изъ 16-ти, получается 9, пишемъ эти 9 надъ 6-ю, а надъ единицей пишемъ 0; такъ продолжаемъ вычисленіе все далѣе и далѣе, до тѣхъ поръ, пока не кончимъ его.
Требуется большая, можно сказать, необыкновенная внимательность, чтобы не сбиться и не спутать въ такомъ рядѣ вычисленій. Положимъ, что передвиженіе дѣлителя помогаетъ разбираться скорѣе и вѣрнѣе въ разрядахъ, но все-таки избѣжать ошибокъ очень трудно, а между тѣмъ, стоитъ только допустить ошибку, и все кончено: все надо передѣлывать снова, потому что выдѣлить вѣрное отъ невѣрнаго нельзя. Если же къ этому еще вспомнить, что при дѣленіи легко попасть на цифру частнаго, которая слишкомъ велика или слишкомъ мала, то мы вполнѣ себѣ представимъ, сколько попытокъ и при-томъ какихъ отчаянныхъ попытокъ стоило вѣрное вычиеленіе частнаго. Современники передаютъ, что, чтобы рѣшить примѣръ на дѣленіе – на это требовалось сутки времени. Не даромъ Гербертъ (папа Сильвестръ II), жившій, правда, нѣсколько ранѣе разсматриваемаго періода, считадъ возможнымъ преподавать ариѳметику только особенно одареннымъ ученикамъ. Святой Бонифацій пишетъ, что
«при одной мысли о математическихъ наукахъ у меня отъ страха захватываетъ дыханіе. Передъ ними вся грамматика, реторика и діалектика—просто дѣтская забава».
7) Французскій математикъ Ла-Рошъ (въ ХVI ст.) понялъ, что выгоднѣе начинать умноженіе съ низшихъ разрядовъ, потому что тогда будетъ легче вычитать; но и отъ стараго пріема онъ не рѣшается отказаться, поэтому даетъ и то и другое расположеніе, начиная въ первомъ случаѣ умноженіе съ низшихъ разрядовъ, а во второмъ съ высшихъ. Пусть будетъ дѣлимое 7985643, дѣлитель 1789, тогда въ частномъ получается 4463.
Ла-Рошъ стремится, очевидно, къ тому, чтобы получить красивую фигуру треугольника; онъ не прочь, подобно Лукѣде-Бурго, пожертвовать удобствомъ вычисленій въ пользу второстепенной цѣли – изящества.
Бешенштейнъ и Ризе, нѣмецкіе педагоги XVI ст., даютъ подобные пріемы дѣленія.
8) Штифель и Петръ Рамусъ дѣлаютъ попытки помочь вычисленію и предлагаютъ: Штифель—вычитать частныя произведенія сразу, послѣ того, какъ они уже составлены, а не по отдѣльнымъ разрядамъ, какъ только они получаются; Рамусъ – заготовлять заранѣе произведенія дѣлителя на всѣ однозначныя числа.
«Правда, это кропотливо,– говоритъ онъ,—но зато полезно».
9) Изложенный способъ дѣленія, испанскій, какъ называетъ его Пешекъ, отличается той характерной чертой, что всѣ промежуточныя вычисленія пишутся выше дѣламаго, поэтому онъ получилъ у нѣмецкихъ математиковъ названіе дѣленія «вверху» – «ueberwärts» или «uebersich»—dividieren, въ противоположвость нашему нормальному пріему, которому придали названіе дѣленія «внизу», на томъ основаніи, что все вычисленіе сосредоточивается ниже дѣлимаго.
Дѣленіе «вверху», какъ мы уже упоминали, являлось самой распространенной и употребительной формой вплоть до начала XIX -го вѣка. Къ этому времени были сознаны, наконецъ, его неудобства, и оно мало-помалу стало уступать свое мѣсто нормальному, практикуемому въ настоящее время, пріему. Въ русекихъ ариѳметикахъ ХТІІ вѣка находимъ такой примѣръ дѣленія: 5692597 : 3625 = 1570 1347/3625.
Въ сущности, тотъ же ромбъ, что и выше. У Магницкаго вычисленіе въ этомъ же родѣ, при чемъ частное располагается съ правой стороны и отдѣляется скобкой. 9649378 : 5634.
Выпишемъ кстати изъ Магницкаго объясненіе, которое онъ проводитъ на примѣрѣ 1952 : 32.
«Подобаетъ вѣдати, яко егда дѣлитель имѣетъ не едино число, но два 32 или три 432, и тогда такожде подписуются числа дѣлителя, подъ болшая себе, дѣлимаго сице.
1 9 5 2
3 2
И умствуется тако: яко елико первымъ числомъ дѣлителя, емлеши изъ верхнихъ числъ дѣлимаго толикожде бы взяти, и другимъ числомъ дѣлителя, изъ тѣхъ же числъ дѣлимаго, якоже здѣ: 1
1 9 5 2 ( 6
3 2
Изъ 19 взяти на 3, по 6: по толику же бы взяти, и изъ 15, на 2: и останется изъ 15, 3, еже напиши надъ 5-ю, а прочая похѣрь сице (вcѣ цифры, кромѣ 3, 2 и 6, перечеркиваются).
Потомъ напиши первое число делителя, противъ остаточныхъ 3-хъ дѣлимаго, а другое дѣлителя въ рядъ къ правой рукѣ яковъ здѣі
1 3
1 9 5 2 ( 6
3 2 2
3
И умствуй 3 дѣлителя изъ 3-хъ дѣлимаго, и будетъ 1: и сей 1, напиши подлѣ 6 за чертою, а другимъ числомъ дѣлителя 2-мя возьми изъ 2 дѣлимаго 1, который уже за чертою написанъ сице:
10) Въ заключеніе приведемъ изъ Магницкаго
«одинъ изящнѣйшій образецъ дѣленія, зане во единомъ семъ образцѣ сугубое дѣйство, сирѣчь съ дѣленіемъ и повѣреніе: яко же явлено есть.»
Въ этотъ примѣрѣ требуется 598432 раздѣлить на 678; въ частномъ получится 882 и въ остаткѣ 436. Дѣлитель 678 пишется только одинъ разъ и въ этомъ обстоятельствѣ мы должны видѣть большой успѣхъ. Первымъ неполнымъ дѣлимымъ является число 5984; когда его раздѣлимъ на 678, то получимъ въ частномъ 8, составляемъ теперь произведеніе 678 на 8, при чемъ умноженіе ведемъ съ низшихъ разрядовъ: это опять-таки полезная подробность: восемью восемь 64, 4 изъ 4 будетъ 0, пишемъ 0 надъ 4-мя; семью восемь 56, да 6,—62, вычитаемъ 2 изъ 8-ми, будетъ 6, пишемъ 6 надъ 8-ю; шестью восемь 48, да 6,—54, вычитаемъ 54 изъ 59, останется 5.
Такимъ путемъ ведемъ мы дѣйствіе до самаго конца и находимъ въ отвѣтѣ 882. Что касается «повѣренія», т.-е. повѣрки, то она состоитъ въ перемноженіи дѣлителя и частнаго, при чемъ 678 · 8=5424, 678 · 8=5424, 678 · 2=1356, къ этому присоединяется остатокъ отъ дѣленія, который равенъ 436, и всего составится 598432.
Римскій способъ дѣленія.
Римляне были расположены къ счету круглыми числами, и поэтому они любили замѣнять числа, близкія къ круглымъ, при посредствѣ этихъ круглыхъ. Примѣровъ этому можно привести очень много, хотя бы: 18 по ихъ нумераціи выражается черезъ 20 безъ двухъ, 90 черезъ сто безъ десяти и т. д. Естественно поэтому ожидать, что подобная наклонность къ круглымъ числамъ будетъ проявлена и при дѣленіи. Примѣръ 668 : 6 рѣшается по римскому способу слѣдующимъ образомъ. Дѣлимъ 668 не на 6 равныхъ частей, а на 10, тогда въ каждой части будетъ по 6 десятковъ, но вѣдь мы взяли 4 лишнихъ части, и въ каждой по 6 десятковъ, всего, слѣд., взяли лишняго 24 десятка, эту сдачу надо приложить опять къ делимому, будетъ 308. Дѣлимъ теперь 30 десятковъ на 10, будетъ въ каждой части по 3 десятка, и такъ какъ лишнихъ частей взято опять 4, то онѣ составятъ 12 дес, а поэтому всего осталось подѣлить число 128. Изъ этого 12 дес. при дѣленіи на 10 дадутъ въ каждой части по 1 дес. и сдачи образуется 4 дес. Всего мы, слѣд., набрали въ частномъ 6 д.+3 д.+1 д.=10 дес, или 100. Теперь надо 68 дѣлить на 6. Продолжаемъ это дѣлать тѣмъ же самымъ пріемомъ, какимъ вели и до сихъ поръ, именно: 60 : 10, будетъ по 6 ед., сдачи 4×6=24, да 8, всего 32; дѣлимъ 32 на 10, будетъ по 3, сдачи 3×4=12, да 2, всего 14; дѣлимъ 14 на 10, будетъ по 1 единицѣ, сдачи 4, да 4, всего 8, теперь число уже не дѣлится на 10 и поэтому остается только вопомнить настоящаго дѣлителя 6; и раздѣлить на него, будетъ въ частномъ 1 и въ остаткѣ 2. Подсчитаемъ итогъ, сколько мы набрали всего-навсего единицъ: 6+3+1+1=11, и въ остаткѣ 2; десятковъ мы выше насчитали 10, и слѣд. окончательный отвѣтъ представится въ видѣ 100+11, т.-е. 111 и ост. 2. Вотъ какой длинный и кропотливый путь. Онъ составляетъ характерную принадлежность римской ариѳметики, особенно же временъ упадка Рима и перехода римской цивилизаціи къ народамъ Западной Европы. Особенно подробно разработанъ этотъ способъ у Боэція (470—525 по Р. X.), знатнаго и ученаго римскаго гражданина, и у Герберта (папы Сильвестра II), жившаго около 1000 года по Р. X. Послѣ Герберта этотъ способъ сталъ все болѣе и болѣе вытѣсняться арабскими пріемами, т.-е. такими, которые близки къ нашему нормальному дѣленію. Не даромъ съ этихъ поръ стали называть способъ Боэція «желѣзнымъ правиломъ», въ отличіе отъ «золотого» подъ которымъ чаше всего разумѣли «дѣленіе вверху» .
Труденъ и очень труденъ былъ римскій способъ, значительно труднѣе, чѣмъ «дѣленіе внизу» и «дѣленіе вверху».
Обременительность его зависѣла прежде всего отъ его сложности, но кромѣ того, еще и отъ того, что педагоги и составители учебниковъ или не умѣли, или не хотѣли объяснить дѣло, какъ слѣдуетъ. Высокимъ, ученымъ слогомъ, безъ обращенія къ чему-нибудь наглядному и понятному, они вели бесѣду такъ, какъ будто передъ ними находились тоже ученые люди или педагоги, а не малыя дѣти: тогдашняя школа мѣряла все на аршинъ учителя и не примѣнялась къ возрасту и развитію ученика.
Вотъ выписка изъ книжки Сперанскаго (Очерки по исторіи народной школы въ Западной Европѣ, стр. 118, заимств. изъ Гюнтера): При дѣленіи 5069 на 4, дѣйствія располагаются слѣдующимъ образомъ. Мы имѣемъ: 10—4=6,
Образуемъ теперь произведеніе
откуда мы получаем 600 + 800 = 1400. Точно также:
600+400=1000. Пользуясь все тѣмъ же пріемомъ, вычисляемъ произведеніе
и образуемъ сумму 60+80+60+60=260. Далѣе:
а 60+20+60=140. Двигаясь тѣмъ же путемъ далѣе, мы получимъ:
6+8+6+9=29. Затѣмъ находимъ
эта сумма, подобно дѣлитеkю, является уже числомъ меньшимъ 10-ти. Такимъ образомъ оказывается, что остатокъ отъ дѣленія равенъ 1. Искомое частное 1267. Первоначально римскій способъ примѣнялся на абакѣ, при помощи римскихъ цифръ; но съ теченіемъ времени, когда въ Европу проникли арабскія цифры, онъ сталъ примѣняться и на нихъ и долго не уступалъ своего мѣста новымъ пріемамъ. Теперь онъ уже совершенно оставленъ и рѣшительно нигдѣ не встрѣчается. А между тѣмъ и у него есть нѣкоторое удобство, которое возвышаетъ его въ этомъ отношеніи: именно легкое угадываніе цифръ частнаго. Въ нашемъ нормальномъ дѣленіи иногда случается задаваться не тою цифрою, какая нужна, а большей или менmiей; у римлянъ же это могло случаться гораздо рѣже, потому что дѣлителемъ у нихъ всегда служило круглое число, про которое легко найти, сколько разъ оно содержится въ дѣлимомъ.
Приведемъ образцы письменнаго расположенія по этому способу. Примѣры: 672 : 16 и 3276 : 84.
Другіе способы дѣленія.
1) Самымъ простымъ, общедоступнымъ путемъ дѣленія, правда длиннымъ и утомительнымъ, является замѣна дѣленія вычитаніемъ; поэтому всѣ народы, которые находятся на низшихъ ступеняхъ развитія, производятъ дѣленіе при ломощи вычитанія: потому также полезно было бы давать и малымъ дѣтямъ нѣсколько упражненій на послѣдовательное вычитаніе, прежде чѣмъ переходить съ ними къ дѣленію. Примѣровъ замѣны дѣленія вычитаніемъ можно указать много у разныхъ народовъ, особенно же среди мало образованныхъ классовъ. Такъ, въ средніе вѣка въ Германіи среди простого народа часто употреблялся счетъ на маркахъ, т.-е. на костяшкахъ—костяшки эти клались въ колонны, въ особую колонну для каждаго разряда– въ такомъ случаѣ дѣлитель откладывался отъ дѣлимаго столько разъ, сколько было возможно, и число отложенныхъ дѣлителей показывало величину отвѣта, потому что раздѣлить—значитъ узнать, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ.
2) Замѣна дѣленія умноженіемъ нѣсколько труднѣе, чѣмъ замѣна его вычитаніемъ; она не такъ доступна, понятна и наглядна; ее мы встрѣчаемъ на тѣхъ ступеняхъ развитія науки, когда совершается переходъ отъ простонародныхъ пріемовъ вычисленія къ точнымъ научнымъ пріемамъ. Такъ, напр., у индусовъ до выработки нормальныхъ способовъ дѣленія мы видимъ массу попытокъ привести его къ умноженію; при этомъ и само умноженіе совершается такимъ искусственнымъ порядкомъ, какой встрѣчается еще въ глубокой древности у египтянъ, распространенъ былъ среди всѣхъ народовъ и пользуется до сегодня популярностью среди самоучекъ и немудрыхъ счетчиковъ. Для поясненія беремъ примѣръ у Евтокія, греческаго писателя въ VI в. по Р. X. Требуется раздѣлить 6152 на 15. Для этого Евтокій составляетъ рядъ чиселъ, кратныхъ 15-ти: 15, 30, 60, 90, 120,150, 180, 210: 240, 270, 300, 600, 900,1200, 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 6000. Рядъ этотъ, какъ видимъ, содержитъ не всѣ кратныя числа, но онъ только пролагаетъ путь къ тому, чтобы догадаться, что 6000 кратно 15, и что въ 6000 содержится 15 четыреста разъ. Остается теперь раздѣлить 152 на 15. Для этого Евтокій снова соcтавляетъ подобный же рядъ: 15, 30, 60, 90, 150 и выводитъ, что 15 въ 150-ти содержится 10 разъ. Всего въ отвѣтѣ получится 410 и 2 въ. остаткѣ.
3) Слѣдующей попыткой къ упрощенію дѣленія является расчлененіе дѣлителя на производителей; оно и теперь примѣняется съ большимъ успѣхомъ, особенно при устномъ счетѣ; именно, чтобы раздѣлить, напр., на 8, можно раздѣлить данное число пополамъ, полученный отвѣтъ опять пополамъ и вновь полученный отвѣтъ еще разъ пополамъ. Для письменнаго вычисленія такой порядокъ особенно рекомендуется итальянцемъ Леонардо Фибонначи (около 1200 г. по Р. X.); при этомъ, въ случаѣ дробнаго частнаго, у него получаетея рядъ дробей съ возрастающиии знаменателями.
Оригинальный пріемъ, основанный на той же идеѣ, даетъ Апіанъ (XVI в. по Р. X.); у него проскальзываетъ нѣчто въ родѣ десятичныхъ дробей, хотя въ его время теорія десятичныхъ дробей находилась въ самомъ зачаточномъ состояніи.
Положимъ, ему надо раздѣлить 11664 на 48; онъ сперва вычисляетъ 11664:6, потомъ отъ каждаго полученнаго разряда беретъ вооьмую долю, это легко достигается тѣмъ, что каждый разрядъ по-множается на 0125, такъ какъ 1:8=0,125. Все дѣйствіе можно представить въ такомъ видѣ.
Объясняется это вычисленіе слѣдующимъ образомъ. Дѣлимъ 11 тыс. на 6, получаемъ 5 въ остаткѣ и 1 въ частномъ; 5 пишемъ надъ 1, а единицу частнаго умножаемъ на 0125 и пишемъ прямо подъ чертой. Далѣе, 56 сот.: 6=9 сот. и 2 сотни въ остаткѣ; остатокъ помѣщаемъ надъ 6-ю, а 9 надо умножить на 0125; для этого Апіанъ множитъ отдѣльно 0125 на 5 и на 4, получаетъ 0625 и 05; при записываніи цифра 5 у числа 0625 подвигается вправо за черту, потому что это будутъ уже не цѣлыя единицы, а только десятыг доли. Теперь 26 десятковъ надо дѣлить на 6, будетъ въ частномъ 4 десятка; помножить 4 на 0125, получится 5—столько простых единицъ, ихъ пишемъ. Наконецъ, 24:6 – 4, 4×0125 = 5, это будутъ десятыя доли, и ихъ слѣдуетъ писать за чертой вправо. Остается сложить всѣ отдѣльныя частныя и тогда получится общій отвѣтъ 243.
4) Всѣ три предыдущихъ способа уступаютъ нашему, которымъ мы, обыкновенно, пользуемся: они труднѣе и длиннѣе нашего. Но вотъ методъ Тиллиха, предложенный имъ въ 1806 г. Онъ уже вытекаетъ изъ нормальнаго пріема и стремится еще болѣе его усовершенство-вать. Суть его состоитъ въ слѣдующемъ. При дѣленіи на однозначное число, напр., на 3, не сносятъ остатковъ къ слѣдующему низшему разряду, а стараются раздѣлить каждый разрядъ вполнѣ, хотя бы для этого пришлось воспользоваться и дробнымъ частнымъ. Согласно этому, дѣйствіе 56789:3 располагается такъ:
Прежде всего дѣлится 5 дес. тысячъ на 3, на каждую часть придется по 1⅔ дес. тысячъ, изъ этого 1 дес. тыс. сносится въ частное, а ⅔ дес. тыс. пока оставляются. Затѣмъ дѣлимъ 6 тысячъ на 3, будетъ по 2 тысячи, ихъ такъ и пишемъ въ частномъ. Точно такимъ же образомъ 7 сот.: 3 = 2⅓ сотни, 8 дес.: 3 – 2⅔ дес и наконецъ 9:3 = 3. При этомъ всѣ цѣлые отвѣты сносятся въ частное, а дроби пока оставляются. Дроби эти приводятся къ нормальному виду слѣдующимъ путемъ. ⅔ десятка тысячъ дадутъ 6 тысячъ и ⅔тысячи; эти ⅔ тысячи составятъ 6⅔ сотни, да у насъ еще ⅓ сотни, всего получится 7 сотенъ, ихъ такъ и пишемъ. Останется только церевести ⅔десятка въ единицы, будетъ 6⅔. Окончательный отвѣтъ составитъ 18929⅔.
Въ иныхъ примѣрахъ можно разбивать дѣлимое на группы въ 2 разряда, и это представляетъ немалое удобство. Такъ, ¼ отъ 339765 Тиллихъ совѣтуетъ находить дѣленіемъ 33 дес. тысячъ на 4, 97 сотенъ на 4 и 65-ти единицъ на 4. Тогда форма вычисленія получится слѣдующая:
