Текст книги "Путешествие по Карликании и Аль-Джебре"
Автор книги: Владимир Левшин
Соавторы: Эмилия Александрова
сообщить о нарушении
Текущая страница: 13 (всего у книги 16 страниц)
(Нулик – отряду РВТ)
Здравствуйте, ребята! Ну и работу вы нам задали! Теперь мы только и делаем, что играем в шахматы. Каждый сам смастерил себе доску и фигуры. Играем с утра до вечера – то друг с другом, а то и каждый сам с собой. Но я всё-таки успел сделать открытие: по шахматной доске сразу видно, что Карликания и Аль-Джебра друзья. Ведь каждая шахматная клетка имеет своё обозначение, которое состоит из цифр и букв.
Например, е5, а4, d8. Разве это не доказательство дружбы?
Задачу с зёрнами всё-таки решили проверить. Конечно, без риса. Просто все стали писать на своих досках, сколько надо положить рисинок на каждую клетку:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… Когда заполнили первый ряд, выяснилось, что одни пишут слева направо, а другие справа налево.
Стали спорить, как надо писать. Положили две доски одну под другой. На одной числа написаны внизу, слева направо, на другой – вверху, справа налево.
Числа, одинаково отстоящие от края, оказались друг против друга. Прямо как на палке у фокусника!
Я попробовал сложить каждую пару, но одинаковых чисел не получилось. Понятно: ведь прогрессия-то не арифметическая, а геометрическая! Тогда я их перемножил и сделал второе открытие: все произведения оказались совершенно одинаковые:
1х128=128;
2х64=128;
4х32=128;
8х16=128.
Да, теперь я уже не тот Нулик, что прежде. Меня и вправду не узнать. А всё ваши письма!
Дальше считать зёрна никто не захотел – кому же охота писать такие огромные числа? Но один Нулик задал интересный вопрос: если на шестьдесят четвёртую клетку надо положить девять с лишним квинтиллионов зёрен, то сколько всего зёрен будет на доске, если, конечно, заполнить все клетки?
– Что тут думать! – сказал другой Нулик. – Всего на доске будет зёрен два в шестьдесят третьей степени. То есть вот эти девять квинтиллионов.
– Ничего подобного, – возразил третий, – девять квинтиллионов будет только на последней клетке, а на всей доске во много раз больше.
Они заспорили, а я снова посмотрел на свою шахматную доску, где в первом ряду написана геометрическая прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
После треугольника Паскаля я вообще стал очень внимательно рассматривать числа – всё время ищу закономерности! Вот и сейчас сложил первый член прогрессии со вторым: 1+2=3. Сумма их оказалась на единицу меньше третьего члена – четвёрки. Потом я сложил 1+2+4. Получилось семь. А это на единицу меньше восьми. 1+2+4+8=15. И это тоже меньше шестнадцати на единицу. Выходит, сумма всех предыдущих членов этой геометрической прогрессии меньше последующего всегда на единицу. А это значит, что на шестидесяти трёх клетках шахматной доски будет столько же зёрен, сколько на последней, шестьдесят четвёртой, только на одно зёрнышко меньше. А всего на доске зёрен будет в два раза больше, чем на последней клетке, минус единица:
2263 − 1.
А это ведь всё равно что
264−1.
Так я сделал третье открытие. И для этого мне не понадобилось ни писать всю прогрессию до конца, ни умножать девять квинтиллионов с хвостиком на два. Так-то!
Нулик-Шахматист.
Волшебная практика(Сева – Нулику)
Мы чуть не опоздали к началу рабочего дня. И всё из-за Тани. На стройках, говорит, всегда пыль и грязь. Как бы мне, говорит, там не испортить любимого платья в оборочках. Наконец она появилась в комбинезоне и сапогах, на голове косынка, защитные очки. Прямо хоть снимай для газеты: «Знатная электросварщица Татьяна Н.».
Девчонок хлебом не корми – дай надеть какую-нибудь обновку. Я-то знаю, что не платья ей жалко, – просто захотелось покрасоваться в комбинезоне.
Ну и лицо у нее было, когда она увидела, что строительство больше похоже на ухоженную детскую площадку, где ребята заняты разными техническими играми: пилят, вырезают, конструируют… Только «игрушки» здесь были гораздо крупнее. Кружевные стрельчатые краны легко передвигали в воздухе разноцветные пластикатные детали.
К нам подошла нарядная латинская буква Эф. Она удивлённо покосилась на Танин костюм:
– Хотите познакомиться с нашим экспериментальным строительством? Я вас провожу.
Первым долгом поинтересовались, что здесь строят.
– Да всё, что угодно, – ответила Эф. – Дома, машины, бассейны…
Мы залюбовались высоким домом из разноцветных кубиков… Он вырос прямо на наших глазах – ни дать ни взять воздушный замок. И как же мне жалко стало, когда этот замок вдруг рассыпался, а на его месте возникло длинное двухэтажное здание с плоской крышей.
– Охота была строить, а потом разрушать! – подосадовал я.
Но Эф объяснила, что здесь не просто строят, а делают расчёты, которые тут же проверяют на практике. Я подумал, что если это и практика, то, во всяком случае, волшебная.
К нам подошёл солидный карликан, Девятка.
– Здравствуйте, – обратился он к Эф. – Мы строим дом. Нам надо вырыть котлован для фундамента. Имеются три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй – за три, третий – за двенадцать. Через сколько часов будет готов котлован, если все три экскаватора работают одновременно? Это очень важно! Без этого я не смогу составить график строительства.
– Обратитесь к Главному Составителю, – ответила Эф.
Мы переглянулись.
– Нельзя ли и нам повидать Главного Составителя? – спросила Таня.
– А вы разве умеете решать уравнения? – поинтересовалась Эф.
Таня только покраснела. А я сказал напрямик, что мы об этом понятия не имеем.
– В таком случае вам придётся начать с азов! Чтобы решать уравнения, следует прежде всего познакомиться с отрицательными числами.
Ну, это-то мы знали!
Эф облегчённо вздохнула:
– Тогда я могу зачислить вас на строительство в качестве практикантов.
– И мы сейчас же начнём составлять уравнения? – брякнул я.
– О, до этого далеко. Сперва придётся поработать в весовой.
Что ты скажешь? Опять отсрочка! В кармане лежит готовая задача, а ты, изволь радоваться, работай весовщиком!
Эф заметила, как мне досадно.
– В нашем деле лучше не торопиться, – сказала она, – это верный способ сэкономить время.
Ничего не поделаешь, пошли в весовую. Кстати, я давно не взвешивался. А в этой Аль-Джебре похудеешь!
Сева.
Весовая(Таня – Нулику)
Что ни говори, Нулик, Аль-Джебра – удивительное государство! Вчера были в современном кафе, сегодня на сверхскоростном строительстве, и вот не успели опомниться, как попали в гости к древнему восточному кудеснику.
Как ты себе представляешь весовую? Большой амбар, тяжёлые неуклюжие весы. У весов – дюжий весовщик в брезентовом фартуке и рукавицах. А вокруг – мешки, ящики, корзины…
Так вот, ничего подобного не было. Нас ввели в полутёмный сводчатый зал с тонкими витыми колоннами, такой высоченный, что потолка не видно. Будто над тобой ночное небо, только без луны и звёзд. Вместо них в полумраке светятся какие-то закорючки и загогулины. Должно быть, восточные письмена. Посреди зала – большие старинные весы: тяжёлые медные чашки, подвешенные на цепях к концам металлического коромысла. Весы тоже сплошь в закорючках и загогулинах. Они парят в воздухе, как большая диковинная птица. А между чашками, словно глазок радиоприёмника, сверкает зелёный кошачий глаз.
– Садитесь, – шепнула Эф.
Мы оглянулись: ни стульев, ни кресел. Только несколько пёстрых ковриков на полу. Эф уселась на одном из них, скрестив ноги. Мы сделали то же самое.
Вам! Что-то зазвенело – будто стукнулись два медных подноса, – и из темноты вынырнула фигура в длинном чёрном балахоне с жёлтыми разводами. На голове – белая шёлковая башня. Называется тюрбан. И борода у него тоже белая и шелковистая.
– Главный Весовщик, – шепнула Эф. – Следите за ним внимательно.
Весовщик приложил руку к сердцу и поклонился. Мы тоже приложили руки к сердцу и поклонились. Потом он взмахнул палочкой, и на каждой чашке весов появилось по Семёрке – обе в светящихся костюмах. Я так на них загляделась – даже не заметила, что в кошачьем глазке засветились две чёрточки. Эф легонько толкнула меня локтем.
– Это знак равенства. Семь равно семи, – негромко сказала она.
– Уж конечно, не восьми, – фыркнул Сева.
Но тут Весовщик снова взмахнул палочкой, и на правой чашке весов вместо Семёрки оказалась Восьмёрка. Чашка сразу опустилась. Мы взглянули на зелёный глазок: чёрточки знака равенства соединились слева и образовали уголок:
7<8.
– А вот знак неравенства. Он обозначает, что семь меньше восьми, – пояснила Эф.
Тут Восьмёрка и Семёрка поменялись местами. Теперь уже опустилась левая чашка. Чёрточки в кошачьем глазке снова задвигались и соединились правыми концами:
8>7.
– Понятно, – сказал Олег, – этот знак показывает, что восемь больше семи. Выходит, там, где палочки сходятся, стоит меньшее число, а там, где они расходятся, – большее.
– Детские игрушки, – проворчал Сева.
Весовщик не обратил внимания на его дерзость. Он взмахнул палочкой, и вот уже вместо чисел на весах засветились буквы: слева а+b, справа с. Между ними загорелся знак равенства:
а+b=c.
Но в Севу точно бес вселился! Всё ему не нравилось.
– Почему это, – придрался он, – Весовщик думает, что а+b равно c?
– А он вовсе и не думает – он требует этого, – ответила Эф. – Наверное, ему для какой-то задачи понадобилось, чтобы левая часть непременно была равна правой.
– А может быть, он всё-таки ошибается? – заупрямился Сева. – Ведь под буквой можно подразумевать любое число! Вот я сейчас попрошу заменить все три буквы числами.
Он встал и подошёл к Весовщику. Признаться, я очень испугалась: вдруг Весовщик рассердится и превратит Севу в какое-нибудь неравенство? Но он вовсе не рассердился. Наоборот, прижал руку к сердцу, и вот уже на левой чашке весов вместо буквы а стоит число Четыре, вместо b – Пять, а на другой чашке вместо с – Девятка:
4+5=9.
Но Сева не унимался:
– Нет, так не пойдёт, уважаемый Главный Весовщик! Вы просто поставили те числа, которые вам выгодно. Позвольте, я сам!
Он назвал другие числа. Весовщик улыбнулся и снова пустил в ход свою палочку. Коромысло закачалось, в глазке зажёгся знак неравенства. И мы, увидели вот что:
6+7 <20.
– Что я говорил! – закричал Сева. – Выходит, а плюс b не равно c.
И тут молчаливый Весовщик не выдержал.
– О неразумный отрок! – заговорил он тонким скрипучим голосом. – Если ты хочешь стать мудрецом, не болтай языком, не подумав. Под буквами действительно можно подразумевать произвольные числа. Но только до тех пор, пока они не связаны знаком равенства. В равенстве а+b=c можно произвольно заменить числами не три, а только две буквы. Величина третьей выяснится сама собой. Замени две из этих букв числами.
Сева подумал, пошевелил губами…
– Пусть а будет равно пяти, а c – двенадцати.
На весах появилось выражение:
5+6=12.
– Скажи теперь, – улыбнулся Весовщик, – можно ли вместо b подставить любое число?
Но Сева не успел и рот открыть, как на весах вместо буквы b засветилась Семёрка:
5+7=12.
Сева почесал за ухом.
– Да! С этими равенствами не разгуляешься. Зато уж в неравенстве подставляй что душе угодно – так неравенством и останется.
Весовщик укоризненно покачал головой:
– Опять говоришь не подумав. Неравенство неравенству рознь.
Он взмахнул палочкой. На левой чашке весов появились c+d, на правой e, а между ними – знак неравенства:
с + d < е.
Правая чашка весов опустилась.
– Назови вместо этих букв любые числа, – предложил Весовщик.
Сева назвал. И на левой чашке весов мы увидели 4+8, а на правой 9. Левая чашка весов опустилась, и знак неравенства повернулся остриём вправо:
4+8>9.
– Ага! Неравенство сохранилось, – обрадовался Сева.
– Да, – сказал Весовщик, – но теперь левая часть стала больше правой, а не меньше, как мы условились.
– Почтенный Весовщик, – вмешался Олег, – вы хотите сказать, что, подставив в левую часть этого неравенства 4+8, справа можно подставить любое число, но при одном условии: оно должно быть больше двенадцати. Тогда левая часть всегда будет меньше правой.
– Вот именно, вот именно! – умилился Весовщик и так закивал головой, что вот-вот борода отвалится! Потом он перестал кивать и взглянул m Севу.
Тот стоял надутый, взъерошенный, как воробей после драки.
– Вижу, – сказал Весовщик, – тебе во что бы то ни стало хочется подставлять любые числа под все буквы. Так и быть, попробуй ещё разок.
На весах засветилось равенство:
3a+2b=2a+3b−b+a.
– Нет уж, спасибо! – Сева даже руками замахал. – Теперь меня не проведёшь.
– Зря отказываешься. В этом примере можно подставлять вместо a и b любые числа, какие вздумается.
Весовщик подставил вместо а Четвёрку, вместо. b – Тройку:
34+2·3=2·4+3·3–3+4.
И сейчас же числа эти исчезли, уступив место числу 18 на каждой чашке весов:
18=18.
Сева растерянно поморгал глазами. Опять он попал впросак. Но почему?
– Да потому, – ответил Весовщик, – что это равенство особое. Оно называется тождеством. Какими числами ни заменяй буквы в тождестве, равенство всё равно сохранится.
– Но как отличить тождество от обычного равенства, не подставляя чисел вместо букв? – спросила я.
– Для этого надо обе части равенства сделать совершенно одинаковыми. Смотрите!
Мы увидели на весах прежнее тождество:
3a+2b=2a+3b−b+a.
Тут Весовщик протянул руки к правой чашке весов и как закричит:
– Подобные, приведитесь!
И сейчас же 2a в правой части соединились ещё с одним a; 3b, из которых вычли одно b, превратились в 2b, и на весах образовалось другое выражение:
3a+2b=2a+3b.
Покончив с тождеством, Весовщик взмахнул палочкой, и на ней очутился металлический обруч. С такими у нас занимаются художественной гимнастикой.
Я чуть не фыркнула: неужели Весовщик собирается танцевать с обручем? Вот будет весело! Но танцевать он не стал, а достал верёвочку и измерил ширину круга в самом его широком месте.
– Эта ширина называется диаметром круга, – пояснил он. Хотя кто же этого не знает?
Потом Весовщик стал укладывать этот верёвочный диаметр по обручу, чтобы измерить длину окружности. Сделал отметку, уложил верёвочку один раз, второй, третий, но до отметки все ещё не дошёл. Выходит, длина окружности больше, чем три её диаметра. Весовщик стал откладывать верёвочку в четвёртый раз, но её оказалось слишком много. На глаз получалось, что надо отложить только одну пятую верёвочки. Весовщик отрезал одну пятую, но и этот кусочек оказался длиннее, чем нужно. Значит, длина окружности меньше, чем три и одна пятая диаметра.
Тогда Весовщик разрезал этот кусочек верёвки пополам, и он стал равен одной десятой диаметра. Но теперь его не хватило до отметки. Значит, длина окружности меньше, чем три и одна пятая, но больше, чем три и одна десятая диаметра.
Долго Весовщик возился с этой задачей, а потом улыбнулся и сказал:
– О мои юные друзья, я пошутил. Я и раньше знал, что решить эту задачу точно невозможно. Мне только хотелось, чтобы вы убедились в этом сами. Во сколько раз длина окружности больше своего диаметра, можно подсчитать только приближённо. Вычислите это число с точностью хоть до миллиона знаков, оно всё равно не будет совершенно точным.
– Значит, это – иррациональное число? – спросил Олег.
– Конечно! – подтвердила Эф. – Мы можем указать, где оно живёт на монорельсовой дороге, но выразить его точным числом нельзя. В Аль-Джебре его обозначают греческой буквой Пи – я. Смотрите, вот оно.
На левую чашку весов вспорхнула буковка, слегка напоминающая русское «п», а на правой появилось число 3,14.
– Число Пи приближённо равно трём целым и четырнадцати сотым, – объяснил Весовщик.
Он взмахнул палочкой. Чашка с буквой Пи чуть-чуть опустилась, а в кошачьем глазке появились две волнистые линии: ≈.
– Это знак приближённого равенства, – пояснила Эф. – На самом деле Пи немножко больше, чем 3,14. Поэтому левая чашка слегка перевешивает.
Снова стукнулись два медных подноса, и Главный Весовщик исчез. Прямо-таки растаял.
– Перерыв на пятнадцать минут! – объявила Эф.
Как ты думаешь, может, и мне объявить небольшой перерыв?
Таня.
Аль-Джебр!(Сева – Нулику)
Знаешь, Нулик, напрасно я злился на этого Весовщика. Он даже почище фокусника. Фокусников и у нас пруд пруди. А настоящего живого чародея днём с огнём не сыщешь.
В перерыве я подговаривал ребят смыться. Сколько можно возиться с неравенствами, равенствами и всякими Пи? Пришли составлять уравнение, так чего там!.. Но Олег сказал, что сперва неплохо бы выяснить, что такое уравнение. Ах да! Я и позабыл.
Снова стукнулись медные подносы, вернулась наша Эф, и мы опять уселись на коврики. Только я хотел спросить, где же Весовщик, а он уж тут как тут! Сидит под весами, словно никуда не исчезал.
Весовщик взмахнул палочкой, и над каждой чашкой весов появилось по числу 14. В глазке засверкал знак равенства.
«Здравствуйте! – подумал я. – Всё сначала!»
Но я ошибался. Кроме чисел 14, на каждой чашке весов появилось по Пятёрке:
14+5=14+5.
Чашки не дрогнули, глазок по-прежнему показывал равенство. Потом вместо этих чисел на весы стали две суммы:
а+6=c+d.
И снова подле каждой из них засветились одинаковые числа, на этот раз Тройки:
a+b+3=c+d+3.
Чашки не шелохнулись.
– Видите, – сказал Главный Весовщик, – если к обеим частям прибавить по одинаковому числу, равенство не нарушится. Понятно, что можно не только прибавить, но и вычесть по одинаковому числу. Можно умножить обе части или разделить их на одинаковые числа – равенство всё равно сохранится.
– А если прибавить не числа, а одинаковые буквы? – спросил я.
– На здоровье! – ответил Весовщик. – Ведь буква – то же число. Вот смотрите.
Теперь к суммам на весах прибавились буквы п. Равенство не исчезло:
a+b+3+n=c+d+3+n.
Ох, и заскучал я от этих равенств, даже спать захотелось! Но тут случилось такое, что сон с меня как ветром сдуло.
На левой чашке весов засветилась буква, на которую я до сих пор и внимания не обращал, – Икс из латинского алфавита: х. Ты её знаешь, она точь-в-точь знак умножения или русское Ха. Ставь её на голову, поворачивай спиной – со всех сторон одинаковая! Рядом с Иксом засветилась Тройка, между ними вспыхнул знак минус, а на правой чашке весов оказался твой тёзка, Нулик:
х-3=0.
В кошачьем глазке появился знак равенства и… Только не пугайся! Икс быстро обернулся (он, оказывается, стоял к нам спиной), и мы увидели, что на нём чёрная маска. Вот так история! Подумать только, под Чёрной Маской скрывается Икс!
Тут мы все повскакали, бросились к этому Иксу, схватили его за руки – а вдруг опять убежит? А он и не думает убегать. Стоит себе, глазами хлопает.
– В чём дело? – спрашивает. – Мы как будто незнакомы.
– Как? Разве не вы та самая Чёрная Маска, которая подбросила Нулику зелёный стручок? И разве не вас мы должны расколдовать?
– Нет, я не тот, кого вы ищете. Ведь в Аль-Джебре нас, Иксов, как капель в море. Этой буквой обозначается неизвестное число.
Пришлось нам извиниться и вернуться на свои коврики. Но кое-что мы всё-таки разузнали: Чёрная Маска – неизвестное число.
А Весовщик продолжал как ни в чём не бывало:
– Перед вами равенство х-3=0. Но оно немного отличается от тех, что я вам показывал до сих пор. Это не тождество, не просто равенство, а уравнение первой степени.
«Давно бы так!» – подумал я.
– В чём его особенность? – продолжал Весовщик. – Если в тождестве можно заменить любыми числами все буквы, а в обычном равенстве – только некоторые, то в уравнении первой степени вместо буквы Икс может стоять только одно-единственное число. Иначе равенство нарушится. Найти это единственное неизвестное число и значит решить уравнение. Пока уравнение не решено, никто не знает, чему равен Икс. Потому-то он и надевает чёрную маску. Стоит решить уравнение, и маска упадёт сама собой.
С этой минуты скуки моей как не бывало. Я вдруг понял, что всё, что мы до сих пор узнавали в Аль-Джебре, нужно, чтобы решить уравнение и расколдовать Чёрную Маску. Не зря мы дрожали от страха в тёмном подземелье, не зря торчали на воздушной монорельсовой дороге, корпели над шифром в «Абракадабре», не зря и сейчас слушаем этого кудесника с белой башней на голове. А в том, что он кудесник, можешь не сомневаться. Разве простой человек заставил бы меня полюбить то, что я терпеть не мог?
Теперь Весовщик говорил, а я смотрел ему в рот, боялся словечко пропустить.
– Как же решается уравнение x-3=0? Это очень простое уравнение. Чтобы решить его, достаточно, пожалуй, одного заклинания.
Он распахнул руки в широченных шёлковых рукавах и завопил:
– Аль-джебр!
«Аль-джебр, аль-джебр!» – отозвалось где-то наверху.
И сейчас же на весах появилось равенство:
x-3+3=3.
– Вы уже знаете, – пояснил Весовщик, – если прибавить к обеим частям равенства по одинаковому числу, ничего не изменится. Вот я и поставил на каждую чашку весов по числу Три.
Но тут обе Тройки слева от знака равенства исчезли.
– Куда это они? – удивился я.
– Неужели ты забыл правила движения на монорельсовой дороге? Минус Три и плюс Три – числа с разными знаками. Значит, они взаимоуничтожаются. Получается, что Икс равен Трём:
х-3+3=3.
На весах появилось новое равенство:
х=3.
Чёрная маска, закрывавшая лицо Икса, свалилась. Икс низко поклонился и убежал.
– Занятно! – Олег задумчиво поглядел на весы. – В уравнении x-3=0 Тройка была на левой чашке весов. Теперь она очутилась на правой.
– Правильно, – подтвердил Весовщик. – Но слева она была со знаком минус, а справа оказалась со знаком плюс. Хоть он там и не стоит, но подразумевается.
– Зачем же тогда добавлять к обеим частям уравнения по Тройке? – сказал Олег. – Можно ведь просто перенести Тройку с левой чашки весов на правую, только с обратным знаком.
– Твои слова для меня мёд! – поклонился Весовщик. – Именно так и решают уравнения. А Тройки я прибавил лишь затем, чтобы вы поняли, почему можно переносить число с одной стороны на другую. Да будет вам известно, что перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую называется восстановлением. Название это осталось у нас с тех самых пор, когда отрицательные числа считались бессмысленными. Перенос отрицательного числа в другую часть равенства с обратным знаком как бы восстанавливал его в правах, превращал в положительное число. Восстановление – по-арабски «аль-джебр». Это волшебное слово завещал нам великий учёный Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми. Оно есть в заглавии написанной им книги, которая положила начало нашему государству и называется «Книга восстановлений и противопоставлений».
Он указал на светящиеся в полумраке арабские письмена и прочитал:
– «Китаб аль-джебр валь-мукабала».
– Большое вам спасибо, – сказал Олег. – Что такое восстановление, мы как будто поняли. Но что такое противопоставление?
Тут снова стукнулись медные подносы. Весовщик загадочно улыбнулся и растаял в темноте. Мне послышался голос мамы-Двойки: «Всякому овощу своё время!» С тех пор как мы здесь, эта пословица так и звенит у меня в ушах!
Даже не верится: неужели настанет день, когда мы сядем рядом, возьмём задачу зелёного стручка и решим её сами, без всяких провожатых и весовщиков?
Сева.
