Текст книги "Наука Плоского Мира II: Земной шар (ЛП)"

Автор книги: Терри Дэвид Джон Пратчетт

Соавторы: Йен Стюарт,Джек Коэн
сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 26 страниц) [доступный отрывок для чтения: 10 страниц]

Математики называют такие задачи «комбинаторными», и для их решения придумали множество хитроумных способов. Грубо говоря, комбинаторика – это искусство считать, не прибегая к прямым подсчетам. Много лет тому назад один наш знакомый математик случайно увидел, как университетский администратор считает лампочки на потолке аудитории. Лампочки были расположены в виде идеально прямоугольной сетки размером 10 на 20. Администратор, глядя в потолок, считал: «49, 50, 51…»

«Двести», – сказал математик.

«Как вы узнали?»

«Ну, здесь сетка размером 10 на 20, а 10 умножить на 20 равно 200»

«Нет, нет», – возразил администратор. – «Мне нужно точноеколичество» [22]22
  Эти счетоводы даже не умеют правильно считать. Стоит ли удивляться?


[Закрыть].

Но вернемся к нашим машинам. Есть пять цветов, каждый из которых может заполнить одно место. Иначе говоря, есть пять способов заполнить первое место, пять способов заполнить второе место и так далее. Любой способ заполнения первого место можно скомбинировать с любым способом заполнения второго места, поэтому два места можно заполнить 5 × 5 = 25 способами. Каждый из них можно скомбинировать с любым из 5 способов заполнения третьего места, и тогда количество вариантов составит 25 × 5 = 125. Рассуждая аналогичным образом, мы придем к выводу, что количество способов заполнения целой парковки составит 5 × 5 × 5… × 5, где пятерка повторяется сто раз. Иначе говоря, 5 ¹⁰⁰, а это довольно большое число. Если быть более точным, оно равно

78886090522101180541172856528278622

96732064351090230047702789306640625

и состоит из 70 цифр (мы разбили число на две строки, чтобы оно уместилось на странице). Между прочим, чтобы получить этот результат, системе компьютерной алгебры потребовалось примерно пять секунд, из которых около 4,999 было потрачено на ввод необходимых команд. А большую часть оставшегося времени занял вывод результата на экран. В любом случае, теперь вы понимаете, почему комбинаторика – это искусство считать, не прибегая к прямым подсчетам; мы бы никогда не получили результат, если бы пересчитывали все возможные варианты по одному: 1, 2, 3, 4… Хорошо, что университетский администратор не занимался парковкой.

Насколько велико Б-пространство? По словам Библиотекаря, оно бесконечно, и это действительно так, если под бесконечностью понимать «число, намного превосходящее те, что я могут себе представить», или если не ограничивать максимальный объем книги [23]23
  Стоит вам посетить книжный магазин любого аэропорта, и вы поймете, насколько оправдан такой подход.


[Закрыть], или использовать все возможные алфавиты, слоговые азбуки и пиктограммы. Если же говорить о книгах «обычного размера», написанных на английском языке, то оценку количества книг можно снизить.

В среднем книга состоит из 100 000 слов, или примерно 600 000 символов (букв и пробелов, знаки препинания мы опустим). В английском алфавите 26 букв, что вместе с пробелом дает 27 символов, которые можно поставить в любую из 600 000 позиций. Метод подсчета, который мы использовали для решения задачи об автопарковке, позволяет сделать вывод, что максимальное количество книг такой длины составляет 27 ^{600 000}, что примерно равно 10 ^{860 000}(это число состоит из 860 000 цифр). Конечно же, большая часть этих книг не несет в себе практически никакого смысла, так как мы не требовали, чтобы буквы складывались в осмысленные слова. Если мы будем считать, что слова выбираются из стандартного списка, состоящего из 10 000 элементов, и вычислим количество способов расположения 100 000 слов в определенном порядке, то получим 10 000 ^{100 000}, или 10 ^{400 000}– это число немного меньше предыдущего…, но все равно огромно. Правда, по большей части смысла в этих книгах тоже немного, потому что выглядят они примерно так: «Капуста отчество забытый запретить враждебный квинтэссенция» – и так до конца книги [24]24
  Хотя филологи, изучающие творчество Джойса, придут в ярость, если мы исключим роман «Поминки по Финнегану», написанный как раз в таком стиле.


[Закрыть]. Так, может быть, нам стоит использовать предложения… Как бы то ни было, даже сократив количество книг таким способом, мы обнаружим, что Вселенная физически не в состоянии вместить их все. Все-таки хорошо, что у нас есть Б-пространство. И теперь мы знаем, почему места на полке никогда не хватает. Мы склонны считать наши крупнейшие библиотеки, например, Британскую Библиотеку или Библиотеку Конгресса, довольно большими. На самом же деле пространство всех реально написанных книг – это лишь крошечная доля всех книг, которые могли бы существовать. И вряд ли мы когда-либо исчерпаем это пространство.

Фазовые пространства Пуанкаре оказались настолько полезными, что теперь их можно встретить практически во всех областях науки – а также за ее пределами. Заметным «потребителем» фазовых пространств является экономика. Предположим, что в национальной экономике циркулирует миллион различных товаров: сыры, велосипеды, крысы на палочке и так далее. Каждый товар имеет свою цену – например, кусок сыра стоит 2,35 фунта, велосипед – 449,99 фунтов, а крыска на палочке – 15 фунтов. Тогда состояние национальной экономики определяется списком из миллиона чисел. Фазовое пространство состоит из всевозможных списков, насчитывающих миллион чисел, включая и те, которые с точки зрения экономики не несут в себе никакого смысла – например, список, в котором велосипед стоит 0,02 фунта, а крыса – 999 999 999, 95 фунтов. Задача экономиста – найти те принципы, в соответствии с которыми происходит отбор реального списка из пространства всех возможностей.

Классическим принципом такого рода является Закон Спроса и Предложения, который утверждает, что если предложение товара невелико, а вам он очень-очень нужен, то цена этого товара будет расти. Иногда этот закон срабатывает, иногда – нет. Поиск подобных законов сродни черной магии, а результаты далеко не всегда выглядят убедительно, но это говорит лишь о том, что экономика – сложная наука. И с какими бы неудачами она ни сталкивалась, образ мышления экономиста основан на фазовых пространствах.

Вот небольшая история о том, насколько экономическая теория далека от реальности. В основе общепринятой экономики лежит представление о рациональном агенте, который обладает полной информацией и старается максимизировать полезность. В соответствии с этим предположением, водитель такси, к примеру, будет организовывать свою деятельность так, чтобы получить максимальную выгоду при минимальных усилиях.

Так вот, заработок таксиста зависит от различных обстоятельств. В удачный день при большом количестве пассажиров, он заработает приличную сумму; но если ему не повезет, все будет наоборот. Следовательно, рациональный водитель будет дольше работать по удачным дням, а по неудачным – заканчивать работу пораньше. Тем не менее, исследование поведения таксистов в Нью-Йорке, проведенное Колином Камерером, показало прямо противоположный результат. Судя по всему, каждый водитель старался заработать за день некоторую определенную сумму, по достижении которой работа заканчивалась. В итоге по удачным дням они работали меньшее время, а по неудачным – наоборот, большее. Просто отрабатывая одно и то же количество часов каждый день, они могли бы увеличить свой заработок на 8 %. Если бы по удачным дням они работали больше, а по неудачным – меньше, то рост дохода составил бы 15 %. Но они не смогли оценить свою выгоду, так как не обладали достаточно хорошей интуицией в отношении фазового пространства экономики. Как и многие люди, они слишком ценили настоящее и мало думали о будущем.

Фазовые пространства проникли и в биологию. Первым пространством, получившим широкое распространение, стало пространство ДНК. Каждый живой организм обладает геномом, представленным в виде цепочки химических молекул под названием ДНК. Молекула ДНК имеет форму двойной спирали, то есть состоит из двух спиралей, закрученных относительной общей оси. Каждая спираль представляет собой цепочку «оснований», или «нуклеотидов», представленных четырьмя разновидностями: цитозин, гуанин, аденин, тимин – обычно они обозначаются латинскими буквами C, G, A, T. Последовательности оснований на двух цепочках комплементарны друг другу: если на одной цепочке находится C, на другой в том же месте будет G, и аналогично для A и T. Таким образом, ДНК содержит две копии одной и той же последовательности – положительную и отрицательную, если так можно выразиться. В таком случае геном можно представить в виде одной довольно длинной абстрактной последовательности, состоящей из букв четырех видов, например, AATG-GCCTCAG… Геном человека, например, содержит около трех миллиардов букв.

Фазовое пространство геномов, или ДНК-пространство, состоит из всех возможных последовательностей заданной длины. Если мы имеем в виду людей, то соответствующее ДНК-пространство содержит все последовательности, которые можно составить из трех миллиардов букв C, G, A, T. Насколько велико такое пространство? С математической точки зрения, мы имеем дело с такой же задачей, как и в вопросе о машинах на парковке, поэтому ответ выглядит как 4 × 4 × 4 ×… × 4 три миллиарда раз. Проще говоря, 43 000 000 000. Это число намного больше, чем 70-значное число, которое мы получили в задаче о парковке. Оно даже больше, чем Б-пространство книг обычного размера. Собственно говоря, запись этого числа состоит примерно из 1 800 000 000 цифр. Если бы вы записали это число, отводя по 3 000 цифр на страницу, вам бы потребовалась книга из 600 000 страниц, чтобы уместить его целиком.

Представление о ДНК-пространстве оказывается очень полезным для специалистов по генетике, изучающих вероятные изменения в цепочках ДНК, например, «точечные мутации», при которых изменяется одна буква кода – скажем, в результате ошибки копирования. Или воздействия высокоэнергетических космических лучей. Вирусы, к примеру, мутируют настолько часто, что говорить о конкретных вирусных видах просто бессмысленно. Вместо них биологи используют квази-виды, графически представленные в виде скоплений близких последовательностей в ДНК-пространстве. С течением времени эти скопления перемещаются с места на место, но не теряют целостности – тем самым вирус сохраняет свою индивидуальность.

За всю человеческую историю общее количество людей не превысило десяти миллиардов. Это всего лишь 11-значное число, составляющее крошечную долю всех упомянутых возможностей. Таким образом, люди по сути исследовали лишь незначительную часть ДНК-пространства, точно так же, как все написанные книги занимают незначительную часть пространства библиотек. Конечно же, интересные вопросы вовсе не так просты. Большая часть буквенных последовательностей не составляет осмысленной книги, а большая часть последовательностей ДНК не соответствует никакому жизнеспособному организму, не говоря уже о человеке.

Итак, мы подошли к слабому месту фазовых пространств. В физике вполне разумно предположить, что интересующее нас фазовое пространство может быть «предопределено» – то есть описано еще до того, как мы начнем задавать вопросы о самой системе. В этом вымышленном фазовом пространстве мы можем представить любоерасположение тел Солнечной системы. Мы не обладаем технологией, которая позволила бы нам это сделать, но вполне может представить себе конечный результат и не видим никаких физических причин, по которым конкретную конфигурацию следовало бы исключить из рассмотрения.

Однако в случае ДНК-пространства интересные вопросы касаются не всего гигантского множества возможных цепочек. Подавляющая их часть не соответствует никакому, даже мертвому организму. На самом деле нам нужно «пространство жизнеспособных ДНК», то есть пространство тех цепочек, которые могут существовать внутри живого организма. Это невероятно сложная, хотя и весьма тонкая прослойка ДНК-пространства, но мы не знаем, что она собой представляет. Мы не имеем ни малейшего представления, как по гипотетической цепочке ДНК можно определить, соответствует ли ей какой-нибудь жизнеспособный организм.

В Б-пространстве наблюдается та же самая проблема, хотя одно отличие все же есть. Грамотный человек, взглянув на последовательность букв и пробелов, может определить, составляют ли они историю; он знает, как нужно «прочитать» код, чтобы понять его значение – при условии, что владеет языком, на котором написан текст. Мы можем даже попытаться решить, хорошая это книга или нет. Тем не менее, мы не знаем, как передать эту способность компьютеру. Правила, которыми руководствуется наш разум, пытаясь понять, читаем ли мы историю или просто набор символов, неявным образом закодированы в нейронных сетях нашего мозга. И пока что никто не смог выразить эти правила в явном виде. Поэтому мы не знаем, как описать в Б-пространстве подмножество «осмысленных книг».

В случае ДНК проблема осложняется тем, что нет никакого фиксированного правила «перевода», превращающего код ДНК в живой организм. Раньше биологи считали, что однажды нам удастся найти такое правило, и возлагали большие надежды на соответствующий «язык». В таком случае ДНК настоящего (потенциального) организма представляла бы собой последовательность кодов, рассказывающих связную историю о развитии организма, а все остальные цепочки ДНК были бы бессмысленными. Проще говоря, биологи ожидали, что когда-нибудь они смогут, взглянув на ДНК тигра, увидетьфрагмент, отвечающий за полоски, фрагмент, отвечающий за когти и так далее.

Эта точка зрения была довольно оптимистичной. На данный момент возможности биологии позволяют нам увидеть фрагмент ДНК, обозначающий белок, из которого состоят когти, или фрагменты, которые соответствуют оранжевому, черному и белому пигментам, придающим меху полосатую раскраску, но это практически предел нашего понимания истории ДНК. Теперь становится понятно, что многие факторы, оказывающие влияние на развитие организма, не имеют отношения к генетике, поэтому, вполне вероятно, язык, который сопоставляет коды ДНК живым организмам, не существует даже в теории. Например, ДНК тигра становится тигренком только при наличии яйцеклетки, принадлежащей матери-тигрице. Та же самая ДНК в присутствии яйцеклетки мангуста тигром не станет.

Возможно, это всего лишь техническая проблема, и для каждого кода ДНК существует уникальная разновидность материнского организма, который превращает этот код в живое существо, так что вид этого существа все равно неявным образом присутствует в коде. Однако один и тот же код ДНК – теоретически, по крайней мере, – может породить на свет двух совершенно разных существ. В книге «The Collapse of Chaos» [25]25
  «The Collapse of Chaos: Discovering Simplicity in a Complex World» («Падение хаоса: поиски простоты в сложном мире») – прим. пер.


[Закрыть]мы приводим такой пример, где развивающийся организм вначале «определяет» вид своей матери, и далее в зависимости от этого выбирает тот или иной путь развития.

Стюарт Кауффман, гуру в области сложных систем, поднял эту проблему на более высокий уровень. Он отмечает, что если в физике мы еще можем рассчитывать на предопределение фазового пространства системы, то в биологии это невозможно. По сравнению с физическими системами, биологические отличаются большей креативностью: организация материи в живых существах находится на совершенно ином качественном уровне, нежели организация, которую мы можем обнаружить в неорганической природе. В частности, организмы способны эволюционировать, в результате чего они нередко приобретают большую сложность. К примеру, рыбообразные предки человека были устроены проще, чем современные люди. (Хотя мы и не указали точную меру сложности, это утверждение остается справедливым с точки зрения большинства рациональных подходов к измерению сложности, поэтому беспокоиться об определениях в данном случае не стоит). Эволюция не всегдаприводит к увеличению сложности, но когда это происходит, ее поведение озадачивает нас сильнее всего.

Кауффман противопоставляет две различные системы. Первая – это традиционная модель, используемая в термодинамике – N молекул газа (представленных в виде жестких сфер), отскакивающих друг от друга в 6N-мерном фазовом пространстве. В данном случае фазовое пространство известно нам заранее, мы можем точно описать динамику систему и вывести общие законы ее поведения. Среди них будет Второй Закон Термодинамики, который предсказывает практически 100 %-ую вероятность того, что с течением времени система станет менее упорядоченной, а ее молекулы равномерно распределятся по пространству внутри контейнера.

Вторая система – это «биосфера», или эволюционирующая экосистема. В этом случае выбор фазового пространства вовсе не очевиден. Возможные варианты оказываются либо слишком большими, либо слишком ограниченными. Предположим на секунду, что давняя мечта биологов о ДНК-языке живых организмов стала реальностью. Возможно, тогда мы могли бы использовать пространство всех ДНК в качестве фазового пространства системы.

Однако, как мы уже видели, лишь крошечное и довольно замысловатое подмножество этого пространства представляет настоящий интерес – вот только определить это подмножество мы не можем. Если еще учесть, что подобного языка может и не существовать, то вся эта идея разваливается на части. С другой стороны, если фазовое пространство будет слишком маленьким, то вполне допустимые изменения могут вывести организм за его пределы. Например, пространство тигров можно определить, исходя из количества полосок на теле этой большой кошки. Но если однажды эволюция явит миру кошку, которая вместо полосок покрыта пятнами, для нее не найдется места в пространстве тигров. Разумеется, она уже не будет тигром…, хотя ее мать к тиграм по-прежнему относится. Если мы хотим понять биологию реального мира, то не можем на разумных основаниях исключать подобные нововведения из рассмотрения.

В ходе эволюции организмы претерпевают изменения. Иногда кажется, что эволюция находит новые области фазового пространства, которые просто ждали своего часа, но еще не были заняты каким-либо организмами. Изменение окраски или узора на теле насекомого открывает нам новые области в «пространстве насекомых», о котором мы имеем вполне определенное представление. Когда же появляется совершенно новая черта, например, крылья, кажется, что изменяется само фазовое пространство.

Охватить феномен инновации в математической модели довольно сложно. Математики предпочитают определить пространство возможностей заранее, но весь смысл инноваций как раз в том, что они открывают новые возможности, которые раньше никто не предвидел. В итоге Кауффман предположил, что ключевая особенность биосферы состоит в том, что ее фазовое пространство заранее описать невозможно.

Несмотря на риск внести путаницу, все же стоит заметить, что даже в физике заранее определить фазовое пространство не так просто, как может показаться. Что произойдет с фазовым пространством Солнечной системы, если мы позволим небесным телам разрушаться и соединяться вместе? Предположительно [26]26
  См. первую часть «Науки Плоского Мира», глава 20 «A Giant Leap for Moonkind» («Гигантский прыжок Луны» – прим. пер.).


[Закрыть]Луна откололась от Земли, когда последняя столкнулась с объектом, близким по размеру к Марсу. До этого события в фазовом пространстве Солнечной системы не было «лунной» координаты, но она появилась впоследствии. В результате с появлением Луны это фазовое пространство расширилось. В физике фазовые пространства всегда подразумевают неизменный контекст, и обычно это предположение вполне оправдано. В биологии это не так.

В физике есть и другая проблема. К примеру, 6N-мерное фазовое пространство в термодинамике слишком велико. Оно содержит состояния, не имеющие физического смысла. Причуды математики таковы, что законы движения упругих сфер не предписывают результат столкновения трех и более объектов. Значит, мы должны исключить из этого замечательного и простого 6N-мерного пространства все конфигурации, которые испытывают тройные соударения в прошлом или будущем. Нам известно о четырех особенностях этих конфигураций. Во-первых, они встречаются очень редко. Во-вторых, они все же случаются. В третьих, они образуют чрезвычайно сложное облако точек в фазовом пространстве. И наконец, с практической точки зрения нет никакой возможности выяснить, должна ли конкретная конфигурация быть исключена из пространства, или нет. Если бы эти не-физические состояния встречались чаще, то предопределить фазовое пространство в термодинамике было бы так же сложно, как и в случае биосферы. Однако их доля по сравнению с общим число конфигураций исчезающе мала, поэтому упуская их из виду, мы практически ничего не теряем.

И все же предопределение фазового пространства биосферы в некотором смысле возможно. Хотя мы и не можем заранее описать пространство всех вероятных форм жизни, мы можем, взглянув на любой конкретный организм – теоретически, по крайней мере, – указать на непосредственные изменения, которые могут произойти с ним в будущем. Иначе говоря, мы можем описать локальное фазовое пространство, или пространство смежныхвозможностей. Тогда инновация становится процессом расширения в пространство смежных возможностей. Это вполне разумная и общеизвестная идея. Не столь очевидно выдвинутое Кауффманом заманчивое предположение о том, что подобное расширение может подчиняться общим законам, последствия которых прямо противоположны знаменитому Второму Закону Термодинамики. По сути Второй Закон утверждает, что с течением времени термодинамическая система становится проще; все интересные структуры «размазываются» по пространству и исчезают. Напротив, предположение Кауффмана говорит о том, что биосфера расширяется в пространство смежных возможностей с максимально возможной скоростью, при которой биологическая система сохраняет свою целостность. В биологии инновации происходят настолько быстро, насколько это возможно.

Более того, Кауффман обобщает эту идею на случай произвольной системы, состоящей из «автономных агентов». Автономный агент – это обобщенная жизненная форма, обладающая двумя характерными свойствами: она умеет размножаться и способна выполнить хотя бы один термодинамический рабочий цикл. В ходе рабочего цикла система совершает некоторую работу и возвращается в исходное состояние, после чего процесс можно повторить. Иначе говоря, система забирает энергию у окружающей среды и преобразует ее в работу, причем таким образом, что по окончании цикла возвращается в исходное состояние.

Человек, как и тигр, является автономным агентом. А огонь нет, потому что он распространяется за счет горючих материалов, оказавшихся поблизости, но не совершает рабочий цикл. Он превращает химическую энергию в тепло, но не может повторно сжечь то, что уже сгорело.

Теория автономных агентов явным образов задана в контексте фазовых пространств, без которых ее даже невозможно сформулировать. В этой теории мы видим первую возможность получить общее представление о принципах, в соответствии с которыми организмы усложняют самих себя. Мы начинаем понимать, благодаря каким качествам поведение живых существ так сильно отличается от скучных предписаний Второго Закона Термодинамики. Мы рисуем картину, в которой Вселенная, совсем наоборот, является источником постоянно возрастающей сложности и организации. И теперь мы начинаем понимать, почему живем в таком интересном (а вовсе не скучном) мире.