Текст книги "Риторическая теория числа"

Автор книги: Сергей Шилов

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 24 страниц)

Конструктивная математика, кроме распознавания неосуществимости (невычислимости) объектов, интересна еще тем, что разрешает оперировать лишь со счетным множеством объектов (поскольку счетно множество всех конечных текстов), но достаточна для полного описания областей математики, в которых количество объектов традиционно считается несчетным. Например, конструктивное действительное число задается парой алгоритмов и потому их количество счетно. Несчетности классических действительных чисел в конструктивной математике соответствует «неперечислимость» конструктивных действительных чисел – невозможность построения алгоритма, который по параметру N будет выдавать какое-то действительное число и когда-нибудь, при каком-то N, выдаст каждое действительное число. Это невозможно, даже если разрешить выдавать действительные числа с повторами. Помните классическое «диагональное» доказательство несчетности действительных чисел? «Предположим, что счетно и выпишем их десятичные представления одно под другим». Так вот счетность одно, а для «выписывания» требуется больше чем счетность, требуется перечислимость, должен быть алгоритм перечисления, кого на первое место поставить, кого на второе и т.д. Так что классическое доказательство несчетности не проходит из-за отсутствия алгоритма перечисления действительных чисел. Жить с конструктивной математикой, конечно, сложнее, чем с классической, но теорема Левенгейма—Скулема о том, что всякая непротиворечивая теория имеет счетную модель, позволяет надеяться на полноту конструктивного подхода.

В принципе с конструктивным подходом можно выразить всё, что угодно, но вряд ли кто это делать будет. А если кто и «выразит», то вряд ли кто сие «выражение» читать будет, разве что ради любопытства. Если конструктивные вещественные числа задаются парой алгоритмов (генератор приближений + оценщик их сходимости), то можете представить себе как описываются функции вещественных переменных. Если еще учесть, что распознавание равенства конструктивных вещественных чисел является неразрешимой алгоритмической проблемой... А так как конструктивисты не отказываются от анализа невычислимых (или еще не вычисленных) объектов, главное, чтобы у них имелось конечное описание. Если доказано, что «не может не быть» функции с какими-то свойствами, то это доказательство и есть ее описание». Несуществование в конструктивизме обычно получается при переходе от единичного «не может не быть» к их серии. Скажем, для любой программы и конкретного набора ее входных данных не может не быть ответа на вопрос, зациклится ли она. Вы скажете – зациклится, я скажу – нет, и один из нас ответит верно, снимет двойное отрицание для единичного случая. А вот алгоритма, который сможет давать верные ответы для любых входных данных (разрешит проблему распознавания зацикливания для этой программы), может и не быть.

В.Н. Левин:

Самое старое известное доказательство бесконечности простых чисел было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так. Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Евклид, я считаю, должен из своего рассуждения сделать вовсе не тот вывод, который он сделал (будто множество всех простых чисел – бесконечно). Свой вывод – я берусь откорректировать Евклида – я привожу ниже.

За основу беру только что указанный текст Евклида, добавляю и выделяю слова, корректирующие ход ЕГО мысли и получаю следующее:

«П Р Е Д С Т А В И М, что количество простых чисел конечно. (ПРЕДСТАВИМ себе их ВСЕ). Перемножим (ВСЕ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ конечным набором простые числа) и прибавим (к ВООБРАЖАЕМОМУ результату) единицу. Полученное число не делится ни на одно из (ПРЕДСТАВЛЕННОГО) конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, полученное число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот (ПРЕДСТАВЛЕННЫЙ) набор (например, хотя бы на самое себя, если ни на одно другое число оно не делится)».

Внимание! А теперь финальный вывод:

Следовательно, то простое число, на которое должно делиться полученное число, не входит в ранее ПРЕДСТАВЛЕННЫЙ набор ВСЕХ простых чисел. Следовательно, ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ простые числа одним набором НЕЛЬЗЯ! И ВСЁ. Конец вывода.

В откорректированном рассуждении, в отличие от оригинала, я опровергаю не утверждение о конечности множества простых чисел, а мнение о возможности П Р Е Д С Т А В И Т Ь такое множество конечным, о КОРРЕКТНОСТИ такого представления. Согласитесь, что разница в выводах действительно ПРИНЦИПИАЛЬНА!

Этим ИЛЛЮСТРИРУЕТСЯ ВОЗМОЖНОСТЬ ПАРАДИГМЫ МЫШЛЕНИЯ – той, к которой призывает Сергей Шилов, критикуя сложившуюся парадигму, в которой: «Доказательство… на деле есть [ЛИШЬ] спекулятивная связь представления, находящегося в “начале” “доказательства” как некоторой техники мышления, с представлением, находящимся в “конце” такого “доказательства”, – это показ (самопоказ) представления, в котором представление самоутверждается, демонстрирует себя как истинное. Дело доказательства как дело поиска истины в таком самопоказе представления предано забвению».

Михаил М., Вы пишите: «бесконечность числа простых чисел легко доказывается и в обычной, и в конструктивной математике». Если Вы учились у самого Маркова, ДОКАЖИТЕ бесконечность числа простых чисел в логике конструктивистской математики, т. е. не пользуясь методом «от противного», в основе которого лежит «закон исключенного третьего»!!!

EEV:

В.Н. Левин, Вы использовали лишнюю сущность, а именно понятие «набор», даже не потрудившись ее определить. Поэтому вывод некорректен.

С. Шилов:

Материал для продолжения дискуссии.

Оракул числа, или Риторическая теория числа как Божья помощь математикам

Когда бог считает, он создает мир

Лейбниц

Математики до сих пор не сделали необходимых выводов из провала гильбертовской программы формализации. Еще в первой половине прошлого века матлогик Фреге писал, что суть проблем Гильберта сводится к определению числа. Забавляет уверенность, с которой матлогики и поныне создают конструкции и дают определения, в то время как собственно основа их оперирования – логика – давно ушла у них из-под ног. «Перончик тронется, вагон останется». Провал гильбертовской программы произошел по той причине, что это была программа ЛОГИЧЕСКАЯ. Дело в том, что, ориентируясь на логику, математикам следовало бы поинтересоваться, что же происходит собственно в сфере логики. Вся история мышления Нового времени от Декарта является по меньшей мере фундаментальным преобразованием аристотелевой логики. И суть, результат этого преобразования до сих пор не зафиксированы академически. Декарт в своем методе указал на основание, которое предшествует (параллельно) логике, не нуждается в логике. Гегель построил Науку логики, одновременно бессознательно отфиксировав ее кантовские ограничения как критики чистого разума. Гегель предпочел признать прусскую монархию венцом истории, нежели сделать окончательный вывод о том, что НАУКА ЛОГИКИ ЛОГИКОЙ УЖЕ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ (ЧТО НАУКА ЛОГИКИ НЕВОЗМОЖНА!), вывод, который неявно и был движущей силой спекулятивного гегелевского письма. Хайдеггер сделал интересное замечание: на деле история мышления Нового времени есть «выдвижение в ничто». Т. е. весь историко-мыслительный цикл Нового времени мышление переходило с основания логики на иное основание, при этом попадая в ситуацию, когда уход с основания логики завершился, а новое основание не было надежно отрефлектировано. Дело аристотелевой (греческой) рациональности уже не могли (и не могут) спасти всякого рода «воображаемые логики» (термин русского логика Васильева), экспериментирующие с отказом от тех или иных логических законов. Новое время деконструирует сам принцип логики. В философии, завершающей западноевропейскую метафизику, философии Дерриды, принцип логики – «логоцентризм» – отторгается самой телесностью (реальной «практикой» текстовой работы) мышления, отпадает как некоторая «корка с глаз».

Путь от Науки логики Гегеля до Науки Риторики – это и есть путь нового основания. Основание (нелогическое, дологическое, сверхлогическое), обнаруженное Декартом в начале Истории мышления Нового времени, раскрывается в Науке Риторике как число, раскрывается с помощью риторической теории числа.

Риторическая теория числа есть теория алгоритма. Алгоритм (закон простых чисел) раскрывает числовой ряд как Язык, созидающий физическое бытие, всю полноту физического бытия из себя самого, из числа, из Единицы. Таково искомое определение алгоритма. Алгоритм не нуждается в гипотезе логики, он пред-, сверхлогичен. Алгоритм есть тот самый нечеловеческий, божественный счет, который создает мир. Указанные Михаилом М. «невычислимые функции, неразрешимые алгоритмические проблемы, [которые] можно классифицировать по сложности разрешения, конструировать неразрешимые проблемы с заранее заданной сложностью разрешения», есть, собственно говоря, проблемы истинного определения алгоритма. В современной математике действуют спекулятивные, неполные и противоречивые (ложные, приблизительные) определения алгоритма, которые волюнтаристски полагаются окончательными, при этом вопиюще не отвечая природе идеи алгоритма как она была рождена арабскими математиками, – идее установления всеобщей связи всеобщей предметности через число. Простое число и есть «количественная оценка Божье помощи», раскрывающее собой «сложность разрешения неразрешимой проблемы». Алгоритм «зацикливается» на простых числах. Бог дает конечное число простых чисел как каталог «подсказок для решения единичных неразрешимых проблем», включающий в себя сам этот каталог.

Риторическая теория числа раскрывает идею бесконечности в качестве главного препятствия, скрывающего от человека истинную природу числа. Ничто так не противостоит самой сущности числа как бесконечность. Риторическая теория числа приведет к господству на тысячелетия идеи конечности. Актуалии бесконечности буду схвачены, скованы и локализованы в типах и топологии конечности. Ярким примером такой локализации служит лента Мёбиуса, возникшая, кстати, по ходу представления Мёбиусом (в его исследованиях о поведении простых чисел) того, что все возможные относительно ленты Мёбиуса прямые перечеркивают на некоторой оси все составные числа, оставляя лишь простые числа и единицу.

Риторическая теория числа раскрывает истинные отношения порождения чисел, отличные от отношений счета. Природа числа лишь весьма приблизительно, НЕОПРЕДЕЛЕННО фиксируется с помощью, с одной стороны, гипотезы счета (счетности), а с другой ― гипотезы бесконечности. Эта фиксация (неопределенности числа) в физике нашла свое выражение в виде принципа неопределенности Гейзенберга. Заметьте, что Счет и Бесконечность также взаимоограничивают саму возможность действительного полного и непротиворечивого существования друг друга как и измерения в принципе неопределенности Гейзенберга не могут быть окончательными.

Отношения чисел (порождения чисел) – суть РИТОРИЧЕСКИЕ отношения. Число есть «слово, творящее предмет». Созданию риторической теории чисел предшествовало развертывание, начиная с феноменологии Гуссерля, «на месте логики», на месте, освобожденном от логики, от логоцентризма – солиптической доктрины, доктрины, производящего феноменологическую предметность сознания.

Таким образом, рассудок человечества раскрыл свою солиптическую природу, свой хроноцентризм. Вот что, собственно говоря, произошло в сфере той науки, которая именуется логикой, и устаревшие, додекартовские сведения о которой используются в современной математике. Можно не признавать риторическую теорию числа, но совершенно непозволительно, говоря о логике, путь даже и математической формации, НЕ ЗНАТЬ О КРУШЕНИИ ЛОГОЦЕНТРИЗМА. Я, конечно, понимаю, что и в птолемеевской геоцентрической модели можно возможно долго и приблизительно верно математически описывать ряд астрономических движений, но не замечать при этом, что вот уже который век функционирует коперниканская гелиоцентрическая модель, тоже не следует.

Гипотеза конечности есть также переход от счетности к исчислению: не человек (машина) считает, перебирает числа, а ЧИСЛО САМО СЕБЯ ВЫЧИСЛЯЕТ СООБРАЗНО ПРИРОДЕ ЧИСЛА, СООБРАЗНО ЗАКОНУ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. Можно назвать это нечеловеческим, божественным счетом, который фиксирует солиптическая доктрина.

Философия числа предполагает переосмысление концепта систем счисления. Системы счисления я рассматриваю как правила оцифровки числа, сущностью которых является формализм делимости, этого основного свойства математического конструирования. Т. е. в известном смысле я отказываю математическим системам счисления в качестве системности. Есть гипотеза бесконечности, есть математико-психологическое, «наивно-материалистическое» представление о счете, жестко связанное с этой гипотезой, – но есть, однако, и противоречие, которое не снимается канторовской теорией множеств, противоречие между гипотезой бесконечности и представлением о счете (счетности). Я отказываюсь от гипотезы бесконечности (не нуждаюсь в этой гипотезе) с тем, чтобы раскрыть сущность счета, счетности, риторическую природу числа, и в ней уже обнаружить то действительное, чего пытается достичь и никогда не достигает (парадокс Ахилла и черепахи и др.) гипотеза бесконечности – обнаружить Б.-га.

Т. е. я предполагаю, что существует истинный числовой ряд (истинное счисление, система счисления) и существует также возможность конструирования искусственных числовых рядов двух видов (так называемых позиционных и непозиционных систем счисления). Истинный числовой ряд образует конечная последовательность простых чисел. Деление целого числа на ноль есть простое число p, деление целого числа на ноль как полное и непротиворечивое стационарное состояние есть множество простых чисел. Простое число, деленное на ноль, есть число мнимых единиц. Таков непосредственный смысл простого числа, раскрываемый физической математикой. Последовательность простых чисел – истинный числовой ряд – есть система счисления. Система счисления простых чисел имеет своим основанием ноль. Это временная система счисления, она представляет ход времени как истинное движение числа.

Истинная запись числового ряда есть система счисления по основанию «ноль».

Каждое простое число есть запись числа, выражающегося отношением целого числа (собственным отношением) к нолю (делением целого числа на ноль). В данной системе конечное число чисел: сумма всех величин, обратных простым числам, равна четырем. (Здесь я предполагаю, что обнаруженное современной математикой явление того, что сумма всех величин, обратных простым числам, для известного числа простых чисел (около 50 млн) не превышает четырех, – что это явление следует считать началом физической математики, в которой принцип конечности числа простых чисел приводит к отказу от гипотезы бесконечности, к отказу от последних оснований евклидова мышления. Принцип конечности числа простых чисел вслед за принципом постоянства скорости света завершает научную революцию 20-х годов прошлого века.)

ИСТИННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ есть МНИМАЯ ЕДИНИЦА, есть СЕЧЕНИЕ ВРЕМЕНИ, есть КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО МОМЕНТОВ ДЕЛИМОСТИ ЕДИНИЦЫ, САМОЗАПИСЫВАЮЩИХСЯ ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ.

ИСТИННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ ЕСТЬ ДЕЛЕНИЕ НА НОЛЬ, В РЕЗУЛЬТАТЕ КОТОРОГО ОБРАЗУЕТСЯ ИСТИННАЯ ЗАПИСЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА, КОНЕЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.

Десятичная система счисления уже вплотную подошла к пониманию ДЕЛЕНИЯ НА НОЛЬ. Язык десятичной системы счисления сам («психоаналитически») сообщает, свидетельствует о делимости на ноль, имея в своей грамматологии «официальный» запрет делимости на ноль.

Осталось сделать ПЕРЕХОД от 10 к 1 / 0

Формирование искусственных числовых рядов, систем счисления есть «игра делимости» («игра в бисер»). По сути, в системах счисления мы имеем дело с проблематизацией сущности дроби. Дробь не есть число, дробь есть чистое отношение, но не число, оно есть отношение чисел. Вывод простых чисел осуществляется по правилам вывода риторики («физической логики»), одно простое число соотносится с другим по данным правилам вывода. Физическая, или вещественная, логика – это и есть онтология. Закон тождества раскрывается в вещественной логике. Вещь в себе, или как А равно А, самому себе, – это вопрос о числе. Число есть то, что делает А = А, есть одновременно то как А равно А, число есть время А, число есть пространство времени А как сущность А. Между двумя простыми числами – риторическое отношение, а не «монотонное» отношение произношения-счета. Числовой ряд – не счет, но (непрерывное) суждение (деление-делимость истины).

Что тогда есть десятичные дроби (вся совокупность отношений мира, все «вот-бытие»)?

Десятичные дроби суть непосредственный показ вывода искусственного числового ряда. Непериодическая дробь есть запись отношений между числами последовательности некоторого искусственного числового ряда. Цифра числа дроби в наборе цифр «после занятой» есть число-цифра, на которое отличается последующий член искусственного числового ряда от предыдущего. Искусственный числовой ряд (цифровой ряд) есть отношение, записывающее себя дробью. Непериодическая дробь на деле имеет период. Повторение периодов десятичной дроби есть знак завершения отношения делимости и поворот к употреблению этого отношения необходимое число раз, есть, собственного говоря, сущность техники.

Я думаю, что возможна исследовательская программа «Физика периода». Целью программы является исследование отношения 1/p, где р – простое число. Математики давно предполагают, что константное отношение длины окружности к ее радиусу есть следствие некоторого более глубокого арифметического отношения. В нашем исследовании мы исходим из гипотезы, что речь идет о том отношении, в котором запись числа формируется исходя из природы самого числа, из природы числового ряда. Мы исходим из того, что число само себя записывает (само себя считает, само себя вычисляет и не нуждается в «гипотезе бесконечности» – в бесконечном счете-счетности). И суть математической истины заключается в установлении соответствия «нашей» записи числа некоторой истинной записи числа. Истинная запись числа выражает его «физическое место» в континууме числового ряда. Число записывает, ограничивает свое собственное место, будучи конечным местом числового ряда.

Отношение 1/p (n), где р(n) – простое число в последовательности n простых чисел, имеет фундаментальное значение для экспликации истинной записи числа. В данном отношении запись числа проявляет себя в виде того обстоятельства, что результатом этого отношения является конкретная и весьма специфическая периодическая дробь. В ряде случаев период этой дроби содержит в себе количество цифр n, отличающееся от p на единицу p = n–1. Так, период 1/7 содержит 6 цифр, период 1/17 содержит 16 цифр; период 1/23 содержит 22 цифры; период 1/29 содержит 28 цифр. В ряде периодов других отношений 1/p количество цифр в наборе цифр периода также демонстрирует некоторое функциональное отношение. Возможно, что речь идет о некоторой прогрессии, величина шага которой есть переменная величина, изменяющаяся от одного отношения к другому.

Период дроби, являющейся результатом отношения 1/p (n), может быть поставлен в некоторое отношение к самому p (n) – отношение физической математики. КАЖДОМУ р (n) СООТВЕТСТВУЕТ КОНКРЕТНЫЙ ПЕРИОД 1/p (n).

Интересным представляется также параллельное исследование функции логарифма по основанию немнимой единицы (по основанию – корень квадратный из 2, первое иррациональное число в математике, обнаруженное в качестве длины диагонали единичного квадрата) для 10 в степени х. При изменении степени 10 на порядок (на единицу, 10,100,1000,10000…) – этот логарифм приближенно указывает на местность простых чисел в каждый десяток счета и при переходе от одного десятка к другому (10, 20, 30, 40 и т.д). Гипотеза состоит также в том, что функция немнимой единицы коррелирует с распределением простых чисел. Строение числового ряда из немнимых единиц и есть, собственно, говоря, материальное существование простых чисел.

Возможно, период дроби отношения 1/p (n) есть запись простого числа в системе счисления по основанию немнимой единицы (корень квадратный из двух), либо некоторый набор чисел со связанным с ней коэффициентом?

Так называемые числа Мерсена (2 в степени n) –1, по которым вычисляют сегодня простые числа, «бродят» возле понятия немнимой единицы, которым мы располагаем как конструктивным понятием физической математики.

Периоды десятичных дробей, выражающих величины, обратные простым числам, безусловно, надо исследовать, потому что они – КОНКРЕТНЫЕ ПЕРИОДЫ (!). Это следы, записи простого числа. Это физика записи простого числа. Можно, ведь, изучить эти периоды для известного числа простых чисел (около 50 млн).

…Дроби есть отношения между числами (целыми числами), но не сами числа. Дробь показывает в цифре, насколько она не есть число. Дробь не есть число, дробь есть запись отношения чисел, инобытие числа. Так называемые трансцендентные и иррациональные числа суть нераспознанные отношения чисел, отношения, характеризующие делимость числа на ноль. Делимость числа на ноль – априорная сущность физики. Число есть бытие слова. Бытие слова есть время. Время есть число слова как путь от времени к бытию.

Речь идет о тексте книги природы, сотканном из дробей, отношений. Дробь есть истинностный корень суждения. Дроби повествуют об истинном числовом ряде, образуют нарративность книги природы.

Можно предположить, что Книга природы, сменившая (вытеснившая) книгу Б-га в Новое время, в своей окончательной редакции (когда она будет, наконец, написана) окажется новым изданием Книги Б-га.

Примечание

При всем уважении к работам Матиясевича, насколько мне известно, его полиномы не стали решениями «неразрешенных проблем» теории простых чисел. По-прежнему идут поиски новых простых чисел, даже установлены премии за каждое новое найденное простое число. По-прежнему считается недоказанной гипотеза Римана о неслучайности распределения простых чисел. Работа Матиясевича посвящена решению десятой проблемы Гильберта, об ограниченности же самой концепции формализации Гильберта (позиция Фреге и др.) я писал выше.

Представленные Концепт-гипотезы Левина мне представляются выдающимися и идущими значительно дальше основоположений конструктивистской математики в ее нынешнем виде, скованном математической логикой. Левин освобождает математический конструктивизм от пут математической логики, у него число само начинает конструировать мир из себя. Точнее, число это всегда и делало, а мы получаем возможность увидеть сие только в конце Истории Нового времени. В начале Истории Нового бытия…

Михаил М.:

Господа, вычислимости-невычислимости, сложности и т.д. отражают устройство реального мира. В программировании конструктивистская математика имеет практически прикладное значение, хотя бы как стоппер для химерических проектов. Важны также ее мировоззренческие результаты. Приятно сознавать какие мы умные – в части вычислений любая сверхцивилизация относительно нас может иметь только количественные преимущества. С другой стороны, у нас тоже только количественные преимущества по сравнению с менее развитыми существами начиная с некоторого достаточно низкого порога. В алгоритмических системах таким порогом является возможность написания в этой системе универсального алгоритма, т.е. интепретатора алгоритмов этой системы, возможность создания алгоритма, «понимающего» все другие алгоритмы (в том числе и себя). Для людей потенциальная неограниченность интеллектуальных достижений также, видимо, появляется с возможностью понимать себя и других. Например, осознавать, когда ты переключаешься с математики на риторику. Дальше ограничения только по быстродействию, памяти, закачиванию в голову нужных данных и алгоритмов.

В.Н. Левин, Вы пишите: «Следовательно, ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ простые числа одним набором НЕЛЬЗЯ!» В нормальных терминах утверждение звучит так: не существует алгоритма перечисления простых чисел, т.е. А(n) выдает n―е простое число, если оно есть. Утверждение опровергается предъявлением такого алгоритма. Можете сами его написать. Вообще какие могут быть разговоры о двойном отрицании и неконструктивности, когда есть алгоритм порождения объектов, куда уж конструктивнее. А на гиптезу о конечности простых чисел Евклид вообще одинарное отрицание вешает.

В.Н. Левин:

EEV, Вы пишите мне: «Вы использовали лишнюю сущность, а именно понятие “набора”, даже не потрудившись ее определить. Поэтому вывод некорректен». EEV, Вы не разглядели в термине «набор» первичного понятия МНОЖЕСТВА.

Михаил М., так где же Ваше «легкое» конструктивистское доказательство БЕСКОНЕЧНОСТИ множества простых чисел? Или ссылка на обучение под началом Маркова кажется Вам достаточной? Вы пишите: «А на гипотезу о конечности простых чисел Евклид вообще одинарное отрицание вешает». Неужели одинарное? Он пытается идти методом «от противного». Мол, представим, что истинно «А» (множество простых чисел конечно). Далее пытается НЕЯВНО ввести определение понятиям КОНЕЧНОСТИ-БЕСКОНЕЧНОСТИ, неявно противопоставляя их друг другу и предполагая, что «третьего не дано». Вы сами писали: «Основное отличие от классической логики – отказ от аксиомы, разрешающей автоматически снимать двойное отрицание. То есть в конструктивной математике “ложно, что ложно” еще не означает “истинно”, “не может не быть объекта” с какими-то свойствами еще не значит, что такой объект есть, и с ним можно что-то делать дальше. Отсюда следует отказ от безусловной истинности закона исключенного третьего – “суждение либо ложно, либо истинно”, “либо объект есть, либо его нет”». В конструктивной математике для снятия двойного отрицания необходимо указать «способ» построения объекта, для истинности суждений вида «исключенного третьего» необходимо указать способ определения какая именно из альтернатив верна «ложно» или «истинно». Вы можете возразить, мол, Евклид указывает способ построения объекта. Но разве как раз того объекта, который прямо указывает какая из «альтернатив» верна, т. е. объекта “БЕСКОНЕЧНОЕ множество простых чисел”? Отнюдь нет. Он способа построения ЭТОГО объекта (БЕСКОНЕЧНОГО множества) не приводит. Он лишь обнаруживает отрицание предположения о возможности представить КОНЕЧНОЕ множество простых чисел. Это отрицание, в парадигме конструктивистской математики, означает отсутствие способа получения такого объекта как КОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел.

ИТОГО:

1.Нет способа получения объекта «КОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел».

2. Нет способа получения объекта «БЕСКОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел».

Так где же Ваше легкое конструктивистское доказательство?..

Конструктивистская Машина Тьюринга– Поста в качестве исходных аксиом имеет неконструктивистскую аксиому о бесконечном быстродействии процессора, бесконечной длине ленты, на которой записываются исходные, промежуточные данные и результаты расчетов, бесконечном размере памяти для записи (хранения) алгоритма. Если заменить эту аксиому на тезис о конечности характеристик машины Тьюринга– Поста, то мы получим БОЛЕЕ конструктивистскую теорию, для которой становятся актуальными тезисы:

К Гипотезе 1.

О конечности количества простых чисел.

Фактически это гипотеза о конечности мира, о конечности числа чисел вообще.

К Гипотезе 3.

О симметричности распределения простых чисел в ряду целых чисел.

Первые простые числа идут подряд друг за другом: 1, 2, 3. (1 ПРИНЯТО к простым числам не относить. При этом неотнесение 1 к «простым» числам является условным; основной части определения простого числа (неделимости на все числа кроме себя и единицы) единица удовлетворяет).

В парадигме конструктивистской математики можно утверждать:

Тезис 1. Для достаточно большого целого числа НЕВОЗМОЖНО проверить (доказать) свойство его делимости на любое другое число, кроме самого на себя, следовательно, мы должны считать его простым ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. В этом смысле, ВСЕ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИЕ ЧИСЛА – ПРОСТЫЕ, не делимы ни на одно число, кроме самих себя. В частности, они, в этом смысле, также идут подряд как и ПЕРВЫЕ простые числа, что соответствует Гипотезе 3 Шилова.

Тезис 2. Для любых двух достаточно больших целых чисел невозможно проверить (доказать) их отличие друг от друга, т. е. мы должны по определению считать их РАВНЫМИ друг другу.

Отсюда следует:

Тезис 3. (Расширенная Гипотеза Шилова)

Множество целых чисел конечное, но открытое. Последние из них недостижимы человеческим счетом, равны друг другу (неотличимы друг от друга) и являются простыми.

Более того, истинны утверждения, что для достаточно больших чисел ОТСУТСТВУЮТ способы:

1) их записи (хранения) в памяти машины Тьюринга,

2) их сравнения друг с другом на предмет установления их равенства-неравенства,

3) их перемножения друг с другом,

4) прибавления к ним единицы.

EEV:

В.Н. Левин, Вы пишите мне, что я не разглядел в термине «набор» первичного понятия МНОЖЕСТВА. Математики при изучении доказательства вообще не должны ничего разглядывать. Если Вы хотите сказать «множество», то и говорите «множество», не заставляя никого ничего «разглядывать». Ну так что – где ответ на мое возражение? Заменяете слово «набор» словом «множество»? Или нет?

С. Шилов:

Валентин Николаевич, у меня, с учетом Ваших блестящих конструктивистских интерпретаций принципа конечности простых чисел, которые (интерпретации) сами по себе аксиоматически закладывают тип математики, есть такой полезный вопрос: какова может быть конструктивистская интерпретация (формализация) принципа делимости на ноль как некоторой альтернативы счета (точнее – счет является субъективной альтернативой делимости на ноль)? – как конструктивистски записать переход (формулу перехода? – как интерпретацию формулы Единицы «единица есть множество простых чисел») от 10 к 1 / 0 , вывернуть, так сказать, десятичную систему наизнанку хранящейся в ее «подсознании» истины, о которой она постоянно свидетельствует в десятичных дробях и т.д., но не может использовать собственное свидетельствование?

Следующее. Конечно-конструктивистская машина универсального алгоритма (вспомним дискуссию о троичном коде «ноль – единица – простое число») может быть основой трансформации того, что Хайдеггер называл «сущностью техники», и того, что он называл одним словом – ПОВОРОТ.