Текст книги "История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных"
Автор книги: Ричард Манкевич
Жанры:
Математика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 7 (всего у книги 15 страниц)
Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва ее рассматривать как уже решенную и дать названия всем линиям, которые представляются необходимыми для ее построения, притом неизвестным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее естественным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину двояким образом: это то, что называется уравнением, ибо члены, полученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным другим.
Это освобождало алгебру от обязательств перед однородностью размерности – ограничения, согласно которому все члены уравнения должны были иметь одинаковую размерность. Мы находим, например, выражения вроде ххх + аах = bbb: каждый элемент здесь – куб. Действительно, Декарт с удовольствием рассуждал о кривых любой степени, то есть об x n. И это новшество имело огромное значение. Сейчас мы больше не считаем в математике х 2фактическим квадратом. Алгебра Декарта кажется нашим современникам знакомой – он использовал начальные буквы алфавита для обозначения коэффициентов, а последние буквы алфавита для обозначения переменных. Единственный символ, который кажется нам странным, – это ∞, знак бесконечности: Декарт использовал его в качестве знака равенства.
Задача с кубами по-прежнему могла быть решена с помощью пересечения конических сечений, по методу ал-Хайями, однако теперь любому было по силам построить кубическое уравнение. Декарт изо всех сил старался связывать алгебраические манипуляции с геометрическими преобразованиями, и в итоге формула Кардано выполняла не «дополнение куба», но преобразования кубической кривой. Более того, Декарт освободил геометрию от использования построений с помощью циркуля и линейки. В «Геометрии» Декарта вы не найдете многое из того, что теперь известно как алгебраическая геометрия, например координатные оси, формулы для вычисления расстояний между точками или углов между прямыми. Важно понимать, что Декарт подарил математикам будущего новый язык постановки математических проблем и установил определенный паритет между алгебраическими и геометрическими методами.
Когда куб и «нечто» вместе
равны некоторому числу,
найдите два других числа,
отличающиеся от него.
Затем вам надо взять за правило,
что его произведение всегда будет точно равно
кубу одной трети этого «нечто».
Тогда остаток в большинстве случаев,
будучи вычтенным из кубических корней,
будет равным вашему исходному «нечто».
Во втором из этих действий,
когда куб остается одиноким,
вы будете наблюдать другие согласования:
вы сразу разделите число на две части так,
чтобы вторая произвела
точно куб трети «нечто».
Тогда у этих двух частей, по обыкновенному правилу,
Вы возьмете кубические корни и сложите их вместе.
Эта сумма и будет вашей целью.
Третье из этих вычислений
Рассчитывается с помощью второго, если вы
все сделали аккуратно,
поскольку по своей природе они почти согласуются.
Эти «нечто» я нашел, шагая энергичной походкой,
в году одна тысяча пять сотен четыре и тридцать
с прочным и надежным обоснованием
в городе, опоясанном морем.
Решение кубического уравнения, переданное Никколо Тартальей Джероламо Кардано в 1539 году
12. Вселенная как часовой механизм
В шестнадцатом веке основным источником информации об орбитах планет оставался «Альмагест» Птолемея (см. Главу 2). Громоздкая структура Птолемеевой системы эпициклов и деферентов просуществовала в различных формах почти две тысячи лет – вероятно, потому, что и тригонометрические таблицы, и собранные в процессе наблюдения данные не были достаточно точными, чтобы продемонстрировать глубокие недочеты этой системы. Стеклянные сферы Аристотеля находились в постоянном и равномерном круговом движении – «мотором» был Аристотелев перводвигатель. Теперь же на место перводвигателя заступили ангельские силы – небесные тела стали приводиться в движение небесными духами. Для Птолемея математика была средством описать явление, а не объяснить его, и он успешно объединил философские требования Аристотеля и данные, полученные в результате наблюдения. Революция представлений о Вселенной в буквальном смысле поменяла местами небо и землю. Ключевым аспектом была роль математики – может ли точная математическая модель что-то рассказать нам о физической действительности?
Одна из самых очевидных проблем с Птолемеевой системой заключалась в том, что пока планета перемещается вокруг эпицикла, ее расстояние от Земли значительно изменяется, и, таким образом, ее видимый размер на небе также должен меняться. Это изменение наиболее очевидно в случае Луны, и, скорее всего, именно оно побудило Николая Коперника (1473–1543) выдвинуть предположение о гелиоцентрическом (с Солнцем в центре) устройстве Вселенной. Коперник получил образование в престижном Краковском университете, он также учился в Италии, а затем занял пост каноника во Фрауенбурге (Фромборке) – маленьком городке на побережье Балтийского моря. В действительности система Коперника практически не отличалась от Птолемеевой, поскольку он тоже строил орбиты как круги с эпициклами. Однако размещение Солнца в центре Вселенной изначально упростило число необходимых циклов, хотя, когда Коперник уточнил свою модель, в ней получилось даже больше эпициклов, чем у Птолемея. Система Коперника также правильно предсказывала расположение орбит планет в порядке их удаления от Солнца и позволяла оценить относительные расстояния каждой планеты от этого светила. Видимое ретроградное движение планет теперь частично объяснялось в терминах их движения относительно перемещающейся Земли, а не в терминах движения по эпициклам относительно неподвижной Земли. Великая работа Коперника «Об обращении небесных сфер» была издана только в 1543 году, в год его смерти, и отчасти вопреки его желанию.
Коперник дал свое имя революции, в которой он, похоже, играл не самую главную роль. Идеи, которые будут сформулированы в сочинении «Об обращении небесных сфер», Коперник сначала изложил в конспекте своей теории, названном «Малым комментарием о гипотезах, относящихся к небесным движениям». Эта рукопись рукописи была создана в начале 1510-х годов и распространялась среди друзей, переходила из рук в руки. Похоже, Коперник стремился не перестроить систему Птолемея, а уточнить ее, сделать лучше, «более греческой»! Каламбур заключался в том, что в модели Птолемея планеты перемещались с переменной скоростью по эпициклам, тогда как Коперник был привержен идее аристотелевского равномерного движения по идеальным окружностям с постоянной скоростью. Именно эти требования заставили его выдвинуть предположения, из-за которых нам, живущим пятьсот лет спустя, его взгляды кажутся очень современными. Согласно этим предположениям, Солнце помещается в центре Вселенной, а Земля вращается вокруг Солнца, равно как и вокруг своей собственной оси. Этот гелиоцентрический макет был, однако, не менее громоздким, чем система Птолемея, – в нем было 34 эпицикла (у Птолемея их было 40), и это для семи небесных тел плюс сфера неподвижных звезд! «Малый комментарий» был всего-навсего схемой, которую Коперник обещал детально описать позднее. Но с годами его желание издать этот труд уменьшалось, несмотря на поддержку церковных властей и самого Ватикана.
В 1514 году Коперник был приглашен участвовать в Пятом Латеранском Соборе по преобразованию календаря, но отказался приехать на том основании, что календарь не может быть преобразован должным образом до тех пор, пока не будут точно определены движения планет. В конечном счете он не был уверен в своей системе, потому что не нашел реального доказательства того, что она хоть немного лучше или точнее Птолемеевой. Коперник полагался на астрономические таблицы древних и, похоже, мало занимался самостоятельными наблюдениями. Лишь благодаря энтузиазму и усилиям его лучшего и любимейшего ученика Ретикуса труд «Об обращении небесных сфер» был издан в Нюрнберге, который к тому времени стал лютеранским городом. Однако незадолго до выхода книги Ретикус переехал из университета Виттенберга в Лейпциг, и печать труда была поручена Андреасу Осиандеру, одному из последователей Лютера. Именно тогда в книгу было вставлено известное предисловие – скорее всего, это сделал сам Осиандер. Предисловие предупреждало читателя: не важно, правдива ли система Коперника, – сравнение между различными системами полезно, чтобы решить, какую из систем легче использовать в вычислениях. Фактические движения небесных тел якобы должны оцениваться с помощью иных, философских и теологических критериев. Справедливости ради следует сказать, что подобные сомнения были и у самого Коперника, но предисловие, скорее всего, вставили, чтобы успокоить Мартина Лютера, резко возражавшего против коперниканского представления о Вселенной, а не для защиты от Ватикана, который, казалось, поддерживал предположения Коперника. Не стоит забывать, что работу астронома не помещали в ватиканский список еретических трудов до тех пор, пока не утвердилась Контрреформация, то есть приблизительно на протяжении 80 лет после ее публикации.
В «Малом комментарии» Коперник замахнулся на утверждения, которые почти не смог подтвердить в «Об обращении…». В заключительной версии системы у Коперника было даже больше эпициклов, чем у Птолемея, и планеты теперь вращались не вокруг Солнца, а вокруг точек, удаленных от Солнца (он в некотором смысле предвосхитил открытие истинной природы орбит – планета следует по эллиптической орбите, а Солнце находится в одном из фокусов эллипса, а не в его центре). В книге было одно полезное утверждение – видимое ретроградное движение планет есть следствие движения планет и Земли по отношению друг к другу. Труд оказался полностью провальным. В то время движение по земле и астрономическое движение считались двумя совершенно различными явлениями. Решающее открытие Коперника – в том, что Земля действительно движется, а его трагедия в том, что он не смог понять, как именно. Имя Коперника оставалось на слуху благодаря публикации в 1551 году его астрономических таблиц. Труд «Об обращении небесных сфер» бесследно исчез.
«Моя цель – показать, что небесная машина не некое божественное живое существо, а скорее часовой механизм (а тот, кто верит, что у часов есть душа, приписывает славу творца творению), поскольку почти все из ее многочисленных движений вызываются простейшей материальной силой, так же, как все движения часов вызываются весом гири».
Иоганн Кеплер.
Наш сдержанный каноник невольно запустил процесс медленного тления, позднее отозвавшийся взрывами. Иоганн Кеплер (1571–1630), горячий последователь Коперника, был оскорблен анонимным предисловием, создавшим у излишне доверчивого читателя впечатление, будто оно написано самим Коперником. Кеплер все-таки осмелился восстать против тирании греческой астрономии. Детство у него было безрадостное, здоровье слабое, но тем не менее он обладал блестящим интеллектом, и недавно созданное протестантское государство помогло ему получить образование. Он хотел стать священником, но декан теологического факультета в Университете Тюбингена явно был проницательнее своего студента и, как только представилась возможность, назначил его преподавателем математики в Граце. В научном мировоззрении Кеплер придерживался промежуточной позиции. С годами его представление об астрологии менялось: он не сомневался, что планеты оказывали какое-то духовное влияние, но не понимал, каким образом. Его работы – удивительная демонстрация того, как успешно могут развиваться идеи ученого, при том что все тупики теории в ней же – в теории – и остаются!
В 1595 году Кеплера впервые посетило видение космической гармонии – в тот момент, когда он вел занятие в аудитории. На доске ученый начертил фигуру, которая состояла из равностороннего треугольника со вписанным в него кругом, и другим кругом, описанным вокруг него. Внезапно его осенило, что соотношение этих двух кругов такое же, что и известное тогда соотношение орбит Сатурна и Юпитера. Эта вспышка вдохновения привела Кеплера к его знаменитой модели Солнечной системы, в которой расстояния между орбитами шести известных в то время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять Платоновых тел в орбиту Сатурна. Со времен Евклида было известно, что существует только пять идеальных тел, и тут имеются шесть известных планет (включая Землю и исключая Солнце и Луну). Вокруг каждого правильного тела можно описать сферу, которая касалась бы всех вершин этого тела, а внутрь тела можно также вписать сферу, которая касалась бы центра каждой грани. Если бы Кеплер мог определить истинный порядок тел, он мог бы упаковать их одно в другое как матрешки, и сферы соответствовали бы орбитам планет. Кеплер был опьянен этой идеей и тем, как математическая точность соединилась с космической гармонией. В 1596 году, когда ученому было двадцать пять лет, он изложил новую идею в своей первой книжке «Тайна мира». Во вступлении Кеплер впервые поддержал идею гелиоцентрической системы и таким образом заложил основу посмертной славы Коперника. Хотя Кеплер последовал доброму совету и не стал посвящать целую главу примирению коперниканства со Священным Писанием, в своей работе он заявил, что гелиоцентрическая Вселенная абсолютно и физически верна. Он верил не в то, что правильные Платоновы тела между планетами в каком-то смысле существовали на самом деле, а в то, что лежавшая в основе этой модели структура была знаком, подаваемым самим Великим Архитектором. После долгих метафизических рассуждений на темы вроде пифагорейской гармонии сфер «Тайна мира» внезапно меняет тональность и становится похожей на книгу по современной математической физике. Кеплер описывает все выполненные им вычисления и умозаключения. Например, Сатурн вдвое дальше от Солнца, чем Юпитер, но ему требуется в два с половиной раза больше времени, чтобы совершить один оборот вокруг Солнца. Таким образом, Сатурн не только дальше, но и движется медленнее. Кеплер ищет физическое решение, отвергая предположение, что по мере удаления от Солнца ангелы больше устают вращать планеты. Мы находим здесь первые предположения о своего рода гравитационной силе, исходящей от Солнца и уменьшающейся с расстоянием. Источником этой силы был сам Бог – в виде Бога Отца, эманирующего Святой Дух по всей Вселенной. Создатель, который ранее был «переселен» в зазвездное царство – царство, располагающееся за сферой неподвижных звезд, – теперь снова находился в самом сердце Солнечной системы. В финале «Тайны мира» Кеплер возвращается к астрологическим проблемам – он делает набросок гороскопа, определив днем творения воскресенье, 27 апреля 4977 года до нашей эры. Эта книга была настоящим шедевром. Правда, шедевром с большим изъяном: теория вписанных Платоновых тел оказалась ложной, а кеплеровская версия закона тяготения не работала. Кеплер хорошо понимал это, но, чувствуя, что он близок к истине, начал эксперименты.
Ученый нуждался в точных таблицах, полученных в результате астрономических наблюдений, а они были только у одного человека – великого датского астронома, астролога и алхимика Тихо Браге (1546–1601). Получив книгу Кеплера, Тихо признал гений молодого человека, и три года спустя Иоганн уже работал в Праге помощником Тихо. Трудно представить себе более непохожих друг на друга людей. Тихо, с золотым протезом, заменяющим потерянную на дуэли часть носа, был очень яркой личностью. Он стремился узнать точное строение небес. Кеплер был поглощен мистической физикой. У Тихо были лучшая обсерватория в мире и данные, в которых нуждался Кеплер. А еще у него была собственная теория движения планет, и он не только отказывался издать ее, но даже не рассказывал о ней почти никому из своих коллег и помощников. Тихо был преисполнен благоговейного страха перед затмением, произошедшим во времена его юности, но еще больше его очаровывал тот факт, что это затмение было предсказано. В 1600 году Кеплер и Браге наконец встретились. Кеплеру поручили разобраться с данными, касавшимися Марса и его самой сложной орбитой. Отношения между двумя учеными всегда были напряженными, но Тихо, экспериментатор до мозга костей, знал, что ему придется завещать работу всей своей жизни Кеплеру, чтобы тот смог спроектировать новую модель Вселенной. Они были нужны друг другу. Спустя всего восемнадцать месяцев после их встречи Тихо умер, и Кеплер стал новым придворным астрономом и астрологом императора Рудольфа II.
Данные, полученные Браге в результате наблюдений, теперь принадлежали Кеплеру, но превращение чисел в орбиты заняло довольно много времени. В 1609 году Кеплер издал свой великий труд – книгу «Новая астрономия». Как и предыдущая его работа, это сочинение скорее дневник, чем учебник. Здесь отражался каждый прихотливый поворот его творческой мысли – читатель словно бы слышит каждый возглас радости и каждый крик отчаяния ученого, вступившего в жестокое сражение с орбитой Марса. Трудность последней заключается в том, что она самая короткая и, следовательно, сильнее прочих отклоняется от круга. Однако она должна была дать ключ к определению всех остальных орбит. Кеплер не мог накладывать эпицикл на эпицикл, как его предшественники. Его задача состояла не в том, чтобы «зафиксировать явление», а в том, чтобы найти законы движения планет и выразить их языком геометрии. Достижение Кеплера в «Новой астрономии» заключалось в следующем утверждении: каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Это первый закон Кеплера. Он впервые употребил в этом смысле латинское слово «фокус» (то есть «огонь»). Хитроумные пируэты планет из древней астрономии были заменены изящными эллипсами. В этой же книге Кеплер представил второй закон, названный его именем: линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает равные площади за равные промежутки времени. Он невероятно близко подобрался к теории притяжения, совершенно верно связав приливы и отливы с притяжением Луны и признав, что та же сила гравитации не дает земным морям утечь в космос. Но он не сформулировал закон, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния, хотя знал, что такому закону подчиняется интенсивность света. Это сделает уже Ньютон. Кеплер понимал, как движутся планеты, но его волновали силы, стоящие за этим движением. Он так и не узнал, почему орбиты имеют форму эллипсов, зато из астрономии теперь убрали невидимых ангелов и неподвижный перводвигатель. Теперь это была Вселенная геометрии и приложенных сил.
В 1618 году Кеплер вернулся к делу всей своей жизни, опубликовав «Гармонию мира» – сплав математики, физики и мистики, пик пифагорейской мечты. В этой работе мы находим третий закон Кеплера о движении планет: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. В совокупности трех его законов была спрятана теория всемирного тяготения, но Кеплер не сумел четко сформулировать ее. Труд «Коперниканская астрономия» в трех томах, выходивших с 1618 по 1621 год, дал полное описание кеплеровской астрономии, орбит Марса и всех известных планет и стал самым важным астрономическим трактатом после «Альмагеста» Птолемея. Но Кеплер, по крайней мере, на поколение опередил своих современников, продолжавших верить в доктрины Птолемея. Даже в «Диалоге о двух главнейших системах мира – птолемеевой и коперниковой» (1632) Галилео Галилея все еще упоминались циклы и эпициклы.
Несмотря на то что Кеплер и Галилей были современниками, скорее всего, они никогда не встречались. В 1597 году Кеплер послал Галилею экземпляр своей «Тайны мира». В то время Галилей еще не был уверен в необходимости публично поддерживать идеи Коперника. В целом его отношение к Кеплеру было в лучшем случае недобрым: он делал вид, что коллега ему симпатичен, а сам отказывался послать Иоганну новый телескоп и даже экземпляры собственных работ, предпочитая расположение потенциальных покровителей дружбе с немецким ученым. В 1609 году Галилей начал свои известные наблюдения при помощи недавно изобретенного телескопа; один экземпляр новинки он представил венецианскому сенату. В ответ сенат удвоил его жалованье и сделал его пожизненным профессором. В течение года Галилей увеличил мощность телескопа и опубликовал свою работу «Звездный вестник». Наблюдения Галилея показали, что Луна не была идеально гладкой сферой – планету покрывали горы. У Венеры, как и у Луны, были повторяющиеся фазы, а Юпитер располагал собственной системой спутников. Галилей даже считал, что Сатурн был тройной планетой, потому что в его довольно грубом телескопе кольца Сатурна казались двумя выпуклостями на диске планеты. Галилей стал придворным математиком Медичи. В Риме его приняли в «Академию деи Линчеи», первое научное общество в мире. Он стал очень широко известен, потому что писал свои книги не на латыни, а на родном итальянском языке.
Церковь была обеспокоена тем, что система Коперника противоречила толкованиям из Священного Писания, но иезуиты были готовы принять гелиоцентрическую систему, если отыщется неопровержимое доказательство. Не в первый раз религиозная доктрина менялась под напором научных фактов, так было, например, когда церковь признала сферичность Земли. Иезуиты проверили все наблюдения Галилея и поддерживали работу Кеплера. О разыгравшейся впоследствии трагедии было написано очень много книг, так что я обозначу ее достаточно кратко. Церковь признала, что система Кеплера «описывала явление» более точно, чем система Птолемея, но не видела достаточно веской причины, чтобы поверить в физическую реальность системы движения планет. Чтобы опрокинуть многовековое мировоззрение и начать переубеждать мирян, приучая их к новому миропредставлению, необходимо было найти больше доказательств. Новшества критиковали многочисленные богословы, обладавшие серьезной властью и стоявшие на аристотелевских позициях. Галилео неблагоразумно и жестоко насмехался над ними. Галилей стремился к богатству и всеобщему признанию, но, лишившись поддержки при дворе, потерял многих друзей в академических кругах. В 1616 году Галилея обязали никогда более не излагать систему Коперника, а в 1632 году ученый нарушил запрет, издав свой труд «Диалог о двух главнейших системах мира – птолемеевой и коперниковой». Эта работа фактически была манифестом системы Коперника и содержала очень тонко завуалированную критику ряда самых влиятельных богословов того времени. Терпение Ватикана лопнуло, и Галилео был немедленно вызван в Рим. В следующем году он отрекся от своих взглядов и был посажен под домашний арест. Ученый продолжал жить достаточно комфортно, к нему допускались многочисленные посетители, однако Галилео не мог ничего публиковать и заниматься преподаванием. В его записях того времени говорится, что он совершенно сломлен. Галилей недооценил и свое влияние, и изменение в настроениях общества. Пришло время инквизиции, и преследование за ересь было очень жестоким. Кеплер несколько лет потратил на то, чтобы защитить свою мать от обвинения в колдовстве, а когда началась Тридцатилетняя война, ему пришлось покинуть Прагу и уехать в Австрию. Коперник и Кеплер работали в условиях относительной свободы и могли писать то, что им хотелось, не бросая вызов религиозной власти. Когда орден иезуитов встал во главе инквизиции, Римская коллегия инквизиции попыталась ограничить научную свободу. Власти папы и Ватикана была придана метафизическая легитимность – ведь и сама Вселенная строится иерархически! Этой власти угрожала не только Реформация, но и новая физика, посему подавление системы Коперника не было следствием невежества – оно диктовалось иезуитским пониманием целесообразности. Это подтверждается тем, что вскоре после суда над Галилеем иезуиты принялись изучать систему Коперника: им очень хотелось научиться делать астрономические прогнозы, чтобы производить впечатление на народы отдаленных стран, вроде Китая и Японии.
Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту.
Галилео Галилей.
В последние годы жизни Галилей все-таки сумел написать труд «Беседы и математические доказательства двух новых наук» (1638), который контрабандой был вывезен из Италии и напечатан в Лейдене. В нем ученый возвращается к механике, предмету, который волновал его больше всего, и анализирует ускорение. Анализ колебания маятника, который он создал еще в юности, показал, что время, затраченное на каждое колебание, не зависит ни от амплитуды, ни от веса груза – на него влияет только длина маятника. Время колебания обратно пропорционально квадратному корню длины маятника. Эксперименты Галилея с телами, скатывающимися по различным плоскостям и находящимися в свободном падении, привели его к двум важным открытиям: во-первых, скорость тела пропорциональна времени, в течение которого оно двигается, а во-вторых, пройденное расстояние пропорционально квадрату времени движения. Также считалось, что более тяжелое тело упадет быстрее, чем легкое, но Галилей показал ложность этого утверждения, заявив, что эти тела упадут с одной и той же скоростью, если не учитывать сопротивление воздуха. В реальной жизни пушечное ядро падает быстрее, чем перо, но не из-за разницы в весе, а вследствие разного сопротивления воздуха – маленький шарик одного веса с перышком упал бы так же быстро, как и пушечное ядро. Галилей различал две силы, действующие на предмет, и это привело его к анализу движения снаряда в полете. Разделив горизонтальную и вертикальную компоненты силы, он обнаружил, что снаряд движется по параболе. Это подтолкнуло его к дальнейшим работам по баллистике.
Закончим говорить об авторитете Священного Писания. Ныне скажем о том, что касается мнения святых относительно природы. Я говорю только одно: в богословии важна значимость авторитета, но в философии весом только авторитет разума. Святой Лактанций отрицал округлость Земли; святой Августин допустил округлость, но отрицал существование антиподов. Священная канцелярия наших дней свята, она допускает ограниченность размеров Земли, но отрицает ее движение. Но для меня священнее всех их будет Истина, когда я, при всем уважении к отцам церкви, демонстрирую с помощью философии, что Земля круглая, что на обратной ее стороне живут антиподы, а сама Земля – маленький межзвездный скиталец.
Иоганн Кеплер.Новая астрономия. Вступление (1609)
Исаак Ньютон родился в год смерти Галилея. Ему выпало свести все разрозненные элементы в единую теорию. Чтобы понять, какой беспорядок царил в то время в науке, следует представить, что в то время еще существовало две отдельные науки – земная и астрономическая механика. По мнению Кеплера, планеты перемещались по эллиптическим орбитам, их двигала таинственная магнитная сила, исходящая от Солнца, при этом инерция планет замедляла их движение относительно скорости вращения самого Солнца. По мнению Галилея, планеты перемещались по кругам, потому что такое движение идеально и присуще их природе, а инерция поддерживала движение планет. Все еще сильнее запуталось, когда Декарт, уточняя модель Кеплера, объявил, что инерция заставляет тела двигаться по прямой линии, а пути планет изогнуты вихрями, бушующими в Солнечной системе. Новаторская работа Галилея в области ускорения и земной механики, казалось, не могла иметь никакого отношения к механике небесной. Согласования в определениях ключевых физических понятий – таких, как масса и вес, инерция и импульс, сила и энергия, магнетизм и гравитация, не существовало.
В 1687 году после долгих уговоров и при финансовой поддержке со стороны Эдмунда Галлея (1656–1742) Ньютон издал свой труд «Математические начала натуральной философии», более известный под сокращенным названием «Начала». Он стал широко известен только в 1720-е годы, после двух последующих переизданий. В этой главе я коснусь лишь механики, об исчислении же поговорим позже. В «Началах» приводятся три закона движения, выведенные Ньютоном. Согласно традиционно принятому порядку (хотя появились они в иной последовательности), первый закон гласит: «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние». Это согласуется с представлениями Декарта и учитывает как статическое, так и динамическое равновесие сил. Второй закон звучит так: «Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Теперь он записывается следующим образом: F = та.А третий закон говорит о том, что «действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны». Затем Ньютон рассуждает о различных типах силовых полей и законе тяготения. Его мастерский ход заключался в том, что он уравнял в правах силы Кеплера и силы Галилея. В третьей книге «Начал», носящей название «О системе мира», изложены ключевые моменты его теории, приравнивающей силу, которая действует на падающее тело, и силу, которая действует на движущиеся по орбитам планеты. Итак, две механики внезапно стали единой наукой – земная и небесная разновидности, оказывается, подчиняются одним и тем же законам. Невидимым клеем, соединившим их, оказалась тогда еще загадочная сила гравитации.
Ньютон прославился изобретением (или со-изобретением, если можно так сказать) дифференциального и интегрального исчислений, но доказательства в «Началах» все еще геометрические, хотя чертежи часто отображают бесконечно малые изменения силы и перемещения, показывая, что получающееся движение должно считаться гладким. Но в космологии Ньютона все еще оставались нерешенные проблемы. Например, он не смог объяснить, что все планеты вращаются в одном и том же направлении, и не знал, почему они движутся именно по тем орбитам, на которых их наблюдают. Что касается силы гравитации, Ньютона беспокоила столь мощная сила, действующая на огромном расстоянии без посредства какой-либо передающей среды. Он не считал возможным действие на расстоянии в космическом вакууме. Скорее, ученый полагал, что есть некая среда (эфир), через которую передается сила, хотя вопрос, была ли она материальна, оставался нерешенным. Образ ангелов, двигающих планеты, заменили на универсальный дух. Кроме того, если бы тяготение было столь всепроникающим, то все объекты стремились бы притянуться друг к другу и Вселенная погибла бы. Ньютон обратился к Богу, назвав его защитником Вселенной от этой силы Судного дня. Теорию тяготения можно было бы легко отвергнуть, если бы математическая модель тяготения не соответствовала наблюдаемым фактам, но все было как раз наоборот: физическая реальность полностью совпадала с научным анализом этой самой реальности. Вихри Декарта были в конечном счете отвергнуты, потому что тяготение работало лучше. Математика действительно отлично «отражала явление». Новая механика шла в ногу с очередной ветвью математики – дифференциальным и интегральным исчислениями. Сейчас мы узнаем историю их изобретения.
