Текст книги "История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных"

Автор книги: Ричард Манкевич

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 15 страниц)

16. Новые геометрии

С тех пор как в третьем столетии до нашей эры появились «Начала», евклидова геометрия (см. Главу 4) считалась самой совершенной из всех математических систем. Основанная на самых общих допущениях, она выстраивает удивительно стройное здание математических теорем. Евклидова геометрия – типичная аксиоматическая дедуктивная система. Однако на этом храме геометрии имелось маленькое пятнышко, прыщик, который математики не переставали почесывать. Евклид сформулировал ныне печально известный пятый постулат, согласно которому «если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Этот постулат также известен как постулат о параллельных прямых. В нем говорится: если две прямые линии не параллельны, они в конечном счете пересекутся в некоторой точке. Все согласились, что постулат верен, но было слишком сложно гарантировать истинность этой, по сути, аксиомы, ставшей отправной точкой «Начал». Сперва усилия были направлены на доказывание того, что на самом деле это не постулат, а теорема, которая может быть доказана с помощью других аксиом. Многие обманывались, считая, что им удалось доказать ее, но более тщательное изучение их доказательств непременно показывало, что в них обязательно присутствуют новые предположения, которые, по существу, оказывались перепевкой пятого постулата. Найти ему более очевидную замену оказалось очень трудно.

Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии.

Письмо Фаркаша Бойаи сыну Яношу

Математики продолжали изучать пятый постулат. Особенно много сил отдали этому ал-Хорезми и персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274). Работа последнего, переведенная на латынь, вдохновила иезуита и математика Джироламо Саккери (1667–1733). В последний год своей жизни Саккери издал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен», в котором он попытался доказать постулат о параллельности, опровергая как абсурд все другие постулаты. Он построил то, что теперь известно как «четырехугольник Саккери», с двумя парами «параллельных» сторон. Он выдвинул три различные гипотезы о сумме внутренних углов четырехугольника – что сумма меньше, равна или больше суммы четырех прямых углов или 360°. Если бы он смог показать, что первая и третья гипотезы приводят к логической несогласованности, то доказал бы, что средняя гипотеза, эквивалентная постулату о параллельности прямых, и есть единственно верная.

Я еще не сделал открытие, но путь, которым я иду, почти наверняка приведет меня к цели, поскольку показывает, что она достижима. Я еще не дошел до конца, но то, что мне удалось обнаружить, оказалось настолько великолепным, что я был просто поражен. Было бы невероятно жаль, если бы это оказалось отброшенным как Вы, мой дорогой отец, сочли необходимым допустить, когда увидели это. Все, что я могу сказать сейчас, – то, что я создал из ничего новый и совершенно иной мир. Все, что я отправил Вам к настоящему времени похоже на карточный домик рядом с каменной башней.

Письмо Яноша Бойаи своему отцу Фаркашу

Саккери легко отверг третью гипотезу как приводящую к логическим противоречиям. Однако первая гипотеза не создавала никаких логических проблем. Используя этот новый постулат, он мог доказывать теорему за теоремой. Саккери выстроил самую первую неевклидову геометрию, но отказался поверить этому. Как мы помним, его главная цель – опровергнуть истинность этой гипотезы, а не создать новую геометрию. Вновь обратившись к церковному учению, он отверг новую геометрию на ошибочных теологических основаниях. Однако математики, жившие после него, оказались более доверчивыми.

Навязчивая идея о пятом постулате имела более глубокое значение, чем просто чистота логики. Под угрозой оказалась сама природа физического пространства. Евклидова геометрия была не только последовательной и разумной математической системой, но и принципом, по которому структурировалось пространство – самая короткая линия между двумя точками была прямой линией не только в теории, но и на практике. Казалось бы, уже существовала хорошо сформулированная геометрия, в которой даже это не было истинным, – классическая сферическая геометрия. Самая короткая линия между двумя точками на сфере – это дуга, часть большого круга, соединяющая две точки. Кроме того, сумма углов любого треугольника на сфере в целом больше 180°. Так из-за чего вся эта суета? Все сводилось к различию между тем, что называли внутренними и внешними свойствами геометрии. Внешние свойства – те, которые можно вывести вне системы; внутренние – те, которые выводятся из самой системы. Например, правила сферической геометрии могут быть выведены из наблюдения сферы извне, скажем, за шаром в руке, но как мы можем сказать с геометрической точки зрения, живем мы на сфере или нет? Как геометрически определить, живем мы на плоской Земле или на сферической? Или, иначе говоря, есть ли какие-то внутренние свойства, отличающие плоскость от сферы? Эти относительно простые понятия важны для изучения истинной природы трехмерного пространства, в котором мы имеем доступ только ко внутренним свойствам.

Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) изучал лишь небольшой раздел общей неевклидовой геометрии. В своей книге «Теория параллельных» (1786, издана посмертно) он использовал метод, похожий на тот, который применил Саккери. Ламберт взял треугольник и предположил, что сумма его углов меньше, равна или больше 180°. Он также показал, что сферическая геометрия соответствует третьему из этих предположений, и рассуждал, что первый случай мог бы соответствовать геометрии на сфере с мнимым радиусом. Замена реального радиуса на мнимый приводила к теоремам и формулам, объединенным в то, что позднее стало называться гиперболической геометрией. В ней знакомые sin х и cos хбыли заменены на sinh хи cosh х.Хотя идея кажется физически неправдоподобной, математически это звучит вполне разумно. Впоследствии рассуждения Ламберта показали, чтобы он был недалек от истины.

К началу XIX века, когда все попытки доказать пятый постулат закончились поражением, математики поняли, что возможны другие непротиворечивые геометрии, кроме евклидовой. И вот на сцену выходят два неизвестных математика, совершающих одновременное открытие.

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) был сыном мелкого российского чиновника, который умер, когда Николаю было всего семь лет, оставив в тяжелом финансовом положении вдову и трех сыновей. Семья переехала в Казань, где все дети отлично учились, но Николай Лобачевский проявил себя ярче других. В четырнадцать лет он поступил в недавно основанный Казанский университет и там познакомился с выдающимися профессорами, многие из них были родом из Германии. В возрасте двадцати одного года Лобачевский начал преподавать, а два года спустя был утвержден экстраординарным профессором. Будучи терпеливым, методичным и трудолюбивым человеком, он заслужил уважение других ученых, которые взвалили на него множество неблагодарных административных задач. Он стал университетским библиотекарем, а также хранителем плохо организованного университетского музея. Он сам, без помощников, выполнил всю работу, внеся в организацию музея и библиотеки некоторый порядок.

В 1825 году правительство наконец назначило в университет профессионального хранителя, который впоследствии использовал свое политическое влияние для того, чтобы утвердить Лобачевского на высокий пост. В 1827 году Лобачевский стал ректором университета. Со свойственной ему энергией он приступил к реорганизации штата, либерализовав обучение и создав новую инфраструктуру. Кроме этого он основал обсерваторию. Университет был его жизнью. В 1830 году, когда в Казань пришла холера, Лобачевский разрешил всем студентам, сотрудникам и их семьям укрыться в стенах университета. Поскольку там действовали строгие санитарные правила, из 660 человек умерло только 16. В 1846 году, несмотря на его неутомимый труд на благо Казанского университета, правительство, не объясняя причин, уволило Лобачевского с поста ректора и профессора. Его коллеги и друзья умоляли власти сменить гнев на милость, но все было напрасно. У Лобачевского сильно упало зрение, но, несмотря на это, ученый продолжал свои математические исследования. Последнюю публикацию Лобачевскому пришлось надиктовывать, поскольку к тому времени он окончательно ослеп.

В 1826 году Лобачевский представил для напечатания в «Записках физико-математического отделения» сочинение под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке), в котором высказал некоторые свои геометрические идеи. Издание не состоялось. Потребовалось три года, чтобы «Казанский вестник» опубликовал работу Лобачевского «О началах геометрии». Но в любом случае 1826 год – официальная дата рождения неевклидовой геометрии в том виде, в каком ее сформулировал Лобачевский. В своей работе он утверждал, что пятый постулат не может быть доказан, и выстроил новую геометрию, заменив этот постулат другим. Он сумел оценить смутные догадки Саккери и Ламберта, выстроив геометрию, которая была в каждой своей части такой же прочной и логичной, как геометрия Евклида. Даже самому Лобачевскому казалось, что некоторые из выведенных им теорем противоречат здравому смыслу. Он назвал свое открытие «воображаемой геометрией». Ученый не тешил себя иллюзиями о важности собственной работы. В 1835–1838 годах его «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» появились на русском языке, а в 1840 году «Геометрические исследования по теории параллельных линий» вышли на немецком. Именно на основании этой книги Гаусс рекомендовал Лобачевского Научному обществу Геттингена, в которое тот был избран в 1842 году. Однако Гаусс отказался похвалить его работу в печати, тем самым замедлив понимание этих революционных идей математическим сообществом. Этот факт больше всего разочаровал Лобачевского, даже больше, чем его изгнание из университета и слепота. В 1855 году вышла последняя книга Лобачевского, «Пангеометрия», она была издана одновременно на французском и русском языках. На следующий год Лобачевский – «Коперник геометрии» – умер. Физическая интерпретация неевклидовой геометрии была выполнена итальянским математиком Эудженио Бельтрами (1835–1900), который показал, что геометрии Лобачевского и более ранней работе Ламберта соответствует поверхность псевдосферы.

Новый постулат Лобачевского можно объяснить следующим образом. Вообразите себе бесконечную прямую и выберите точку, не лежащую на этой линии. Согласно постулату Евклида, через эту точку можно провести одну и только одну линию, параллельную первой. Лобачевский заявил, что через эту точку можно провести больше одной линии и все эти линии «параллельны» исходной линии в том смысле, что они не пересекаются ни в одной точке. Выражение этого в математических терминах приводит к странной, но совершенно непротиворечивой геометрии. Фактически существует бесконечное число таких геометрий, каждая из которых соответствует своему «углу параллелизма».

Нежелание Гаусса позитивно оценить работу Лобачевского отчасти вызвано его стремлением продемонстрировать беспристрастность своему другу Фаркашу Бойаи, сын которого, Янош Бойаи (1802–1860) одновременно с Лобачевским работал в области неевклидовой геометрии. Фаркаш был провинциальным преподавателем математики в венгерской глубинке (теперь эта территория принадлежит Румынии), который потратил много сил и времени на то, чтобы доказать пятый постулат. Когда этой задачей занялся его сын, он отчаялся и написал ему в письме: «Ради Бога, я умоляю тебя, брось все это. Бойся этого не меньше, чем чувственных страстей, потому что это также может поглотить все твое время и лишить здоровья, спокойствия духа и счастья в жизни». Неустрашимый или, возможно, даже подталкиваемый неким страхом, Янош продолжал свои исследования и в 1829 году фактически пришел к тем же заключениям, что и Лобачевский. По его собственным словам, Бойаи разработал «абсолютную науку о пространстве» на базе тех же принципов, что и Лобачевский. Его отец издал статью сына как приложение к собственному трактату. Эта работа датируется 1829 годом, то есть тем же годом, что и труд Лобачевского, но она не была издана вплоть до 1832 года. Спрятанная в конце непопулярной книги, она, возможно, была бы полностью потеряна для истории, если бы не тот факт, что Фаркаш был другом Гаусса. Он послал ученому книгу. Даже сухой ответ Гаусса мог бы выразить одобрение, но Гаусс отказался от публичной поддержки этого труда, заявив, что похвалить работу означало бы просто похвалить себя, поскольку он в последнее время придерживался тех же взглядов. Янош был раздавлен ответом, он опасался, что у него отнимут его открытия. В дальнейшем он отказался от каких-либо публикаций.

Нежелание Гаусса признать работы Лобачевского и Бойаи выглядит грубостью. Да, Гаусс, конечно, думал об этих проблемах, но нет никаких свидетельств, что он изучал различные результаты неевклидовой геометрии. Рука помощи, протянутая признанным мастером, могла бы спасти карьеру Бойаи и здоровье Лобачевского. Гаусс подошел к вопросу с другой стороны. Рассматривая линии на плоскости, он вывел теорему о том, что «кривизна поверхности связана с используемым методом измерения» (то есть с математическим выражением, используемым для вычисления расстояния между двумя точками). Гаусс показал, что искривление не зависит от места нахождения поверхности. Кривизна была внутренней особенностью, связанной с суммой углов треугольника, расположенного на такой поверхности. В этом контексте близость к неевклидовой геометрии очевидна.

Когда пал пятый постулат, этот столп евклидовой геометрии, просуществовавший более двух тысяч лет, то рухнула и сама конструкция.

Как ни парадоксально, открытие геометрии, в которой постулат Евклида о параллельности прямых не верен, тем не менее реабилитировало геометрию Евклида, хотя и весьма изощренным способом: раз для разрушения этого столпа потребовались такие усилия, значит, он все-таки необходим! Евклидова геометрия оставалась логически последовательной, но теперь это была просто одна из многих возможных геометрий, и, следовательно, уже никто не был уверен, что это геометрия окружающего нас пространства. Развивающееся понимание внутренних свойств пространства приобрело значение как метод исследования реальной геометрии пространства, поскольку не существовало способа его познания извне! Существовала опасность, что геометрия может стать занятным экспонатом экзотического собрания редкостей, но был один математик, который дал совершенно новое определение геометрии.

Бернхард Риман (1826–1866), сын пастора, был воспитан в скромности, но получил хорошее образование в Берлине и Геттингене, где в 1854 году стал приват-доцентом, а затем и доцентом. Чтобы занять этот пост, Риман должен был по уставу выступить перед профессорским составом с лекцией. Это был самый увлекательный доклад в истории математики. Лекция, носившая название «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», самым подробным образом описывала геометрию как предмет. Это было описание долгого пути от линейки и циркуля Евклида. Риман определил геометрию как исследование множеств – ограниченных или неограниченных пространств любого порядка (возможно бесконечное число порядков), вместе с системой координат и способом измерения кратчайшего расстояния между двумя точками. В евклидовой трехмерной геометрии способ измерения определяется как ds ²= dx ²+ dy ²+  dz ²– дифференциал, эквивалентный теореме Пифагора. Эти множества – само пространство без внешней системы координат. Искривление пространства было, таким образом, полностью определено в терминах внутренних свойств множеств в любом пространстве. Для Римана геометрия была, по существу, наукой о наборах упорядоченных n-кортежей, объединенных согласно определенным правилам; его идеи о пространствах были настолько общими, что казались практически нереальными. Любые отношения между переменными можно было счесть «пространством». Если для системы не существует метода определения расстояния между двумя точками пространства или двумя элементами множества, тогда применяется ветвь математики, известная как топология. Она описывает, как различные области пространства связаны между собой.

Риман изобрел инструменты, которые теперь активно используются всеми математиками. Нет ничего удивительного в том, что в этом случае обычно скупой на похвалу Гаусс выразил энтузиазм по отношению к работе другого ученого. В рамках расширенного представления о геометрии Римана мы видим, что евклидова геометрия – это пространство, определенное постоянной кривизны, равной нулю. Геометрия Лобачевского имеет кривизну -1, а сферическая геометрия – кривизну +1. Хотя Римана можно было бы считать новым Евклидом, его имя связано с очень своеобразной геометрией, которая преобразует сферу в плоскость.

Позднее Риман внес свой вклад в теоретическую физику, и его общее исследование измерения расстояний между точками в искривленных пространствах в конечном счете проложило путь к общей теории относительности. Пространство, в котором мы живем, больше не было евклидовым, теперь у нас появились математические инструменты, позволявшие исследовать истинную геометрию Вселенной.

В геометрии я нашел некоторые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука, поскольку она не переходит в анализ, до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий, к восполнению которого все усилия математиков до настоящего времени были тщетными.

Николай Иванович Лобачевский.

Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840) [20]20
  Цит. по: Н. И. Лобачевский. Геометрические исследования по теории параллельных линий. Перевод, комментарии, вступительные статьи и примечания профессора В. Ф. Кагана. – М.—Л.: Издательство Академии наук СССР, 1945. – С. 37. Не найдя понимания в России, Н. И. Лобачевский опубликовал эту книгу на немецком языке в Берлине в 1840 г.


[Закрыть]

17. Диалекты алгебры

В главе 11 мы видели, как алгебра освобождалась от кандалов геометрической размерности и как, начиная с Декарта, символы алгебры – те самые хи у– могли обозначать любое число и сочетаться любым способом, предусмотренным правилами арифметики. В этой главе мы познакомимся с развитием алгебры в англоязычных странах, а затем понаблюдаем за развитием этой дисциплине в других государствах Европы. Быстрое увеличение количества диалектов алгебры привело к фундаментальной переоценке понимания самой математики.

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА АРИФМЕТИКИ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ X, YИ Z

х + у=у+ х сложение коммутативно – сумма двух чисел не зависит от порядка расположения слагаемых

X х у=ух х умножение коммутативно

х + 0 = х сложение имеет нейтральный элемент, ноль, который оставляет любое число неизменным

хх 1 = хумножение имеет нейтральный элемент, единицу, которая оставляет любое число неизменным

X х(у + z) = хх у+х х z умножение ассоциативно по отношению к сложению.

Британский математический анализ отставал от европейского. Здесь во многом виновата ньютоновская нотация флюксий и ее неполноценность по сравнению с символикой, предложенной Лейбницем, – dy/dx.После того как британцы, пусть поначалу и неохотно, приняли европейскую систему обозначений, они добились нескольких довольно заметных достижений. В 1817 году, когда английский математик Джордж Пикок (1791–1858) был назначен экзаменатором по математике в Кембриджском университете, символическая нотация Лейбница наконец заменила флюксии Ньютона. По словам Чарльза Бэббиджа (1791–1871), целью Аналитического общества, основанного в 1813 году, была разработка «принципов чистого „де-изма“ в противовес „староточкизму“ университета» [21]21
  В английском языке здесь игра слов: d-ism и dotage. «Де-изм» означает принятие символики Лейбница, где фигурирует символ d. Отрицание «староточкизма» – это отказ от флюксий и флюентов Ньютона, где над х и у полагалось ставить точки или черточки. Dot-age – соединение слов dot (англ. «точка») и age (англ. «старость, возраст») – это и есть «староточкизм». Единственное, что невозможно передать средствами русского языка, – это второй смысл словечка – age, которое выполняет еще и роль суффикса, образующего существительные со значением действия, условия или результата.


[Закрыть]. Другая цель общества заключалась в том, чтобы «сделать мир более мудрым, чем он был, когда мы в него пришли». Пикок в своем «Трактате об алгебре» (1830) назвал эту дисциплину «иллюстративной наукой». Первым делом арифметическая алгебра была отделена от символической. Элементами арифметической алгебры были числа и арифметические операции, тогда как символическая алгебра – это «наука, расценивающая комбинации знаков и символов согласно определенным законам, которые в целом независимы от определенных значений этих символов». Это откровенно неопределенное утверждение открыло дверь к общим исследованиям в области алгебры.

Никому не известный преподаватель начальной школы из Линкольна Джордж Буль (1815–1864) написал, как теперь считают, первую работу по математической логике. Буль подружился с шотландским математиком Огастесом де Морганом (1806–1871), которого поддерживал в споре о логике с шотландским философом сэром Уильямом Гамильтоном (1788–1856). Последний, кстати, не был родственником ирландского математика сэра Уильяма Роуэна Гамильтона. Об этом споре теперь все забыли, но именно он вдохновил Буля, математика-самоучку и лингвиста, издать в 1847 году краткую работу, озаглавленную «Математический анализ логики». В том же году вышла публикация де Моргана «Формальная логика». Два года спустя, скорее всего при поддержке де Моргана, Буль был назначен профессором математики в недавно открывшемся Королевском Колледже в Корке. Буль был твердо уверен, что логика должна считаться частью математики, а не метафизики и что правила логики должны выводиться не путем рассуждений, а посредством построения из простых формальных элементов. Только после создания логической структуры можно давать лингвистическую интерпретацию. Он отвергал представление, согласно которому математика считалась наукой о числах и размерах (представление, восходящее к древним грекам), и считал, что любая последовательная символическая логическая система – часть математики. Впервые мы видим ясно сформулированное представление, согласно которому математика – это наука, где главное не столько содержание, сколько структура. В работе Буля «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей» (1854) эти идеи подробно разъяснялись, устанавливалась формальная логика и новая алгебра, которую теперь называют алгебраической логикой. Булева алгебра – по существу, алгебра классов объектов, и переменные вроде хтеперь обозначали не числа, а скорее ментальный акт выбора класса из заданного пространства. Например, хможет быть классом «мужчины» из пространства «люди». Символы подчиняются тем же правилам, что и в арифметической алгебре, за исключением дополнительной аксиомы, что x ²= х.В арифметике это уравнение верно только в случае, когда хравен 1 или 0, но в булевой алгебре это верно всегда – выбор класса «мужчин» дважды даст то же самое, что и однократный выбор. Кроме того, Буль придал символам 1 и 0 конкретные значения: 1 – это «всё», а 0 – «ничто». Эти идеи лежат в основе всемирной компьютерной революции, и мы снова вернемся к ним и подробно их рассмотрим в Главе 23.

Огастес де Морган был верным сторонником новой алгебры. Он родился в Индии, посещал Колледж Троицы в Кембридже, но не стал «оксфордианцем» или «кембриджианцем», потому как, хотя и принадлежал к англиканской церкви, де Морган отказался пройти теологический экзамен, необходимый для получения диплома. Вместо этого в возрасте двадцати двух лет он был назначен профессором недавно основанного светского Лондонского университета, позднее получившего название Университетского колледжа в Лондоне. Он значительно развил идеи Пикока, уже в 1830 году заявив, что «за одним-единственным исключением, в этой главе ни одно из понятий или знаков арифметики или алгебры не имеет ни малейшего значения. Предмет обсуждения этой главы – символы и законы их сочетания, позволяющие создать символическую алгебру, которая после этого может стать грамматикой для ста различных алгебр». Единственным исключением, по де Моргану, был символ равенства, по этой причине в выражении х=у хи удолжны иметь одно и то же значение. Это странно звучащее высказывание взято из книги «Тригонометрия и двойная алгебра» (1830): «двойная алгебра» относится к сдвоенной природе комплексных чисел в противоположность «одиночной алгебре» действительных чисел. Но де Морган, казалось, не сумел до конца понять важность собственного заявления: увидев подобие между одинарной и двойной алгебрами, он полагал, что тройной или четверной алгебры быть не может. В этом он сильно ошибался.

Несмотря на то что оба родителя Уильяма Роуэна Гамильтона умерли, когда он был еще ребенком, его дарование стало заметным очень рано. Талантливый лингвист, он уже в пятилетием возрасте читал тексты на греческом, иврите и латыни. Он проступил в Дублинский Тринити Колледж и в двадцать два года, еще не получив диплома о завершении образования, был назначен Королевским астрономом Ирландии, директором обсерватории Дансинка и преподавателем астрономии. Одной из его любимых тем было рассуждение о том, что пространство и время неразрывно связаны, причем геометрия – это наука о пространстве, а алгебра – наука о времени. В 1833 году он представил в ирландскую Королевскую академию характерное представление сложных чисел а + ibкак упорядоченной пары (а, b) со ставшими теперь стандартными геометрическими интерпретациями сложения и умножения:

(а, b)+ (с, d) = (а+ с, b+ d)

(а, b)х (с, d)= (ас – bd, ad + bc)

Затем он попытался распространить систему двумерных сложных чисел до трех измерений. Поначалу это казалось довольно просто – он просто определил z = а + ib + jcс длиной, равной √ (а ²+ b ²+ с ²).Определение сложения тоже было довольно простым, но умножение просто не будет работать: невозможно менять сомножители местами без изменения результата. Эта проблема и числа более высокого порядка не давали ему покоя больше десяти лет. Затем, 16 октября 1843 года, он шел с женой вдоль Королевского канала, и вдруг на него снизошло озарение: нужно использовать четверки, а не тройки и отбросить закон коммутативности. В результате четверки выглядели так: z=a+ ib +jc + kd c i ²=j ²= k ²= ijk= -1. Это означало, что ij= k,но ji = -k,так что переместительный закон был отброшен. Но в целом структура была последовательной. Так возникла новая алгебра. Гамильтон остановился и вырезал формулу ножом на камне Бротонского моста. В тот день он оповестил ирландскую Королевскую академию, что на следующей встрече он желает прочитать лекцию о кватернионах – так он назвал свои четверки.

Важность этого открытия – не только в создании новой алгебры, но и в том, что математики получали свободу построения новых видов алгебры. Это первая подробная теория о некоммутативной алгебре. Свойство некоммутативности означает, что при трех измерениях общая последовательность двух вращений даст различные результаты в зависимости от того, в каком порядке они будут выполняться, в отличие от того, что происходит при двух измерениях. Оставшуюся часть жизни Гамильтон развивал новую алгебру и в 1853 году опубликовал «Лекции о кватернионах». Большая часть этой работы посвящена применению кватернионов в геометрии, дифференциальной геометрии и физике. Как мы увидим в следующей главе, Джеймс Клерк Максвелл сформулировал свои уравнения электромагнетизма в нотации кватернионов. Гамильтон был до одержимости твердо уверен, что кватернионы – ключ к полному описанию законов Вселенной. Он умер в 1865 году, почти завершив свой труд «Основы теории кватернионов», который был отредактирован и издан его сыном уже после смерти ученого.

Не только алгебра вырвалась из цепей геометрии, но и геометрия вышла за рамки пространственных концепций (см. Главу 16). И алгебру, и геометрию все больше рассматривали как абстрактные конструкции, простыми частными случаями которых были знакомая нам арифметическая алгебра и двух– и трехмерная геометрия.

Теорема 1

Все операции с языком как инструментом рассуждения могут быть выполнены с помощью системы знаков, состоящих из следующих элементов:

1. буквенные символы, такие, как х, уи т. д., которые отображают объекты наших концепций.

2. Знаки операций, такие, как +, -, х, описывают операции, являющиеся предметом наших размышлений, при помощи которых концепции и объекты комбинируются или решаются, чтобы сформировать новые концепции, вовлекающие те же самые элементы.

3. Знак равенства, =.

И эти символы логики используются, подчиняясь определенным законам, отчасти согласующимся с законами, соответствующими тем, что приняты в алгебре, а частично отличающимся от них.

Джордж Буль.

Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей (1854)

Молодая американская математика проявила себя именно в области создания новых алгебр. Бенджамин Пирс (1809–1890), профессор математики в Гарварде и директор Геодезической службы, был очень впечатлен работой Гамильтона и начал широко распространять его идеи в США. Пирс начал составлять таблицы для 162 различных алгебр. Каждая алгебра начиналась с нескольких – от двух до шести – элементов, которые могли быть скомбинированы при помощи двух операций – ассоциативного умножения и сложения. В сложении всегда был нейтральный элемент ноль, однако умножение порой не имело нейтрального элемента 1. Каждая из этих «линейных ассоциативных алгебр» разворачивалась в матрицу. Из-за того что профессор Гарварда в 1870-е годы был вынужден издавать свою работу литографическим способом, некоторые заключили, что в США экономические трудности. Работа была записана переписчицей от руки и напечатана в количестве всего 100 экземпляров. Сын Бенджамина, Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914), продолжил работу отца и показал, что из всех 162 алгебр только в трех была уникально определенная операция деления – в арифметической алгебре, алгебре комплексных чисел и алгебре кватернионов. В Англии Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879) создал свои алгебры (в том числе алгебру октонианов и бикватернионов). Он сделал это прежде всего для того, чтобы изучить движение в неевклидовом пространстве. Все эти новшества увели ученых далеко от той алгебры, которую знали в начале столетия.