Текст книги "История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных"

Автор книги: Ричард Манкевич

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 15 страниц)

4. Начала

Греки вошли в историю как захватчики с севера, обосновавшиеся на землях, что лежали между Ионийским и Эгейским морями. Они выказали жадность к знаниям и стремление учиться у своих более древних соседей, а также – что еще важнее – желание увеличивать мудрость, полученную от египтян и жителей Месопотамии. Греческий, или эллинский, мир объединяли скорее культурные, чем расовые узы. Его историю можно разделить на два обширных периода; переход от одного к другому ознаменовался началом царствования Александра Великого. Для наших целей назовем эти периоды афинским и александрийским.

Первые Олимпийские игры проводились в 776 году до нашей эры. К этому времени греческая литература могла похвастаться произведениями Гомера и Гесиода, но о математиках, творивших ранее VI века до нашей эры, мы ничего не знаем. Титул первого греческого математика, по-видимому, следует присудить Фалесу Милетскому (640/624–548/545 до н. э.) – предполагается, что именно он привел первые описания различных геометрических теорем, ставших прообразом великой дедуктивной системы Евклида. Но наши знания о греческой математике и вообще об этом периоде основываются по большей части на исторических слухах. Мало того что сочинения того времени до нас не дошли, мы вынуждены полагаться на комментарии, сделанные спустя тысячу лет после описываемых в них событий.

В IV веке до нашей эры, после основания Академии Платона, а позже Лицея его бывшего ученика, Аристотеля, Афины стали считаться центром средиземноморского интеллектуального мира. Роль Платона в истории математики – все еще тема жарких дебатов. От него не осталось никаких собственноручно написанных формальных математических сочинений, но он оказал сильное влияние на философию математики. В своем диалоге «Республика» он утверждал, что математика должна быть одной из основных наук, изучаемых будущими правителями, а в диалоге «Тимей» мы видим своего рода преобразованное пифагорейство плюс Платоновы тела, связанные с четырьмя стихиями, и додекаэдр как символ цельной Вселенной. Влияние философии Аристотеля было для математики не особенно полезным. То, что он требовал логики, имело положительный эффект, но отказ принять бесконечность и бесконечно малые величины, а также вера в то, что совершенное движение происходит по окружности и прямым линиям, поскольку это идеальные фигуры, пользы не принесли.

Академия и Лицей были и важными центрами математического образования и исследований. Аристотель был наставником Александра Великого, управлявшего империей, которая в период расцвета простиралась аж до Северной Индии. После смерти Александра обширное государство между собой поделили его враждовавшие друг с другом генералы. Но в одном из осколков огромной империи во времена просвещенного правления Птолемея I возник научный центр – новый город, Александрия, с ее Музеем и драгоценной Библиотекой. Во второй период классической эпохи Древней Греции, известный как Золотой век греческой математики, Александрия в значительной степени затмила Афины.

Самый выдающийся труд в греческой математике – это, несомненно, «Начала» Евклида (ок. 325–265 до н. э.). Несмотря на такую известность, о жизни математика известно очень немногое. Неясным остается даже место его рождения. Из текста более позднего комментатора Прокла Диадоха известно, что Евклид учился в Александрии во времена правления Птолемея. Когда царь спросил, как побыстрее изучить геометрию, Евклид ответил, что «не существует царского пути к геометрии». Известность «Начал» порой затмевала тот факт, что Евклид написал множество других работ, посвященных оптике, астрономии, механике и музыке. Но «Начала» стали стандартным учебником по геометрии, изучавшимся в течение многих последующих столетий. Он был настолько полным, что все предшествовавшие книги оказались избыточными, и их копий не сохранилось. Как и в случае многих других учебников, большая часть «Начал» – не оригинальная работа Евклида, но именно его мы должны благодарить за сведение результатов множества других источников и написание стройного труда, который стал общепринятой моделью логической, дедуктивной системы теорем и доказательств. «Начала» – это не краткое изложение всей греческой математики, в сочинении описаны только основы. В него не включены вычисления и многие более сложные математические задачи, такие, как конические сечения.

«Начала» состоят из 13 книг. В них охвачены вопросы планиметрии и стереометрии, теория чисел и теория непропорциональности. Книга начинается со списка, состоящего из 23 определений, например «точка – это то, что не делится на части», «линия – это длина без ширины». Затем следует пять аксиом и пять «общих понятий». У печально известного пятого постулата своя история. Фактически, каждый раздел книги открывается дальнейшими определениями, необходимыми для новых тем, которые рассматриваются в той или иной главе. Для Евклида определения были более очевидны, чем постулаты, хотя мы рассматриваем их одинаково – как аксиомы. Постулаты обычно описывают некое действие, например «от всякой точки ко всякой точке можно провести прямую», тогда как четвертое определение утверждает: «прямая линия есть та, которая ровно лежит на всех своих точках». В целом геометрия здесь сводится до методов построений с применением линейки и циркуля. Эти два простых инструмента послужили логическими генераторами целой системы. Круг и прямая считались самыми совершенными фигурами. Греки использовали и другие, так называемые «механические» методы построений, но в «Началах» они не описываются.

В книгах с первой по четвертую речь идет о построении плоскостных геометрических фигур, включая четырехугольники, треугольники, круги и многоугольники, созданные при помощи кругов. Утверждалось, что в некоторых книгах, особенно во второй, содержится намек на своего рода алгебраическую геометрию, где геометрические построения служат той же цели, что и алгебраические манипуляции. Независимо от того, верно это или нет, кажется, по крайней мере в ранних теоремах Евклид интересуется исключительно геометрическими понятиями. Термин «величина» используется для обозначения любого геометрического объекта – отрезка или фигуры, а теоремы связаны с построениями и выяснением отношений между этими величинами. В этом труде нет отсылок к числовым понятиям вроде длины; таким образом, например, квадрат рассматривается как геометрическое пострπоение, проистекающее из отрезка. Евклид нигде не заявляет, что площадь такого квадрата есть произведение его сторон, – это определение возникнет намного позже. Таким образом, величины – самое элементарное понятие в «Началах», фундамент, на котором построена остальная часть работы. В этом контексте интересно заметить, что доказательство теоремы Пифагора выполняется путем построений, в то время как обращение к фактическим площадям, возможно, привело бы к совершенно иной форме доказательства.

В пятой книге изложена общая теория пропорций, в том виде, в каком ее первоначально изложил Евдокс. Член Академии Платона, Евдокс Книдский (ок. 408 – ок. 355 до н. э.) был одним из известнейших математиков своего времени. Ему приписывают два фундаментальных открытия: теорию отношений и метод исчерпывания. Выход из очевидного кризиса несоизмеримостей был найден в значительной степени благодаря возможности манипулировать их произведениями и отношениями посредством отношений Евдокса. Евклид фактически цитирует множество различных правил для составления отношений и условий их использования. Предпочтение отношений по сравнению с дробями давало некоторые преимущества. Теперь можно было сформулировать правило вроде: «отношение площадей кругов пропорционально отношению квадратов их диаметров» и использовать его для доказательства самых разных теорем, не применяя иррациональное число π.Кроме того, отношение величин одного и того же типа не имеет размерности и может быть сопоставлено с другими отношениями, как показано в примере, приведенном выше. Таким образом, отношение стало основополагающей связью между величинами, и теория Евдокса позволила сравнивать различные отношения. В шестой книге «Начал» описаны правила работы с подобными фигурами. Там содержится обобщение теоремы Пифагора, не ограниченной квадратами сторон треугольника. Теорема была расширена таким образом, что ее можно было использовать для любой построенной фигуры. Таким образом, если мы строим полукруги, диаметры которых равны катетам треугольника, тогда сумма площадей двух меньших полукругов равна площади большего.

Теория чисел рассматривается в седьмой, восьмой и девятой книгах. У Евклида словом «числа» обозначались только целые величины. Определения в седьмой книге показывают, что работа с числами воспринималась в основном в геометрическом контексте. Евклид говорит, что «кратное число – большее от меньшего, если оно измеряется меньшим», а произведение двух чисел – площадь прямоугольника. Есть также знаменитое правило, известное как «Евклидов алгоритм», позволяющее найти наибольший общий множитель двух величин, или, по словам Евклида, «наибольшую общую меру между двумя величинами». В девятой книге мы находим известное доказательство, которое, говоря современным языком, утверждает существование бесконечного числа простых чисел. Евклид отчетливо избегает упоминания бесконечности. Он заявляет, что «простых чисел больше любого наперед заданного количества» (иными словами, мы можем выбрать любое число, и простых чисел будет все равно больше, чем это число), и переходит к доказательству этого тезиса, взяв три конкретных простых числа, лишь подразумевая, что решение будет таким же для «любого наперед заданного количества». В этой книге также приведено правило построения совершенных чисел. Совершенное число – это число, сумма множителей которого равна самому этому числу. Первое совершенное число – 6, второе – 28 (его множители – 1, 2, 4, 7 и 14, сумма которых равна 28).

Десятая книга содержит подробный анализ различных иррациональных длин, и именно здесь мы находим идею несоизмеримости между основными величинами, сводящуюся к понятию иррациональности между длинами (и площадями). Если некий отрезок определен как рациональный, тогда любой другой отрезок, несоизмеримый с ним, считается иррациональным. Приводятся длинные доказательства для всех типов иррациональности, от простых квадратных корней до кратных корней вроде √ (√ a +√ b). Дискуссия о способах выражения иррациональных чисел в цифровой форме проливает свет на некоторые интересные проблемы. Числовая нотация (представление) иррационального числа, основанная на алгоритме Евклида, действительно существовала, но, хотя она была полезной для представления одного иррационального числа, простой процедуры для отображения в этой нотации сумм или произведений иррациональных чисел так и не нашлось. Любопытна Лемма 1 (лемма – это вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем), изложенная в этой книге: она демонстрирует два квадрата чисел, сумма которых тоже представляет собой квадрат числа, – в сущности, это теорема Пифагора в числовом виде, однако никакой ссылки на доказательство теоремы, приводимое в конце первой книги, здесь нет. Именно в десятой книге содержится дерзкое предположение, что подобные численно-геометрические процедуры – лишь первый шаг к более сложным задачам, в частности к задачам вычисления площадей, проблеме квадратуры. Также следует отметить, что все иррациональные числа, о которых говорится в книге, могут быть построены с помощью линейки и циркуля, – а вот, например, кубических корней там нет. В последних разделах «Начал» громоздкая классификация иррациональных чисел становится более понятной – там они вновь появляются в связи с описанием тел правильной формы.

В заключительных трех книгах «Начал» рассматриваются вопросы стереометрии. Там используется метод исчерпывания Евдокса как способ найти площади и объемы путем последовательных приближений. Архимед приписал Евдоксу первое доказательство, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой. Считается, что большая часть двенадцатой книги основана на работах Евдокса. В тринадцатой книге приводится доказательство, что существует всего пять правильных Платоновых тел, построенных из треугольников, квадратов и пятиугольников [5]5
  Напомним: пять правильных Платоновых тел – это тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.


[Закрыть]. Все они вписаны в сферу, и есть подробные указания по поводу относительных расстояний от граней каждого тела до центра сферы. Здесь используются иррациональные числа, описанные в десятой книге. Этим труд Евклида завершается.

«Начала» были самым влиятельным учебником всех времен. Они многократно переписывались, к ним писались новые комментарии, дополняющие более древние. Книги переводились на другие языки и редактировались таким образом, чтобы соответствовать интересам и культуре разных цивилизаций. Восстановить оригинальную работу Евклида стало практически невозможно – к девятому веку нашей эры остались только фрагменты исходного текста. Однако наиболее важен тот факт, что работа Евклида не только выжила, но и отодвинула в тень все другие учебники, существовавшие до нее.

В течение некоторого времени Александрия оставалась научным центром. Там сначала учился, а затем преподавал Аполлоний Пергский (262–190 до н. э.), которого часто называют Великим Геометром. Самая известная его работа – специализированное исследование в области геометрии под названием «Конические сечения» (в 8 книгах). Конические сечения – это фигуры, получаемые в результате рассечения конуса под различными углами: круг, эллипс, парабола и гипербола. В Александрии учились Архимед, Птолемей и Диофант Александрийский (предположительно III в. н. э.). В IV веке нашей эры блеск Александрии начал угасать. В то время, когда главой платоновской школы стала Гипатия (ок. 370–415 н. э.) – дочь Теона Александрийского, первая женщина-математик, если верить сведениям, дошедшим до наших дней, – набирающее силу христианское движение становилось все менее терпимым к тому, что считало языческой наукой и философией. Смерть Гипатии от рук членов местной христианской секты считается началом конца Александрии – столицы наук. Центр научного мира переместился в восточном направлении – в Багдад.

5. Десять книг счетного канона

Поначалу китайская цивилизация развивалась по берегам рек Янцзы (Длинная) и Хуанхэ (Желтая) во времена легендарной династии Ся во втором тысячелетии до нашей эры. Династия Чан правила примерно с 1520 по 1030 год до нашей эры, после чего ее вытеснили захватчики Чжоу, которые к восьмому веку до нашей эры начали постепенно терять власть. Затем, приблизительно с 400 по 200 год до нашей эры, империя превратилась в раздробленную путаницу враждующих государств. Именно к этому периоду, известному как Период Сражающихся царств, относится первый чисто математический текст «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»). То было время Конфуция, одного из многочисленных ученых-перипатетиков, которые вели опасную жизнь советников при небольших правителях. Во времена воссоединения Китая при императоре Цинь Шихуанди произошло как объединение разрозненных оборонительных стен в Великую Китайскую стену, так и беспричинное сжигание книг. При следующей династии Хань (200 до н. э. – 200 н. э.) ученые искали рукописи, избежавшие уничтожения, и нередко восстанавливали тексты по памяти. К этому периоду относятся как важный математический текст «Цзю чжан суань шу» («Правила счета / методы вычислений в девяти разделах» / «Девять глав о математическом искусстве»), так и комментарии к «Канону расчета чжоуского/всеохватного гномона». Следующий значительный текст появился в седьмом веке нашей эры, когда во времена династии Суй (581–618) и династии Тан (618–907) была проведена образовательная реформа, в результате которой математика стала преподаваться в «Школе для сынов государства». Там использовался учебник, носивший название «Суань цзин ши шу» («Десять книг счетного канона» / «Математическое десятикнижие») – компиляция наиболее значительных работ, известных в то время. В него входили «Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона» и «Девять глав». Этот учебник считался важным учебным пособием в течение многих столетий. В седьмом веке был совершен величайший инженерный подвиг – две величайшие реки Китая были соединены Великим каналом. В конце концов люди восстали против тягот, которые принесло им строительство этого канала, и просуществовавшая совсем недолго династия Суй уступила место династии Тан. Столица империи Тан – город Чанань (современный Сиань) – стала интеллектуальным мостом между Китаем и Средней Азией, играя ту же роль, что и другой большой космополитический город, расположенный намного западнее, – Багдад. В период трехсотлетнего правления династии Тан произошло изобретение книгопечатания и пороха. Наша экскурсия заканчивается династией Цзинь, которая просуществовала до 1234 года. Сейчас мы рассмотрим «Девять глав о математическом искусстве».

Интерес китайцев к магическим квадратам, похоже, больше связан с предсказаниями, чем с математикой. Легенда гласит, что император Юй, правивший в третьем тысячелетии до нашей эры, стал обладателем двух важных диаграмм на нефритовых пластинках. Одну он получил от волшебного дракона-лошади, который поднялся из Хуанхэ, а другую император вынул из панциря черепахи, найденной в реке Лохэ – правом притоке Хуанхэ. Первые иллюстрации волшебного креста и квадрата относятся к десятому веку, и вплоть до тринадцатого века никакие магические квадраты размером больше 3 x 3 не обсуждались. К этому времени упоминания о предполагаемых магических свойствах квадратов уже прекратились, а математик Ян Хуэй сконцентрировался на числовых свойствах разнообразных числовых квадратов и кругов. Начиная с девятого века свойства магических квадратов изучали арабские математики, и недавно в Сиане был найден арабский магический квадрат, относящийся к периоду монгольского завоевания Китая (1279–1368).

«Девять глав» – важнейший труд китайской математики. Сейчас почти невозможно вычленить оригинал из массы позднейших комментариев. Комментатор третьего века нашей эры Лю Хуэй заявляет, что в его время работа была в значительной степени переписана, был включен новый материал и выброшены некоторые ненужные разделы. Самая ранняя сохранившаяся версия текста датируется тринадцатым веком, но это только часть книги; наиболее полный текст относится к восемнадцатому столетию. Это очень похоже на нехватку оригинальных греческих текстов, хотя в данном случае промежуток между повторами и оригиналами, которые, как утверждается, он отражает, намного длиннее. «Девять глав» содержат 246 задач. Каждый раздел начинается с заявленной задачи, после чего приводится числовой ответ и метод, позволяющий получить решение. Не приводятся никакие логические объяснения или доказательства. Большая часть книги состоит из практических вычислительных задач, вроде распределения земли, разделения товаров и управления крупномасштабными строительными работами. В данном случае мы рассмотрим методы извлечения квадратных корней и решения уравнений.

Вычисления проводились путем выкладывания счетных палочек на счетной доске. Иногда счетная доска выполнялась в виде специальной сетки, но в некоторых текстах упоминается, что для подсчетов могла использоваться любая поверхность. Главное – правильно выложить палочки во время вычисления, что позволяет возобновлять прерванное вычисление с того места, где оно было прервано, что особенно важно при длительных расчетах. Ответы записывались сразу же после того, как они появлялись на счетной доске. Получающееся изображение числа палочками по своему характеру относится к десятичной системе счисления, но цифры с 1 до 9 строятся при помощи сложения – вертикальные палочки обозначали каждую единицу, а горизонтальная палочка обозначала 5. В некоторых источниках приводятся иллюстрации, на которых направление палочек меняется, но палочка, обозначавшая 5, всегда была перпендикулярна единицам – это, несомненно, визуально облегчало процесс счета и ускоряло вычисления. Использование специального символа для 5 перенесено на абаку, которая, похоже, не стала общепринятым инструментом счета вплоть до шестнадцатого века. Как и вавилоняне, китайцы, по-видимому, не имели особого символа для обозначения ноля. При раскладывании счетных палочек, там, где должен быть ноль, оставляли пустое место, но это, похоже, не фиксировалось при записи ответа, и только из контекста можно было понять, был ли ответ, скажем, 18, 108 или 1800. Есть письменное свидетельство – китайский перевод индийского текста, – что в восьмом веке в качестве ноля использовалась точка. Круглый ноль появился намного позже, в тринадцатом веке, равно как и «квадратный» ноль, легко получающийся при работе со счетными палочками.

Извлечение квадратного и кубического корней начинается с определения порядка величины корня путем осмотра, и затем по очереди вычисляется каждая цифра. В примере из «Девяти глав» вычисляется квадратный корень из 71 824. Легко понять, что значение квадратного корня находится между 200 и 300, и потому ясно, что это число из трех знаков – abc – где аравно 2. Таким образом, задача заключается в том, чтобы вычислить значения b и с. Объяснение процедуры вычисления, согласно Лю Хуэю, исходит из геометрии. Квадрат анализируется специфическим способом. Установив, что корень больше 200, мы удаляем из схемы квадрат 200 х 200, оставляя L-образную форму, называемую «гномоном». Затем мы находим максимальное значение десятков, которое вписывается в гномон. Это число 60, и в результате возникает следующий L-образный гномон. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено требуемое решение. Если ответ – не целое число, процесс или продолжается до получения необходимого количества десятичных значений, или остаток дается в виде дроби. Та же самая техника используется для вычисления кубического корня – куб расчленяется аналогичным образом.

Эта геометрическая техника эквивалентна использованию биномиального разложения, числовые коэффициенты которого могут быть выражены тем, что сейчас известно как треугольник Паскаля. Этот алгебраический метод активно применялся в одиннадцатом столетии и, возможно, еще ранее, позволяя китайцам вычислить корень любой n-й степени, какой им было нужно. И снова неясно, был ли треугольник Паскаля получен из индийских источников или открыт самостоятельно. Каждый шаг извлечения квадратного корня требует решения квадратного уравнения. Аналогично извлечение корней более высокого порядка, например кубического корня, требует решения уравнений более высокого порядка, или полиномиалов. Соответственно подобный метод мог использоваться для того, чтобы решить любой полиномиал без применения геометрической структуры гномонов. Как и в других культурах, одного корня было всегда достаточно, и мы не можем сказать, знали ли китайцы о том, что полиномиал мог иметь несколько решений. Уравнения не записывались в терминах переменной воде «х», они выражались только в терминах числовых коэффициентов, которые выкладывались на вычислительной доске. Похоже, китайцев не интересовало, конечно или бесконечно решение, – алгоритм был одинаково эффективен в обоих случаях, и вычисление заканчивалось в тот момент, когда достигалась требуемая точность.

В «Девять глав» также входят задачи, представляющие собой системы линейных уравнений с более чем одним неизвестным. Лю Хуэй заявляет в своем комментарии, что общий метод трудно объяснить без обращения к конкретному примеру. В этом методе коэффициенты системы уравнений представлены счетными палочками, разложенными в виде матрицы. Затем с числами производятся определенные манипуляции, чтобы устранить некоторые из коэффициентов, оставляя явные числовые решения. Это очень похоже на современный метод, известный как Гауссово исключение (по имени математика Карла Фридриха Гаусса), но китайцы не развили идею до вычисления детерминанта матрицы, так что, возможно, более корректно расценивать конфигурацию счетных палочек не как матрицу, а как таблицу.

Есть также важная работа по неопределенным уравнениям, где существует несколько возможных ответов – иногда бесконечное их множество. В книге представлены два типа задач: первая – задача на остаток, вторая известна как «задача о сотне домашних птиц». Задача о сотне домашних птиц в самом разном виде встречается в самых разных уголках средневекового мира – в европейских, арабских и индийских текстах. В «Десяти канонах» сказано, что петушки стоят 5 цянь, курицы – 3 цянь, а 3 цыпленка – 1 цянь. Если 100 птиц куплены за 100 цянь, сколько каких птиц было куплено? Приводятся три решения. Одно из них – 4 петушка, 18 куриц и 78 цыплят. (Есть решение с отсутствующим элементом, когда можно купить 25 куриц и 75 цыплят, но ни одного петушка.) Эти ответы правильные, но объяснение, похоже, неверное.

При описании задачи на остаток приводится и результат, и общий метод, но снова без объяснения. В этой задаче, согласно описанию в «Девяти главах», приобретается неизвестное число предметов. Если посчитать их по три, остается две штуки, если посчитать их по пять штук, остается три, а если считать их по семь штук, остается два. Цель состоит в том, чтобы найти число купленных предметов. Решение скорее методологическое, чем объяснительное. В целом для решения задачи требуется найти наибольший общий сомножитель для чисел 3, 5 и 7. Странно, но в следующий раз эта же задача упоминается только в тринадцатом веке в работе Цинь Цзюшао.

Цинь Цзюшао родился в городе Аньюэ (ныне в провинции Сычуань). Его отец занимал множество различных административных постов, включая должность заместителя директора Дворцовой библиотеки. Цинь Цзюшао изучал астрономию в столице, Ханьчжоу, но в 1234 году вступил в армию, чтобы противостоять монгольским захватчикам. Это были десять тяжелых лет. В 1244 году он вернулся и стал «придворным чиновником с широкими полномочиями» (это высокий титул) в префектуре Цзянькан (ныне Нанкин), однако в том же году Цинь Цзюшао удалился от службы на три года, чтобы оплакать смерть матери. Вероятно, именно в этот период он составил свой труд «Шу шу цзю чжан» («Девять книг по математике»), структура которого напоминает «Десять канонов», но несколько сложнее.

В «Шу шу цзю чжан» описываются методы решения задач индивидуального сравнения и ряда одновременных сравнений, как в случае задачи на остаток. Сравнения, возможно, лучше известны в форме модульной арифметики (арифметические операции над абсолютными значениями чисел). Решения соответствуют тому, что теперь известно как китайская теорема остатка. Цинь Цзюшао утверждает, что он научился этому методу у составителей календарей, работавших в Императорском Астрономическом бюро в Ханьчжоу, но там использовали правило, не понимая его. Это правило было выведено для того, чтобы решить проблему сопоставления различных циклов вроде лунного месяца, солнечного года и искусственного шестидесятеричного цикла. Фактически даже Гаусс, который вновь открыл метод пять столетий спустя, использовал для примера задачи с календарными циклами. Неясно, где Цинь Цзюшао на самом деле узнал это правило. Подлинное новаторство первоклассного математика заключается в выходе за пределы традиции комментариев. Он применил давнюю китайскую вычислительную традицию для решения реальных проблем.