Текст книги "Алиса в стране Смекалки"
Автор книги: Рэймонд М. Смаллиан
сообщить о нарушении
Текущая страница: 10 (всего у книги 12 страниц)
Глава 5
42. Появление первого шпиона. С заведомо не может быть рыцарем, так как ни один рыцарь не стал бы лгать и утверждать, будто он шпион. Следовательно, С либо лжец, либо шпион. Предположим, что С шпион. Тогда показание А ложно, значит, А шпион (А не может быть шпионом, так как шпион С) и рыцарем может быть только В. Но если В рыцарь, то как он мог дать ложные показания, утверждая, будто А рыцарь? Следовательно, предположение о том, что Сшпиои, приводит к противоречию. Значит, С лжец. Тогда показание В ложно, поэтому В либо лжец, либо шпион. Но так как лжец В, то шпионом должен быть А. Следовательно, А может быть только рыцарем.
Итак, А рыцарь, В шпион и С лжец.
43. Глупый шпион. Ложное заявление, изобличающее шпиона, могло быть, например, таким: «Я лжец».
Рыцарь никогда не лжет и поэтому не станет утверждать о себе, будто он лжец. С другой стороны, лжец никогда не говорит правды и не станет признаваться, что он лжец. Только шпион может сделать ложное признание, будто он лжец.
44. Еще один глупый шпион. Истинное заявление, изобличающее шпиона, могло быть, например, таким: «Я не рыцарь». Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы сказать о себе такое. Рыцарь никогда не лжет и не станет утверждать, будто он не рыцарь. Лжец всегда лжет и не станет признаваться, что он не рыцарь. Значит, такое заявление мог бы сделать только шпион.
45. Хитрый шпион. Если бы А ответил на вопрос судьи «да», то тем самым он изобличил себя как шпиона, так как судья (вместе с присяжными) мог бы рассуждать следующим образом:
«Предположим, что В шпион. Тогда все трое обвиняемых дали бы правдивые показания, что невозможно, так как один из них лжец. Следовательно, В не может быть шпионом. Значит, его показание ложно, поэтому В лжец. Показание С также ложно, а поскольку С не лжец (ибо лжец В), то он шпион».
Таким образом, если бы на вопрос судьи С ответил «да», то он был бы изобличен как шпион. Зная это, С благоразумно ответил «нет», лишив тем самым суд возможности установить, шпион он или коренной житель. (Суду удалось лишь установить, что либо С рыцарь, а В шпион, либо С лжец, а А шпион, либо С шпион.)
46. Кто Мердок? Так как А утверждает, что он шпион, то А либо лжец, либо шпион. Аналогичным образом, так как С утверждает, что он шпион, С либо лжец, либо шпион. Следовательно, из двух подсудимых А и С один лжец, а другой шпион. Значит, В рыцарь и дал на суде правдивые показания: А шпион.
47. Возвращение Мердока. Если А Мердок, то все три показания истинны, что невозможно, так как один из троих подсудимых лжец. Если С Мердок, то все три показания ложны, что также невозможно, так как один из троих подсудимых рыцарь. Следовательно, Мердоком должен быть В.
48. Более интересный случай. Задачу невозможно было бы решить, если бы в условиях не было ссылки на то, что суд изобличил шпиона, после того как на него указал С: ведь мы знаем, что суд смог установить, кто из троих шпион, и это весьма важная «зацепка»!
Предположим, что С обвинил А в том, что тот шпион. Располагая этими данными, судья не мог бы решить, кто шпион, поскольку они позволяют лишь утверждать, что либо А шпион, В лжец и С рыцарь либо В шпион, А рыцарь и С лжец, либо С шпион, А лжец и В рыцарь.
Таким образом, если С указал на А как на шпиона, то судья не мог бы изобличить настоящего шпиона.
Посмотрим теперь, что произошло бы, если бы С указал на В. Тогда В обвиняли бы в том, что он шпион, двое: А и С. Выдвинутые А и С обвинения либо оба истинны, либо оба ложны. Если бы они были оба истинны, то В действительно был бы шпионом, а так как А vi С оба сказали правду, они оба должны были бы быть рыцарями («вакансия» шпиона занята В). Но по условиям задачи среди подсудимых А, В и С не может быть двух рыцарей. Следовательно, предъявленные В обвинения в шпионаже ложны. Значит, В не шпион. Мог бы А быть шпионом? Нет, так как если бы А был шпионом, то взаимные обвинения В и С в шпионаже были бы ложны. Следовательно, В и С были бы (оба) лжецами (что противоречит условиям задачи.) Остается единственно возможный случай: шпион С (В, обвинивший С в шпионаже, рыцарь, а А, обвинивший В, лжец).
Итак, если С указал на А как на шпиона, то судья не смог бы установить, кто из троих в действительности шпион. Но если С указал на В, то судья смог бы решить что шпион С. А так как судья знал, на кого показал А, то С должен был указать на В, и судья на основании полученных данных изобличил С в шпионаже.
49. Еще более интересный случай. Мыне знаем, что ответили А и В, поэтому нам необходимо рассмотреть четыре возможных случая:
1) А и В оба сказали «да»:
2) А сказал «нет», В сказал «да»;
3) А сказал «да», В сказал «нет»;
4) А и В оба сказали «нет».
Все эти четыре случая встретятся нам и в следующих двух задачах, поэтому мы тщательно проанализируем их сейчас.
Случай 1: А и В оба сказали «да». Так как А утверждает, что он шпион, то А либо лжец, либо шпион (рыцарь не станет называть себя шпионом). Если А лжец, то он солгал и в том случае, когда утверждал, что занимается шпионажем. Следовательно, В солгал, утверждая, что А сказал правду. Значит, В не рыцарь, а поскольку А лжец, то В шпион, и, наконец, С должен быть рыцарем. Таким образом, если А лжец, то В шпион, а С рыцарь.
Предположим теперь, что А шпион. Тогда он сказал правду, поэтому В, утверждая, что А сказал правду, не погрешил против истины. Следовательно, В должен быть рыцарем. Но тогда С может быть только рыцарем. Таким образом, если А лжец, то В шпион, а С рыцарь. Запишем оба возможных варианта (1а и 1б) случая 1 в следующем виде:
Случай 2: А сказал «нет», В сказал «да». Так как А отрицает, что он шпион, то А либо рыцарь, либо шпион (лжец солгал бы и сказал бы о себе, что он шпион). Если А рыцарь, то он сказал правду. Значит, В также сказал правду, когда заявил, что А сказал правду, поэтому В не может быть лжецом.
Следовательно, В должен быть шпионом. Но тогда С может быть только лжецом.
Если А шпион, то он солгал. Следовательно, В также солгал, когда утверждал, что А сказал правду. Значит, В лжец, и тогда С может быть только рыцарем. Оба возможных варианта случая 2 (2а и 26) запишем в следующем виде:
Случай 3: А сказал «да», В сказал «нет». Так как А утверждает о себе, что он шпион, то (как и в случае 1) А должен быть лжецом или шпионом. Если А лжец, то он солгал, но тогда В сказал правду. Значит, либо В рыцарь (и С шпион), либо В шпион (и С рыцарь). Если А шпион, то он сказал правду, но тогда В солгал. Значит, В лжец и С рыцарь. Таким образом, в случае 3 возможны три варианта:
Случай 4: А и В оба сказали «нет». Так как А отрицает, что он шпион, то (как в случае 2) А либо рыцарь, либо шпион. Предположим, что А рыцарь. Тогда А сказал правду, а В солгал. Следовательно, В лжец (а С шпион) или В шпион (а С лжец). Предположим, что А шпион. Тогда он сказал правду. Значит, В также сказал правду, поэтому В рыцарь (а С лжец). Таким образом, в случае 4 возможны три варианта (как и в случае 3):
Для удобства сведем все четыре случая в одну таблицу.
Обратимся снова к условиям задачи. После того как А и В ответили на вопросы судьи, тот сумел установить, что С не шпион. В случае 3 судья не мог бы установить, шпион ли С или рыцарь. В случае 4 судья не смог бы установить, шпион ли С или лжец. Но судья со всей определенностью заявил, что С не шпион. Значит, случаи 3 и 4 отпадают и остается либо случай 1, либо случай 2.
Когда судья утверждает, что С не шпион, ему известно, что А сказал правду. Тем самым судье известно, что А либо рыцарь, либо шпион. В случае 2 судья не смог бы определить, рыцарь ли А или шпион, и установить, кто шпион. Таким образом, остается только случай 1: судья знал, что А не мог быть лжецом (так как А сказал правду). Следовательно, А должен был быть шпионом.
50. Такой же интересный случай. Поскольку судья задал подсудимым А и В одинаковые вопросы, как и в предыдущей задаче, мы можем воспользоваться уже знакомой нам таблицей.
Рассмотрим тот момент судебного заседания, когда судья спросил подсудимого С, шпион ли тот. В этот момент судья не мог утверждать ни об одном из трех подсудимых, что тот заведомо не шпион, поскольку в противном случае судье пришлось бы освободить невиновного из-под стражи. Тем самым случаи 1 и 2 отпадают, так как в каждом из них судья бы знал, что С либо рыцарь, либо лжец, и освободил бы С. Следовательно, нам остается рассмотреть случаи 3 и 4.
Как мог рассуждать судья, выслушав ответ подсудимого С? В случае 3 судье известно, что С либо шпион, либо рыцарь. Если бы С на вопрос судьи ответил «нет», то судья не узнал бы ничего нового и не мог бы никого изобличить. Но если бы С ответил «да», то судья мог бы с уверенностью утверждать, что С шпион, так как рыцарь не мог бы сказать о себе, будто он шпион. Таким образом, в случае 3 как шпион был изобличен С.
В случае 4 судье известно, что С либо шпион, либо лжец. Если бы С ответил «да», то судья не мог бы утверждать, что С шпион (так ответить мог бы и лжец, и шпион). Но если бы С ответил «нет», то судья установил бы, что С шпион, поскольку лжец не способен сказать правду и признаться, что он не шпион. Таким образом, в случае 4 С был бы также изобличен как шпион.
Интересно отметить, что ни вы, дорогой читатель, ни я не можем сказать, какой из двух случаев (3 или 4) имеет место в действительности, как не можем узнать, что ответил («да» или «нет») С судье. Нам известно лишь, что судья смог определить, кто из обвиняемых шпион, поэтому либо все происходило, как в случае 3, и С ответил «да», либо все происходило, как в случае 4, и С ответил «нет». И в том и в другом случае С был изобличен как шпион, поэтому мы можем с уверенностью сказать, что С шпион.
51. Самый интересный случай из всех. Воспользуемся той же таблицей, которой мы пользовались при решении двух предыдущих задач.
1-й шаг. После того как В ответил на вопрос судьи, тот освободил одного из обвиняемых из-под стражи. В случаях 3 или 4 шпионом мог бы быть любой из трех подсудимых, и судья не мог бы снять обвинение ни с одного из них. Следовательно, в действительности нам необходимо обратиться к случаям 1 и 2. В этих двух случаях С не может быть шпионом, а каждый из двух остальных обвиняемых может, поэтому судья отпустил на свободу С. Таким образом, нам известно, что С был освобожден из-под стражи и что имеет место либо случай 1, либо случай 2, а о случаях 3 и 4 мы можем теперь полностью забыть.
После того как С покинул зал суда, судья спросил, обращаясь либо к А, либо к В (к кому именно, мы не знаем), не шпион ли его сосед по скамье подсудимых, и получил ответ «да» или «нет» (но какой именно, мы также не знаем). В случае 1 существуют 4 возможных варианта, в случае 2 – еще 4 варианта, что составляет вместе 8 вариантов. Половину из них можно исключить на основании того, что судья, получив ответ, смог решить, кто из двух (А или В) шпион.
Рассмотрим случай 1. Предположим, что судья задал вопрос подсудимому А. Если бы тот ответил «да» (признав тем самым, что шпион В), то судья мог бы исключить случай 1а, так как если А лжец и В шпион, то А, утверждая, что В шпион, не мог бы сказать правду. Исключив из этих соображений случай 1а, судья знал бы, что единственно возможным остается случай 16 и что А шпион. Если бы А ответил «нет», то судья не сумел бы изобличить шпиона, поскольку А мог бы оказаться либо лжецом (который солгал, утверждая, что В не шпион), либо шпионом (который сказал правду, утверждая, что В не шпион). Следовательно, в данной задаче А не мог ответить судье «нет». Таким образом, если судья обратился с вопросом к А, то А ответил «да» и был изобличен как шпион. Предположим теперь, что судья обратился к В и спросил того, шпион ли А. Если бы В ответил «да», то судья не смог бы изобличить шпиона (в чем читатель без труда убедится, рассмотрев оба варианта 1а и 1б: ни в одном из них В не мог бы ответить «нет»). Но если бы В ответил «нет», то судья пришел бы к выводу, что В шпион (случай 16 пришлось бы отбросить, так как в противном случае рыцарь В отрицал бы, что шпион А – шпион). Таким образом, на вопрос судьи подсудимый В ответил бы «нет» и был бы изобличен как шпион. На этом анализ случая 1 завершается.
Случай 2 может быть проанализирован аналогичным образом, и мы приводим лишь общий ход доказательства; предоставляя читателю самостоятельно восполнить недостающие подробности. Итак, в случае 2, если бы вопрос был задан подсудимому А, то для того, чтобы судья мог изобличить шпиона, тот должен был бы ответить «нет». При этом шпионом оказался бы сам A. Если бы вопрос был задай подсудимому В, то для того, чтобы судья мог изобличить шпиона, тот должен был бы ответить «да». Проверку этих утверждений мы предоставляем читателю (как я уже говорил, они лишь несущественно отличаются от приведенных выше рассуждений для случая 1).
Попытаемся теперь систематизировать все, что нам удалось узнать до сих пор.
В случае 1 либо судья адресовал свой третий вопрос подсудимому А, и тот, ответив «да», изобличил себя как шпиона, либо обратился с вопросом к подсудимому B, и тот, ответив «нет», изобличил себя как шпиона. В случае 2 либо судья задал свой третий вопрос подсудимому А, и тот, ответив «нет», выдал себя как шпиона, либо судья адресовал свой третий вопрос подсудимому В, и тот, ответив «да», изобличил себя как шпиона.
Таким образом, всего существуют четыре варианта:
2-й шаг. До сих пор мы могли обходиться без дополнительной информации о двух приятелях мистера Энтони. Известно, что они либо оба решили задачу, либо оба не решили ее. Докажем, что они могли оба решить задачу.
Начнем с первого приятеля. Если бы мистер Энтони ответил ему утвердительно, то приятель понял бы, что имеет дело со случаем 1а и что шпион А. Если бы мистер Энтони ответил приятелю отрицательно, то тот не смог бы различить, имеет ли он дело со случаями 1б, 2а или 2б, и выяснить, кто из двух, А или В, шпион. Следовательно, первый приятель мог решить задачу только при одном условии: если мистер Энтони ответил на его вопрос утвердительно и имеет место случай 1а.
Обратимся теперь ко второму приятелю. Если бы мистер Энтони ответил ему утвердительно, то этот приятель понял бы, что имеет дело со случаем 2а и что А шпион. Но если бы мистер Энтони ответил ему отрицательно, то второй приятель не мог бы решить задачу. Таким образом, второй приятель мог бы решить задачу только в случае 2а при условии, что мистер Энтони ответил на его вопрос утвердительно. Но случаи 1а и 2а не могут иметь место одновременно. Следовательно, мистер Энтони не мог утвердительно ответить на вопросы обоих своих приятелей, поэтому неверно, что его приятели оба решили задачу. Следовательно, они оба не решили задачу (так как известно, что они либо оба решили, либо оба не решили задачу) и мистер Энтони ни одному из них не ответил на вопрос утвердительно. Тем самым случаи 1а и 2а отпадают, поэтому В должен быть шпионом.
Глава 6
52. Первый вопрос. Алиса ошиблась, записав одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать как 11111, что неверно! Число 11111 – это одиннадцать тысяч одна сотня и одиннадцать! Для того чтобы понять, как правильно записать делимое, сложим одиннадцать тысяч, одиннадцать сотен и одиннадцать «столбиком»:
Мы видим, что одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать – это 12 111, то есть число, делящееся на 3 без остатка.
53. Еще одна задача на деление. Миллион, умноженный на четверть, равен четверти миллиона, а миллион, деленный на четверть, равен числу, четверть которого равна одному миллиону, то есть четырем миллионам.
Таким образом, правильный ответ на вопрос Черной Королевы: четыре миллиона.
54. Задача на сложение и вычитание. Обычно на вопрос задачи отвечают: «Четыре шиллинга». Но если бы бутылка стоила 4 шиллинга, то вино, которое стоит на 26 шиллингов дороже, стоило бы 30 шиллингов, а вино и бутылка вместе стоили бы 34 шиллинга.
Правильный ответ: бутылка стоит 2 шиллинга, вино стоит 28 шиллингов.
55. Во сне или наяву? Если бы Черный Король накануне в 10 ч вечера бодрствовал, то не мог бы вопреки истине считать, что он и Черная Королева почивают. Следовательно, Черный Король в это время спал. Но поскольку во сне он об всем судит превратно, то Черный Король ошибочно считал, что почивает и Королева. Следовательно, вчера в 10 ч вечера Черная Королева бодрствовала.
56. Во сне или наяву? В указанное время Король либо спал, либо бодрствовал. Предположим, что он не спал. Наяву Король обо всем судит здраво. Значит, Черная Королева спала. Но во сне она обо всем судит превратно, поэтому Черная Королева считала, что Король спит. Предположим теперь, что Король спал. Во сне он обо всем судит превратно, поэтому Черная Королева бодрствовала. Наяву Черная Королева обо всем судит здраво, поэтому считала, что Король спит.
Итак, независимо от того, спал Король или бодрствовал, Королева думала, что Король спит.
57. Сколько погремушек? Если Траляля проиграет пари, то у него будет половина от общего числа погремушек (или, что то же, столько же погремушек, сколько их у Труляля), поэтому до заключения пари у Траляля на одну погремушку больше, чем у Труляля. Если же Траляля выиграет пари, то у него будет на две погремушки больше, чем половина от общего числа погремушек. Кроме того, после выигрыша у Траляля окажется 2/3 от общего числа погремушек (или, что то же, вдвое больше погремушек, чем у Труляля), что на 1/6 от общего числа погремушек больше, чем половина от общего числа погремушек (1/2 – 1/3 = 1/6). Следовательно, приращение в 1/6 над половиной от общего числа погремушек то же самое, что приращение в 2 погремушки над половиной от общего числа погремушек. Значит, общее число погремушек равно 12, поэтому у Траляля 7 погремушек, а у Труляля 5.
Проверка. Если Траляля проигрывает пари, то у каждого из братцев становится по 6 погремушек. Если же Траляля выигрывает пари, то у него становится вдвое больше погремушек, чем у Труляля, – 8 против 4.
58. Сколько братьев и сестер? В семье Алисы и Тони четверо мальчиков и три девочки. У Тони три брата и три сестры, у Алисы четыре брата и две сестры.
59. Не по адресу. Утверждение о ровно трех письмах (из четырех), отправленных по адресу, означает то же самое, что утверждение о ровно одном письме, отправленном не по адресу. Следовательно, «выбирать» приходится между двумя случаями: когда по правильным адресам отправлены ровно три письма и ровно два письма. Но отправить по адресу ровно три письма невозможно, так как если три письма из четырех отправлены по адресу, то и четвертое письмо непременно отправлено по адресу. Следовательно, Королева отправила по адресу и не по адресу ровно по два письма.
60. Много ли земли? Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 11 акров. Если бы фермер действительно владел первоначально 11 акрами земли, то сборщик налогов отрезал бы у него l/10 акра (что составляет 1/10 от 11 акров), и у фермера осталось бы 9 9/10 акра вместо 10, как того требуют условия задачи. Таким образом, 11 акров не могут быть правильным ответом.
Как получить правильный ответ? Подойдем к решению задачи следующим образом. После того как сборщик налогов отрезал 1/10 участка, у фермера осталось 9/10 первоначальной площади участка. Таким образом, 1/10 первоначального участка составляют 10 акров. Это означает, что, умножив первоначальную площадь участка на 9/10, мы получим площадь урезанного участка, то есть 10 акров. Следовательно, для того чтобы от площади урезанного участка вернуться к площади исходного участка, площадь урезанного участка необходимо разделить на 9/10! Как известно, разделить на 9/10 то же самое, что умножить на 10/9, поэтому, умножив 10 акров на 10/9, мы получаем 100/9, или 11 1/9» акра.
Проверка. Площадь исходного участка 11 1/9 акра. Одна десятая от 11 1/9 составляет 1 1/9. После отрезания 1 1/9 акра остается участок площадью ровно 10 акров.
61. Еще одна задача об участке земли. Приведем все дроби к общему знаменателю (равному 60): 1/3 + 1/4 + 1/5 = 20/60 +15/60 + 12/60 = 47/60. Кукуруза занимает 13/60 всей площади. Следовательно, 13/60 участка составляют 26 акров, а так как 13 – половина от 26, то 60 – половина всей площади в акрах.
Таким образом, у фермера было 120 акров земли.
Проверка. Треть от 120 равна 40 (на 40 акрах фермер разводил тыкву). Четверть от 120 составляет 30 (30 акров отведено под горох). Одна пятая от 120 равна 24 (на 24 акрах посеяна фасоль). Так как 40 + 30 + 24 = 94, кукуруза занимает остальные 120 – 94 = 26 акров.
62. Часы бьют двенадцать. Шестой удар отделен от первого пятью промежутками времени (паузами). В сумме эти пять пауз длятся 30 с, поэтому пауза между двумя последовательными ударами составляет 6 с (а не 5, как ошибочно полагают некоторые!). Двенадцатый удар отделен от первого 11 паузами. Следовательно, 12 ударов часы пробьют за 66 с.
63. Двенадцатый и последний. Предположим, что Алиса ответила «да». Тогда Королева могла бы по своему усмотрению считать, что Алиса провалилась или выдержала экзамен. Если бы Королева сочла, что Алиса провалилась на экзамене и та осмелилась спросить почему, последовал бы ответ:
– Потому что ты ответила неправильно. Ведь ты сказала, что выдержала экзамен, тогда как в действительности провалилась. А поскольку на последний вопрос ты ответила неправильно, то не выдержала и весь экзамен!
С тем же основанием Черная Королева могла считать, что Алиса успешно выдержала экзамен, и сказать:
– Ты предсказала, что выдержишь экзамен, а так как ты действительно выдержала его, твое предсказание правильно. Значит, и на последний вопрос ты ответила правильно, поэтому я считаю, что ты успешно выдержала экзамен. (Разумеется, и в том и в другом случае в рассуждениях Королевы есть порочный круг, но каждое рассуждение ничуть не хуже другого!)
Вместе с тем, если Алиса ответила «нет», Черная Королева не может считать экзамен ни сданным, ни несданным. Если Королева сочтет, что Алиса успешно выдержала экзамен, то предсказание (ответ) Алисы окажется неверным, а за неправильный ответ (четвертый по счету!) экзамен по всем правилам следует считать несданным! Если же Королева сочтет, что Алиса провалилась на экзамене, то предсказание Алисы окажется правильным, а последний правильный ответ по всем правилам решает исход экзамена в пользу Алисы! Следовательно, Королева не может считать, ни что экзамен выдержан, ни что экзамен не сдан, не впадая при этом в противоречие!
Как я уже говорил, Алису в большей степени интересовало, чтобы не провалиться на экзамене, чем чтобы успешно сдать его, поэтому на последний вопрос она ответила «нет», чем полностью лишила Королеву возможности оценивать результаты экзамена.
