Текст книги "Физика в примерах и задачах"

Автор книги: Е. Бутиков

Соавторы: Александр Кондратьев,Александр Быков
сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 27 страниц) [доступный отрывок для чтения: 10 страниц]

Δ

𝑁

≈

𝑇

Δ

α

.

(1)

Модуль силы трения скольжения Δ𝐹_тр связан с модулем нормальной силы реакции Δ𝑁, как обычно, соотношением

Δ

𝐹

_тр

=

μ

Δ

𝑁

.

(2)

Подставляя сюда Δ𝑁 из формулы (1) и учитывая, что

Δ

𝐹

_тр

=

Δ

𝑇

,

получаем

Δ

𝑇

=

μ𝑇

Δ

α

.

(3)

Будем теперь рассматривать силу натяжения каната 𝑇 как функцию угла α. Тогда, переходя в выражении (3) к пределу при Δα→0 и учитывая, что предел отношения Δ𝑇/Δα при Δα→0 есть 𝑇'(α) – производная от функции 𝑇(α) по α, получим дифференциальное уравнение

𝑇'(α)

=

μ𝑇(α)

.

(4)

Такое уравнение, в котором производная от искомой функции пропорциональна самой функции, как известно из школьного курса математики, имеет решение

𝑇(α)

=

𝐶𝑒

^μα

.

(5)

Как видно из самого решения, постоянная 𝐶 имеет смысл силы натяжения каната 𝑇₀ при α=0, т.е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому

𝑇(α)

=

𝑇₀

𝑒

^μα

.

(6)

Из этого выражения видно, что отношение силы натяжения 𝑇(α₁) на одном конце каната (т.е. при α=α₁,) к силе натяжения 𝑇₀ на другом конце, равное 𝑒^μα₁ не зависит ни от диаметра, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения μ и числом оборотов 𝑛=α₁/2π.

Экспоненциальная функция

𝑒

^μα₁

=

𝑒

^2πμ𝑛

растёт очень быстро. При целых 𝑛 это просто геометрическая прогрессия со знаменателем 𝑒^2πμ Например, даже при μ, равном всего 0,1, после одного оборота (𝑛=1) сила натяжения каната возрастает в 𝑒^2πμ≈𝑒^0,63≈1,87 раза, а после трёх оборотов – в 𝑒^2πμ⋅3≈6,55 раза.

Следует отметить, что описанный способ преобразования силы является существенно необратимым, в отличие от простых механизмов, таких как рычаг, ворот, тали и т. п. Поэтому таким способом можно только останавливать или удерживать корабль, но нельзя, например, подтягивать его к берегу. Однако если привести тумбу во вращение с помощью двигателя, то описанным способом можно подтягивать корабль к берегу. Лебёдки, в которых используется этот принцип (кабестаны), широко распространены во флоте. ▲

IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

Основной закон гидростатики – это закон Паскаля, согласно которому в состоянии равновесия давление 𝑝 в жидкости (или газе) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Если несжимаемая жидкость находится в однородном поле тяжести, то гидростатическое давление на глубине ℎ равно ρ𝑔ℎ где ρ – плотность жидкости. Наличие обусловленного полем тяжести гидростатического давления приводит к тому, что на погружённое в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая сила. Эта сила направлена вертикально вверх, а её модуль равен весу жидкости, объём которой совпадает с объёмом погружённой в жидкость части тела. В этом заключается закон Архимеда.

При стационарном движении жидкости, когда линии тока не меняются со временем и совпадают с траекториями частиц жидкости, через любое поперечное сечение потока в единицу времени проходит одно и то же количество жидкости. Для несжимаемой жидкости это условие выражается уравнением неразрывности:

𝑣₁𝑆₁

=

𝑣₂𝑆₂

,

(1)

где 𝑆₁ и 𝑆₂ – площади сечений, а 𝑣₁ и 𝑣₂ – скорости жидкости в этих сечениях.

Если при движении жидкости можно пренебречь силами вязкости, то такую жидкость называют идеальной. Для идеальной жидкости выполняется закон сохранения механической энергии. Математическим выражением этого закона является уравнение Бернулли:

𝑝

+

ρ𝑔ℎ

+

ρ𝑣²

2

=

const.

(2)

Сумма слагаемых, фигурирующих в левой части уравнения, имеет одно и то же значение вдоль линии тока. Высота ℎ в любой точке отсчитывается от одного уровня, условно принятого за нулевой.

При движении твёрдого тела в жидкости (или газе) на тело действует сила сопротивления. Эта сила зависит от многих параметров, таких, как скорость движения, размеры и форма тела, плотность жидкости, её вязкость. Относительная роль этих параметров меняется в зависимости от скорости движения тела в жидкости. При небольших скоростях эта сила обусловлена в основном вязкостью жидкости. В этом случае сила сопротивления пропорциональна скорости тела.

1. Перевёрнутая воронка.

Перевёрнутая тяжёлая коническая воронка поставлена на ровную горизонтальную поверхность, покрытую листовой резиной (рис. 1.1). Узкое отверстие воронки заканчивается тонкой трубкой, через которую внутрь воронки можно наливать воду. Оказалось, что вода начинает вытекать из-под воронки, когда высота уровня воды в трубке становится равной ℎ. Определить массу воронки 𝑚, если площадь сечения её широкого отверстия равна 𝑆, а высота воронки равна 𝐻.

Рис. 1.1. При высоте уровня ℎ вода начинает вытекать из-под воронки

△ Прежде всего подумаем, почему вода вообще может вытекать из-под воронки. Ведь воронка плотно стоит на резине и никаких щелей там нет. Чтобы вода начала вытекать, воронка должна приподняться. Какая же сила её приподнимает? Дело в том, что силы давления воды в каждой точке поверхности воронки направлены по нормали к ней и поэтому имеют вертикальную составляющую. Результирующая этих сил, как ясно из симметрии воронки, направлена вертикально вверх. При некотором уровне воды в трубке эта результирующая сила давления может оказаться достаточной для того, чтобы приподнять воронку.

Непосредственное вычисление силы давления требует применения интегрирования. Во-первых, давление воды будет разным для разных горизонтальных слоёв, на которые можно разбить поверхность воронки; во-вторых, будут разными площади этих слоёв. Поэтому удобнее не вычислять эту силу «в лоб», а воспользоваться другими соображениями, основанными на особенностях гидростатического давления жидкости.

Представим себе, что воронка вместе с налитой в неё водой стоит на весах. Очевидно, что показания весов определяются суммой масс воронки и налитой в неё через трубку воды. В тот момент, когда вода начинает вытекать из-под воронки, нижний край воронки перестаёт давить на подставку. А это значит, что в этот момент вся сила, действующая на чашку весов, – это сила давления столба воды высотой ℎ на площадь 𝑆. Итак, в момент отрыва

𝑚𝑔

+

ρ𝑔𝑉

=

ρ𝑔ℎ𝑆

,

(1)

где ρ – плотность воды, а 𝑉 – объём воды в воронке и трубке.

Если трубка тонкая, то объёмом заполненной водой части трубки можно пренебречь по сравнению с объёмом самой воронки. В этом случае 𝑉=𝐻𝑆/3, и из уравнения (1) находим

𝑚

=

ρ𝑆

(ℎ-𝐻/3)

(2)

Из формулы (2) видно, между прочим, что воронка довольно тяжёлая: её масса более чем вдвое превышает массу воды в объёме воронки. Если бы воронка имела массу, меньшую чем 2ρ𝑆𝐻/3, то при наливании воды через трубку воронка оторвалась бы от подставки ещё до того, как вода заполнила всю воронку.

Рис. 1.2. Задачу можно решить также и для воронки более сложной формы

Использованный здесь приём позволяет обойтись без непосредственного вычисления силы давления жидкости на поверхность тела и может оказаться полезным при решении других гидростатических задач, особенно в тех случаях, когда тело имеет поверхность сложной формы. Уравнение (1) остаётся справедливым и в том случае, когда воронка имеет более сложную форму, например, такую, как на рис. 1.2. Для нахождения массы воронки нужно только знать объём её внутренней части. ▲

2. Плавающие шары.

Два шара одинакового размера, один лёгкий, а другой тяжёлый, прикреплены к тонкому стержню, причём тяжёлый к середине стержня, а лёгкий к одному из его концов. При погружении в воду в неглубоком месте свободный конец стержня опирается о дно, стержень располагается наклонно и из воды выступает только часть лёгкого шара, причём отношение объёма выступающей части к объёму всего шара равно 𝑛 (рис. 2.1). Будет ли эта система плавать или она утонет, если её опустить в воду на глубоком месте? Массу стержня считать пренебрежимо малой.

Рис. 2.1. Погружённый в воду стержень с шарами опирается о дно

△ При первом чтении условия задачи может показаться, что приведённых данных недостаточно для ответа на поставленный вопрос: ведь не указаны ни объём, ни масса шаров, которые необходимы для нахождения соотношения между силой тяжести и выталкивающими силами. Однако это впечатление обманчиво. Всё, что нужно для решения задачи, в условии задано, и остаётся только сообразить, как этим воспользоваться.

Поведение системы на глубокой воде определяется тем, что больше: действующие на шары силы тяжести или выталкивающие силы, одинаковые для лёгкого и тяжёлого шаров. Это можно выяснить, рассматривая описанное в условии задачи равновесие стержня с шарами на мелководье.

Рис. 2.2. Равновесие системы на мелкой воде

На рис. 2.2 показаны действующие на систему силы. Через 𝑭 обозначена выталкивающая сила, действующая на полностью погружённый шар. Так как лёгкий шар погружён в воду частично, то действующая на него выталкивающая сила, пропорциональная объёму его погружённой части, равна 𝑭(1-𝑛). Поскольку силы тяжести 𝑚𝒈 и 𝑚₁𝒈 и обе выталкивающие силы направлены по вертикали, то и действующая на конец стержня сила реакции дна 𝑸 также направлена вертикально. Рассматривая уравнение моментов сил относительно центра тяжёлого шара, получаем для силы реакции дна выражение

𝑄

=

𝐹

(1-𝑛)

–

𝑚₁𝑔

.

Теперь, учитывая, что векторная сумма всех действующих сил в равновесии равна нулю, можно связать выталкивающую силу с действующими на шары силами тяжести 𝑚𝑔 и 𝑚₁𝑔:

𝑚𝑔

+

𝑚₁𝑔

=

𝐹

+

2𝐹(1-𝑛)

–

𝑚₁𝑔

=

𝐹(3-2𝑛)

–

𝑚₁𝑔

.

(1)

На глубоком месте максимальное значение выталкивающей силы будет достигаться при полном погружении обоих шаров. В этом случае она равна 2𝐹. Если 2𝐹 окажется больше полной силы тяжести, то стержень с шарами будет плавать в вертикальном положении и находящийся вверху лёгкий шар будет частично выступать из воды. Итак, условие плавания на глубокой воде имеет вид

𝑚𝑔

+

𝑚₁𝑔

<

2𝐹

или

𝐹(3-2𝑛)

–

𝑚₁𝑔

<

2𝐹

,

(2)

откуда

1-2𝑛

<

𝑚₁𝑔

𝐹

.

Казалось бы, это неравенство не приближает нас к ответу, поскольку в правой части стоят не заданные в условии силы 𝑚₁𝑔 и 𝐹. Но в его правой части стоит положительная величина, поэтому оно во всяком случае будет выполнено, если потребовать, чтобы было 1-2𝑛≤0. Итак, система будет плавать на глубокой воде, если 𝑛≥½ т.е. если лёгкий шар на мелководье выступает из воды не менее чем наполовину.

Однако насколько хорош полученный ответ? Очевидно, что найдено только достаточное условие, и в действительности система будет, вообще говоря, плавать и при меньших значениях 𝑛. Например, если 𝑚₁𝑔/𝐹=1/5, то система не утонет при 𝑛>0,4. По условию задачи один шар лёгкий, а другой – тяжёлый, т.е. 𝑚₁𝑔≪𝑚𝑔. Очевидно, что значение 𝑚𝑔 лежит в интервале 𝐹<𝑚𝑔<2𝐹 иначе система либо плавала бы, не касаясь дна, и на мелководье, либо тонула. Поэтому 𝑚₁𝑔/𝐹≪1. и истинное минимальное значение 𝑛, при котором система не утонет (обязательно меньшее 1/2), тем ближе к найденному значению 𝑛=1/2, чем меньше отношение 𝑚₁𝑔/𝐹. ▲

3. Знаменитая задача.

В бассейне плавает лодка. Как изменится уровень воды в бассейне, если из лодки в бассейн бросить камень? Что произойдёт с уровнем воды в бассейне, если в днище лодки проделать отверстие и лодка начнёт погружаться? Если уровень воды в бассейне при этом изменится, то в какой момент начнётся изменение?

△ Если камень из лодки выбросить на берег бассейна, то уровень воды в бассейне понизится. Это происходит потому, что лодка становится легче, она всплывает и объём вытесняемой ею воды уменьшается.

Уровень воды в бассейне понизится и в том случае, когда камень выбрасывают в бассейн, хотя понижение уровня теперь будет несколько меньше. В самом деле, когда камень лежит на дне, вытесняемый им объём воды равен объёму камня. Пока же он находился в лодке, лодка вытесняла дополнительный объём воды, масса которого была равна массе камня. Так как плотность камня больше плотности воды, то этот объём больше объёма самого камня.

А что если из лодки в бассейн выбросить деревянный предмет, например бревно? Если бревно выбрасывается на берег, то тогда нет никакой принципиальной разницы со случаем, когда выбрасывается камень: уровень воды в бассейне понизится. Совсем другое дело, когда бревно выбрасывают в воду. В этом случае уровень воды в бассейне останется прежним, хотя лодка, конечно, несколько всплывёт. Ведь бревно плавает на поверхности и, значит, вытесняет такой же объём воды, какой раньше (т.е. до выбрасывания бревна) дополнительно вытесняла лодка.

Итак, если выброшенный из лодки в воду предмет плавает, то уровень воды в бассейне остаётся без изменения. Если же предмет тонет в воде, то уровень воды понижается.

К этим же выводам можно прийти и проще, если представить себе, что весь бассейн стоит на весах. Что бы мы ни выбрасывали из лодки в воду, показания весов, конечно, не изменятся. Поэтому если выброшенные из лодки предметы плавают на поверхности, то сила давления воды на дно бассейна не должна измениться. А это возможно только тогда, когда уровень воды останется прежним.

Если же выброшенный предмет опустился на дно бассейна, то действующая на дно бассейна сила определяется не только гидростатическим давлением воды, но и действием самого предмета. Так как полная сила должна остаться прежней, то сила давления воды на дно должна уменьшиться. Поэтому уровень воды в бассейне понизится.

Теперь, когда мы разобрались с первым вопросом, не составит большого труда ответить на вопрос, будет ли изменяться уровень воды в бассейне, если в днище лодки проделать отверстие. Будем считать, что заполнение лодки водой через отверстие происходит медленно, небольшими порциями, так что пока лодка не утонет, она в каждый момент находится в равновесии на поверхности воды. Пока лодка находится на плаву, уровень воды в бассейне не меняется. Объём погружённой части лодки увеличивается ровно на столько, сколько воды (по объёму) вошло в лодку. В некоторый момент, набрав определённое количество воды, лодка уже не сможет оставаться в равновесии на плаву и начнёт погружаться на дно. С этого момента и произойдёт понижение уровня воды в бассейне.

Эта задача знаменита тем, что при попытке сразу ответить на поставленные вопросы интуиция часто подводит, так что даже некоторые очень известные физики давали неправильные ответы. ▲

4. Реакция вытекающей струи.

В боковой стенке широкого сосуда имеется отверстие, закрытое пробкой (рис. 4.1). Найти реактивную силу, которая будет стремиться сдвинуть сосуд с места, если вынуть пробку. Площадь сечения отверстия равна 𝑆, а высота уровня воды над отверстием равна ℎ.

Рис. 4.1. Сосуд с отверстием в боковой стенке

△ Пока отверстие сосуда закрыто пробкой, сила, стремящаяся вытолкнуть пробку, определяется гидростатическим давлением столба воды высотой ℎ и равна ρ𝑔ℎ𝑆.

Если пробку удалить из отверстия, то можно думать, что силы давления воды на стенки сосуда будут взаимно уравновешиваться всюду, за исключением участка, лежащего точно напротив пробки и имеющего ту же площадь 𝑆, что и отверстие. Поэтому, казалось бы, реактивная сила, стремящаяся сдвинуть сосуд, должна быть такой же, как и сила гидростатического давления на этот участок, т.е.

𝐹

=

ρ𝑔ℎ𝑆

.

(1)

Однако такой вывод был бы слишком поспешным. Ведь всё-таки здесь мы имеем дело с движущейся жидкостью, вытекающей струёй из отверстия, и совершенно не очевидно, что всё можно объяснить гидростатическими закономерностями. И действительно, попробовав провести динамическое рассмотрение, мы получим для реактивной силы другой результат. При динамическом подходе действующую на сосуд реактивную силу нужно приравнять импульсу, уносимому вытекающей струёй воды за единицу времени. Вычислим эту силу.

Рис. 4.2. Объём освобождающейся части сосуда равен объёму вытекающей жидкости

Будем считать, что скорость истечения воды одинакова по всему сечению отверстия. Если воду в сосуде можно считать идеальной жидкостью, то это действительно так и скорость можно найти с помощью закона сохранения механической энергии. В начальном состоянии вода в сосуде неподвижна и её уровень находится на высоте ℎ над отверстием. Спустя небольшой промежуток времени уровень воды в сосуде немного понизится, так как часть жидкости выйдет из отверстия в виде струи со скоростью 𝑣 (рис. 4.2). Так как жидкость несжимаема, то объём освободившейся части сосуда Δ𝑉 равен объёму вытекшей жидкости. Если сосуд достаточно широкий, то можно считать, что уровень воды в сосуде опускается почти с пулевой скоростью. В этом случае закон сохранения энергии записывается в виде

ρ

Δ

𝑉𝑔ℎ

=

ρΔ𝑉𝑣²

2

(2)

откуда

𝑣²

=

2𝑔ℎ

.

Эта формула была установлена Торричелли.

Теперь можно найти импульс, уносимый водой в единицу времени. Так как масса воды, вытекающей за единицу времени, равна ρ𝑆𝑣, то уносимый этой массой импульс равен ρ𝑆𝑣². Подставляя сюда найденное значение скорости струи, получаем выражение для реактивной силы

𝐹

=

2ρ𝑔ℎ𝑆

.

(3)

Найденная из динамического рассмотрения реактивная сила (3) оказывается вдвое больше, чем гидростатическая сила давления на пробку (1).

Какому же результату следует отдать предпочтение? Поскольку при динамическом рассмотрении мы опирались на фундаментальные законы сохранения энергии и импульса, то такой подход является более строгим. И тем не менее результат справедлив далеко не всегда. Бывают случаи, когда правилен как раз ответ (1).

Рис. 4.3. Сжатие струи в трубке, вставленной в сосуд

Всё дело здесь в форме струи жидкости, вытекающей из отверстия. Естественно, что эта форма зависит от конструкции отверстия и площадь сечения струи не всегда совпадает с площадью самого отверстия. Например, в случае, показанном на рис. 4.3, где цилиндрическая трубка вставлена внутрь сосуда, частицы жидкости вблизи краёв трубки имеют скорости в поперечных направлениях, что приводит к сжатию струи в таком отверстии. Всюду вблизи стенок сосуда скорость движения жидкости в этом случае пренебрежимо мала и давление на стенки сосуда везде равно гидростатическому. Но это как раз и означает, что для реактивной силы при истечении из такого отверстия справедлив результат (1).

Никакого противоречия с динамическим рассмотрением здесь, разумеется, нет. Поскольку струя в отверстии сжимается, то в формуле (3) под 𝑆 надо понимать не площадь отверстия, а площадь сечения струи, которая для отверстия такой конструкции будет в два раза меньше площади самого отверстия. Подчеркнём, что площадь сечения струи в формуле (3) нужно выбирать в том месте, где струя уже сформировалась и скорости всех частиц жидкости одинаковы по модулю и направлению. Только для такого сечения струи и можно применять законы сохранения энергии и импульса в том виде, в каком они записаны в соотношениях (2) и (3).

Рис. 4.4. В трубке такой формы сжатия струи не происходит

А вот для конструкции отверстия, показанной на рис. 4.4, справедлив результат, выражаемый формулой (3), в которой 𝑆 равна площади отверстия. В самом деле, линии тока в отверстии перед истечением постепенно меняют направление на параллельное оси трубки. В результате площадь сечения вытекающей струи равна площади отверстия трубки и сжатия струи не происходит. Неприменимость гидростатического рассмотрения в этом случае связана с тем, что скорость жидкости у боковой стенки вблизи входа в трубку не равна нулю.

Для всех остальных конструкций отверстия, например для изображённой на рис. 4.1, сжатие струи имеет промежуточное значение между предельными случаями, показанными на рис. 4.3 и рис. 4.4. Реактивная сила выражается формулой (3), в которую в качестве 𝑆 должна подставляться площадь сечения струи, соответствующая конкретной конструкции отверстия. ▲

5. Истечение с постоянной скоростью.

Сосуд, имеющий кран вблизи дна, заполняется водой, после чего плотно закрывается пробкой, сквозь которую проходит открытая с обоих концов трубка (рис. 5.1). С какой скоростью будет вытекать вода из сосуда, если открыть кран?

Рис. 5.1. Трубка, проходящая через пробку, открыта с обоих концов

△ Когда мы закрываем сосуд пробкой, то вода, разумеется, входит в трубку, так что уровень воды в сосуде и в трубке одинаков. После того как пробка перекроет отверстие в горле сосуда, уровень воды в трубке станет даже несколько выше, чем в сосуде (рис. 5.2), и давление оставшегося под пробкой воздуха будет больше атмосферного на величину давления столба воды, высота 𝐻 которого равна разности уровней в трубке и в сосуде.

Рис. 5.2. При плотном закрывании пробки уровень воды в трубке поднимается

Теперь откроем кран. Скорость истечения из отверстия крана определяется гидростатическим давлением воды на уровне крана.

Это давление в любой момент равно давлению столба воды высотой от уровня крана до уровня воды в трубке, так как верхний конец трубки открыт. Поэтому в начальный момент скорость истечения наибольшая. Уровень воды в трубке будет постепенно понижаться, пока не достигнет нижнего конца трубки. При этом уровень воды в сосуде понизится настолько незначительно, что его можно считать практически неизменным. В самом деле, давление воздуха под пробкой изменится при опускании уровня воды в трубке как раз на величину давления вытекшего из трубки столба воды. А это составляет ничтожную часть атмосферного давления, которое эквивалентно давлению приблизительно десяти метров водяного столба.

Рис. 5.3. При истечении воды воздух входит в сосуд через трубку

После того как уровень воды в трубке достигнет её нижнего конца, дальнейшее истечение воды из крана будет обязательно сопровождаться понижением уровня воды в самом сосуде. При этом из нижнего конца трубки в сосуд будут проскакивать пузыри воздуха из атмосферы, заполняя освобождающийся объём под пробкой (рис. 5.3). Воздуха будет входить ровно столько, сколько нужно для того, чтобы давление воды в сосуде на уровне нижнего конца трубки всё время равнялось атмосферному, несмотря на понижение уровня воды в сосуде. В результате гидростатическое давление на уровне крана будет оставаться неизменным и равным ρ𝑔ℎ, где ℎ – расстояние по вертикали от крана до нижнего конца трубки. Поэтому и скорость истечения из крана будет постоянной и равной √2𝑔ℎ.

Так будет продолжаться до тех пор, пока уровень воды в сосуде не опустится до нижнего конца трубки. При дальнейшем истечении воды её скорость будет уменьшаться, как и при вытекании из открытого сосуда.

Рассмотренный прибор представляет собой один из простейших механических регуляторов. Постоянство скорости истечения поддерживается в нем автоматически благодаря наличию отрицательной обратной связи, которая обязательно присутствует в любых саморегулирующихся устройствах.

В данном случае для постоянства скорости истечения необходимо поддержание неизменного уровня воды в трубке, а именно у её нижнего края. Рассмотрим,что произойдёт, если этот уровень немного изменится. Пусть, например, с очередным пузырём в сосуд войдёт немного больше воздуха, чем нужно, так что уровень воды в трубке чуть-чуть повысится. Тогда, как мы видели выше, вода будет выливаться практически только из трубки, и пока уровень её снова на дойдёт до нижнего края трубки, ни один пузырь воздуха не сможет попасть внутрь сосуда.

Это простое автоматическое устройство для поддержания постоянной скорости истечения является в то же время исключительно надёжным, безотказным в работе именно благодаря своей простоте. ▲

6. Гидравлический удар.

Рис. 6.1. В этой модели водопровода полная длина магистральной трубы равна 𝑙

На рис. 6.1 показана модель водопровода. Из поднятого на некоторую высоту ℎ резервуара, играющего роль водонапорной башни, выходит магистральная труба постоянного сечения 𝑆 и длины 𝑙. Эта труба заканчивается узкой загнутой вверх трубкой сечения 𝑆₁ с краном, при открывании которого из трубки бьёт фонтан. С какой скоростью бьёт вода из фонтана и на какую максимальную высоту она поднимается? С какой скоростью движется вода в магистральной трубе и каково там давление? Какое давление будет в магистральной трубе при мгновенном перекрывании крана? Как будет зависеть от времени давление в том случае, когда кран закрывается постепенно в течение промежутка времени τ?

△ При решении этой задачи будем считать воду идеальной жидкостью, т.е. будем пренебрегать её вязкостью. В этом случае полная механическая энергия жидкости сохраняется, и для описания её движения можно использовать уравнение Бернулли, которое и выражает закон сохранения энергии для движущейся идеальной жидкости. При стационарном течении это уравнение имеет вид

𝑝

+

ρ𝑔ℎ

+

ρ𝑣²

2

=

const,

(1)

где 𝑝 – давление, которое показывает неподвижный относительно жидкости манометр, ρ – плотность жидкости, 𝑣 – скорость жидкости в данной точке и ℎ – высота этой точки над некоторым уровнем. Уравнение (1) говорит о том, что сумма трёх слагаемых в левой части имеет одно и то же значение независимо от того, в какой точке она вычисляется. Для удобства мы в дальнейшем не будем явно выписывать одинаковое во всех точках атмосферное давление 𝑝₀, понимая под 𝑝 в (1) превышение давления в жидкости над атмосферным.

Предположим, что кран открыт и установилось стационарное течение жидкости. Изменением уровня воды в резервуаре будем пренебрегать, считая его объём достаточно большим. Тогда уравнение Бернулли (1) позволяет ответить на все относящиеся к этому случаю вопросы. Скорость струи 𝑣₁ бьющей из фонтанчика, определяется только высотой уровня воды ℎ в резервуаре над отверстием трубки:

𝑣₁

=

√

2𝑔ℎ

.

(2)

Это известная формула Торричелли, которая может быть получена как непосредственно из закона сохранения энергии, так и из уравнения Бернулли, если приравнять левые части (1), записанные для точки 𝐴 на уровне воды в резервуаре, где скорость практически равна нулю, и для точки 𝐵, находящейся в отверстии трубки:

ρ𝑔ℎ

=

𝑣₁²

2

.

Вылетающие из отверстия со скоростью 𝑣₁=√2𝑔ℎ частицы воды могут подняться до уровня воды в резервуаре, если в отверстии трубки их скорость направлена вертикально вверх.

Скорость движения воды 𝑣 в магистральной трубе легко найти, учитывая несжимаемость жидкости и используя уравнение неразрывности:

𝑆𝑣

=

𝑆₁𝑣₁

,

(3)

откуда с учётом (2) имеем

𝑣

=

𝑆₁𝑣₁

𝑆

=

√

2𝑔ℎ

𝑆₁

𝑆

.

(4)

Если 𝑆₁≪𝑆, то скорость воды в магистральной трубе много меньше скорости струи, бьющей из отверстия. Отметим, что скорость 𝑣 одинакова в любом месте магистральной трубы, как непосредственно перед краном, так и в начале трубы сразу после резервуара. А вот давление 𝑝 воды в магистральной трубе будет разным на разной высоте. Так как скорость воды в трубе уже известна, то найти давление можно с помощью уравнения Бернулли.

Возьмём произвольную точку 𝐶 в трубе, находящуюся на высоте 𝐻. Тогда, приравнивая левые части (1) для точек 𝐶 и 𝐴, получим

𝑝

+

ρ𝑔𝐻

+

ρ𝑣²

2

=

ρ𝑔ℎ

.

(5)

Отсюда для давления воды 𝑝 на высоте 𝐻 имеем

𝑝

=

ρ𝑔

(ℎ-𝐻)

–

ρ𝑣²

2

.

(6)

Из формулы (6) видно, что давление воды в трубе меньше гидростатического, т.е. того, которое было бы при закрытом кране, на величину ρ𝑣²/2. Чем больше скорость воды в магистральной трубе, тем меньше в ней давление. Это отличие давления воды от гидростатического проявляется уже в самом начале трубы, там, где она выходит из резервуара: скорость воды в этом месте скачком возрастает от нуля, а давление также скачком падает.

Давление воды в магистральной трубе перед краном, там, где 𝐻=0,

𝑝

=

ρ𝑔ℎ

(1-𝑆₁²/𝑆²)

.

(7)

Это выражение получается из формулы (6) при подстановке в неё значения скорости 𝑣 из (4). Из формулы (7) видно, что отличие давления 𝑝 от гидростатического определяется соотношением между площадями сечений магистральной трубы 𝑆 и отверстия в трубке 𝑆₁. Чем меньше расход воды, тем ближе значение давления к гидростатическому.

Теперь рассмотрим, что происходит в трубе при перекрывании крана. Вначале предположим, что отверстие в кране перекрывается мгновенно. В этом случае происходит так называемый гидравлический удар, при котором давление резко возрастает.

Движущаяся по трубе жидкость обладает импульсом. При мгновенном перекрывании крана вода в трубе вынуждена затормозиться. Абсолютно несжимаемая жидкость остановилась бы при этом вся сразу. А это, в свою очередь, привело бы к бесконечно большой силе давления на преграду. Поэтому представление об абсолютно несжимаемой жидкости в таких условиях неприменимо.

Выясним, как происходит торможение жидкости при учёте её сжимаемости. Теперь при внезапном появлении преграды жидкость останавливается постепенно, так что за некоторое время Δ𝑡 остановится только та её часть, до которой успеет дойти волна сжатия, распространяющаяся в жидкости от закрытого крана навстречу потоку. Если деформациями стенок трубы при повышении давления можно пренебречь, то волна сжатия распространяется со скоростью, равной скорости звука 𝑢 в воде.

Силу 𝐹, действующую на заслонку мгновенно перекрытого крана, можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса. Так как до перекрывания крана вода имела скорость 𝑣, то импульс остановившейся за время Δ𝑡 воды был равен ρ𝑆𝑢Δ𝑡𝑣. Поэтому

𝐹

Δ

𝑡

=

ρ𝑆𝑢

Δ

𝑡𝑢

,

(8)

откуда для возникающего при гидравлическом ударе дополнительного давления 𝑝_уд=𝐹/𝑆 получаем

𝑝

_уд

=

ρ𝑢𝑣

.

Разумеется, в силу закона Паскаля (жидкость-то остановилась!) такое давление действует и на заслонку крана, и на стенки магистральной трубы. Увеличение давления при гидравлическом ударе может во много раз превышать величину ρ𝑣²/2, характеризующую согласно формуле (6) уменьшение давления при стационарном движении жидкости. В самом деле, скорость звука в воде 𝑢, равная примерно 1,5 км/с, значительно больше, чем скорость воды в трубе 𝑣, которая обычно пе превышает нескольких десятков метров в секунду. Возникшее при мгновенном перекрывании крана давление будет существовать до тех пор, пока распространяющаяся со скоростью звука волна сжатия не достигнет резервуара и от него не придёт обратная волна, снимающая сжатие воды в магистральной трубе.

Перейдём к случаю, когда кран перекрывается постепенно, в течение времени τ. Теперь добавочное давление гидравлического удара возникает не скачком, а будет нарастать постепенно. Здесь будут получаться разные результаты в зависимости от соотношения между временем τ и временем распространения волны сжатия воды по всей длине магистральной трубы.

Рис. 6.2. При медленном перекрывании крана давление гидравлического удара в магистральной трубе нарастает постепенно

Рассмотрим сначала бесконечно длинную магистральную трубу, перекрывание которой происходит за время τ. Допустим для простоты, что площадь отверстия крана уменьшается так, что давление нарастает со временем по линейному закону (рис. 6.2). К концу промежутка времени τ, когда отверстие в кране окажется полностью перекрытым и скорость воды в трубе обратится в нуль, давление гидравлического удара достигнет максимального значения, равного тому же самому значению ρ𝑢𝑣, до которого давление возрастает скачком при τ=0. Поэтому в промежутке 0<𝑡<τ давление при гидравлическом ударе будет меняться по закону