Текст книги "Физика в примерах и задачах"
Автор книги: Е. Бутиков
Соавторы: Александр Кондратьев,Александр Быков
сообщить о нарушении
Текущая страница: 6 (всего у книги 27 страниц) [доступный отрывок для чтения: 10 страниц]
Уравнение (8) имеет корень (17), соответствующий этому случаю. Это и не удивительно: как закон сохранения энергии (7), так и закон постоянства секторной скорости (6) имеют один и тот же вид независимо от того, направлена ли добавочная скорость Δ𝑣₂ к центру или от центра Земли.
В случае низкой круговой орбиты возвращение на Землю по такому необычному способу займёт, как это видно из рис. 20.3, приблизительно три четверти оборота вокруг Земли. ▲
21. Метеорит.
На какой угол изменится направление скорости пролетающего мимо Земли метеорита под действием земного притяжения? Скорость метеорита на большом расстоянии от Земли 𝑣₀, прицельное расстояние 𝑙.
Рис. 21.1. Гиперболическая траектория полёта метеорита вблизи Земли
△ Качественно характер зависимости угла отклонения метеорита от скорости 𝑣₀ и прицельного расстояния 𝑙, т.е. расстояния от центра Земли, на котором пролетел бы метеорит, если бы не было земного притяжения (рис. 21.1), можно установить сразу: при заданной скорости 𝑣₀ этот угол тем меньше, чем больше 𝑙. Это ясно, так как на пролетающий на большом расстоянии метеорит ослабевающее с расстоянием земное притяжение влияет слабо. При заданном 𝑙 угол отклонения тем меньше, чем больше скорость 𝑣₀. В самом деле, при большой скорости время пролёта мало и сила земного тяготения не успевает вызвать заметного искривления траектории метеорита.
Для получения количественного результата необходимо использовать некоторые свойства гиперболической траектории, по которой движется метеорит, если он приходит к Земле из бесконечности. Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек 𝑂 и 𝑂', называемых фокусами, постоянна: 𝑟₁-𝑟₂=const (рис. 21.1). Один из фокусов гиперболы 𝑂 совпадает с центром Земли, второй фокус 𝑂' лежит на прямой, проходящей через центр Земли и ближайшую к центру точку 𝐴 траектории. На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении– скорость метеорита направлена по асимптотам гиперболы, т.е. задача состоит в нахождении угла θ между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посредине между фокусами.
Приравняем разности расстояний от фокусов 𝑂 и 𝑂' до бесконечно удалённой точки (𝑂'𝐵 на рис. 21.1) и до ближайшей к центру Земли точки (𝐴 на рис. 21.1). Из треугольника 𝑂𝑂'𝐵 находим
𝑂'𝐵
=
2𝑙 tg
θ
2
,
𝑂𝑂'
=
2𝑙
cos (θ/2)
Разность расстояний от фокусов до точки 𝐴 равна
𝐴𝑂'
–
𝐴𝑂
=
(𝑂𝑂'-𝐴𝑂)
–
𝐴𝑂
Обозначим через 𝑟 расстояние 𝐴𝑂 от центра Земли до ближайшей точки траектории. Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде
2𝑙 tg
θ
2
=
2𝑙
cos (θ/2)
–
2𝑟
.
Перенося 2𝑟 в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество 1/cos²α=1+tg²α, получаем
tg
θ
2
=
𝑙²-𝑟²
2𝑙𝑟
.
(1)
При заданном прицельном расстоянии 𝑙 расстояние 𝑟 до ближайшей к центру Земли точки траектории зависит от скорости 𝑣₀ на бесконечности. Для того чтобы исключить 𝑟 из формулы (1), воспользуемся законом сохранения энергии
𝑚𝑣₀²
2
=
𝑚𝑣²
2
–
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
(2)
(𝑣 – скорость метеорита в точке 𝐴, 𝑅 – радиус Земли) и вторым законом Кеплера, который при движении в центральном поле справедлив и для разомкнутых траекторий:
𝑙𝑣₀
=
𝑟𝑣
.
(3)
Правая часть этого равенства очевидна, поскольку в ближайшей к Земле точке траектории 𝐴 вектор скорости 𝑣 перпендикулярен радиусу Земли. Левая часть этого равенства становится очевидной, если посмотреть на рис. 21.2.
Рис. 21.2. Применение второго закона Кеплера к гиперболической орбите
Из закона сохранения энергии (2) и формулы (3) легко находим
𝑙²-𝑟²
𝑟
=
2𝑔𝑅
𝑣₀²
,
что после подстановки в (1) даёт
tg
θ
2
=
𝑔𝑅²
𝑙𝑣₀²
.
(4)
Эта формула решает поставленную задачу: определяет угол отклонения метеорита в зависимости от прицельного расстояния и скорости на бесконечности. Угол θ/2 монотонно возрастает от 0 до π/2 при уменьшении произведения 𝑙𝑣₀² от ∞ до 0, что согласуется с приведёнными выше качественными соображениями.
При решении задачи мы предполагали, что траектория метеорита не задевает Землю. Уравнения (2) и (3) позволяют найти условие, которому должны удовлетворять прицельное расстояние 𝑙 и скорость метеорита на бесконечности 𝑣₀, чтобы это действительно было так. Полагая в этих уравнениях минимальное расстояние 𝑟 до центра Земли равным радиусу Земли 𝑅 и исключая из них 𝑣, находим
𝑙
мин
=
𝑅
⎛
⎜
⎝
1+
2𝑔𝑅
𝑣₀²
⎞½
⎟
⎠
.
При меньших значениях прицельного расстояния метеорит упадёт на Землю.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Наибольшее значение угла отклонения θmax получается из (4) при наименьшем возможном (при заданной скорости 𝑣₀) значении прицельного расстояния 𝑙min, выражение для которого можно переписать несколько иначе, воспользовавшись тем, что 2𝑔𝑅 равно квадрату второй космической скорости 𝑣II:
𝑙
min
=
𝑅
√
1+(𝑣
II
/𝑣₀)²
(𝑙min и θmax соответствуют траектории, почти касающейся земного шара). Таким образом,
θ
max
=
2arctg
(𝑣II/𝑣₀)²
2√1+(𝑣II/𝑣₀)²
.
(5)
Если скорость на бесконечности мала по сравнению со второй космической скоростью: 𝑣₀≪𝑣II, то в знаменателе (5) под корнем можно пренебречь единицей:
θ
max
≈
2 arctg
𝑣II
𝑣₀
т.е θmax→π при 𝑣₀/𝑣II→0: при малой начальной скорости и надлежащем выборе её направления (т.е. таком, чтобы метеорит всё-таки прошёл мимо Земли) направление скорости метеорита после облёта Земли изменится практически на противоположное.
2. Угол отклонения метеорита будет мал, как видно из (4), при выполнении неравенства 𝑔𝑅²/𝑙𝑣₀²≪1. В этом случае в (4) тангенс можно заменить его аргументом:
θ
≈
2𝑔𝑅²
𝑙𝑣₀²
.
(6)
Правая часть этого выражения представляет собой отношение абсолютной величины потенциальной энергии метеорита на расстоянии 𝑙 от центра Земли 𝑚𝑔𝑅²/𝑙 и его кинетической энергии на бесконечности 𝑚𝑣₀²/2.
Рис. 21.3. К вычислению малого угла отклонения метеорита
Интересно отметить, что приближённый результат (6) для отклонения на малый угол с точностью до числового множителя порядка единицы можно получить совершенно элементарно. Рассмотрим относящийся к этому случаю рис. 21.3. Грубо можно считать, что взаимодействие метеорита с Землёй существенно только на ближайшем к Земле участке траектории 𝐴𝐵 длиной порядка 𝑙: другие участки почти прямолинейны, так как там сила земного притяжения практически параллельна скорости метеорита. В рассматриваемом движении модуль скорости практически не изменяется и продолжительность действия силы земного тяготения на метеорит можно принять равной Δ𝑡≈𝑙/𝑣₀. Силу приближённо можно положить равной 𝑚𝑔𝑅²/𝑙². Таким образом, приращение импульса метеорита Δ𝑝 в направлении, перпендикулярном направлению его движения, составляет по порядку величины
Δ
𝑝
=
𝐹
Δ
𝑡
≈
𝑚𝑔𝑅²
𝑙𝑣₀
.
Отсюда для угла отклонения θ легко получить
θ
≈
Δ𝑝
𝑝
=
Δ𝑝
𝑚𝑣₀
=
𝑔𝑅²
𝑙𝑣₀²
. ▲
22. Рассеяние α-частиц.
α-частица, летевшая со скоростью 𝑣₀ упруго рассеивается на неподвижном ядре и изменяет направление движения на 90°. Определить скорость ядра после удара.
△ Столкновение α-частицы с ядром можно рассматривать как абсолютно упругий удар, при котором выполняются законы сохранения энергии и импульса. Пусть 𝑚 и 𝑀 – массы α-частицы и ядра, а 𝒗 и 𝑽 – их скорости после столкновения. Тогда законы сохранения энергии и импульса записываются в виде
𝑚𝑣₀²
2
=
𝑚𝑣²
2
+
𝑀𝑉²
2
,
(1)
𝑚𝒗₀
=
𝑚𝒗
+
𝑀𝑽
.
(2)
Рис. 22.1. Сохранение импульса при рассеянии α-частицы на прямой угол неподвижным ядром
Равенству (2) соответствует параллелограмм импульсов на рис. 22.1. Так как по условию α-частица рассеялась на 90°, то треугольники на этом рисунке прямоугольные. Направление движения ядра после удара составляет некоторый угол φ с первоначальным направлением движения α-частицы. Из рис. 22.1 видно, что
tg φ
=
𝑣
𝑣₀
.
(3)
Для нахождения скорости α-частицы и ядра после удара применим к прямоугольному треугольнику на рис. 22.1 теорему Пифагора:
𝑀²𝑉²
=
𝑚²
(𝑣₀²+𝑣²)
.
(4)
Подставляя отсюда 𝑉² в уравнение закона сохранения энергии (1), получаем
𝑣²
=
𝑣₀²
𝑀-𝑚
𝑀+𝑚
.
(5)
Подставляя это значение 𝑣² в равенство (4), находим
𝑉²
=
𝑣₀²
2𝑚²
𝑀(𝑀+𝑚)
.
(6)
Выражение (3) для tg φ с учётом (5) принимает вид
tg φ
=
⎛
⎜
⎝
𝑀-𝑚
𝑀+𝑚
⎞½
⎟
⎠
.
(7)
Из формулы (5) или (7) видно, что рассеяние α-частицы на 90° при столкновении с неподвижным ядром возможно только в том случае, когда её масса меньше массы ядра: 𝑚<𝑀. Условие задачи не может быть выполнено, если α-частицы рассеиваются на ядрах водорода, дейтерия, трития или гелия.
Рис. 22.2. Гиперболические траектории α-частиц в кулоновском поле ядра
Несмотря на то что рассмотренный процесс мы называем ударом, в действительности α-частица может и не приходить в непосредственное соприкосновение с ядром. На налетающую α-частицу со стороны ядра действует кулоновская сила отталкивания, так что траектория α-частицы представляет собой гиперболу (рис. 22.2). Ближе всего α-частица подходит к ядру при центральном ударе, в результате которого она рассеивается назад. Для того чтобы оценить по порядку величины наименьшее расстояние 𝑟₀, на которое α-частица может приблизиться к ядру, будем считать, что ядро остаётся неподвижным, и приравняем первоначальную кинетическую энергию α-частицы к потенциальной энергии системы в момент остановки α-частицы:
𝑚𝑣₀²
2
=
1
4πε₀
2𝑍𝑒²
𝑟₀
,
(8)
где 𝑍𝑒 – заряд ядра. Если скорость налетающей α-частицы такова, что вычисленное по формуле (8) значение 𝑟₀ окажется больше размера ядра 𝑅≈10-13 см, то в процессе столкновения с ядром на α-частицу действует только кулоновская сила, а короткодействующие ядерные силы не играют никакой роли.
Если в формуле (8) положить 𝑟₀ равным радиусу действия ядерных сил 𝑅≈10-13 см, то можно оценить максимальную скорость (или энергию) α-частицы, при которой она ещё упруго рассеивается на ядре, не изменяя его внутреннего состояния. Так, при 𝑍 порядка 80 (у золота, использовавшегося в опытах Резерфорда, 𝑍=79) эта скорость составляет примерно 106 м/с. При этом благодаря тому, что силы кулоновского взаимодействия являются потенциальными, механическая энергия системы сохраняется. В результате модель абсолютного упругого удара адекватно описывает рассеяние, хотя удара в механическом смысле не происходит.
Кинетическую энергию, приобретаемую ядром при рассеянии α-частицы на прямой угол, используя формулу (6), можно записать в виде
𝑀𝑉
2
=
𝑚𝑣₀²
2
2𝑚
𝑀+𝑚
.
(9)
Обратим внимание на то, что передаваемая ядру при столкновении энергия составляет ничтожную часть первоначальной энергии α-частицы, если его масса много больше массы α-частицы: 𝑀≫𝑚. Этот вывод, полученный для частного случая рассеяния на прямой угол, остаётся справедливым и в общем случае рассеяния на любые углы.
При получении соотношения (9) использовались только законы сохранения. Поэтому вывод о том, что лёгкая частица при упругом столкновении с тяжёлой частицей может передать ей лишь незначительную часть своей кинетической энергии, является универсальным и применим, в частности, к упругим столкновениям электронов с ионами и нейтральными атомами в плазме. Это приводит к интересным особенностям в свойствах плазмы.
Рассмотрим, например, такой опыт: в плазму впрыскивается пучок быстрых электронов. После того как электроны пучка испытают хотя бы по одному столкновению с ионами или атомами, направленный характер движения электронов будет полностью утрачен. Произойдёт полная хаотизация распределения электронов по направлению скорости. Но каждый электрон должен испытать очень много столкновений с тяжёлыми частицами, прежде чем произойдёт выравнивание средних значений кинетических энергий лёгких и тяжёлых частиц. В результате в течение довольно большого промежутка времени электроны и ионы в плазме будут находиться как бы при разных температурах. Хотя электроны и ионы находятся в одном и том же Объёме, полностью перемешаны и всё время сталкиваются друг с другом, они ведут себя как две разные, почти изолированные друг от друга термодинамические системы, между которыми почти нет теплообмена! ▲
23. Столкновение шара с клином.
Шар массы 𝑚, летевший горизонтально со скоростью 𝒗, после абсолютно упругого удара о наклонную поверхность клина отскакивает вертикально вверх (рис. 23.1). Клин массы 𝑀. стоит на гладкой горизонтальной поверхности и после удара скользит по этой поверхности. На какую высоту подскочит шар?
Рис. 23.1. Удар шара о наклонную поверхность клина
△ Высота ℎ подъёма шара над точкой, в которой происходит удар, определяется вертикальной скоростью 𝑣₁ приобретаемой шаром в результате удара;
ℎ
=
𝑣₁²
2𝑔
.
Поэтому решение задачи сводится к нахождению этой скорости 𝑣₁.
Рассмотрим сначала предельный случай, когда масса клина много больше массы шара: 𝑀≫𝑚. Ясно, что массивный клин практически не сдвинется с места при ударе лёгкого шара, т.е. клин можно считать скреплённым с горизонтальной поверхностью. Чтобы шар действительно отскочил вверх, наклонная грань клина в этом случае должна образовывать угол π/4 с горизонтом. Так как по условию удар шара о клин абсолютно упругий, скорость шара изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю: 𝑣₁=𝑣 Следовательно, ℎ=𝑣²/2𝑔.
А что будет, если масса клина сравнима с массой шара?
Попробуем применить законы сохранения импульса и энергии, считая, что при ударе взаимодействие шара с клином и взаимодействие клина с горизонтальной поверхностью происходят мгновенно и одновременно. По условию между клином и поверхностью, на которой он лежит, трение отсутствует. Поэтому проекция закона сохранения импульса на горизонтальное направление записывается в виде
𝑚𝑣
=
𝑀𝑉
,
(1)
где 𝑉 – горизонтальная составляющая скорости клина после удара. Для того чтобы записать проекцию закона сохранения импульса на вертикальное направление, нужно учесть, что при ударе клин взаимодействует с поверхностью, т.е. с Землёй:
𝑚𝑣₁
=
(𝑀+𝑀
з
)𝑉₁
(2)
В этом выражении 𝑉₁ – вертикальная скорость клина и Земли после удара, 𝑀з – масса Земли.
К уравнениям (1) и (2) добавим закон сохранения энергии при упругом ударе:
𝑚𝑣²
2
=
𝑚𝑣₁²
2
+
𝑀𝑉
2
+
(𝑀+𝑀з)𝑉₁²
2
.
(3)
Последним слагаемым в правой части уравнения (3), которое содержит кинетическую энергию Земли, приобретённую в результате удара, можно пренебречь из-за большой массы Земли. Чтобы убедиться в этом, выразим скорость 𝑉₁ из уравнения (2) и подставим в (3). Тогда последний член в (3) принимает вид
(𝑀+𝑀з)𝑉₁²
2
=
𝑚𝑣₁²
2
+
𝑚
𝑀+𝑀з
.
(4)
Так как отношение 𝑚/(𝑀+𝑀з)≪1, то, как видно из (4), передаваемая Земле кинетическая энергия пренебрежимо мала.
Выражая теперь горизонтальную скорость клина 𝑉 из уравнения (1) и подставляя в уравнение (3), в котором отброшен последний член, находим интересующую нас вертикальную скорость шара после удара 𝑣₁:
𝑣₁²
=
𝑣²
𝑀-𝑚
𝑀
.
(5)
Мы получили ответ, который выглядит вполне благополучно: например, он удовлетворяет предельному случаю закреплённого клина (𝑚≪𝑀) обсуждавшемуся выше. Именно такое решение этой задачи можно встретить во многих руководствах и задачниках.
Но ведь можно рассуждать и иначе. Решая задачу, мы предположили, что происходит только один удар – удар шара о клин, лежащий на Земле. Между тем в столкновении участвуют три тела: шар, клин и Земля. Можно ли на самом деле считать, что происходит один удар, или необходимо последовательно рассмотреть соударение шара с клином и клина с Землёй?
Рис. 23.2. При упругом ударе средний шар остаётся на месте
Чтобы убедиться в том, что и такое предположение возможно, вспомним пример другого упругого столкновения, в котором также участвуют три тела: на длинных нитях одинаковой длины подвешены три одинаковых костяных шара, соприкасающихся друг с другом. Один из крайних шаров отклоняют на некоторый угол и отпускают (рис. 23.2а). Оказывается, что после удара отскакивает только один шар, висящий с другого края, а средний шар остаётся на месте (рис. 23.2б). Результат этого опыта говорит о том, что происходящее столкновение нельзя рассматривать как один удар отклонённого шара с системой двух неподвижно висящих шаров. Чтобы объяснить опыт, необходимо рассмотреть два последовательно происходящих упругих соударения – отклонённого шара с центральным, а затем центрального шара со вторым крайним.
При упругом лобовом ударе шаров одинаковой массы налетающий шар останавливается, а покоившийся шар приобретает скорость, равную скорости налетавшего шара. Если предположить, что удар происходит мгновенно, то сразу после первого удара центральный шар уже имеет скорость, но ещё не успел сместиться из того положения, в котором находился до удара. В следующий момент происходит удар центрального шара со вторым крайним. В результате этого удара центральный шар останавливается, а крайний шар приобретает такую же скорость, и затем его нить отклоняется от вертикали.
Если же считать, что первый шар сталкивается с системой из двух неподвижных шаров (как бы скреплённых друг с другом), то в результате такого удара эти два шара должны были бы отскочить с одинаковой скоростью. Но на опыте этого не происходит.
Итак, даже если шары висят вплотную друг к другу, их взаимодействие нужно рассматривать как последовательность отдельных соударений друг с другом.
Результат опыта с тремя шарами нельзя, разумеется, безоговорочно переносить на рассматриваемое столкновение шара с клином и плоскостью, так как и условия опыта, и взаимодействующие тела здесь другие. Однако и здесь можно попробовать рассмотреть два последовательных столкновения: шара с клином и клина с Землёй. При этом запись законов сохранения несколько изменится. Уравнение (1), выражающее сохранение горизонтальной составляющей импульса, остаётся без изменения и в том случае, когда мы рассматриваем только первое столкновение – шара с клином. Но уравнение (2) для вертикальной составляющей импульса должно быть заменено другим, так как после первого удара движется только клин, а не клин вместе с Землёй:
𝑚𝑣₁
=
𝑀𝑉₁
.
(6)
Закон сохранения энергии для первого удара запишется в виде
𝑚𝑣²
2
=
𝑚𝑣₁²
2
𝑀(𝑉+𝑉₁²)
2
.
(7)
Выражая 𝑉 из уравнения (1), 𝑉₁ из уравнения (6) и подставляя в (7), получаем
𝑣₁²
=
𝑣²
𝑀-𝑚
𝑀+𝑚
.
(8)
Видно, что значение вертикальной скорости отскочившего шара 𝑣₁ даваемое выражением (8), меньше значения 𝑣₁ из прежнего ответа (5). Это и понятно, ибо теперь клин после первого удара имеет кинетическую энергию, связанную не только с его движением по горизонтали, но и по вертикали. Конечно, приобретя вертикальную составляющую скорости в результате первого удара, клин не успевает переместиться по вертикали, так как сразу же происходит второе столкновение – клина с Землёй. Так как по условию после столкновения клин скользит по горизонтали (а не подскакивает вверх), то его столкновение с Землёй следует считать неупругим. Вертикальная скорость клина гасится при этом столкновении, а соответствующая часть кинетической энергии клина превращается в тепло.
Если бы удар клина о Землю был абсолютно упругим, то вертикальная составляющая скорости клина 𝑉₁ изменила бы своё направление на противоположное и клин подскочил бы вверх на некоторую высоту вслед за шаром.
Значение скорости отскочившего шара 𝑉₁ из (8) также удовлетворяет предельному случаю 𝑚≪𝑀 когда 𝑉₁=𝑉. Такое решение этой задачи тоже встречается в некоторых задачниках. Сравнивая ответы (5) и (8), мы видим, что по их форме трудно отдать предпочтение какому-либо из приведённых решений. Действительно, оба они удовлетворяют предельному условию 𝑚≪𝑀. Обратим внимание на то, что как формула (5), так и формула (8) имеют смысл только при 𝑚<𝑀 т.е. когда масса клина больше, чем масса шара. Это означает, что при 𝑀<𝑚 шар не может отскочить от клина вертикально вверх. Поэтому и условие задачи будет непротиворечивым, только если шар легче клина.
Этот вывод связан с тем, что в общем случае при упругом столкновении движущегося тела с неподвижным изменение направления движения налетающего тела в результате удара может быть любым только тогда, когда масса налетающего тела меньше массы «мишени». Если же масса «снаряда» 𝑚 больше, чем масса «мишени» 𝑀, то «снаряд» не может отклониться на угол, превышающий φmax, который находится из соотношения
sin φ
max
=
𝑀
𝑚
.
При 𝑀<𝑚 этот предельный угол всегда меньше π/2.
Итак, сама форма ответов не даёт возможности выбрать из них правильный. Соответствие предельным случаям – это необходимое условие правильности ответа, но, разумеется, недостаточное. Можно попробовать поставить дополнительные вопросы, ответ на которые помог бы выбрать правильное решение. Например, здесь можно задать вопрос, какой угол α должна составлять наклонная грань клина с горизонтальной, чтобы шар действительно отскочил вертикально вверх.
Построим вектор изменения импульса шара при столкновении Δ𝒒=𝑚𝒗₁-𝑚𝒗 (рис. 23.3). Это изменение импульса вызывается силой, действующей на шар со стороны наклонной грани клина. Поскольку удар упругий и трение отсутствует, то эта сила обязательно направлена перпендикулярно поверхности клина. Теперь из рис. 23.3 сразу видно, что tg α=𝑣/𝑣₁. Так как 𝑣₁≤𝑣, то α≥π/4, где знак равенства соответствует предельному случаю.
Рис. 23.3. К вычислению угла наклона грани клина
Значение 𝑣₁ в приведённых двух решениях задачи получилось разным, поэтому разным будет и угол α. Однако предельное значение α при 𝑚≪𝑀 в обоих случаях одинаково, и мы опять не можем отдать предпочтение одному из ответов.
Так какой же ответ всё-таки правильный? Чтобы разобраться в этом, придётся внимательно проанализировать условия применимости тех допущений, которые были сделаны при решении задачи. Для этого необходимо гораздо глубже вникнуть в механизм энергетических превращений при упругих столкновениях. Поэтому сначала в нескольких следующих задачах будут рассмотрены более простые примеры, а затем мы вернёмся к поставленному вопросу. ▲
24. Длительность удара.
Оценить время упругого удара твёрдых тел, рассматривая столкновение стержня, налетающего торцом на неподвижную недеформируемую стенку (рис. 24.1).
Рис. 24.1. Столкновение стержня со стенкой
△ В предыдущей задаче мы считали, что упругий удар твёрдых тел происходит мгновенно. Но совершенно очевидно, что это предположение является идеализацией. Столкновение реальных тел всегда занимает конечный промежуток времени τ. В самом деле, если бы изменение импульса тела при столкновении происходило мгновенно, то сила взаимодействия тел при ударе была бы бесконечно большой, чего, естественно, не бывает. От чего же может зависеть длительность столкновения? Допустим, что мы рассматриваем отражение упругого тела от недеформируемой стенки. При столкновении кинетическая энергия тела в течение первой половины столкновения превращается в потенциальную энергию упругой деформации тела. В течение второй половины происходит обратное превращение энергии деформации в кинетическую энергию отскакивающего тела. Поэтому очевидно, что упругие свойства тела играют определённую роль при столкновении.
Итак, можно ожидать, что длительность удара зависит от модуля Юнга материала тела 𝐸, его плотности ρ и его геометрических размеров. Возможно, что длительность удара τ зависит и от скорости 𝑣, с которой тело налетает на преграду.
Нетрудно убедиться, что оценить время столкновения с помощью одних только соображений размерности не удастся. Действительно, если даже взять в качестве налетающего тела шар, размеры которого характеризуются только одним параметром – радиусом 𝑅, то из величин 𝐸, ρ, 𝑅 и 𝑣 можно составить бесчисленное множество выражений, имеющих размерность времени:
τ
=
𝑅
⎛
⎜
⎝
ρ
𝐸
⎞½
⎟
⎠
ƒ
⎛
⎜
⎝
ρ𝑣²
𝐸
⎞
⎟
⎠
,
(1)
где ƒ – произвольная функция безразмерной величины ρ𝑣²/𝐸. Поэтому для нахождения τ необходимо динамическое рассмотрение. Проще всего такое рассмотрение провести для тела, имеющего форму длинного стержня.
Пусть стержень, движущийся со скоростью 𝑣, налетает торцом на неподвижную стенку. При соприкосновении торцевого сечения стержня со стенкой скорости лежащих в этом сечении частиц стержня мгновенно обращаются в нуль. В следующий момент времени останавливаются частицы, расположенные в соседнем сечении, и т.д. Участок стержня, частицы которого к данному моменту уже остановились, находится в деформированном состоянии. Другими словами, в этот момент времени деформированной оказывается та часть стержня, до которой дошла волна упругой деформации, распространяющаяся по стержню от места контакта с преградой. Эта волна деформации распространяется по стержню со скоростью звука 𝑢. Если считать, что стержень пришёл в соприкосновение со стенкой в момент времени 𝑡=0, то в момент времени 𝑡 длина сжатой части стержня равна 𝑢𝑡 Эта часть стержня на рис. 24.2а заштрихована. В незаштрихованной части стержня скорости всех его частиц по-прежнему равны 𝑣, а в сжатой (заштрихованной) части стержня все частицы покоятся.
Рис. 24.2. Распространение волны упругой деформации в стержне при ударе о стенку. Фронт волны деформации движется со скоростью звука 𝑢
Первый этап процесса столкновения стержня со стенкой закончится в тот момент, когда весь стержень окажется деформированным, а скорости всех его частиц обратятся в нуль (рис. 24.2б). В этот момент кинетическая энергия налетающего стержня целиком превращается в потенциальную энергию упругой деформации. Сразу после этого начинается второй этап столкновения, при котором стержень возвращается в недеформированное состояние. Этот процесс начинается у свободного конца стержня и, распространяясь по стержню со скоростью звука, постепенно приближается к преграде. На рис. 24.2в стержень показан в тот момент, когда незаштрихованная часть уже не деформирована и все её частицы имеют скорость 𝑣, направленную влево. Заштрихованный участок по-прежнему деформирован, и скорости всех его частиц равны нулю.
Конец второго этапа столкновения наступит в тот момент, когда весь стержень окажется недеформированным, а все частицы стержня приобретут скорость 𝑣, направленную противоположно скорости стержня до удара. В этот момент правый конец стержня отделяется от преграды: недеформированный стержень отскакивает от стенки и движется в противоположную сторону с прежней по модулю скоростью (рис. 24.2г). Энергия упругой деформации стержня при этом целиком переходит обратно в кинетическую энергию.
Из изложенного ясно, что длительность столкновения τ равна времени прохождения фронта волны упругой деформации по стержню туда и обратно:
τ
=
2𝑙
𝑢
,
(2)
где 𝑙 – длина стержня.
Определить скорость звука в стержне 𝑢 можно следующим образом. Рассмотрим стержень в момент времени 𝑡 (рис. 24.2а), когда волна деформации распространяется влево. Длина деформированной части стержня в этот момент равна 𝑢𝑡. По отношению к недеформированному состоянию эта часть укоротилась на величину 𝑣𝑡, равную расстоянию, пройдённому к этому моменту ещё недеформированной частью стержня. Поэтому относительная деформация этой части стержня равна 𝑣/𝑢. На основании закона Гука
𝑣
𝑢
=
1
𝐸
𝐹
𝑆
,
(3)
где 𝑆 – площадь поперечного сечения стержня, 𝐹 – сила, действующая на стержень со стороны стенки, 𝐸 – модуль Юнга. Поскольку относительная деформация 𝑣/𝑢 одинакова во все моменты времени, пока стержень находится в контакте с преградой, то, как видно из формулы (3), сила 𝐹 постоянна. Для нахождения этой силы применим закон сохранения импульса к остановившейся части стержня. До контакта с преградой рассматриваемая часть стержня имела импульс ρ𝑆𝑢𝑡⋅𝑣, а в момент времени 𝑡 её импульс равен нулю. Поэтому
ρ𝑆𝑢𝑡⋅𝑣
=
𝐹𝑡
.
(4)
Подставляя отсюда силу 𝐹 в формулу (3), получаем
𝑢
=
√
𝐸/ρ
.
(5)
Теперь выражение для времени τ столкновения стержня со стенкой (2) принимает вид
τ
=
2𝑙
√
ρ/𝐸
.
(6)
Рис. 24.3. Деформация стержня при ударе о стенку
Время столкновения τ можно найти и иначе, воспользовавшись для этого законом сохранения энергии. Перед столкновением стержень недеформирован и вся его энергия – это кинетическая энергия поступательного движения 𝑚𝑣²/2. Спустя время τ/2 с начала столкновения скорости всех его частиц, как мы видели, обращаются в нуль, а весь стержень оказывается деформированным (рис. 24.2б). Длина стержня уменьшилась на величину Δ𝑙 по сравнению с его недеформированным состоянием (рис. 24.3). В этот момент вся энергия стержня – это энергия его упругой деформации. Эту энергию можно записать в виде 𝑘(Δ𝑙)²/2, где 𝑘 – коэффициент пропорциональности между силой и деформацией: 𝐹=𝑘Δ𝑙. Этот коэффициент с помощью закона Гука выражается через модуль Юнга 𝐸 и размеры стержня:
𝑘
=
𝐸𝑆
𝑙
.
(7)
Максимальная деформация Δ𝑙 равна тому расстоянию, на которое перемещаются частицы левого конца стержня за время τ/2 (рис. 24.3). Так как эти частицы двигались со скоростью 𝑣, то
Δ
𝑙
=
𝑣τ
2
.
Приравниваем кинетическую энергию стержня до удара и потенциальную энергию деформации. Учитывая, что масса стержня 𝑚=ρ𝑆𝑙, и используя соотношения (7) и (8), получаем
ρ𝑆𝑙𝑣²
2
=
𝐸𝑆
2𝑙
⎛
⎜
⎝
𝑣
τ
2
⎞²
⎟
⎠
,
откуда для τ снова получаем формулу (6). Это время столкновения обычно очень мало. Например, для стального стержня (𝐸=2⋅10¹¹ Па, ρ=7,8⋅10³ кг/м3) длиной 28 см вычисление по формуле (6) даёт τ=10-4 с.
Силу 𝐹, действующую на стенку во время удара, можно найти, подставляя скорость звука в стержне (5) в формулу (4):
𝐹
=
𝑆𝑣
√
ρ𝐸
.
(9)
Видно, что сила, действующая на стенку, пропорциональна скорости стержня перед ударом. Но для применимости приведённого решения необходимо, чтобы механическое напряжение стержня 𝐹/𝑆 не превосходило предела упругости материала, из которого изготовлен стержень. Например, для стали предел упругости
(𝐹/𝑆)
max
=
4⋅10
8
Па.
Поэтому максимальная скорость 𝑣 стального стержня, при которой его соударение с преградой всё ещё можно считать упругим, оказывается согласно формуле (9) равной 10 м/с. Это соответствует скорости свободного падения тела с высоты всего лишь 5 м. Укажем для сравнения, что скорость звука в стали 𝑢=5000 м/с, т.е. 𝑣≪𝑢.
Время столкновения стержня с неподвижной преградой (в отличие от силы) оказалось не зависящим от скорости стержня. Этот результат, однако, не является универсальным, а связан со специфической формой рассматриваемого тела. Например, для упругого шара время столкновения со стенкой зависит от его скорости. Динамическое рассмотрение этого случая оказывается более сложным. Связано это с тем, что и площадь соприкосновения деформированного шара со стенкой, и действующая на шар сила в процессе столкновения не остаются постоянными. ▲
25. Столкновение двух стержней.
Решение предыдущей задачи можно использовать и для нахождения длительности продольного соударения двух одинаковых упругих стержней.
Рис. 25.1. Столкновение двух одинаковых стержней в системе отсчёта, связанной с центром масс
△ Рассмотрим, например, случай, когда движущийся со скоростью 𝑣 стержень налетает на неподвижный. В системе отсчёта, где неподвижен центр масс системы стержней, они движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями 𝑣/2 (рис. 25.1). При столкновении общий центр масс стержней находится в том сечении, где они соприкасаются. Так как этот центр масс неподвижен, то для каждого стержня процесс столкновения происходит точно так же, как и при ударе о неподвижную стенку. Картину распространения волн упругой деформации в стержнях и распространения скоростей частиц стержней в разные моменты времени можно получить, если пририсовать к рис. 24.2 предыдущей задачи правую часть, являющуюся его зеркальным отражением в плоскости стенки. Это показано на рис. 25.2. Видно, что после столкновения в системе центра масс стержни будут двигаться в противоположных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями 𝑣/2, причём деформации в них будут отсутствовать.
