Текст книги "Физика в примерах и задачах"

Автор книги: Е. Бутиков

Соавторы: Александр Кондратьев,Александр Быков
сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 27 страниц) [доступный отрывок для чтения: 10 страниц]

Е. И. Бутиков, А. А. Быков, А. С. Кондратьев

ФИЗИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Занимает промежуточное положение между учебником физики и сборником задач. Цель авторов – научить читателя рассуждать, находить ответы на новые вопросы, относящиеся к известной ему области, довести его до глубокого понимания сути рассматриваемых явлений. В новом издании (2-е изд. – 1983 г.) нашли отражение последние изменения содержания курса физики средней школы и программ конкурсных экзаменов в вузы.

Для слушателей и преподавателей подготовительных отделений вузов и физико-математических школ, а также лиц, занимающихся самообразованием.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение задач составляет неотъемлемую часть полноценного изучения физики на любом уровне – от первоначального, школьного, вплоть до специального физического образования.

Судить о степени понимания физических законов можно по умению сознательно их применять для анализа конкретных физических явлений, т.е. для решения задач. Опыт преподавания показывает, что наибольшую трудность для учащихся представляет вопрос «с чего начать?», т.е. не само использование физических законов, а именно выбор, какие законы и почему следует применять при анализе каждого конкретного явления. Это умение выбрать путь решения задачи, т.е. умение определить, какие именно физические законы описывают рассматриваемое явление, как раз и свидетельствует о глубоком и всестороннем понимании физики. Сколько раз при преподавании физики и в школе, и в вузе авторам приходилось наблюдать, как ознакомление буквально с несколькими первыми строчками приводимых в задачнике решений позволяет учащемуся более или менее уверенно довести решение до конца самостоятельно. Но даже и после этого значительная часть учащихся, как правило, не может объяснить, почему же применение именно данного физического закона приводит к поставленной цели. Преодолению этих трудностей и призвано помочь предлагаемое пособие.

Однако это не единственная цель, которую ставили перед собой авторы. По их глубокому убеждению, должна существовать и «обратная связь» между разбираемыми задачами и физическими законами. Каждая задача должна давать повод для серьёзного и глубокого, пусть иногда и совсем краткого, разговора о сути физических явлений и законов.

Изучая физику, учащиеся постигают различные физические законы, одни из которых относятся только к определённому кругу явлений, например механических, электрических, оптических, другие же являются фундаментальными, общими для всех физических явлений. Для глубокого понимания физики необходимо чёткое осознание степени общности различных физических законов, границ их применимости, их места в общей физической картине мира. Во многих задачах всех разделов книги показывается, как, например, применение закона сохранения энергии часто позволяет решить задачу проще, взглянуть на неё с более общих позиций и, что особенно важно, даёт возможность найти ответы на некоторые вопросы, касающиеся тех явлений, для которых неизвестны описывающие их конкретные законы.

При решении задач необходимо умение уверенно применять законы сохранения, но научиться правильному применению этих законов не так просто. Иногда, уверовав во всемогущество фундаментальных законов физики, учащиеся начинают применять их формально, без анализа сути происходящих явлений. В книге на примере некоторых разбираемых задач показано, к каким ошибкам это может привести. В этом отношении особенно поучительны задачи, в которых рассматриваются столкновения упругих стержней.

Таким образом, решая физическую задачу, полезно стремиться использовать не конкретные законы, относящиеся к ограниченному кругу физических явлений, а наиболее общие законы, справедливые для физики в целом.

Ещё более высокая степень понимания физики определяется умением использовать при решении задач не только фундаментальные физические законы, но и методологические принципы физики, такие как принципы причинности, симметрии, относительности, эквивалентности и т.д. Использование этих принципов позволяет в ряде случаев сразу качественно предсказать общий характер рассматриваемого явления, после чего решение задачи сводится уже только к установлению количественных соотношений. В качестве примера можно указать на использование принципа симметрии в задачах «Монета на горизонтальной подставке», «Заряд внутри проводящей сферы», «Провода и клеммы» и т.д., принципа относительности – в задачах «Как опередить автобус?», «Взаимные превращения электронов и фотонов» и т.д.

Процесс решения задачи похож на небольшое исследование. Как и в настоящем научном исследовании, заранее далеко не всегда ясно, какой должна быть последовательность действий для получения результата. Никаких универсальных рецептов для этого не существует. Необходимое умение приходит только в результате упорного труда по мере накопления опыта.

Физический мир сложен. Далеко не все явления поддаются классификации по разделам физики. Поэтому порой не так просто отнести ту или иную задачу к определённому разделу. Но именно такие задачи, как правило, и представляют наибольший интерес, поскольку в них можно почувствовать единство физического мира, увидеть аналогию между совершенно разными по своей физической природе явлениями и найти общий язык для их описания.

В предлагаемой книге подобные задачи отнесены к определённому разделу по формальному виду их условия, несмотря на то, что в процессе решения приходится затрагивать материал других разделов.

В приводимых решениях задач и разборах примеров уделяется особое внимание тем моментам, которые должны присутствовать в любом исследовании. Это, во-первых, обоснованный выбор идеализации изучаемого процесса, ибо вместо самого явления мы всегда вынуждены рассматривать некоторую упрощённую модель, стремясь сохранить в ней самые характерные, наиболее важные черты явления. Во-вторых, это обязательное исследование простых частных и предельных случаев, для которых ответ очевиден или может быть получен сразу независимо от общего решения. Очень полезен также поиск и разбор аналогий с другими задачами и явлениями, а также сравнение методов их анализа.

При решении задач широко используются приближённые методы. Часто их применение не только облегчает решение задачи, но и позволяет представить результат в более удобном для исследования виде. В некоторых случаях, когда получение даже приближённого результата сопряжено с необходимостью выхода за рамки принятого уровня изложения, используются оценки, дающие качественную картину и порядок величины. И, наконец, обращается внимание на возможность разных подходов к решению задачи.

Все приведённые здесь задачи использовались на уроках физики в специализированной школе-интернате при Ленинградском государственном университете и в средней школе № 24 г. Ленинграда. Многие из них предлагались на олимпиадах школьников г. Ленинграда и на семинарских занятиях со студентами на физических факультетах Ленинградского государственного университета и Ленинградского педагогического института.

Оказалось, что некоторые задачи представляют определённые трудности даже для студентов-физиков, несмотря на то, что для решения этих задач, строго говоря, не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы как по физике, так и по математике.

Для третьего издания книга была частично переработана и дополнена в соответствии с современными тенденциями развития методов преподавания физики и с учётом действующей программы по физике для поступающих в вузы.

Авторы надеются, что книга окажется полезной для учащихся старших классов средней школы, профессионально-технических училищ и техникумов, а также для преподавателей и студентов вузов.

I. КИНЕМАТИКА

Кинематика изучает «геометрию» движения. Что мы под этим понимаем? «Геометрия» движения – это математическое описание движения тел без анализа причин, его вызывающих. Другими словами, без выяснения вопроса, почему рассматриваемое движение происходит именно так, а не иначе, устанавливается математическое соотношение между его различными характеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение, время движения.

Движение материальной точки всегда рассматривается в какой-либо системе отсчёта. Положение материальной точки можно определить, если задать её радиус-вектор 𝒓 или, что эквивалентно, три координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 – проекции радиус-вектора на оси декартовой системы координат. Движение математически описано полностью, если известен радиус-вектор как функция времени 𝒓(𝑡), т.е. известны три скалярные функции 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡). Например, для равномерного движения, т.е. движения с постоянной скоростью 𝒗, функция 𝒓(𝑡) имеет вид

𝒓(𝑡)

=

𝒓₀

+

𝒗𝑡

,

(1)

а для равнопеременного движения с ускорением 𝒂

𝒓(𝑡)

=

𝒓₀

+

𝑣₀𝑡

+

𝒂𝑡²

2

.

(2)

В этих формулах 𝒓₀ характеризует начальное положение точки, т.е. 𝒓₀=𝒓(𝑡)|_𝑡=0=𝒓(0), 𝒗₀ – начальная скорость.

Подчеркнём, что в кинематике ускорение считается заданным. Ускорение находится либо опытным путём, либо расчётным с помощью законов динамики, когда известны силы, определяющие характер движения. Забегая вперёд, отметим, что уравнение (1) описывает движение материальной точки в инерциальной системе отсчёта, если на точку не действуют силы (или все действующие силы уравновешиваются), а уравнение (2) – если действующие силы постоянны. В последнем случае говорят, что движение тела происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что высота тела над поверхностью мала по сравнению с радиусом Земли. Разумеется, движение тела вблизи поверхности Земли описывается уравнением (2) только тогда, когда можно не учитывать сопротивление воздуха.

Итак, функция 𝒓(𝑡) содержит полную информацию о кинематике движения тела, т.е. ответ на любой вопрос в кинематических задачах можно получить, используя только зависимость 𝒓(𝑡). Никаких других физических законов при этом привлекать не требуется. Например, зависимость мгновенной скорости точки от времени в однородном поле может быть получена из соотношения (2) дифференцированием радиус-вектора по времени и имеет вид

𝒗(𝑡)

=

𝒗₀

+

𝒂𝑡

.

При решении задач мы будем записывать уравнение (2) непосредственно в проекциях на оси координат. При постоянном ускорении 𝒂 всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение (2) сводилось к двум скалярным: так как траектория, по которой движется тело, плоская, то нужно просто совместить, например, плоскость 𝑥, 𝑦 с плоскостью, в которой лежит траектория. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно двум скалярным уравнениям

𝑥(𝑡)

=

𝑥₀

+

𝑣₀

_𝑥

𝑡

+

𝑎_𝑥𝑡²

2

,

𝑦(𝑡)

=

𝑦₀

+

𝑣₀

_𝑦

𝑡

+

𝑎_𝑦𝑡²

2

.

(3)

В частности, если рассматривать движение тела вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести, то удобно направить ось 𝑦 вертикально вверх. Тогда вектор ускорения имеет только одну отличную от нуля проекцию: 𝑎_𝑥=0, 𝑎_𝑦=-𝑔, и система (3) принимает вид

𝑥(𝑡)

=

𝑥₀

+

𝑣₀

_𝑥

𝑡

=

𝑥₀

+

𝑣₀

cos φ⋅𝑡

,

𝑦(𝑡)

=

𝑦₀

+

𝑣₀

_𝑦

𝑡

–

𝑔𝑡²

2

=

𝑦₀

+

𝑣₀

sin φ⋅𝑡

–

𝑔𝑡²

2

,

(4)

где φ – угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Иногда удобно поместить начало координат в начальную точку траектории, тогда 𝑥₀=𝑦₀=0.

При равномерном движении материальной точки по окружности скорость изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю. Ускорение при этом направлено к центру окружности перпендикулярно скорости, т.е. по нормали к траектории, и равно по модулю

𝑎

=

𝑣²

𝑅

,

(5)

где 𝑅 – радиус окружности. Эта же формула справедлива и при движении точки с постоянной по модулю скоростью 𝑣 по произвольной криволинейной траектории. В этом случае 𝑅 есть радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Ускорение при этом направлено к центру кривизны, т. е, перпендикулярно скорости, направленной по касательной к траектории. Если же скорость меняется по модулю, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, даваемой той же формулой (5), будет ещё составляющая, направленная по вектору скорости или против него, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость движущейся материальной точки.

Решение кинематической задачи сводится к использованию указанных выше уравнений в конкретных условиях, сформулированных в задаче. При этом было бы наивно пытаться овладеть каким-то «общим методом» решения, пригодным для всех задач; подобного «общего метода» попросту не существует. Наоборот, на приводимых примерах читатель может убедиться, что всегда существует несколько более или менее различающихся между собой подходов к исследованию физических явлений.

Разные подходы нередко оттеняют новые стороны изучаемого явления, позволяя глубже проникнуть в его физический смысл. Поэтому в большинстве разбираемых задач приводятся различные варианты решения.

1. Переправа.

Представим себе реку с параллельными берегами, расстояние между которыми 𝑙 (рис. 1.1). Скорость течения по всей ширине реки одинакова и равна 𝒖.

Рис. 1.1. Скорость течения 𝒖 в любом месте реки одинакова

С какой наименьшей постоянной скоростью 𝒗_min относительно воды должна плыть лодка, чтобы из точки 𝐴 попасть в точку 𝐵 на противоположном берегу, находящуюся на расстоянии 𝑠 ниже по течению? На какое минимальное расстояние 𝑠_min снесёт лодку вниз по течению при переправе на другой берег, если модуль её скорости относительно воды равен 𝑣?

Рис. 1.2. Скорость лодки относительно берегов 𝑽 равна сумме векторов 𝒖 и 𝒗

△ Чтобы ответить на эти вопросы, нужно прежде всего отчётливо представить себе, что скорость лодки относительно берегов 𝑽 есть векторная сумма скорости течения 𝒖 и скорости лодки относительно воды 𝒗 (рис. 1.2):

𝑽

=

𝒖

+

𝒗

.

(1)

Будем считать, что лодка имеет относительно воды некоторую неизменную по модулю скорость 𝒗. Тогда, отправляясь из точки 𝐴, лодка сможет попасть в точку 𝐵 только в том случае, если её скорость относительно берегов 𝑽 удастся направить по прямой 𝐴𝐵 или левее этой прямой. Если ни при каком направлении 𝒗 мы не сможем получить в начальный момент результирующую скорость 𝑽 вдоль прямой 𝐴𝐵, то лодку обязательно снесёт течением ниже точки 𝐵 (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Выбор направления скорости лодки 𝒗 для переправы из 𝐴 в 𝐵

Рис. 1.4. К вычислению минимальной скорости 𝑣_min

Нужное нам направление вектора 𝑽 может быть получено при разных значениях вектора 𝒗. Скорость течения 𝒖 во всех случаях направлена одинаково и изображается одним и тем же вектором. Скорость лодки относительно воды 𝒗 может быть направлена по-разному. Из рис. 1.3 видно, что эта скорость будет наименьшей в том случае, когда скорость лодки относительно берега 𝑽 направлена именно по прямой 𝐴𝐵, а скорость 𝒗 перпендикулярна этой прямой. Этот случай показан на рис. 1.4. Из подобия изображённых прямоугольных треугольников находим

𝑣_min

𝑢

=

𝑙

√𝑙²+𝑠²

.

(2)

Отметим, что если мы хотим попасть в точку 𝐵, двигаясь с минимальной возможной скоростью 𝑣_min, то нам придётся направить нос лодки перпендикулярно выбранной траектории лодки 𝐴𝐵. Лодку будет сносить течением, и в результате она будет боком приближаться к намеченной цели!

Возвращаясь к рис. 1.3, мы видим, что для получения ответа на первый вопрос задачи нам пришлось проанализировать треугольник, соответствующий закону сложения скоростей (1). В этом треугольнике одна из сторон (𝒖) была задана по модулю и направлению. Направление другой стороны (𝑽) мы выбрали, исходя из условия задачи – требования попасть в точку 𝐵. Тогда для получения минимального значения модуля третьей стороны (𝒗) её нужно было направить перпендикулярно выбранному направлению 𝑽

Рис. 1.5. Выбор направления для переправы с минимальным сносом

Аналогичные рассуждения можно использовать и для ответа на второй вопрос задачи. Вектор скорости течения 𝒖 и в этом случае задан по модулю и направлению. Что касается второго слагаемого в правой части выражения (1) – скорости лодки относительно воды 𝒗, то заранее известен только её модуль 𝑣, а направление может быть любым. Если начало вектора 𝒗 совместить с концом вектора 𝒖 (рис. 1.5), то конец вектора 𝒗 может лежать в любой точке окружности радиуса 𝑣. Из рис. 1.5б сразу видно, что снос лодки течением неизбежен, если 𝑣<𝑢 Если же скорость лодки 𝑣 больше скорости 𝑢, то при должном выборе направления 𝒗 можно добиться того, что сноса вообще не будет (рис. 1.5а). Более того, при 𝑣>𝑢 можно, переправляясь через реку, причалить к противоположному берегу в любом месте выше по течению.

Анализ рис. 1.5б показывает, что при 𝑣<𝑢 снос будет минимальным, если скорость лодки относительно берегов 𝑽 направлена по касательной к окружности радиуса 𝑣 Сравнивая изображённые на этом рисунке подобные треугольники, находим минимальный снос лодки 𝑠_min:

𝑠

_min

=

𝑙√𝑢²-𝑣²

𝑣

,

𝑣<𝑢

.

(3)

Посмотрите ещё раз на рис. 1.5б и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы её снос течением был минимальным. ▲

2. Как опередить автобус?

Человек находится в поле на расстоянии 𝑙 от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автобуса как можно дальше от него? Скорость автобуса 𝑢, скорость человека 𝑣.

△ Интерес, разумеется, представляет только случай 𝑣<𝑢, так как при 𝑣>𝑢 человек может убежать от автобуса на любое расстояние.

Рис. 2.1. Бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути

Чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то всё равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом α к перпендикуляру (рис. 2.1), то путь человека до шоссе увеличится на величину Δ𝑙, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии 𝑑 левее точки 𝐵. Если выбрать угол α достаточно малым, то расстояние 𝑑 можно сделать больше расстояния Δ𝑙 в любое число раз. Поэтому, несмотря на то что скорость человека 𝑣 меньше скорости автобуса 𝑢, он окажется на шоссе на большем расстоянии от автобуса, чем в точке 𝐵.

В каком же направлении следует бежать человеку? Оказывается, что на этот вопрос легко ответить, если перейти в другую систему отсчёта, в которой автобус покоится. Эта система отсчёта движется относительно земли в левую сторону со скоростью 𝑢. В данной системе неподвижно стоящий на земле человек имеет скорость 𝒖, направленную вправо (рис. 2.2). Полная скорость человека в новой системе отсчёта 𝑽 равна векторной сумме 𝒖 и скорости человека относительно земли 𝒗.

Рис. 2.2. Скорость человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен

Теперь нетрудно сообразить, что эта задача эквивалентна рассмотренной выше задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе отсчёта автобус неподвижен, то требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно требованию минимального сноса лодки при переправе через реку. Поэтому искомое направление вектора 𝒗 определяется таким же построением, как и в предыдущей задаче (рис. 2.3). Траектория человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен, – это прямая 𝐴𝐶. Траектория же в системе отсчёта, связанной с землёй, – прямая 𝐴𝐷.

Рис. 2.3. К нахождению направления движения человека

Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом α к нему, причём

sin α

=

𝑣

𝑢

Из рис. 2.3 видно, что человек сможет прибежать на шоссе раньше автобуса только в том случае, если в начальный момент автобус находится от точки 𝐵 на расстоянии, не меньшем

𝑠

_min

=

𝑙√𝑢²-𝑣²

𝑣

.

Рассмотренная задача может служить примером того, как удачный выбор системы отсчёта позволяет значительно облегчить решение. ▲

3. Радиус кривизны.

Найти радиус кривизны циклоиды в верхней точке её дуги – в точке 𝐴 на рис. 3.1.

Рис.3.1. Циклоида

△ Нахождение радиуса кривизны заданной кривой – это, разумеется, чисто геометрическая задача. Для её решения достаточно знать уравнение кривой. Поэтому на первый взгляд не ясно, какое отношение к физике имеет поставленный в задаче вопрос.

Однако иногда такие задачи можно очень просто решить, воспользовавшись тем, что радиус кривизны кривой входит в некоторые кинематические формулы. Основная идея заключается в том, что рассматриваемую геометрическую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики.

Рис. 3.2. Циклоида как траектория точки обода катящегося колеса

Циклоиду можно рассматривать как траекторию какой-либо точки обода колеса, которое катится без проскальзывания по прямой. На рис. 3.2 показана циклоида, которую «вычерчивает» точка 𝐴, находившаяся внизу в начальный момент. Точка 𝐴 описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало. Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса вокруг оси и равномерного поступательного движения, линейная скорость которого 𝑣 равна произведению угловой скорости на радиус колеса 𝑟.

Во всех инерциальных системах отсчёта материальная точка имеет одно и то же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе отсчёта. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение 𝑎 любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и определяется выражением

𝑎

=

𝑣²

𝑟

.

(1)

Значит, и в высшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно 𝑣²/𝑟 и направлено вниз (рис. 3.2).

Теперь рассмотрим движение этой же точки обода как движение по циклоиде. Скорость в любой точке траектории направлена по касательной к ней; значит, в высшей точке циклоиды скорость направлена горизонтально. Ускорение же, как мы выяснили, направлено вертикально вниз, т.е. перпендикулярно скорости. Поэтому найденное выше ускорение может быть записано также в виде

𝑎

=

𝑉²

𝑅

,

(2)

где 𝑉 – скорость точки обода в её верхнем положении, а 𝑅 – искомый радиус кривизны циклоиды.

Для нахождения 𝑉 будем рассуждать следующим образом. Скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса и линейной скорости вращения вокруг оси. При отсутствии проскальзывания эти скорости равны по модулю. В верхней точке они и направлены одинаково. Поэтому 𝑉=2𝑣, и, сравнивая формулы (1) и (2), находим

𝑅

=

4𝑣

.

(4)

Радиус кривизны циклоиды в верхней точке равен удвоенному диаметру колеса. Если бы мы рассматривали качение колеса как вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей в каждый момент с нижней неподвижной точкой колеса (рис. 3.2), то могло бы показаться, что верхняя точка движется по окружности, радиус которой равен диаметру колеса. Так оно и было бы, если бы мгновенная ось вращения 𝑂 оставалась неподвижной. На самом деле эта ось перемещается вместе с колесом, и именно поэтому рассматриваемая точка обода 𝐴 движется в этот момент по окружности, радиус которой даётся формулой (3). ▲

4. Падающий мяч.

Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии 𝑙 от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч (рис. 4.1). С какой начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии ℎ от кольца?

Рис. 4.1. Падающий мяч

△ В поставленном вопросе подразумевается, что нужно найти вектор начальной скорости теннисного мяча, т.е. его направление (угол α) и модуль (𝑣₀). Если решать задачу в исходной (лабораторной) системе отсчёта, то ход рассуждений может быть следующим. Записываем выражения для перемещений обоих мячей за время 𝑡 от начала движения до их встречи, затем проецируем их на вертикальное и горизонтальное направления (рис. 4.2). В результате приходим к системе уравнений

ℎ

=

𝑔𝑡²

2

,

𝐻

–

ℎ

=

𝑣₀

sin α⋅𝑡

–

𝑔𝑡²

2

,

√

𝑙²-𝐻²

=

𝑣₀

cos α⋅𝑡

.

(1)

Здесь 𝐻 – высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а √𝑙²-𝐻² представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Проекции перемещений мячей

В системе трёх уравнений (1) четыре неизвестных величины: 𝑣₀, α, 𝑡 и 𝐻. Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного решения. Однако это не так. Действительно, подставляя ℎ из первого уравнения во второе, получаем

𝐻

=

𝑣₀

sin α⋅𝑡

.

(2)

Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1), находим выражение для tg α:

tg α

=

𝐻

√𝑙²-𝐻²

.

(3)

Теперь с помощью рис. 4.2 можно увидеть, что угол α, под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости 𝒗₀ показано на рис. 4.3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении кольца. Модуль его начальной скорости можно найти, подставляя 𝑡=√2ℎ/𝑔 из первого уравнения системы (1) в уравнение (2). Учитывая, что 𝐻/sin α=𝑙, получаем

𝒗₀

=

𝑙

𝑡

=

𝑙

√

2ℎ/𝑔

.

(9)

Рис. 4.3. Истинное направление вектора 𝑣₀ начальной скорости

Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти в систему отсчёта, связанную с баскетбольным мячом, т.е. свободно падающую с ускорением 𝒈 в этой системе отсчёта баскетбольный мяч, естественно, неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью 𝒗₀. Очевидно, что эта скорость 𝒗₀ должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время 𝑡=𝑙/𝑣₀ мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчёта за это время баскетбольный мяч опустится на расстояние

ℎ

=

𝑔𝑡²

2

=

𝑔

2

⎛

⎜

⎝

𝑙

𝑣₀

⎞²

⎟

⎠

,

(5)

откуда для 𝑣₀ получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся систему отсчёта. ▲

5. В цель с наименьшей начальной скоростью.

Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте ℎ и на расстоянии 𝑠 по горизонтали. При какой наименьшей начальной скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.

△ На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью (рис. 5.1а).

Рис. 5.1. К выбору оптимальной траектории

Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что подобное решение аналогичной задачи можно встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач. Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так. Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис. 5.1б), в том числе и в предельном случае ℎ=0. Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно просто добросить камень до цели (рис. 5.1б). Итак, предположение о том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полёта камня, неверно.

Ошибочность этого предположения становится ещё более очевидной, если заметить, что требуемая при этом начальная скорость должна возрастать по мере того, как ℎ→0.

Приведённый анализ представляет собой пример проверки решения задачи предельным переходом к более более простому случаю, когда ответ либо очевиден, либо может быть легко найден.

Из приведённого качественного анализа можно сделать заключение, что цель всегда должна находиться на нисходящей ветви траектории (рис. 5.1б). Ещё раз напомним, что мы ищем траекторию с минимальной начальной скоростью.

Приступим к решению задачи.

Пусть камень брошен под углом α к горизонту и попал в цель. Его перемещения по горизонтали 𝑠 и по вертикали ℎ могут быть записаны следующим образом:

𝑠

=

𝑣₀

cos α⋅𝑡

,

ℎ

=

𝑣₀

sin α⋅𝑡

–

𝑔𝑡²

2

.

Поскольку время полёта камня 𝑡 нас не интересует, исключим его из этих уравнений. Выражая 𝑡 из первого уравнения и подставляя во второе, получаем

ℎ

=

𝑠 tg α

–

𝑔𝑠²

2𝑣₀²cos²α

.

(1)

Это уравнение содержит две неизвестные величины 𝑣₀ и α и имеет поэтому бесчисленное множество решений, что соответствует возможности попасть в цель бесконечным числом способов. Из этих решений нам нужно выбрать то, которое соответствует минимальному значению 𝑣₀.

Прямой путь решения этой задачи состоит в нахождении 𝑣₀ как функции от α из уравнения (1) и исследовании этой функции на экстремум, что требует, однако, применения высшей математики. Поэтому поступим иначе. Решим уравнение (1) относительно α. Используя известное соотношение 1/cos²α=1+tg²α, замечаем, что из (1) получается квадратное уравнение относительно tg α:

𝑔𝑠²tg²α

–

2𝑣₀²𝑠

tg α

+

𝑔𝑠²

+

2𝑣₀²ℎ

=

0.

(2)

Решив его, получим

tg α

=

1

𝑔𝑠

⎡

⎣

𝑣₀²

±

√

𝑣₀⁴-𝑔(𝑔𝑠²+2𝑣₀²ℎ)

⎤

⎦

.

Казалось бы, ничего хорошего не получается – громоздкое выражение. А на самом деле мы в двух шагах от ответа на вопрос задачи. Действительно, для tg α физический смысл имеют только вещественные решения, и поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:

𝑣₀²

–

2𝑔ℎ𝑣₀²

–

𝑔²𝑠²

≥

0.

Легко убедиться, что минимальное значение 𝑣₀² при котором это соотношение справедливо, соответствует случаю равенства; таким образом,

𝑣₀²

_min

=

𝑔(ℎ+√

ℎ²+𝑠²

)

.

(Второй корень 𝑣₀²_min=𝑔(ℎ-√ℎ²+𝑠²) не имеет физического смысла, так как квадрат скорости есть величина положительная.) Итак, полученный нами ответ имеет вид

𝑣₀

_min

=

⎛

⎝

𝑔(ℎ+√

ℎ²+𝑠²

)

⎞½

⎠

.

(3)

Проанализируем теперь решение несколько подробнее. Возвратимся к квадратному уравнению для tg α. При положительном дискриминанте оно имеет два решения, т.е. при заданном значении 𝑣₀ камень может попасть в цель по двум различным траекториям. При отрицательном дискриминанте решений нет, т.е. ни при каком значении угла α камень не попадёт в цель при заданной скорости. При равном нулю дискриминанте имеется только одно решение (единственная траектория полёта камня до цели). Именно в этом случае, как мы выяснили, начальная скорость будет минимальной, а выражение для tg α имеет особенно простой вид:

tg α

=

𝑣₀²_min

𝑔𝑠

=

ℎ+√ℎ²+𝑠²

𝑠

.

(4)

Проверим правильность полученного результата предельными переходами.

1. Если ℎ=0, то tg α=1, т.е. камень нужно бросить под углом π/4. Хорошо известно, что это соответствует максимальной дальности полёта по горизонтали при заданной начальной скорости, а при заданной дальности – минимальной начальной скорости. Этот случай уже обсуждался вначале.

2. Если 𝑠→0 то tg α→∞ а α→π/2. Действительно, камень следует бросать вертикально вверх, и только в этом случае положение цели совпадает с наивысшей точкой траектории.