Текст книги "Физика в примерах и задачах"
Автор книги: Е. Бутиков
Соавторы: Александр Кондратьев,Александр Быков
сообщить о нарушении
Текущая страница: 10 (всего у книги 27 страниц) [доступный отрывок для чтения: 10 страниц]
𝑝
уд
(𝑡)
=
ρ𝑢𝑣𝑡
τ
.
(9)
Всё это, конечно, справедливо, если расход воды за время τ через закрываемый кран будет значительно меньше объёма воды в трубе, останавливающейся за это же время. А расходом воды можно пренебречь при 𝑣≪𝑢, в чем легко убедиться с помощью уравнения неразрывности (3).
Выясним теперь, до какого значения будет нарастать давление в трубе конечной длины 𝑙. Как только кран начинают перекрывать, образующееся у крана повышение давления распространяется против течения жидкости и через время 𝑙/𝑢 достигает резервуара. Здесь давление падает, однако жидкость у крана остаётся сжатой, пока до неё не дойдёт от резервуара обратная волна, снимающая сжатие воды. Эта волна также распространяется со скоростью звука в воде 𝑢, и её фронт достигает крана спустя промежуток времени 𝑇=2𝑙/𝑢 после начала закрывания крана. Поэтому при τ<𝑇 давление у крана успеет вырасти до максимального значения ρ𝑢𝑣 как и в бесконечной трубе. Если же кран закрывается настолько медленно, что τ>𝑇, то, как видно из формулы (9), максимальное значение давления при гидравлическом ударе меньше ρ𝑢𝑣:
𝑝
уд
(𝑡)
=
ρ𝑢𝑣𝑇
2
=
2ρ𝑣𝑙
τ
.
(10)
Резкое повышение давления в трубопроводе при быстром закрывании крана может вызвать разрыв стенок труб или их повреждение. Формула (10) показывает, каким способом можно снизить возникающее при гидравлическом ударе давление. Этого можно добиться либо увеличением времени перекрывания τ, либо уменьшением длины трубы 𝑙, подверженной ударам. Для этого к магистральному трубопроводу присоединяют ответвления в виде водяных колонн или пневматических резервуаров.
Основы теории гидравлического удара были заложены выдающимся русским учёным Н. Е. Жуковским. ▲
7. Гидравлический таран.
Рис. 7.1. При движении воды в магистральной трубе уровень воды в манометрической трубке ниже уровня в резервуаре
В модели водопровода, которая была рассмотрена в предыдущей задаче, магистральная труба в конце перед краном имеет вертикальный отросток в виде тонкой длинной трубки (рис. 7.1). На каком уровне установится вода в этой трубке при закрытом кране и при открытом? Что будет происходить в отростке при закрывании крана на конце магистрали?
△ Пока кран закрыт, водонапорный резервуар и вертикальный отросток представляют собой просто сообщающиеся сосуды. Поэтому вода в нем установится на том же самом уровне ℎ, что и в резервуаре.
При открытом кране вода в магистральной трубе движется со скоростью 𝑣, которая определяется расходом воды, т.е. тем, насколько открыт кран. Эта скорость может изменяться от нуля до максимального значения, которое определяется формулой (4) предыдущей задачи. Давление 𝑝 в магистральной трубе, как было выяснено в предыдущей задаче, будет в этом случае меньше гидростатического на величину ρ𝑣²/2
𝑝
=
ρ𝑔ℎ
–
ρ𝑣²
2
.
(1)
Поскольку нижнее отверстие отростка параллельно линиям тока воды в магистральной трубе, то его можно рассматривать как обыкновенную манометрическую трубку, высота столба воды в которой ℎ₁ как раз соответствует давлению 𝑝 на её нижнем конце:
𝑝
=
ρ𝑔ℎ₁
.
(2)
Сравнивая соотношения (1) и (2), видим, что при открытом кране уровень воды в тонкой вертикальной трубке расположен ниже уровня воды в резервуаре на величину ρ𝑣²/2 (рис. 7.1).
Выясним теперь, что будет происходить в отростке при закрывании крана. Как мы видели, в этом случае происходит гидравлический удар и давление воды в магистральной трубе резко повышается. Если считать, что кран перекрывает трубу мгновенно (точнее, время перекрывания τ меньше 2𝑙/𝑣, где 𝑙 – длина магистральной трубы, а 𝑢 – скорость звука в воде), то давление подскакивает на величину ρ𝑢𝑣. Это позволяет оценить, на какую высоту ℎ₂ может подняться уровень воды в тонкой трубке:
ρ𝑢𝑣
=
ρ𝑔ℎ₂
,
(3)
откуда ℎ₂=𝑢𝑣/𝑔 Подчеркнём, что приведённая оценка справедлива только в том случае, когда поперечное сечение отростка много меньше сечения магистральной трубы. При этом расход воды через отросток во время гидравлического удара будет пренебрежимо мал, и поэтому такое устройство не сможет служить водяной колонной, смягчающей гидравлический удар.
Рис. 7.2. При закрывании крана вода поднимается в верхний бак
Дополнительное повышение уровня воды на величину ℎ₂ может оказаться весьма значительным, намного превосходящим уровень воды в резервуаре ℎ. Поэтому подобное устройство можно использовать для подачи воды на большую высоту (рис. 7.2). Такой «гидравлический таран» будет работать отдельными импульсами, поднимая каждый раз в верхний бак некоторую порцию воды. Увеличение потенциальной энергии поднимаемой воды происходит здесь за счёт кинетической энергии воды в магистральной трубе, которая останавливается при перекрывании крана. Очевидно, что производительность гидравлического тарана тем меньше, чем больше высота, на которую он поднимает воду. ▲
8. Установившееся падение в жидкости.
Два шара одинакового размера, но разной массы 𝑚₁ и 𝑚₂ связаны нитью, длина которой много больше их радиусов.. При помещении в жидкость система этих шаров тонет. Какова будет сила натяжения соединяющей шары нити при их установившемся падении в жидкости?
△ В условии задачи приведено слишком мало данных для того, чтобы полностью описать движение шаров в жидкости. Например, для нахождения скорости установившегося падения даже одного шара, нужно было бы, кроме массы шара, знать его размер, плотность жидкости и зависимость силы сопротивления от скорости. Тогда, приравняв нулю векторную сумму силы тяжести, полной силы давления жидкости и силы её сопротивления, можно было бы определить скорость установившегося падения. А так единственное, что можно сказать, это то, что скорость установившегося падения тяжёлого шара будет больше чем лёгкого. Тем более мы не можем здесь определить скорость падения связанных шаров, так как в условии заданы только их массы.
Но вот определить силу натяжения связывающей шары нити оказывается возможным. Казалось бы, и здесь не обойтись без знания силы сопротивления, но всё дело в том, что при совместном движении этих связанных шаров с одинаковой скоростью действующие на них силы сопротивления одинаковы. Для того чтобы такое установление скорости падения действительно произошло, нужно лишь, чтобы сила сопротивления росла с увеличением скорости, причём безразлично, по какому именно закону – линейно, квадратично и т.п.
Рис. 8.1. Силы, действующие на связанные шары при их установившемся движении в жидкости
Совершенно ясно, что при любых начальных условиях соединяющая шары нить после установления движения расположится вертикально, так что более тяжёлый шар окажется внизу. Поэтому действующие на шары силы натяжения нити 𝑇, как и силы тяжести 𝑚₁𝑔 и 𝑚₂𝑔, выталкивающие силы 𝐹𝐴 и силы сопротивления 𝐹𝑐, направлены по вертикали (рис. 8.1). Условие равномерного движения нижнего шара имеет вид
𝑚₁𝑔
–
𝑇
–
𝐹
𝐴
–
𝐹
𝑐
=
0.
(1)
Аналогично для верхнего шара
𝑚₂𝑔
+
𝑇
–
𝐹
𝐴
–
𝐹
𝑐
=
0.
(2)
Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получаем
𝑇
=
(𝑚₁-𝑚₂)𝑔
2
.
(3)
Легко сообразить, что сила натяжения нити будет такой же и при установившемся процессе всплывания, если связанные шары легче воды. ▲
9. Торможение в вязкой жидкости.
Двигатель корабля был остановлен в тот момент, когда скорость корабля была равна 𝑣₀. Какой путь и за какое время пройдёт корабль до полной остановки, если эффективная масса корабля (включающая присоединённую массу – см. задачу 2 раздела «Динамика и законы сохранения») равна 𝑚, а сила сопротивления пропорциональна скорости: 𝐹=-𝑘𝑣?
△ Сила сопротивления при движении твёрдого тела в жидкости пропорциональна скорости тела в том случае, когда сопротивление движению обусловлено главным образом вязкостью жидкости. Это имеет место при сравнительно небольших скоростях тела относительно жидкости. Коэффициент пропорциональности 𝑘 между силой сопротивления и скоростью в этом случае зависит от формы тела и пропорционален вязкости жидкости и линейным размерам тела в направлении движения. В данной задаче коэффициент 𝑘 имеет заданное значение.
Мы рассматриваем движение корабля только под действием силы сопротивления. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем
𝑚𝑎
=-
𝑘𝑣
.
(1)
Рассматривая это движение за достаточно малый промежуток времени Δ𝑡 можно представить скорость и ускорение корабля в виде отношений 𝑣=Δ𝑥/Δ𝑡, 𝑎=Δ𝑣/Δ𝑡. Тогда уравнение (1) можно переписать в виде
𝑚Δ𝑣
Δ𝑡
=-
𝑘Δ𝑥
Δ𝑡
.
(2)
Сокращая обе части равенства (2) на одну и ту же величину Δ𝑡, получаем соотношение, связывающее изменение скорости корабля Δ𝑣 с изменением его положения Δ𝑥 за тот же самый промежуток времени:
Δ
𝑣
=-
𝑘
𝑚
Δ
𝑥
.
(3)
Поскольку 𝑘/𝑚 есть постоянная величина (она не зависит ни от положения корабля, ни от времени), то соотношение (3) справедливо не только для малых промежутков времени Δ𝑡, но и для любых больших промежутков. Поэтому зависимость скорости корабля 𝑣 от его положения, характеризуемого координатой 𝑥, выражается линейной функцией
𝑣(𝑥)
=
𝑣₀
–
𝑘
𝑚
𝑥
.
(4)
Рис. 9.1. Зависимость скорости корабля от его положения
Она показана на рис. 9.1. В начальный момент, когда 𝑥=0, скорость корабля равна 𝑣₀. Когда корабль пройдёт весь путь 𝑙 до остановки, его скорость обратится в нуль. Путь 𝑙 можно найти, полагая в (4) 𝑣=0:
𝑙
=
𝑚
𝑘
𝑣₀
.
(5)
А как меняется скорость корабля с течением времени? На этот вопрос можно ответить, если в уравнение второго закона Ньютона (1) подставить ускорение 𝑎 как производную скорости по времени:
𝑚𝑑𝑣
𝑑𝑡
=-
𝑘𝑣
.
(6)
Это дифференциальное уравнение для функции 𝑣(𝑡), согласно которому производная 𝑑𝑣/𝑑𝑡 пропорциональна самой функции. Решение такого уравнения представляет собой экспоненциальную функцию
𝑣(𝑡)
=
𝐶 exp
⎛
⎜
⎝
–
𝑘
𝑚
𝑡
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Постоянная 𝐶 равна значению скорости в начальный момент при 𝑡=0. Поэтому
𝑣(𝑡)
=
𝑣₀ exp
⎛
⎜
⎝
–
𝑘
𝑚
𝑡
⎞
⎟
⎠
.
(8)
График этой функции показан на рис. 9.2. Скорость корабля убывает сначала быстро, а затем всё медленнее и медленнее, асимптотически приближаясь к значению 𝑣=0. Строго говоря, скорость обратится в нуль только спустя бесконечно большой промежуток времени. Однако почти вся эта «бесконечность» приходится на «дотягивание» скорости до нуля. Основное её изменение происходит за конечный промежуток времени. Такие экспоненциально затухающие процессы, которые формально продолжаются бесконечно долго, часто встречаются в физике. Например, по такому закону происходит явление радиоактивного распада.
Рис. 9.2. Скорость корабля как функция времени
Эффективную длительность процесса экспоненциального затухания принято характеризовать временем, в течение которого затухающая величина уменьшается в определённое число раз, например в два раза (период полураспада). Обычно в физике вводят время τ, в течение которого происходит уменьшение затухающей величины в 𝑒 раз. Именно это время τ условно называют длительностью процесса. В этом смысле время движения корабля τ, как видно из формулы (8), равно 𝑚/𝑘. Для его нахождения нужно просто приравнять показатель экспоненты минус единице.
Зависимость положения корабля от времени 𝑥(𝑡) можно найти из соотношения (4), если подставить в него скорость как функцию времени из формулы (8). Учитывая, что согласно (5) 𝑚𝑣₀/𝑘=𝑙, получаем
𝑥(𝑡)
=
𝑙
⎡
⎢
⎣
1
–
exp
⎛
⎜
⎝
–
𝑘
𝑚
𝑡
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
(9)
График этой функции показан на рис. 9.3. Хотя движение корабля и происходит бесконечно долго, пройденный им путь 𝑙 оказывается конечным. Основную часть этого пути корабль проходит за время τ.
Рис. 9.3. Координата корабля как функция времени
В этой задаче был рассмотрен пример, когда движение происходило только под действием силы сопротивления. Иногда приходится рассматривать случаи, когда кроме силы сопротивления действуют и другие силы. Например, можно решать задачу о разгоне корабля под действием постоянной силы тяги гребных винтов при учёте сопротивления воды. При этом время разгона корабля формально будет бесконечным. Однако для моментов времени 𝑡≫τ можно считать, что процесс разгона корабля закончился и он движется с постоянной скоростью 𝑣∞ значение которой определяется из условия равенства силы тяги и силы сопротивления. Но длительность разгона τ не зависит от силы тяги и определяется теми же параметрами 𝑚 и 𝑘, что и в разобранном примере: τ=𝑚/𝑘 ▲
V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Физические свойства систем, состоящих из большого числа частиц (атомов и молекул), составляют предмет изучения молекулярной физики и термодинамики. Любая макроскопическая система содержит огромное число частиц. Например, всего 1 см3 воздуха при нормальных условиях содержит 2,7⋅1019 молекул. Поэтому совершенно очевидно, что применение законов динамики для нахождения микроскопических характеристик такой системы, т.е. координат и скоростей всех молекул, совершенно бесперспективно. Но такая детальная информация о рассматриваемой системе нам и не нужна.
Для ответа на очень многие вопросы достаточно знать не поведение отдельных молекул, а только макроскопические параметры, характеризующие состояние всей системы. Такими параметрами являются, например, объём системы, её масса, полная энергия. Если система находится в состоянии равновесия, то она характеризуется ещё и такими параметрами, как давление и температура. Значение макроскопических параметров определяется не поведением отдельных молекул, а средним результатом, к которому приводит их совокупное движение, т.е. средними значениями микроскопических параметров.
Задача молекулярно-кинетической теории (статистической механики) состоит в том, чтобы установить связь макроскопических параметров системы со средними значениями микроскопических величин и дать способ вычисления этих средних значений на основе законов движения отдельных частиц. Так, например, для одного моля идеального газа молекулярно-кинетическая теория устанавливает связь между произведением двух макроскопических параметров газа – давления 𝑝 и молярного объёма 𝑉μ – и средним значением 〈𝐸〉 микроскопического параметра 𝐸 – кинетической энергии хаотического теплового движения одной молекулы:
𝑝𝑉
μ
=
2
3
〈𝐸〉
𝑁
𝐴
,
(1)
где 𝑁𝐴 – постоянная Авогадро.
Исторически сложился и другой подход к изучению систем, состоящих из большого числа частиц, в котором установление связей между различными макроскопическими параметрами производится опытным путём. Например, для одного моля идеального газа на опыте установлена следующая связь между тремя макроскопическими параметрами – давлением, молярным объёмом и термодинамической температурой газа:
𝑝𝑉
μ
=
𝑅𝑇
,
(2)
где 𝑅 – газовая постоянная. Такой эмпирический подход характерен для термодинамики.
В основе термодинамики лежат несколько установленных на опыте фундаментальных физических законов. Первый закон термодинамики представляет собой обобщённый закон сохранения энергии: энергия макроскопической системы может быть изменена как в результате работы внешних сил, так и при сообщении теплоты. Если считать механическую энергию системы неизменной, то первый закон термодинамики утверждает, что изменение внутренней энергии системы Δ𝑈 при переходе из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил Δ𝐴' и переданного системе количества теплоты Δ𝑄:
Δ
𝑈
=
Δ
𝐴'
+
Δ
𝑄
.
(3)
Второй закон термодинамики связан с необратимостью реальных процессов в макроскопических системах и указывает направление возможных энергетических превращений.
В рамках термодинамики не раскрывается глубокий физический смысл макроскопических параметров системы, т.е. их связь со средними значениями микроскопических параметров. Однако именно благодаря этому обстоятельству основные законы термодинамики, установленные на опыте, отличаются большой общностью и применимы ко всем макроскопическим системам независимо от особенностей их внутренней структуры.
Наиболее полные представления о свойствах систем большого числа частиц даёт совместное использование термодинамики и статистической механики. Например, сравнение формул (I) и (2) даёт возможность установить физический смысл макроскопического параметра – термодинамической температуры 𝑇:
〈𝐸〉
=
3
2
𝑘𝑇
,
𝑘
=
𝑃
𝐿𝐴
,
а также получить удобное выражение для давления идеального газа
𝑝
=
𝑛𝑘𝑇
,
𝑛
𝑁𝐴
𝑉μ
.
Таким образом, давление идеального газа определяется средним числом частиц в единице объёма 𝑛 и термодинамической температурой.
Для многих задач первый закон термодинамики удобно записать в несколько отличной от выражения (3) форме:
Δ
𝑄
=
Δ
𝑈
+
Δ
𝐴
– сообщённое системе количество теплоты Δ𝑄 равно сумме изменения внутренней энергии Δ𝑈 и работы Δ𝐴, совершенной системой (Δ𝐴 – работа, которую совершают силы, приложенные со стороны рассматриваемой системы к внешним телам). Исторически первый закон термодинамики был впервые сформулирован именно в таком виде.
1. Испорченный ртутный барометр.
В трубку ртутного барометра попал пузырёк воздуха. В результате при некотором атмосферном давлении 𝑝₀ и температуре 𝑇₀ высота столба ртути в трубке уменьшилась и стала равной 𝐻₁. Чему равно атмосферное давление, если при температуре 𝑇 высота столба ртути оказалась равной 𝐻? Трубка имеет правильную цилиндрическую форму, и расстояние от уровня ртути в чашке до запаянного конца трубки равно 𝐿.
△ В неиспорченном ртутном барометре в запаянной трубке над ртутью в «торричеллиевой пустоте» воздуха нет, а есть только насыщенные пары ртути, давление которых при обычных температурах пренебрежимо мало. Поэтому его не принимают во внимание при измерениях атмосферного давления. Иное дело, если в барометр попадает пузырёк воздуха. Давление воздуха в трубке уже нельзя не учитывать. Но это вовсе не значит, что такой барометр не пригоден для измерения атмосферного давления. Достаточно один раз измерить высоту столба ртути в нем при известных атмосферном давлении и температуре, чтобы получить формулу для определения истинного атмосферного давления по его показаниям.
Рис. 1.1. Атмосферное давление равно сумме давления воздуха в трубке и гидростатического давления ртутного столба
Если при атмосферном давлении 𝑝₀ высота ртутного столба равна 𝐻₁ (рис. 1.1), то давление 𝑝₀ равно сумме давления воздуха в трубке над ртутью 𝑝₁ и гидростатического давления столба ртути высотой 𝐻₁. Если измерять давление воздуха, как и гидростатическое давление, прямо в миллиметрах ртутного столба, то
𝑝₀
=
𝑝₁
+
𝐻₁
.
Точно такое же соотношение можно написать и для измеряемого атмосферного давления 𝑝атм в случае, когда показание испорченного барометра равно 𝐻:
𝑝
атм
=
𝑝
+
𝐻
,
(2)
где 𝑝 – давление воздуха в трубке над ртутным столбом высотой 𝐻. Теперь, считая воздух в трубке идеальным газом, можно воспользоваться уравнением его состояния. Так как масса попавшего в трубку воздуха в дальнейшем уже не меняется, а сечение трубки одинаково по всей её длине, то
𝑝₁(𝐿-𝐻₁)
𝑇₁
=
𝑝(𝐿-𝐻)
𝑇
.
(3)
Подставляя в соотношение (3) значение 𝑝₁ из уравнения (1), находим
𝑝
=
(𝑝₀-𝐻₁)
𝐿-𝐻₁
𝐿-𝐻
𝑇
𝑇₁
.
(4)
Формула (4) даёт поправку, которую, как видно из уравнения (2), нужно прибавить к показаниям барометра 𝐻, чтобы получить истинное значение атмосферного давления 𝑝атм. Формулу для расчёта 𝑝атм удобно записать в виде
𝑝
атм
=
𝐻
+
𝑇
𝐿-𝐻
𝐶
,
где
𝐶
=
(𝑝₀-𝐻₁)
𝐿-𝐻₁
𝑇₁
.
(5)
Числовое значение постоянной 𝐶 может быть раз и навсегда вычислено заранее. Прибором можно пользоваться, только теперь для нахождения атмосферного давления нужен ещё и термометр. ▲
2. Вакуумный насос.
Имеется сосуд объёмом 𝑉 и поршневой насос с объёмом камеры 𝑉' (рис. 2.1). Сколько качаний нужно сделать, чтобы давление в сосуде уменьшилось от 𝑝 до 𝑝'? Атмосферное давление равно 𝑝₀. Изменением температуры пренебречь.
Рис. 2.1. Схема поршневого вакуумного насоса
△ Мы, естественно, считаем, что начальное давление 𝑝 не превосходит наружного давления 𝑝₀, иначе можно сначала просто выпустить излишек газа.
Эту задачу можно решить, используя закон Бойля – Мариотта, хотя в процессе откачки масса газа в сосуде изменяется. Действительно, рассмотрим первый ход поршня влево; при этом клапан 𝐴 закрыт, клапан 𝐵 открыт и газ из сосуда входит в камеру насоса. Давление газа уменьшается от первоначального значения до некоторого 𝑝₁. Поскольку процесс изотермический и масса газа при этом не меняется, можно воспользоваться законом Бойля – Мариотта:
𝑝𝑉
=
𝑝₁
(𝑉+𝑉')
.
(1)
При обратном ходе поршня клапан 𝐵 закрывается, и воздух из камеры насоса выталкивается наружу через клапан 𝐴. При втором ходе поршня влево всё повторяется точно так же, только давление в начале хода в сосуде равно 𝑝₁. Обозначая давление в конце второго хода через 𝑝₂, имеем
𝑝₁𝑉
=
𝑝₂
(𝑉+𝑉')
.
Подставляя сюда 𝑝₁ уравнения (1), находим
𝑝₂
=
𝑝
⎛
⎜
⎝
𝑉
𝑉+𝑉'
⎞²
⎟
⎠
.
Рассуждая дальше таким же образом, нетрудно убедиться, что после 𝑛 ходов поршня давление в сосуде будет равно
𝑝
𝑛
=
𝑝
⎛
⎜
⎝
𝑉
𝑉+𝑉'
⎞𝑛
⎟
⎠
(2)
По формуле (2) определяется число качаний 𝑛, необходимое для того, чтобы понизить давление в сосуде до значения 𝑝𝑛=𝑝':
𝑛
=
lg(𝑝'/𝑝)
lg[𝑉/(𝑉+𝑉')]
.
Интересно построить график зависимости давления в сосуде от числа качаний 𝑛. Это есть график показательной функции с основанием 𝑉/(𝑉+𝑉')<1 (рис. 2.2). Обратите внимание, что давление с каждым шагом уменьшается на всё меньшее и меньшее значение. Подумайте, как поступить, если требуемое конечное давление 𝑝' не совпадает ни с одним значением 𝑝𝑛, определяемым формулой (2).
Рис. 2.2. Зависимость давления в откачиваемом сосуде от числа качаний насоса
Согласно формуле (2) по мере откачки давление воздуха в сосуде убывает и при достаточно большом числе качаний 𝑛 может быть сделано сколь угодно малым. Однако в действительности ни один насос не может откачать воздух из сосуда полностью, так, чтобы давление в нем обратилось в нуль. Для каждого насоса существует некоторое минимальное давление 𝑝min, ниже которого он не может дать разрежение. Причина этого – существование вредных пространств, неидеальная работа клапанов и т.п. Например, когда поршень насоса движется вправо, выталкивая воздух из камеры в атмосферу, между поршнем и клапаном неизбежно остаётся пусть даже очень маленький, но конечный объём Δ𝑉. Поэтому не весь воздух из камеры будет вытолкнут в атмосферу. Это и замедляет откачку и в конце концов приводит к тому, что при некотором давлении в сосуде насос вообще начинает работать вхолостую. Действительно, при давлении в сосуде 𝑝min воздух, сжатый от первоначального объёма камеры 𝑉 до объёма Δ𝑉, будет иметь давление не выше атмосферного 𝑝₀ и не сможет выйти наружу. Итак, для определения предельного давления, обусловленного существованием вредного пространства, можно написать условие
𝑝
min
𝑉'
=
𝑝₀
Δ
𝑉
,
откуда
𝑝
min
𝑉'
=
𝑝₀
Δ𝑉
𝑉'
.
(3)
Для получения больших разрежений обычно используют несколько насосов, соединённых последовательно. Насос каждой последующей ступени откачивает воздух не в атмосферу, а в объём, из которого воздух откачивается насосом предыдущей ступени. ▲
3. Колебания поршня.
Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделён поршнем, который может двигаться без трения. В равновесии поршень находится посредине цилиндра. При малых смещениях из положения равновесия поршень совершает колебания. Найти зависимость частоты этих колебаний от температуры, считая процесс изотермическим.
△ В положении равновесия давление 𝑝 на поршень слева и справа одинаково. Поскольку объём газа слева и справа одинаков, а температура 𝑇 постоянна, из уравнения Менделеева – Клапейрона
𝑝𝑉
=
ν𝑅𝑇
(1)
следует, что количество газа ν одинаково по обе стороны от поршня. Отметим, что химический состав газов может быть различным.
Рис. 3.1. Изменение давления при смещении поршня из равновесного положения
Пусть поршень сместился из положения равновесия, например влево, на малую величину 𝑥, так что 𝑆𝑥≪𝑉 где 𝑆 – площадь поршня (рис. 3.1). Поскольку температура по условию не меняется, то
(𝑝+
Δ
𝑝₁)
(𝑉-𝑆𝑥)
=
(𝑝-
Δ
𝑝₂)
(𝑉+𝑆𝑥)
.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
(
Δ
𝑝₁+
Δ
𝑝₂)𝑉
–
(
Δ
𝑝₁+
Δ
𝑝₂)𝑆𝑥
=
2𝑝𝑆𝑥
.
Второе слагаемое слева много меньше первого не только потому, что 𝑆𝑥≪𝑉, но и вследствие того, что множителем при 𝑉 стоит сумма двух близких величин Δ𝑝₁ и Δ𝑝₂, а множителем при 𝑆𝑥 – их разность. Пренебрегая вторым слагаемым, получаем
Δ
𝑝₁
+
Δ
𝑝₂
=
2𝑝𝑆
𝑉
𝑥
.
Результирующая сила, действующая на поршень, равна
𝐹
=-
2𝑝𝑆²
𝑉
𝑥
.
Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению смещения поршня, т.е. к положению равновесия. Под действием силы, пропорциональной смещению, поршень массой 𝑀 будет совершать гармонические колебания с частотой ω, определяемой соотношением
ω²
=
2𝑝𝑆²
𝑉𝑀
.
(2)
При решении задачи мы молчаливо предполагали, что масса газа много меньше массы поршня, так что кинетической энергией макроскопического движения газа при колебаниях поршня можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией поршня. Подумайте, где использовано это условие.
Выразив 𝑝 из уравнения Менделеева – Клапейрона (1), получим
ω²
=
2ν𝑅𝑆²
𝑉𝑀²
𝑇
.
(3)
Таким образом, частота колебаний поршня пропорциональна √𝑇 ибо коэффициент при 𝑇 в формуле (3) не зависит от температуры, если пренебречь тепловым расширением сосуда.
Подумайте теперь, какие условия должны выполняться, чтобы процесс действительно был изотермическим. Для того чтобы температура газа в процессе колебаний не изменялась, необходим хороший тепловой контакт с большим тепловым резервуаром – термостатом, имеющим постоянную температуру. Что значит хороший тепловой контакт? Это значит, что время установления термодинамического равновесия между газом в сосуде и термостатом должно быть много меньше периода колебаний поршня. Тогда можно считать, что газ в каждый момент имеет ту же температуру, что и термостат. Если, наоборот, период колебаний окажется много меньше времени установления термодинамического равновесия между газом и термостатом, то можно считать, что колебания поршня происходят практически без обмена теплотой с термостатом. В этом случае процесс можно считать адиабатическим, несмотря на отсутствие тепловой изоляции сосуда с поршнем. Оказывается, что зависимость частоты колебаний от температуры при этом будет такой же, как и в изотермическом случае, только коэффициент в формуле (3) умножится на число, большее единицы. Увеличение частоты колебаний при адиабатическом процессе можно объяснить, сравнивая 𝑝-𝑉 – диаграммы изотермического и адиабатического процессов идеального газа.
Отметим, что приведённое решение в обоих случаях имеет смысл, только если время установления теплового равновесия в самом газе много меньше периода колебаний поршня, так как в противном случае вообще теряют смысл такие равновесные макроскопические характеристики газа, как давление и температура. Другими словами, по отношению к самому газу процесс должен быть квазистатическим. ▲
4. Поршень в закрытом цилиндре.
В вертикальном закрытом цилиндре имеется поршень, который может перемещаться без трения (рис. 4.1). По обе стороны от поршня находятся одинаковые массы одного и того же газа. При температуре 𝑇, одинаковой во всём цилиндре, объём верхней части в 𝑛 раз больше, чем объём нижней. Каким будет отношение этих объёмов, если повысить температуру до значения 𝑇'?
Рис. 4.1. По обе стороны подвижного поршня – одинаковые массы одного и того же газа
△ На примере этой задачи можно увидеть, как важно уметь выразить в виде уравнений те условия, при которых происходит описанный в задаче процесс, но которые не указаны явно в условии задачи.
Первый вопрос, который возникает, – нужно ли учитывать массу поршня, о которой ничего не сказано в условии. Если бы масса поршня равнялась нулю, то при любой температуре поршень в равновесии располагался бы посредине, чтобы давление газа на него с обеих сторон было одинаковым. Поэтому если 𝑛=1, то масса поршня равна нулю и отношение объёмов, равное единице, не изменяется при изменении температуры.
При 𝑛>1 масса поршня не равна нулю. В этом случае в равновесии действующая на поршень сила тяжести уравновешивается силами давления газа снизу и сверху. Поэтому разность давлений газа в нижней и в верхней частях цилиндра имеет одно и то же значение при любой температуре. Таким образом, мы приходим к первому уравнению, отражающему условие механического равновесия поршня в начальном и конечном состояниях. Обозначая давление газа над и под поршнем при температуре 𝑇 через 𝑝₁ и 𝑝₂, а при температуре 𝑇' через 𝑝'₁ и 𝑝'₂ имеем
𝑝₂
–
𝑝₁
=
𝑝'₂
–
𝑝'₁
.
(1)
Ещё одно уравнение получается из того условия, что при любом положении поршня полный объём цилиндра, занимаемый газами, имеет одно и то же значение, так как тепловым расширением стенок, конечно, можно пренебречь:
𝑉₂
–
𝑉₁
=
𝑉'₂
–
𝑉'₁
.
(2)
где 𝑉₁ и 𝑉₂ – объёмы верхней и нижней частей цилиндра при температуре 𝑇 a 𝑉'₁ и 𝑉'₂, – при температуре 𝑇'.
Подчеркнём ещё раз, что уравнения (1) и (2) описывают те условия, которые не оговорены в задаче явно, но которые обязательно нужно учитывать при её решении.
К уравнениям (1) и (2) следует ещё добавить уравнения состояния газа по обе стороны поршня. Так как и в начальном, и в конечном состояниях количества газа в обеих частях сосуда одинаковы и газ имеет одинаковую температуру, то
𝑝₁𝑉₁
=
𝑝₂𝑉₂
,
𝑝'₁𝑉'₁
=
𝑝'₂𝑉'₂
.
(3)
По условию задачи отношение 𝑉₁/𝑉₂=𝑛 Поэтому удобно ввести величину 𝑥, равную отношению объёмов в конечном состоянии (𝑥=𝑉'₁/𝑉'₂). Теперь с помощью уравнений (3) получаем
𝑝₂
𝑝₁
=
𝑛
,
𝑝'₂
𝑝'₁
=
𝑥
.
(4)
Используя обозначения для величин 𝑛 и 𝑥 и соотношения (4), перепишем уравнения (1) и (2) в таком виде, чтобы они содержали только те величины, которые относятся к газу над поршнем:
𝑝₁(𝑛-1)
=
𝑝'₁(𝑥-1)
,
𝑉₁
⎛
⎜
⎝
1
+
1
𝑛
⎞
⎟
⎠
=
𝑉'₁
⎛
⎜
⎝
1
+
1
𝑥
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Теперь нетрудно сообразить, что для дальнейшего решения целесообразно перемножить почленно уравнения (5):
𝑝₁𝑉₁
(𝑛-1)
⎛
⎜
⎝
1
+
1
𝑛
⎞
⎟
⎠
=
𝑝'₁𝑉'₁
(𝑛-1)
⎛
⎜
⎝
1
+
1
𝑥
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Действительно, фигурирующие в уравнении (6) произведения давления газа на его объём выражаются с помощью уравнения состояния через его температуру:
𝑝₁𝑉₁
𝑇
=
𝑝'₁𝑉'₁
𝑇'
(7)
Поэтому уравнение (6) можно переписать в виде
𝑇
𝑇'
𝑛²-1
𝑛
=
𝑥²-1
𝑥
.
(9)
В левой части этого уравнения стоят величины, заданные в условии задачи, т.е. мы получили квадратное уравнение относительно искомой величины 𝑥. Даже не решая этого уравнения, можно увидеть, что оно правильно описывает очевидные предельные случаи. При 𝑥=1, что соответствует невесомому поршню, из (8) получается 𝑥=1, как и должно быть. При произвольном 𝑥>1 и при 𝑇'→∞ величина 𝑥→1: при очень высокой температуре давления газов в обеих частях цилиндра настолько велики, что, несмотря на действующую на поршень силу тяжести, объёмы газов над и под поршнем практически одинаковы.
