Текст книги "Физика в примерах и задачах"
Автор книги: Е. Бутиков
Соавторы: Александр Кондратьев,Александр Быков
сообщить о нарушении
Текущая страница: 5 (всего у книги 27 страниц) [доступный отрывок для чтения: 10 страниц]
15. Стержень с шариками.
На идеально гладкой горизонтальной поверхности вертикально стоит гантель, представляющая собой два одинаковых шарика, соединённых невесомым стержнем длины 𝑙. Нижнему шарику мгновенно сообщают скорость 𝑣₀ в горизонтальном направлении (рис. 15.1). При каких значениях 𝑣₀ шарик будет скользить, не отрываясь от плоскости? Какова будет скорость верхнего шарика в момент его удара о горизонтальную поверхность?
Рис. 15.1. Начальное положение гантели
△ На все поставленные в условии вопросы гораздо легче ответить, если рассматривать движение гантели в системе отсчёта, где её центр масс движется по вертикали. Очевидно, что такая система отсчёта движется относительно лабораторной системы отсчёта с постоянной скоростью 𝑣₀/2, направленной горизонтально, и тоже является инерциальной. В этой системе отсчёта скорости шариков в начальный момент равны 𝑣₀/2 и направлены горизонтально в противоположные стороны (рис. 15.2).
Рис. 15.2. Скорости шариков в начальный момент в системе отсчёта, движущейся вправо со скоростью 𝑣₀/2
Выясним, при каком условии нижний шарик оторвался бы от поверхности. Ясно, что в этом случае сила реакции поверхности равна нулю, и, следовательно, гантель падает с ускорением свободного падения. Поскольку гантель ещё и вращается вокруг центра масс, то нижний шарик имеет связанное с этим вращением центростремительное ускорение 𝑎ц, направленное вверх:
𝑎
ц
=
(𝑣₀/2)²
𝑙/2
=
𝑣₀²
2𝑙
.
(1)
Шарик оторвётся от поверхности, если 𝑎ц>𝑔. В противоположном случае (𝑎ц<𝑔) шарик не отрывается. Для этого его скорость должна удовлетворять условию
𝑣₀²
<
2𝑔𝑙
.
(2)
Для нахождения скорости верхнего шарика в момент удара можно воспользоваться законом сохранения энергии. В этот момент во введённой системе отсчёта его скорость 𝑣₁ направлена вертикально вниз, а скорость скользившего по поверхности шарика обращается в нуль (рис. 15.3). Действительно, в этой системе отсчёта центр масс падает по вертикали. В момент падения гантели на поверхность стержень, соединяющий шарики, расположен горизонтально, поэтому горизонтальные составляющие скоростей всех его точек, в том числе середины и концов, в момент падения равны нулю.
Рис. 15.3. Скорости шариков в момент падения гантели на горизонтальную плоскость в той же системе отсчёта
Таким образом, закон сохранения энергии во введённой системе отсчёта можно записать в виде
𝑚𝑣₁²
2
=
𝑚𝑔𝑙
+
2
𝑚(𝑣₀/2)²
2
,
(3)
откуда
𝑣₁²
=
2𝑔𝑙
+
𝑣₀²
2
.
(4)
В лабораторной системе отсчёта скорость 𝑣 падающего шарика в момент удара определяется выражением
𝑣²
=
𝑣₁²
+
𝑣₀²
4
=
2𝑔𝑙
+
3𝑣₀²
4
.
(5)
Рис. 15.4. Скорости шариков в лабораторной системе отсчёта
Направление этой скорости, как видно из рис. 15.4, составляет угол α с вертикалью, тангенс которого равен отношению 𝑣₀/2 к 𝑣₁
tg α
=
𝑣₀/2
𝑣₁
=
𝑣₀/2
√2𝑔𝑙+𝑣₀²/2
=
1
2√½+2𝑔𝑙/𝑣₀²
.
(6)
Подчеркнём, что удачный выбор системы отсчёта при решении этой задачи позволил обойтись, по существу, всего одной простой формулой (3), выражающей закон сохранения энергии. ▲
16. Парадокс кинетической энергии.
Игрушечный автомобиль с полностью заведённой пружиной может разогнаться до скорости 𝑣. Пренебрегая потерями энергии на трение, можно считать, что потенциальная энергия заведённой пружины 𝑊 целиком превратилась в кинетическую энергию игрушки. Рассмотрим этот же процесс в другой инерциальной системе отсчёта, которая движется со скоростью 𝑣 относительно Земли навстречу игрушечному автомобилю. В этой системе отсчёта окончательная скорость игрушки равна 2𝑣, т.е. вдвое больше, а её кинетическая энергия в четыре раза больше, т.е. равна 4𝑊. Так как в этой системе отсчёта автомобиль с самого начала имел кинетическую энергию 𝑊, то в результате раскручивания пружины его кинетическая энергия возросла на 3𝑊, а не на 𝑊, как в исходной системе отсчёта. Между тем потенциальная энергия заведённой пружины в обоих случаях равна 𝑊! Объясните этот парадокс.
△ Парадокс возникает потому, что в приведённых рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и её изменение при взаимодействии колёс игрушки с дорогой. Если же это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.
Рассмотрим сначала систему отсчёта, в которой Земля неподвижна. В этой системе отсчёта до разгона автомобиля полный импульс равен нулю. При разгоне автомобиля он приобретает скорость 𝑣, а Земля приобретает скорость 𝑉, направленную противоположно (𝑉<0). Полный импульс системы остаётся неизменным, поэтому
𝑚𝑣
+
𝑀𝑉
=
0,
(1)
где 𝑚 – масса игрушки, 𝑀 – масса Земли.
Рис. 16.1. Разгоняясь, заводная игрушка сообщает Земле не только поступательное движение со скоростью 𝑉 но и вращение с угловой скоростью ω
Так как действующая на Землю со стороны колёс игрушки сила не проходит через центр Земли, то кроме поступательного движения со скоростью 𝑉 Земля приходит также и во вращение с некоторой угловой скоростью ω (рис. 16.1). Забудем пока об этом вращении Земли и будем считать, что Земля движется только поступательно.
При раскручивании пружины её потенциальная энергия 𝑊 превращается в кинетическую энергию игрушки и Земли:
𝑊
=
𝑚𝑣²
2
+
𝑀𝑉²
2
.
(2)
Выражая 𝑉 из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
𝑊
=
𝑚𝑣²
2
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑚
𝑀
⎞
⎟
⎠
.
(3)
Так как масса игрушки 𝑚 неизмеримо меньше массы Земли (𝑚/𝑀≪1), то, как видно из формулы (3), практически вся энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Теперь рассмотрим тот же процесс с точки зрения второй системы отсчёта, в которой скорость игрушки и Земли сначала равна 𝑣. Полный импульс в этой системе отсчёта равен (𝑚+𝑀)𝑣 После разгона скорость игрушки равна 2𝑣, а скорость Земли обозначим через 𝑉₁. На основании закона сохранения импульса
𝑚(2𝑣)
+
𝑀𝑉₁
=
(𝑚+𝑀)𝑣
.
(4)
Кинетическая энергия игрушки после разгона равна 𝑚(2𝑣)²/2, а кинетическая энергия Земли есть 𝑀𝑉₁²/2. Изменение полной кинетической энергии
Δ
𝐸
=
𝑚(2𝑣)²
2
+
𝑀𝑉₁²
2
–
(𝑚+𝑀)𝑣²
2
.
(5)
Выразим 𝑉₁ из уравнения (4) и подставим в (5):
Δ
𝐸
=
3
𝑚𝑣²
2
+
𝑀
2
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
1-
𝑚
𝑀
⎞²
⎟
⎠
𝑣²
–
𝑣²
⎤
⎥
⎦
.
(6)
После простых алгебраических преобразований выражение (6) приводится к виду
Δ
𝐸
=
𝑚𝑣²
2
⎛
⎜
⎝
1-
𝑚
𝑀
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Сравнивая правую часть (7) с формулой (3), видим, что и в этом случае изменение кинетической энергий всей системы равно потенциальной энергии пружины 𝑊.
Изменение кинетической энергии игрушки при разгоне в этой системе отсчёта действительно в три раза больше, чем изменение этой энергии в системе отсчёта, связанной с Землёй. Однако теперь изменение кинетической энергии Земли такого же порядка, что и изменение энергии игрушки, в отличие от изменения энергии Земли в исходной системе отсчёта, где оно было ничтожным. В новой системе отсчёта колеса игрушки при разгоне тормозят движение Земли, и её кинетическая энергия убывает. Увеличение кинетической энергии игрушки в этой системе отсчёта происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт уменьшения кинетической энергии Земли.
Разобранный пример наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Использовать можно любую систему отсчёта, и при точном решении задачи выбор системы отсчёта безразличен. Однако при нахождении приближённого решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчёта, могут оказаться совершенно непригодными в другой. Так, в рассмотренном примере можно было пренебрегать изменением кинетической энергии Земли и считать, что изменение энергии автомобиля равно энергии пружины при использовании системы отсчёта, связанной с Землёй. Если пользоваться другой системой отсчёта, то и при приближённом решении пренебрегать изменением кинетической энергии Земли нельзя, несмотря на то, что изменение скорости Земли, как легко убедиться, одинаково и в той, и в другой системе отсчёта.
Обсудим теперь, что изменится в рассуждениях, если учитывать вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы (2) кроме кинетической энергии поступательного движения Земли будет присутствовать ещё и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет такого же порядка величины, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли. Поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Во второй системе отсчёта (где скорости игрушки и Земли сначала равны 𝑣) кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку приобретённая Землёй угловая скорость ω одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому, в отличие от кинетической энергии поступательного движения Земли, энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта. ▲
17. Фантастический космический проект.
Хорошо известно, что для совершения межпланетного путешествия находящемуся на поверхности Земли космическому кораблю необходимо сообщить начальную скорость 11,2 км/с (вторая космическая скорость). Однако в случае запуска космического корабля не с поверхности Земли, а через туннель, прорытый насквозь через центр Земли, получается потрясающий результат. Оказывается, что космическому кораблю, свободно падающему в таком туннеле, достаточно сообщить в тот момент, когда он проходит через центр Земли, дополнительную скорость всего лишь в 5,8 км/с, что составляет лишь 52 % от второй космической скорости. Тогда при выходе из туннеля он будет иметь скорость как раз 11,2 км/с и сможет совершить космическое путешествие. Это значит, что для запуска одного и того же корабля потребуется меньшая ракета и расход топлива будет менее значительным. Объяснить, почему возможен такой выигрыш.
△ Прежде всего выясним, какую скорость приобретёт ракета при свободном падении сквозь туннель до центра Земли. Это можно сделать с помощью закона сохранения энергии, только сначала нужно выяснить, как различаются между собой значения потенциальной энергии на поверхности Земли и в её центре.
Будем считать, что Земля представляет собой сплошной однородный шар. Выясним, как действующая на тело сила тяжести зависит от его положения в туннеле. Очевидно, что в центре Земли эта сила равна нулю. Это непосредственно следует из симметрии картины. Найти силу тяжести в произвольной точке можно точно таким же способом, каким определяется напряжённость электростатического поля внутри равномерно заряженного шара.
Рис. 17.1. Сила тяжести в точке 𝐴 равна силе притяжения к заштрихованной части земного шара
Разобьём мысленно земной шар на тонкие сферические концентрические слои (рис. 17.1). По принципу суперпозиции полная сила, действующая на тело в туннеле, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны отдельных слоёв. Легко убедиться в том, что сила тяготения, действующая со стороны любого слоя на тело, находящееся внутри этого слоя, равна нулю. Это сразу видно из построения, показанного на рис. 17.2. Части оболочки с массами 𝑚₁ и 𝑚₂ притягивают тело массы 𝑚 с силами, пропорциональными этим массам и обратно пропорциональными квадратам расстояний 𝑟₁ и 𝑟₂. Но сами массы 𝑚₁ и 𝑚₂, как видно из рисунка, пропорциональны квадратам соответствующих расстояний. В результате силы тяготения, действующие со стороны выделенных участков сферического слоя, уравновешиваются, что и доказывает сделанное утверждение. Именно таким рассуждением отсутствие силы тяготения внутри сферической оболочки было установлено ещё Ньютоном.
Рис. 17.2. Силы тяготения, действующие на массу 𝑚 со стороны участков 𝑚₁ и 𝑚₂, уравновешиваются
Таким образом, на тело в туннеле в точке 𝐴 (рис. 17.1) действует сила тяжести только со стороны заштрихованного шара, на поверхности которого находится это тело. Так как масса заштрихованного шара пропорциональна кубу его радиуса 𝑟, а сила тяготения пропорциональна массе (т.е. 𝑟³) и в то же время обратно пропорциональна квадрату радиуса, то эта сила пропорциональна радиусу шара: 𝐹∾𝑟. Так как на поверхности Земли при 𝑟-𝑅 сила тяжести равна 𝑚𝑔, то на произвольном расстоянии 𝑟 от центра при 𝑟≤𝑅 имеем
𝐹(𝑟)
=
𝑚𝑔𝑟
𝑅
.
(1)
При 𝑟>𝑅 сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния; график зависимости силы тяжести от 𝑟 показан на рис. 17.3.
Рис. 17.3. Зависимость силы тяжести и потенциальной энергии от расстояния до центра Земли
Теперь легко найти выражение для потенциальной энергии тела, находящегося в туннеле. Для этого мысленно поднимем тело из центра Земли на расстояние 𝑟, перемещая его равномерно. Очевидно, что для этого внешняя сила в каждой точке должна быть равна силе тяжести 𝐹(𝑟) и противоположно направлена. Работа этой силы, равная площади заштрихованного треугольника 𝑚𝑔𝑟²/2𝑅, определяет изменение потенциальной энергии Δ𝐸п:
Δ𝐸
п
=
𝑚𝑔𝑟²
2𝑅
.
(2)
Обычно потенциальную энергию принимают равной нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли (как, например, в формуле (3) из введения к этому разделу). В этой задаче удобно принять потенциальную энергию равной нулю, когда тело находится в центре Земли. Тогда с помощью формулы (2) найдём, что при 𝑟≤𝑅
𝐸
п
(𝑟)
=
𝑚𝑔𝑟²
2𝑅
.
(3)
На поверхности Земли потенциальная энергия при этом будет равна 𝑚𝑔𝑅/2, а на бесконечно большом расстоянии от Земли 3𝑚𝑔𝑅/2. График зависимости потенциальной энергии от г также показан на рис. 17.3.
Формула (3) позволяет найти скорость ракеты 𝑣 в центре Земли при свободном падении с поверхности. Приравнивая потенциальную энергию на поверхности 𝑚𝑔𝑅/2 кинетической энергии ракеты в центре Земли 𝑚𝑣²/2, получаем
𝑣
=
√
𝑔𝑅
.
(4)
Видно, что эта скорость равна первой космической скорости для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли (𝑣I= 7,9 км/с).
Теперь предположим, что в тот момент, когда ракета пролетает через центр Земли, срабатывают двигатели, которые изменяют её скорость на Δ𝑣. Тогда, подлетев к поверхности Земли, на выходе из туннеля ракета будет обладать скоростью 𝑣₁, которая находится с помощью закона сохранения энергии:
𝑚(𝑣+Δ𝑣)²
2
=
𝑚𝑣₁²
2
+
𝑚𝑔𝑅
2
.
(5)
Потребуем, чтобы 𝑣₁. была равна второй космической скорости 𝑣II=√2𝑔𝑅. Тогда для необходимого приращения скорости Δ𝑣 из уравнения (5) после подстановки в него 𝑣=√𝑔𝑅, решая квадратное уравнение, получаем
Δ𝑣
=
√
𝑔𝑅
⋅
(1±√
3
)
.
(6)
Взяв корень со знаком плюс, получаем значение Δ𝑣=(1-√3)√𝑔𝑅= 5,8 км/с. Второй корень соответствует изменению направления скорости ракеты в результате срабатывания двигателей на противоположное (т.е. торможению с последующим разгоном) и не представляет интереса в рассматриваемом примере.
Естественно задуматься над вопросом, за счёт чего получается такой «выигрыш» в энергии при использовании туннеля. При сгорании топлива в двигателях ракеты определённая часть его внутренней энергии превращается в кинетическую энергию ракеты и выброшенных газов. Если до срабатывания двигателей ракета была неподвижна на поверхности Земли, то в силу закона сохранения импульса некоторая (и немалая!) доля высвобождающейся энергии обязательно перейдёт в кинетическую энергию газов. Если же двигатели срабатывают в тот момент, когда ракета уже имеет некоторую скорость, то передаваемая газам доля кинетической энергии может быть меньше. Например, если при движении в туннеле скорость истечения газов из сопла двигателя ракеты будет равна скорости ракеты относительно Земли, то скорость выброшенных газов относительно Земли будет равна нулю. Другими словами, в системе отсчёта, связанной с Землёй, выброшенные газы вообще не будут обладать кинетической энергией, и вся высвобождающаяся механическая энергия целиком «достаётся» ракете. Ракете же достанется и кинетическая энергия топлива, которой оно обладало до срабатывания двигателей.
Интересно отметить, что свободное падение ракеты в туннеле представляет собой гармоническое колебание около центра Земли, при котором ракета пролетает через земной шар по диаметру от одного края туннеля до другого. Так происходит потому, что действующая в туннеле сила тяжести направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию до него. С помощью формулы (1) легко найти период таких колебаний. Поскольку частота ω=√𝑔/𝑅, то период 𝑇=2π/ω=2π/√𝑔/𝑅, что совпадает с периодом обращения спутника по низкой круговой орбите.
Разумеется, осуществление описанного здесь фантастического космического проекта лежит за пределами технических возможностей. Ни прорыть такой туннель через центр Земли, ни откачать из него воздух, что совершенно необходимо для того, чтобы свободное падение ракеты в нем происходило без сопротивления, конечно, невозможно. Но сама идея использовать поле тяготения для экономии топлива космических кораблей, несомненно, представляет интерес. Например, в космическом путешествии за пределы Солнечной системы можно использовать поле тяготения одной из тяжёлых планет для предварительного разгона и включать двигатели корабля для сообщения необходимого импульса вблизи этой планеты. ▲
18. Изменение орбиты.
В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 2%. Орбита спутника при этом как была, так и осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус 𝑟, скорость 𝑣, период обращения 𝑇?
△ В системе отсчёта, связанной с Землёй, механическая энергия спутника 𝐸 есть сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землёй (𝑅 – радиус Земли):
𝐸
=
𝑚𝑣²
2
–
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
.
(1)
Так как орбита спутника круговая, то его скорость постоянна и связана с радиусом орбиты соотношением
𝑣²
=
𝑔𝑅²
𝑟
.
(2)
С помощью (2) выражение для энергии спутника (1) можно представить в виде
𝐸(𝑟)
=-
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
+
𝑚𝑔𝑅²
2𝑟
=-
𝑚𝑔𝑅²
2𝑟
.
(3)
Рис. 18.1. Зависимость кинетической, потенциальной и полной энергий спутника Земли от радиуса орбиты
Проиллюстрируем соотношение (3) графически. На рис. 18.1 показана зависимость потенциальной, кинетической и полной энергий спутника от радиуса 𝑟 круговой орбиты. Из рисунка видно, что увеличение механической энергии спутника приводит к увеличению радиуса орбиты. Поскольку при нашем выборе начала отсчёта потенциальной энергии полная энергия спутника всегда отрицательна, относительное изменение энергии Δ𝐸/𝐸 положительно при её уменьшении (Δ𝐸<0). Так как по условию полная энергия уменьшилась на 2 %, то Δ𝐸/𝐸 положительно и равно 0,02. Соотношение (3) позволяет связать изменение энергии спутника с изменением радиуса орбиты Δ𝑟:
𝐸(𝑟+
Δ
𝑟)
=-
1
2
𝑚𝑔𝑅²
𝑟+Δ𝑟
=
𝐸(𝑟)
+
Δ
𝐸
.
(4)
Правую часть этого выражения при Δ𝑟/𝑟≪1 приближённо можно записать так:
-
1
2
𝑚𝑔𝑅²
𝑟(1+Δ𝑟/𝑟)
≈
–
1
2
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
⎛
⎜
⎝
1-
Δ𝑟
𝑟
⎞
⎟
⎠
=
𝐸(𝑟)
⎛
⎜
⎝
1-
Δ𝑟
𝑟
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Сравнивая (4) и (5), получаем
𝐸
+
Δ
𝐸
=
𝐸
⎛
⎜
⎝
1-
Δ𝑟
𝑟
⎞
⎟
⎠
т.е.
Δ𝑟
𝑟
=-
Δ𝐸
𝐸
=
–0,02
.
Радиус орбиты также уменьшился на 2%.
Изменение скорости спутника при изменении орбиты легко выразить через изменение радиуса орбиты с помощью соотношения (2):
(𝑣+
Δ
𝑣)²
=
𝑔𝑅²
𝑟+Δ𝑟
.
(6)
Поскольку Δ𝑣/𝑣≪1 левую часть этого соотношения приближённо можно записать в виде
𝑣²
⎛
⎜
⎝
1
+
Δ𝑣
𝑣
⎞²
⎟
⎠
≈
𝑣²
⎛
⎜
⎝
1
+
2
Δ𝑣
𝑣
⎞
⎟
⎠
.
Преобразовав правую часть формулы (6) так же, как и при переходе от (4) к (5), получим
⎛
⎜
⎝
1
+
2
Δ𝑣
𝑣
⎞
⎟
⎠
=
𝑔𝑅²
𝑟
⎛
⎜
⎝
1
+
Δ𝑣
𝑣
⎞
⎟
⎠
,
откуда, учитывая (2), находим
Δ𝑣
𝑣
=-
Δ𝑟
2𝑟
=
Δ𝐸
2𝐸
=
0,01
.
Скорость спутника увеличилась на 1%. Обратите внимание, что слабое торможение спутника в верхних слоях атмосферы приводит к увеличению его скорости!
Осталось найти изменение периода обращения. Это легко сделать, зная Δ𝑟/𝑟 и Δ𝑣/𝑣, поскольку период связан с радиусом орбиты и скоростью спутника соотношением 𝑇=2π𝑟/𝑣. Записывая значение периода обращения при изменившихся радиусе орбиты и скорости спутника:
𝑇
+
Δ
𝑇
=
2π
𝑟+Δ𝑟
𝑣+Δ𝑣
,
и преобразуя правую пасть подобно тому, как это делалось выше,
2π
𝑟(1+Δ𝑟/𝑟)
𝑣(1+Δ𝑣/𝑣)
≈
𝑇
⎛
⎜
⎝
1
+
Δ𝑟
𝑟
–
Δ𝑣
𝑣
⎞
⎟
⎠
,
находим
Δ𝑇
𝑇
=
Δ𝑟
𝑟
–
Δ𝑣
𝑣
=-
3Δ𝐸
2𝐸
=
–0,03
.
Период обращения уменьшился на 3%. ▲
19. Энергия спутника.
Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите радиуса 𝑟. В какой пропорции сообщённая ему при запуске энергия распределилась между приращениями потенциальной и кинетической энергий?
△ Кинетическую энергию спутника 𝑚𝑣²/2, движущегося по круговой орбите, удобно выразить через радиус орбиты 𝑟:
𝐸
к
=
𝑚𝑔𝑅²
2𝑟
.
(1)
Находясь на поверхности Земли, спутник уже обладает потенциальной энергией. Если, как обычно, выбрать начало отсчёта потенциальной энергии на бесконечности, потенциальная энергия спутника на поверхности Земли
𝐸
п
(𝑅)
=-
𝑚𝑔𝑅
,
а потенциальная энергия на орбите
𝐸
п
(𝑟)
=-
𝑚𝑔𝑟
,
Следовательно, при выводе спутника на орбиту ему была сообщена потенциальная энергия
𝐸
п
=
𝐸
п
(𝑟)
–
𝐸
п
(𝑅)
=
𝑚𝑔𝑅
(1-𝑅/𝑟)
.
(2)
Составляя отношение (1) и (2), находим
𝐸п
𝐸к
=
2
𝑟-𝑅
𝑅
.
Но 𝑟-𝑅 равно высоте орбиты 𝐻 над поверхностью Земли. Итак,
𝐸п
𝐸к
=
2𝐻
𝑅
,
т.е. отношение сообщённой потенциальной энергии к сообщённой кинетической пропорционально высоте орбиты. ▲
20. Возвращение с орбиты.
Космический корабль движется по круговой орбите. Для перехода на траекторию приземления кораблю сообщают дополнительную скорость Δ𝑣 включением тормозного двигателя на короткое время. Рассмотреть два способа перехода на траекторию приземления: 1) дополнительная скорость сообщается в направлении, противоположном орбитальной скорости; 2) дополнительная скорость сообщается вертикально вниз, т.е. в направлении на центр Земли. Какой способ выгоднее энергетически? Исследовать также предельный случай возвращения с низкой круговой орбиты, высота которой ℎ над поверхностью Земли много меньше радиуса Земли 𝑅(ℎ≪𝑅).
△ Сообщение дополнительной скорости Δ𝑣 переводит корабль с круговой орбиты на эллиптическую. Один из фокусов эллипса, в соответствии с первым законом Кеплера, находится в центре Земли. При любом из способов перехода на траекторию приземления дополнительная скорость будет наименьшей, если эллипс только касается земной поверхности (точнее – границы плотных слоёв атмосферы), а не пересекает её. В самом деле, при таком условии требуется наименьшее «искажение» первоначальной круговой траектории. На рис. 20.1 выбранная точка приземления обозначена буквой 𝐴. Эта точка является перигеем эллиптической траектории спуска.
Рис. 20.1. Возможные траектории снижения с круговой орбиты в точку 𝐴 на поверхности
При первом способе включение двигателя изменяет только модуль, но не направление скорости. Поэтому в точке, где срабатывает тормозной двигатель, и исходная круговая, и получившаяся эллиптическая траектория спуска имеют общую касательную, направленную вдоль вектора скорости. Глядя на рис. 20.1, нетрудно сообразить, что эта точка является апогеем эллиптической траектории и, следовательно, лежит на продолжении прямой, проходящей через перигей (точку 𝐴) и центр Земли.
При втором способе дополнительная скорость Δ𝑣 сообщается в направлении, перпендикулярном круговой орбите, и, следовательно, при этом изменяется как модуль, так и направление орбитальной скорости. Это означает, что эллиптическая траектория спуска пересекает круговую орбиту в точке, где срабатывает тормозной двигатель (точка 𝐶 на рис. 20.1).
Для определения необходимой дополнительной скорости Δ𝑣 в каждом из этих случаев воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Кеплера, согласно которому при движении по орбите секторная скорость неизменна. Уравнения, выражающие эти законы, для первого способа можно записать в виде
𝑚𝑣²
2
–
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
=
𝑚𝑣₁²
2
–
𝑚𝑔𝑅
,
(1)
𝑟𝑣
=
𝑅𝑣₁
,
(2)
где 𝑣≡𝑣₀-Δ𝑣₁ – скорость в апогее (в точке 𝐵 рис. 20.1), 𝑣₀ – скорость на круговой орбите, 𝑟 – радиус круговой орбиты, – скорость в точке приземления 𝐴. Подставляя 𝑣₁ из (2) в (1) и перегруппировывая члены, получим
𝑣²
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟²
𝑅²
⎞
⎟
⎠
=
2𝑔𝑅²
𝑟
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟
𝑅
⎞
⎟
⎠
.
(3)
Рассматривая в левой части уравнения (3)
разность квадратов
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟²
𝑅²
⎞
⎟
⎠
как произведение
⎛
⎜
⎝
1+
𝑟
𝑅
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟
𝑅
⎞
⎟
⎠
и сокращая правую и левую части на
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟
𝑅
⎞
⎟
⎠
,
получаем
𝑣
=
⎛
⎜
⎝
2𝑔𝑅²
𝑟
⎞½
⎟
⎠
1
√1+𝑟/𝑅
.
Учитывая, что √𝑔𝑅²/𝑟 есть скорость корабля на круговой орбите 𝑣₀, и подставляя 𝑣=𝑣₀-Δ𝑣₁, – находим
Δ
𝑣₁
=
𝑣₀
⎛
⎜
⎝
1-
⎡
⎢
⎣
2
1+𝑟/𝑅
⎤½
⎥
⎦
⎞
⎟
⎠
.
(4)
В случае низкой круговой орбиты (ℎ≪𝑅) эту точную формулу можно приближённо записать в более простом виде. Преобразуем корень в правой части (4), подставляя вместо 𝑟 сумму радиуса Земли 𝑅 и высоты круговой орбиты ℎ (𝑟=𝑅+ℎ):
⎛
⎜
⎝
2
1+𝑟/𝑅
⎞½
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
2
1+(ℎ+𝑅)/𝑅
⎞½
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
2
2+ℎ/𝑅
⎞½
⎟
⎠
=
=
1
√1+ℎ/2𝑅
≈
1
√1+ℎ/4𝑅
≈
1
–
ℎ
4𝑅
.
Подставляя это выражение в формулу (4), получаем
Δ
𝑣₁
=
𝑣₀ℎ
4𝑅
.
(5)
Перейдём к нахождению дополнительной скорости Δ𝑣₂ при втором способе перехода на траекторию приземления. Прежде всего заметим, что при сообщении кораблю дополнительной скорости в направлении на центр Земли его секторная скорость не изменяется, поэтому в любой точке эллиптической траектории спуска секторная скорость будет такой же, как и на первоначальной круговой орбите, т.е. равной 𝑟𝑣₀ Запишем это условие для точки приземления 𝐴, скорость в которой обозначим через 𝑣₂:
𝑟𝑣₀
=
𝑅𝑣₂
.
(6)
Вместе с уравнением закона сохранения энергии
𝑚(𝑣₀²+Δ𝑣₂²)
2
–
𝑚𝑔𝑅²
2
=
𝑚𝑣₂²
2
–
𝑚𝑔𝑅
(7)
получаем систему уравнении относительно неизвестных 𝑣₂² и Δ𝑣₂². В уравнении (7) учтено, что дополнительная скорость Δ𝑣₂² перпендикулярна скорости на круговой орбите и квадрат результирующей скорости определяется по теореме Пифагора (рис. 20.1). Подставляя 𝑣₂ из (6) в уравнение (7), учитывая, что скорость на круговой орбите 𝑣₀=√𝑔𝑅²/𝑟, и выражая через 𝑣₀ последнее слагаемое в правой части (7), получаем
𝑣₀²
+
Δ
𝑣₂²
–
2𝑣₀²
=
𝑣₀²
𝑟²
𝑅²
–
2𝑣₀²
𝑟
𝑅
,
откуда
Δ
𝑣₂²
=
𝑣₀²
⎛
⎜
⎝
𝑟²
𝑅²
–2
𝑟
𝑅
+1
⎞
⎟
⎠
.
(8)
Таким образом,
Δ
𝑣₂
=
𝑣₀
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑅
–1
⎞
⎟
⎠
.
(9)
Подставляя в эту формулу 𝑟=𝑅+ℎ получаем
Δ
𝑣₂
=
𝑣₀ℎ
𝑅
.
(10)
Сравнивая формулы (5) и (10), находим, что при использовании первого способа перехода на траекторию приземления с низкой круговой орбиты (ℎ≪𝑅) необходимая дополнительная скорость Δ𝑣 в 4 раза меньше.
Скорость в точке 𝐴, которую необходимо погасить для осуществления мягкой посадки, при использовании первого способа меньше. Это непосредственно следует из закона сохранения энергии при сравнении этих способов. Действительно, так как изменения потенциальной энергии одинаковы при обоих способах спуска, то кинетическая энергия в точке 𝐴 больше в том случае, в котором она больше сразу после срабатывания тормозного двигателя. Таким образом, и с этой точки зрения первый способ является предпочтительным. Более высокая скорость входа в плотные слои атмосферы, характерная для второго способа, предъявляет более жёсткие требования к теплозащитному экрану корабля. Преимущества первого способа становятся совсем очевидными, если речь идёт о посадке на лишённую атмосферы планету (например, на Луну), где скорость перед посадкой должна быть погашена двигателем.
Рис. 20.2. К расчёту точки срабатывания тормозного двигателя
В какой точке круговой орбиты должен сработать тормозной двигатель, чтобы приземление произошло в заданной точке 𝐴? При первом способе снижения эта точка, как мы видели, лежит на прямой, проходящей через точку 𝐴 и центр Земли (точка 𝐵 на рис. 20.1). А как при втором способе? На рис. 20.1 точка 𝐶, где срабатывает двигатель, расположена на прямой, проходящей через центр Земли и образующей прямой угол с радиусом Земли, проведённым в точку 𝐴. И это действительно так. Убедиться в этом можно, например, следующим образом.
Рассмотрим треугольник 𝐶𝑂𝑂' на рис. 20.2, который получается, если точку 𝐶 соединить с фокусами эллиптической траектории 𝑂 и 𝑂'. Согласно первому закону Кеплера фокус 𝑂 совпадает с центром Земли. Вычислим стороны 𝑠 и 𝑑 этого треугольника, используя свойства эллиптической орбиты, по которой движется корабль после срабатывания двигателя. При этом окажется, что 𝑑²+𝑟²=𝑠², т.е. для треугольника 𝐶𝑂𝑂' справедлива теорема Пифагора, и, следовательно, он прямоугольный.
Сторона 𝑑 как видно из рис. 20.2, равна разности 𝑟' и 𝑅:
𝑑
=
𝑟'
–
𝑅
.
(11)
Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов есть постоянная для данного эллипса величина. Приравнивая суммы расстояний до фокусов от точек 𝐶 и 𝐸, получаем
𝑠+𝑟
=
𝑟'+𝑅
,
откуда
𝑠
=
𝑟'+𝑅-𝑟
.
(12)
Таким образом, для нахождения 𝑑 и 𝑠 нужно вычислить 𝑟', т.е. расстояние от центра Земли до апогея эллиптической орбиты. Это можно сделать, используя закон сохранения энергии и постоянство секторной скорости. Приравнивая эти величины в точках 𝐶 и 𝐸, получаем
𝑟𝑣₀
=
𝑟'𝑣'
,
(13)
𝑚(𝑣₀²+Δ𝑣₂²)
2
–
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
=
𝑚𝑣'²
2
–
𝑚𝑔𝑅²
𝑟'
.
(14)
Подставим в уравнение (14) 𝑣' из (13), Δ𝑣₂ из (9) и заменим, как и раньше, 𝑔𝑅² на 𝑣₀²𝑟. В результате получим
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑅
–1
⎞²
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟
𝑟'
⎞²
⎟
⎠
.
(15)
Это квадратное уравнение для 𝑟 имеет два корня. Один корень 𝑟'-𝑅 соответствует перигею орбиты, т.е. точке 𝐴. Этот корень появляется потому, что правая часть уравнения (13) имеет одинаковый вид и для апогея, и для перигея, а уравнение (14) справедливо для всех точек траектории. Второй корень
𝑟'
=
𝑅𝑟
2𝑅-𝑟
(16)
соответствует искомому расстоянию до апогея.
Теперь остаётся только подставить 𝑟' из (16) в формулы (11) и (12) и убедиться, что 𝑑²+𝑟²=𝑠².
Глядя на рис. 20.1, легко сообразить, что для низкой круговой орбиты, когда эллиптические траектории спуска мало отличаются от круговой, возвращение на Землю по первому способу занимает приблизительно половину оборота вокруг Земли, а по второму способу – четверть.
В заключение сделаем следующее замечание. При нахождении добавочной скорости Δ𝑣₂ мы взяли только положительный корень уравнения (8). А имеет ли физический смысл отрицательный корень этого уравнения
Δ
𝑣₂
=-
𝑣₀
𝑟
𝑅-1
?
(17)
Знак минус перед этим выражением может означать, только то, что эта добавочная скорость направлена не к центру Земли, а в противоположном направлении – от центра Земли. Какая при этом получится траектория? Имеет ли она какое-либо отношение к решаемой задаче, т.е. к нахождению траектории снижения?
Рис. 20.3. Снижение корабля в точку 𝐴 возможно при сообщении ему в точке 𝐷 импульса, направленного от центра Земли
Взглянем ещё раз на рис. 20.1. Эллипс, соответствующий второму способу снижения, пересекается с исходной круговой орбитой корабля дважды: в точках 𝐶 и 𝐷. Из симметрии рисунка ясно, что модули скоростей на эллиптической орбите в точках 𝐶 и 𝐷 одинаковы. Если разложить скорости в этих точках на составляющие по двум взаимно перпендикулярным направлениям – вдоль круговой траектории и вдоль направления на центр Земли, – то, как ясно из рис. 20.3, соответствующие составляющие скорости будут одинаковы по модулю. Поэтому если кораблю в тот момент, когда он проходит через точку 𝐷 круговой орбиты, сообщить добавочную скорость Δ𝑣₂, направленную по радиусу от центра Земли (т.е. вертикально вверх!), то корабль сначала будет удаляться от Земли по эллиптической траектории, но потом, двигаясь по ней, всё равно придёт в точку 𝐴.
