Текст книги "Физика в примерах и задачах"

Автор книги: Е. Бутиков

Соавторы: Александр Кондратьев,Александр Быков
сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 27 страниц) [доступный отрывок для чтения: 10 страниц]

Рис. 25.2. Распространение волн упругой деформации и распределение скоростей частиц при столкновении одинаковых стержней в системе центра масс

Для того чтобы получить эту же картину в лабораторной системе отсчёта, необходимо к скоростям всех частиц прибавить скорость центра масс 𝑣/2. В результате для тех же моментов времени, что и на рис. 25.2, получается картина, изображённая на рис. 25.3. Как и в случае мгновенного удара, налетающий стержень останавливается, а неподвижный до удара стержень приходит в движение со скоростью 𝑣.

Рис. 25.3. То же в лабораторной системе отсчёта

Несколько сложнее обстоит дело в случае продольного соударения двух стержней разной длины. К моменту отскока полностью избавиться от деформации успеет только более короткий стержень. Так как второй стержень начнёт свободное движение после отскока ещё частично деформированным, то дальше в нем будут происходить продольные упругие колебания. Часть механической энергии системы окажется связанной с этими колебаниями. Вследствие внутреннего трения колебания постепенно затухнут, и в результате полная механическая энергия стержней после удара окажется меньше, чем до удара. А между тем удар был абсолютно упругим!

Рассмотрим теперь соударение стержней разной длины более подробно. Пусть, например, стержни изготовлены из одного и того же материала и имеют одинаковое поперечное сечение, но один из них вдвое длиннее другого.

Рис. 25.4. Столкновение стержней разной длины

Процесс соударения этих стержней удобно рассматривать в той системе отсчёта, где они движутся с одинаковыми по модулю скоростями навстречу друг другу (рис. 25.4). Нетрудно сообразить, что начальная стадия столкновения и в этом случае будет происходить точно так же, как и при соударении одинаковых стержней (рис. 25.5а). Действительно, в момент соприкосновения торцов стержней в каждом из них начинает распространяться волна упругой деформации. Те точки стержней, до которых фронт волны деформации ещё не дошёл, ничего «не знают» о том, что уже началось столкновение, и продолжают двигаться так же, как и до начала столкновения. Поэтому различие в длинах стержней начнёт проявляться только тогда, когда волна сжатия достигнет конца короткого стержня (рис. 25.5б). В длинном стержне волна сжатия успеет дойти при этом только до его середины.

Рис. 25.5. Распространение волн упругой деформации и распределение скоростей частиц при столкновении стержней разной длины. Сжатие стержней показано вертикальными штрихами, а растяжение – горизонтальными. Изменение длины стержней при их деформации не показано

Начиная с этого момента, процессы в стержнях будут различаться. Так как при распространении упругих волн взаимодействуют между собой только соседние участки среды, то в длинном стержне волна сжатия и дальше будет продолжать распространяться в том же направлении, а короткий стержень начинает возвращаться в недеформированное состояние (рис. 25.5в). Этот процесс начинается у свободного (левого) конца короткого стержня и постепенно приближается к месту контакта стержней. Все частицы в освободившемся от деформации участке короткого стержня движутся налево с одинаковой скоростью 𝑣.

В тот момент, когда волна сжатия достигает свободного (правого) конца длинного стержня, короткий стержень оказывается полностью недеформированным (рис. 25.5г). При этом скорости всех точек длинного стержня равны нулю, а скорости всех точек короткого стержня равны 𝑣 и направлены влево. В этот момент все упругие процессы в коротком стержне заканчиваются, а в длинном начинается процесс возвращения в недеформированное состояние. Этот процесс развивается с обоих концов стержня, так как взаимодействие между длинным стержнем и коротким, освободившимся от деформации, отсутствует. Частицы длинного стержня в освобождающихся от деформации участках вблизи его краёв имеют скорости 𝑣, направленные так, как показано на рис. 25.5,д. Стержни всё ещё находятся в контакте, но уже не действуют друг на друга. Силы взаимодействия, между стержнями отсутствуют, потому что соприкасающиеся участки стержней уже не деформированы, но стержни ещё не разъединяются, так как эти их участки имеют одинаковые скорости. Другими словами, соударение стержней на этом заканчивается, хотя они ещё некоторое время будут соприкасаться.

Таким образом, длительность взаимодействия стержней при столкновении равна 2𝑙𝑢, где 𝑙 – длина короткого стержня, а 𝑢 – скорость звука. Нетрудно найти и время, в течение которого стержни соприкасаются друг с другом. Для этого рассмотрим дальнейшие процессы, происходящие в длинном стержне.

В тот момент, когда длинный стержень полностью освободится от деформации, скорости всех его частиц слева от середины стержня будут направлены влево, а скорости всех частиц правой половины стержня – вправо (рис. 25.5е). Поэтому в обе стороны от середины стержня начнёт распространяться волна растяжения (рис. 25.5ж). В растянутой части стержня, которая на этом рисунке заштрихована, скорости частиц стержня равны нулю, а вне этой части по-прежнему равны 𝑣.

Когда волна растяжения достигнет концов стержня, скорости всех его частиц обратятся в нуль (рис. 25.5з). С этого момента короткий стержень перестанет касаться левого конца длинного стержня. Таким образом, с момента прекращения взаимодействия стержней до их разделения проходит ещё время, равное 2𝑙𝑢. Поэтому полное время пребывания стержней в контакте равно 4𝑙𝑢.

Дальше растянутый длинный стержень опять начинает освобождаться от деформации (рис. 25.5и), и т.д. Такие чередующиеся волны сжатия и растяжения можно рассматривать как продольные колебания стержня, при которых в выбранной системе отсчёта его середина стоит на месте. До столкновения стержни обладали только кинетической энергией поступательного движения. После столкновения кинетическая энергия короткого стержня такая же, как и до столкновения, так как изменилась только направление скорости стержня. Кинетическая энергия поступательного движения длинного стержня после столкновения равна нулю, так как он как целое покоится. Это значит, что энергия возникших в стержне колебаний равна его первоначальной кинетической энергии.

Таким образом, модель абсолютно упругого удара материальных точек, в которой принимается, что кинетическая энергия сталкивающихся тел сохраняется, оказывается совершенно неприменимой в случае столкновения упругих стержней разной длины. В самом деле, рассматривая стержни как материальные точки с массами 𝑚 и 2𝑚 и применяя к их столкновению законы сохранения энергии и импульса, мы получили бы, что точка массы 𝑚 после столкновения двигалась бы налево со скоростью 5𝑣/3, а точка массы 2𝑚 – направо со скоростью 𝑣/3. ▲

26. Столкновение трёх стержней.

Разобранный пример столкновения двух стержней, один из которых вдвое длиннее другого, позволяет легко выяснить, как происходит столкновение трёх одинаковых стержней.

△ Будем считать, что длинный стержень в предыдущем примере на самом деле составлен из двух одинаковых коротких стержней (2 и 3 на рис. 26.1). Отметим прежде всего, что до тех пор пока в длинном стержне распространяется только волна сжатия (рис. 25.5а – е предыдущего примера) тот факт, что он состоит из двух отдельных кусков, не играет никакой роли в происходящих процессах.

Рис. 26.1. Столкновение трёх одинаковых стержней

Ясно, что взаимодействие стержней 2 и 3 начинается в тот момент, когда волна сжатия, распространяясь по стержню 2, достигает его границы со стержнем 3. Это происходит спустя промежуток времени 𝑙/𝑢 после начала столкновения стержней 1 и 2. Спустя ещё промежуток времени 𝑙/𝑢 взаимодействие стержней 1 и 2 прекращается, а стержней 2 и 3 – продолжается. Рассмотрим тот момент, когда длинный стержень, освобождаясь от сжатия, оказывается недеформированным. Этому моменту соответствует рис. 25.5е предыдущего примера. В этот момент скорости всех частиц стержня 2 направлены влево, а стержня 3 – вправо (рис. 26.2а). Так как эти стержни не соединены друг с другом, то никакой волны растяжения, разумеется, не возникает: стержни 2 и 3 просто удаляются друг от друга. При этом стержни 1 и 2 остаются в контакте друг с другом, так как движутся с одинаковыми скоростями налево (рис. 26.2б). Разделение стержней 2 и 3 происходит спустя промежуток времени 2𝑙/𝑢 после начала их взаимодействия, т, е. спустя время 𝑙/𝑢 после прекращения взаимодействия стержней 1 и 2.

Рис. 26.2. Распределение скоростей частиц стержней после того, как стержни освободились от деформации

Из сравнения рис. 26.1 и 26.2б видно, что результат столкновения сводится к тому, что крайние стержни 1 и 3 изменили направления своих скоростей на противоположные, а скорость среднего стержня 2 осталась без изменения. Кинетическая энергия поступательного движения стержней при таком тройном столкновении остаётся без изменения. Никаких колебаний после окончания соударения в стержнях не происходит. Поэтому для рассмотренного столкновения применима модель двух последовательных абсолютно упругих столкновений: сначала первого тела со вторым, а затем второго с третьим.

Рис. 26.3. Стержень 1 налетает на покоящиеся стержни 2 и 3

Выясним теперь, как будет выглядеть это столкновение в той системе отсчёта, в которой соприкасающиеся стержни 2 и 3 покоятся, а стержень 1 налетает на них. Для перехода в такую систему отсчёта нужно к скоростям всех тел прибавить одну и ту же скорость 𝑣, направленную вправо. С помощью рис. 26.1 и 26.2б видим, что в этой системе отсчёта до удара стержень 1 движется со скоростью 2𝑣, а стержни 2 и 3 покоятся (рис. 26.3а). После удара покоятся стержни 1 и 2, а стержень 3 движется со скоростью 2𝑣 направо (рис. 26.3б).

Приведённый подробный анализ столкновения трёх одинаковых стержней позволяет понять результат упоминавшегося выше опыта с отскоками подвешенных на нитях упругих шаров (рис. 23.2.)

Из разобранных примеров ясно, что соударения нескольких упругих тел нужно рассматривать как последовательность отдельных столкновений. Для того чтобы применять к этим столкновениям упругих тел модель абсолютно упругого удара, нужно быть уверенным в том, что после прекращения столкновения в телах не происходит колебаний. ▲

27. Упругий шар и стенка.

В задаче 24 уже отмечалось, что столкновение шара с недеформируемой стенкой происходит не совсем так, как столкновение стержня со стенкой. Главная причина различия заключается в том, что в процессе соударения площадь области контакта шара со стенкой не остаётся постоянной.

Это различие проявляется даже в статическом случае, когда упругое тело прижимается к недеформируемой стенке постоянной внешней силой. Деформация стержня, поперечное сечение которого одинаково по всей длине, будет при этом однородной, и потенциальная энергия упругой деформации будет равномерно распределена по всему объёму стержня.

При статической деформации шара, прижатого к стенке, характер распределения деформации будет совсем иным. Деформация материала шара уже не будет однородной. Наиболее сильно будут деформированы участки шара вблизи стенки. Чем дальше от стенки, тем меньшей будет деформация. При этом оказывается, что деформация эффективно проникает в шар на сравнительно небольшую глубину и охватывает только некоторую часть шара, объём которой мал по сравнению с объёмом всего шара. Потенциальная энергия деформации будет сосредоточена в малой области шара, непосредственно примыкающей к стенке.

Рис. 27.1. Пружины разной жёсткости

Понять такой характер деформации шара и распределения потенциальной энергии по его объёму можно, рассматривая сжатие двух последовательно соединённых пружин разной жёсткости (рис. 27.1). Пусть жёсткость первой пружины равна 𝑘₁, второй – 𝑘₂. Пружины сжимаются силой 𝐹, которая при последовательном соединении пружин в любом сечении одинакова. Деформации пружин 𝑥₁ и 𝑥₂ связаны с силой 𝐹 и коэффициентами 𝑘₁ и 𝑘₂ обычными соотношениями

𝐹

=

𝑘₁𝑥₁

,

𝐹

=

𝑘₂𝑥₂

.

(1)

Потенциальные энергии деформированных пружин пропорциональны квадратам их деформаций:

𝑊₁

=

𝑘₁𝑥₁²

2

,

𝑊₂

=

𝑘₂𝑥₂²

2

.

(2)

Из соотношений (1) следует, что деформации пружин обратно пропорциональны их жёсткостям. Поэтому для отношения энергий 𝑊₁ и 𝑊₂ с помощью (2) находим

𝑊₁

𝑊₂

=

𝑘₁

𝑘₂

.

(3)

Видно, что при последовательном соединении пружин запасённая каждой пружиной энергия обратно пропорциональна её жёсткости: чем мягче пружина, тем большая часть энергии деформации пружин сосредоточена в ней. В предельном случае, когда жёсткость одной из пружин стремится к бесконечности (т.е. её можно считать абсолютно твёрдым, недеформируемым телом), вся потенциальная энергия деформации оказывается сосредоточенной в другой пружине.

Рис. 27.2. Качественная модель столкновения шара со стенкой

Процесс столкновения шара с недеформируемой стенкой можно представить себе следующим образом. Сначала шар касается стенки в одной точке, затем по мере деформации шара область контакта увеличивается. А это означает, что испытывающую деформацию часть шара качественно можно рассматривать как упругую пружину, жёсткость которой возрастает с увеличением сжатия. Это условно показано на рис. 27.2. Энергия деформации будет в основном сосредоточена в той части пружины, которая имеет наименьшую жёсткость и испытывает наибольшую деформацию, т.е. в малой части шара, непосредственно примыкающей к стенке.

Описанная выше качественная картина деформации шара означает, что при изучении столкновения упругие свойства шара можно считать сосредоточенными вблизи точки контакта (в пружине на рис. 27.2). Так как масса этой деформируемой части мала по сравнению с массой всего шара, то её деформацию можно считать квазистатической (как у пружины, вовсе лишённой массы), а инертные свойства шара можно рассматривать, считая, что вся масса шара сосредоточена в его центре. В отличие от упругого стержня, для которого нужно было считать, что упругие и инертные свойства равномерно распределены по всему объёму, здесь мы можем с хорошей точностью рассматривать упругий шар как точечную массу, прикреплённую к невесомой пружине с переменной жёсткостью.

Из такой модели сразу становится ясно, что длительность столкновения шара со стенкой зависит от скорости шара перед ударом. При малой скорости деформация мала и затрагивает только участок «пружины» с малой жёсткостью. Период колебаний массивного шара на такой пружине велик, поэтому время столкновения будет большим. Чем больше эта скорость, тем более жёсткие участки «пружины» вступают в работу и тем меньшим оказывается время столкновения.

При столкновении шара со стенкой, как мы видим, длительность определяется совсем другими процессами, чем при столкновении стержня со стенкой. Там эта длительность определялась временем прохождения звука вдоль стержня, а здесь она связана с периодом колебаний шара на пружине переменной жёсткости, причём эта жёсткость мала при небольших скоростях. Поэтому длительность столкновения для шара значительно больше, чем для стержня из того же материала и имеющего длину, равную диаметру шара.

Во всех рассуждениях мы для простоты считали стену недеформируемой. Нетрудно сообразить, что все качественные выводы остаются справедливыми и тогда, когда стена сделана из упругого материала, свойства которого близки к свойствам материала шара. Различие в форме поверхности шара и стенки вблизи точки соприкосновения приводит к тому, что при не слишком большой скорости шара деформируется только шар, а поверхность стенки практически остаётся плоской. Деформация стенки будет существенна только в том случае, когда жёсткость материала стенки (модуль Юнга) значительно меньше жёсткости шара.

Теперь мы можем вернуться к задаче 23 о столкновении шара с клином, лежащим на горизонтальной поверхности, и обсудить вопрос о том, какому из рассмотренных там решений следует отдать предпочтение. Ясно, что единого ответа быть не может: всё зависит от таких свойств участвующих в столкновении тел, о которых ничего не говорится в условии задачи.

Если длительность столкновения шара с клином значительно превышает время распространения волны упругой деформации по клину, то можно считать, что действие шара на клин будет квазистатическим, как если бы на наклонную грань клина действовала постоянная сила. В этом случае правильным является представление об одном ударе – ударе шара с системой, состоящей из клина и поверхности, на которой он лежит. Следовательно, справедливо первое решение задачи. Так будет, например, тогда, когда жёсткость материала клина больше или того же порядка, что и материала шара, а их размеры сравнимы между собой.

Если же жёсткость материала клина значительно меньше, чем шара, то может оказаться, что время распространения волны деформации по клину будет больше, чем длительность соударения шара с клином. В этом случае ближе к действительности будет представление о последовательности двух соударений – шара с клином и клина с подставкой. Однако следует помнить, что в этом случае часть первоначальной кинетической энергии шара может превратиться в энергию упругих колебаний клина. ▲

28. Футбольный мяч.

Сколько времени длится столкновение футбольного мяча со стенкой? С какой силой мяч давит на стенку?

△ Будем для простоты считать, что мяч летит перпендикулярно поверхности стенки. При ударе о стенку мяч деформируется. При не слишком большой скорости мяча деформации невелики и можно считать, что не касающаяся стенки часть поверхности мяча по-прежнему сферическая, а место соприкосновения становится плоским, как показано на рис. 28.1.

Рис. 28.1. Деформация мяча при столкновении со стенкой

Какие силы действуют на мяч во время удара? До удара действовавшие на мяч силы атмосферного давления уравновешивали друг друга. В процессе удара это уже не так. Действительно, сначала мяч касается стенки в одной точке; затем от этой точки область контакта расширяется в круг. При этом воздух из зазора вытесняется наружу. В результате появляется нескомпенсированная сила давления атмосферного воздуха, направленная к стенке и равная произведению атмосферного давления 𝑝₀ на площадь области контакта 𝑆 (рис. 28.2).

Рис. 28.2. К нахождению сил, действующих на мяч при ударе

Давление воздуха 𝑝 внутри мяча во время удара можно считать во всех точках одинаковым, как и при статической деформации. Поэтому воздух внутри мяча давит на часть оболочки, соприкасающуюся со стенкой, с силой, равной 𝑝𝑆. С такой же по модулю, но противоположно направленной силой действует на эту часть оболочки мяча и стенка.

Рис. 28.3. К определению размера области контакта мяча со стенкой

Итак, полная сила, действующая на мяч при ударе, направлена от стенки и равна (𝑝-𝑝₀)𝑆. Площадь области контакта мяча со стенкой 𝑆 легко найти с помощью рис. 28.3. Обозначим радиус мяча через 𝑅, радиус круга – области контакта со стенкой – через 𝑟, а деформацию мяча через 𝑥. Тогда по теореме Пифагора

𝑟

=

√

𝑅²-(𝑅-𝑥)²

=

√

2𝑅𝑥-𝑥²

.

(1)

Поэтому площадь области контакта

𝑆

=

π𝑟²

=

2π𝑅𝑥

1-𝑥

2𝑅

.

(2)

Нужно ли учитывать изменение давления воздуха в мяче при его деформации? Относительное уменьшение объёма мяча Δ𝑉/𝑉 оказывается величиной порядка (𝑥/𝑅)². Поэтому если мы, считая деформацию мяча 𝑥 малой по сравнению с его радиусом 𝑅 (𝑥≪𝑅) будем при вычислении площади 𝑆 в (2) отбрасывать малое по сравнению с единицей слагаемое 𝑥/2𝑅 то нужно тем более пренебречь изменением давления, пропорциональным (𝑥/𝑅)².

Таким образом, полная сила 𝐹, действующая на мяч во время удара, пропорциональна деформации мяча 𝑥:

𝐹

=

(𝑝-𝑝₀)𝑆

=

2π𝑅

(𝑝-𝑝₀)𝑥

=

𝑘𝑥

.

(3)

Движение центра мяча при действии такой силы должно представлять собой гармоническое колебание с частотой, определяемой соотношением

ω²

=

𝑘

𝑚

=

2π𝑅(𝑝-𝑝₀)

𝑚

,

(4)

где 𝑚 – масса мяча. Так как деформация мяча при ударе о стенку может представлять собой только сжатие, которое не сменяется его растяжением (так как мяч просто отскакивает от стенки), то это «колебание» продолжается только в течение половины периода 𝑇. Таким образом, длительность удара мяча о стенку

τ

=

𝑇

2

=

π

ω

=

⎛

⎜

⎝

π𝑚

2𝑅(𝑝-𝑝₀)

⎞

⎟

⎠

.

(5)

Время столкновения футбольного мяча со стенкой тем меньше, чем больше давление воздуха 𝑝 внутри мяча, но не зависит от скорости мяча перед ударом 𝑣₀. Максимальная сила, с которой мяч действует на стенку, разумеется, зависит от скорости мяча. В момент наибольшей деформации мяча вся его кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию деформации:

𝑚𝑣₀²

2

=

𝑘𝑥₀²

2

.

(6)

Отсюда можно найти максимальную деформацию мяча 𝑥₀:

𝑥₀

=

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑘

⎞½

⎟

⎠

𝑣₀

=

⎛

⎜

⎝

𝑚

2π 𝑅(𝑝-𝑝₀)

⎞½

⎟

⎠

𝑣₀

,

(7)

где 𝑘 подставлено из соотношения (4).

Приведём числовые оценки. Пусть масса мяча 𝑚≈0,4 кг, радиус 𝑅≈0,15 м, а давление воздуха в мяче превышает атмосферное на одну атмосферу: 𝑝-𝑝₀ атм = 1,013⋅10⁵ Па. Подставляя эти данные в формулу (5), получаем τ=6,4⋅10^-3 с. Длительность столкновения оказалась менее сотой доли секунды. Чтобы оценить деформацию мяча при ударе, нужно задать ещё его скорость перед ударом. Считая её равной примерно 15 м/с, с помощью формулы (7) находим, что максимальная деформация 𝑥₀ составляет примерно 3 см. Максимальное значение силы, действующей на стенку в момент остановки мяча, равно, в соответствии с формулой (3), 2800 Н. ▲

29. Отражение от стенки.

Под каким углом отскакивает футбольный мяч от стенки?

△ Задача, разумеется, тривиальная, если считать, что удар абсолютно упругий, а стенка и мяч идеально гладкие. Тогда трение между мячом и поверхностью стенки отсутствует и угол отражения β равен углу падения α (рис. 29.1).

Рис. 29.1. Отскок мяча от стенки

Совсем иначе обстоит дело, если мяч и стенка шероховатые, так что пренебрегать трением уже нельзя. Однако и в этом случае легко найти угол отражения, если известен коэффициент трения μ мяча о поверхность стенки.

Будем рассуждать следующим образом. Разложим вектор скорости поступательного движения мяча до удара 𝒗 на две составляющие: 𝒗_⊥ направленную перпендикулярно поверхности стенки, и 𝒗_∥, направленную вдоль поверхности (рис. 29.2). Обозначим соответствующие скорости мяча после отскока через 𝒗'_⊥ и 𝒗'_∥. Перпендикулярная составляющая скорости мяча при ударе о стенку меняет своё направление на противоположное, оставаясь неизменной по модулю. Параллельная же составляющая скорости, вообще говоря, изменяется по модулю.

Рис. 29.2. Разложение на составляющие скорости мяча до и после удара

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим силы, действующие на мяч со стороны стенки при ударе (рис. 29.3). Направленная по нормали к стенке сила 𝑵 – это сила упругости, возникающая при деформации мяча. Деформацию хорошо накачанного мяча можно считать упругой, после удара мяч восстанавливает свою форму. Поэтому энергия упругой деформации мяча после удара снова перейдёт в кинетическую энергию.

Рис. 29.3. Силы, действующие на мяч во время удара

Другими словами, часть кинетической энергии мяча, связанная с его движением по нормали к стенке, остаётся неизменной.

Изменение составляющей скорости, параллельной поверхности, происходит под действием силы трения. Эта сила направлена в сторону, противоположную скорости точек поверхности мяча в месте соприкосновения со стенкой. Если мяч до удара не вращался, то скорости этих точек равны 𝒗_∥, и действие силы трения приводит к уменьшению модуля 𝒗_∥. Это значит, что угол отражения β меньше угла падения α. Именно этот случай и изображён на рис. 29.1 и 29.2. Сила трения может и увеличивать значение если до удара о стенку мяч вращался в направлении, указанном на рис. 29.4. При достаточно быстром вращении мяча (ω𝑅>𝒗_∥) касающиеся стенки точки мяча имеют скорости, направленные влево, сила трения направлена вправо и значение 𝒗_∥ возрастает. В этом случае угол отражения больше угла падения.

Рис. 29.4. Скорости мяча до и после удара при вращении налетающего мяча по часовой стрелке

Рассмотрим подробно случай, когда мяч до удара не вращается. Будем также считать, что скорости точек мяча, касающихся стенки, не обращаются в нуль: в течение удара проскальзывание не прекращается. Сила 𝑵 (рис. 29.3) возникает в момент соприкосновения мяча со стенкой, затем растёт, достигая наибольшего значения в момент максимальной деформации мяча, а затем убывает до нуля. Сила трения скольжения 𝑭_тр в течение удара также не остаётся постоянной. В любой момент времени модули сил 𝑭_тр и 𝑵 связаны законом Кулона – Амонтона:

𝑭

_тр

=

μ𝑵

.

(1)

Поэтому в течение всего удара полная сила 𝑸, с которой поверхность стенки действует на мяч, изменяется по модулю, но остаётся неизменной по направлению, образуя угол γ с нормалью к стенке. Как видно из рис. 29.3, tg γ=μ. Это позволяет найти угол отражения мяча β.

Рис. 29.5. К вычислению угла отражения β

На основании второго закона Ньютона изменение импульса мяча при ударе о стенку Δ𝒑 совпадает по направлению с силой 𝑸. С помощью рис. 29.2 построим вектор изменения импульса Δ𝒑=𝑚(𝒗'-𝒗) (рис. 29.5). Этот вектор, так же как и вектор 𝑸 на рис. 29.3, образует угол γ с нормалью к стенке. Непосредственно из рис. 29.5 видно, что

𝑣'

_∥

=

𝑣

_∥

–

2𝑣

_⊥

tg γ

.

(2)

Деля обе части этого равенства на 𝑣_⊥ и учитывая, что 𝑣_∥/𝑣_⊥=tg α, 𝑣'_∥/𝑣'_⊥=tg α, а tg γ=μ, получаем

tg β

=

tg α

–

2μ

.

(3)

Из полученной формулы видно, что при малых углах падения, когда tg α<2 μ, результат теряет смысл. С чем это связано? Формула (3) выведена в предположении, что проскальзывание мяча не прекращалось в течение всего времени его контакта со стенкой. Однако при малых углах падения проскальзывание мяча может прекратиться раньше, чем он отделится от стенки. Это связано с тем, что сила трения скольжения, направленная противоположно 𝒗_∥, не только тормозит поступательное движение мяча, но и вызывает его вращение по часовой стрелке, так как точка приложения силы трения не совпадает с центром мяча. Проскальзывание прекращается в тот момент, когда связанная с вращением скорость нижней точки мяча сравняется по модулю с параллельной поверхности составляющей скорости центра мяча.

Случай, когда в процессе столкновения со стенкой проскальзывание мяча прекращается, более сложен для исследования, так как требует привлечения уравнения, описывающего вращательное движение. При этом оказывается, что ответ, даваемый формулой (3), становится неприменимым даже при угле падения α, тангенс которого несколько больше 2μ. Точный расчёт даёт для предельного угла падения tg α=5μ.

Отскочивший от шероховатой стенки мяч обязательно будет вращаться, даже если до удара он не вращался. Кинетическая энергия этого вращения возникает за счёт уменьшения кинетической энергии поступательного движения. Некоторая часть механической энергии мяча при ударе переходит в тепло.

Нетрудно сообразить, что даваемое формулой (3) значение угла отражения β справедливо и в том случае, когда до удара мяч вращался против часовой стрелки. Не представляет труда найти угол отражения и тогда, когда до удара мяч вращался по часовой стрелке. Если это вращение достаточно быстрое, так что проскальзывание мяча не прекращается в течение удара, то, рассуждая так же, как и при получении выражения (3), находим

tg β

=

tg α

+

2μ

.

(4)

В этом случае кинетическая энергия поступательного движения мяча в результате удара о стенку увеличивается. Это увеличение, как и выделение тепла во время удара, происходит за счёт кинетической энергии вращения. ▲