Текст книги "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике."

Автор книги: Джон Дербишир

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 26 страниц)

В статье из уже упоминавшегося «Словаря научных биографий» Ханс Фрейденталь говорит о философских способностях Римана следующее.

Один из глубочайших и наиболее одаренных воображением умов среди математиков всех времен, он испытывал сильную тягу к философии и на самом деле был великим философом. Если бы он жил и творил дольше, философы признали бы за ним членство в своем цехе.

Я недостаточно подготовлен для того, чтобы судить об истинности этого высказывания. Однако с чем я могу согласиться от всего сердца, так это с другим замечанием Фрейденталя: «Стиль Римана, на который повлияла философская литература, демонстрирует худшие черты немецкого синтаксиса; этот стиль должен представляться шифром всякому, кто не постиг немецкий язык во всей его глубине». Сознаюсь, что хотя у меня есть экземпляр собрания трудов Римана в немецком оригинале – а это один том в 690 страниц – и хотя я приложил все старания, чтобы разобраться в его словах там, где он отклоняется от непосредственно математического изложения, как, например, в своей знаменитой лекции, мое знакомство с его великими мыслями главным образом основано на переводах и вторичных источниках. [72]72
  Возможно, следует объяснить, что у математиков особый подход к изучению иностранных языков. Для чтения математических текстов не на своем родном языке глубокое знание этого языка вовсе не требуется. Достаточно выучить несколько десятков распространенных слов и конструкций, используемых при изложении математической канвы: «отсюда следует, что…», «достаточно показать, что…», «без потери общности…» и т.д. Остальное составляют обозначения, такие как √ и ∑, единые во всех языках (хотя и с незначительными «диалектными» отклонениями в зависимости от традиций, принятых в данной стране). Разумеется, некоторые математики – превосходные лингвисты. Андре Вейль (см. главу 17.iii) говорил и читал по-английски, по-немецки, по-португальски, по-гречески, на латыни и на санскрите, помимо своего родного французского. Но я имею в виду обычных математиков.


[Закрыть]

VI.

Дедекинд получил вторую степень вскоре после Римана, и оба математика начали преподавание в осенне-зимнем семестре 1854 года; Риману исполнилось 28, а Дедекинду 23. Впервые в жизни Риман получал жалованье. Однако вряд ли это было серьезное жалованье. Преподавателям обычно платили посещавшие их лекции студенты (формально университет переводил плату за обучение от студентов к преподавателям). В то время в Геттингене было немного студентов, изучавших математику, – первая лекция Римана собрала их в количестве восьми – и лекции нередко отменялись из-за того, что не было записавшихся. По-видимому, Риман и Дедекинд ходили на лекции друг друга, хотя мне и не удалось установить, платили ли они друг другу за обучение.

Следующая проблема состояла в том, что Риман, по-видимому, не был хорошим лектором. Дедекинд откровенно высказывается по этому поводу:

Нет никаких сомнений, что в течение первых лет его академической карьеры чтение лекций было сопряжено для Римана со значительными трудностями. Его блестящий интеллект и прозорливость обычно не были заметны. Что было заметно, – так это значительные скачки в логике изложения – скачки, которые нелегко давались более слабым умам. Если его просили дать разъяснения по поводу пропущенной связи вещей, то он приходил в волнение и не мог приспособиться к более медленному ходу мыслей вопрошающего. <…> Его попытки судить о том, не слишком ли быстро он продвигается, по реакции своих слушателей, также сбивали его всякий раз, когда, вопреки его ожиданиям, слушатели давали ему понять, что следует остановиться на доказательстве какого-то момента, который ему самому представлялся совершенно понятным.

Дедекинд, отзывающийся о герое своих записей с неизменной симпатией, далее утверждает, что с годами риманова манера чтения лекций улучшилась. Не исключено, что это правда, но сохранившиеся письма студентов Римана показывают, что даже в 1861 году «его мысли часто подводили его, и он был не в состоянии объяснить простейшие вещи». Отношение к этой проблеме самого Римана было, как всегда, достаточно трогательным. После своей первой лекции, состоявшейся 5 октября 1854 года, он пишет отцу: «Надеюсь, что через полгода мне будет легче с моими лекциями и мысль о них не будет отравлять моего пребывания в Квикборне и нашего с тобой общения, как это случилось в прошлый раз». Он был безнадежно застенчивым человеком.

VII.

Самым крупным событием того осенне-зимнего семестра стала смерть Гаусса 23 февраля 1855 года, в возрасте 77 лет. Он находился в добром здравии до самого конца и умер внезапно, от сердечного приступа, сидя в своем любимом кресле в дорогой его сердцу обсерватории. [73]73
  Двое из шести детей Гаусса эмигрировали в Соединенные Штаты, где приняли участие в заселении штата Миссури.


[Закрыть]

Профессорскую должность Гаусса сразу же предложили Дирихле, который принял приглашение и уже через несколько недель прибыл в Геттинген. С учетом того, сколь великодушно Дирихле отнесся к нему в Берлине, а также тесного общения между ними в 1852 году во время приезда Дирихле в Геттинген, Риман должен был воспринять это с воодушевлением. А мозг Гаусса, кстати, был забальзамирован и оставлен на хранение на факультете физиологии Геттингенского университета, где находится и поныне.

Дирихле также был воодушевлен; в Берлине ему приходилось слишком много работать. Насчет воодушевления его жены полной уверенности нет. Привыкнув к берлинскому высшему обществу, Ребекка Дирихле, урожденная Мендельсон, должна была счесть Геттинген тоскливым и провинциальным. Она изо всех сил старалась скрасить свое пребывание там, устраивая балы – Дедекинд упоминает, что на одном из них присутствовало от 60 до 70 человек, – и вечера музыки в берлинском стиле. Сам Дедекинд, будучи человеком и светским, и музыкальным, расцвел в таком окружении. С Риманом, конечно, все обстояло наоборот, и если его другу хотя бы иногда удавалось затащить его на одно из таких мероприятий, то бедному Риману, должно быть, приходилось в муках терпеть, пока оно не закончится.

Куда большую муку он пережил в октябре того же 1855 года, когда умер его отец, а вскоре после того и младшая сестра Клара. Это положило конец лелеемой им связи с Квикборном. Брат Римана занимал должность почтового служащего в Бремене, и три оставшихся сестры Римана, не имея других средств к существованию и даже жилья (после того как должность викария в Квикборне занял новый пастор), переехали жить к брату.

Несчастный Риман должен был быть совершенно опустошен. Он набросился на работу и в 1857 году написал основополагающую статью о теории функций, упоминавшуюся в главе 1, – статью, принесшую ему известность. Но напряженная работа в соединении с горем повлекла за собой нервный срыв. У Дедекиндов был летний домик в горах Гарц в нескольких милях к западу от Геттингена. [74]74
  Горы Гарц (Харц) – самые высокие горы Северной Германии, располагаются на территории земель Нижняя Саксония, Саксония-Анхальт и Тюрингия. Наивысшая точка – Брокен, 1142 м. – считается самым известным местом встреч ведьм в Европе. Эта гора описана также в «Фаусте» Гете. (Примеч. перев.)


[Закрыть]Дедекинд смог уговорить Римана провести там несколько недель; он сам ненадолго приезжал туда и ходил с Риманом на прогулки.

В ноябре, после возвращения Римана в Геттинген, его назначили доцентом в университете со скромным жалованьем в 300 талеров в год. Но беда не приходит одна. Его брат Вильгельм в тот же месяц скончался в Бремене, а затем, в начале следующего года, умерла его сестра Мария. Семья, которую Риман боготворил и в которой сосредотачивалась вся его эмоциональная жизнь, исчезала у него на глазах. Он перевез двух оставшихся сестер к себе в Геттинген.

Летом 1858 года во время лекции в Швейцарии у Дирихле случился сердечный приступ, и в Геттинген его перевезли с немалым трудом. Пока он лежал тяжелобольным, его жена скоропостижно умерла от удара. Дирихле воссоединился с ней в мае следующего года. (Его мозг составил компанию мозгу Гаусса на факультете физиологии.) Должность Гаусса теперь освободилась.

VIII.

От смерти Гаусса до смерти Дирихле прошло четыре года, два месяца и двенадцать дней. За этот отрезок времени Риман потерял не только двух коллег, которых он ценил более всех других математиков, но и отца, брата, двух сестер и жилище викария в Квикборне – то единственное место на земле, которое было ему домом и прибежищем с самого детства.

В то самое время, как эмоциональная жизнь Римана омрачалась одним ударом за другим, его звезда на математическом небосклоне восходила. К концу 1850-х годов блеск и оригинальность его работ стали известны математикам почти по всей Европе. Болезненно застенчивый молодой студент, лишь за десять лет до того приехавший в университет, чтобы начать работу над своей диссертацией, теперь стал заметным математиком, и о Геттингенском университете, который в начале 1850-х годов слыл прежде всего университетом Гаусса, начали говорить как об университете Гаусса, Дирихле и Римана. (Но не Дедекинда, которому еще предстояло создать свои лучшие работы. Дедекинд, кстати, уехал из Геттингена, получив должность в Цюрихе, осенью 1858 года.)

Не слишком неожиданным поэтому был выбор руководства университета в пользу Римана как второго преемника Гаусса. 30 июля 1859 года он получил должность ординарного профессора, что означало обеспеченное существование, и – видимо, как признание за ним необходимости содержания двух оставшихся в живых сестер – апартаменты Гаусса в обсерватории. Скоро последовали и другие знаки отличия. Первый – 11 августа, когда он был произведен в члены-корреспонденты Берлинской академии наук. Риман вернулся в Берлин спустя немногим более 10 лет после того, как уехал оттуда, но вернулся со скромной коллекцией венков на своем челе и был встречен с почетом теми, чьи имена составляли славу немецкой математики: Куммером, Кронеккером, Вейерштрассом, Борхардом.

Венцом триумфа Римана стало представление им на суд академии своей работы «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». В ее первой фразе он благодарит двух людей, к этому моменту уже покойных, помощь которых (хотя и предоставившаяся намного более охотно со стороны Дирихле, чем со стороны Гаусса) позволила ему покорить высоты. Во второй фразе он демонстрирует Золотой Ключ. В третьей присваивает имя дзета-функции. Первые три предложения работы Римана 1859 года в действительности таковы:

За внимание, которое Академия выказала в мой адрес, приняв меня в качестве одного из своих членов-корреспондентов, более всего, как мне представляется, я мог бы высказать благодарность, незамедлительно воспользовавшись таким образом полученными мною привилегиями представить сообщение об исследовании частоты появления простых чисел; несмотря на длительный интерес к этому предмету со стороны и Гаусса, и Дирихле, сообщение по этому поводу представляется не лишенным некоторого интереса.

В качестве отправной точки моего исследования я исхожу из наблюдения Эйлера о выражении произведения

где p– все простые, a n– все целые числа. Функцию комплексной переменной s, которая задается каждым из этих выражений, коль скоро они сходятся, я обозначу как ζ(s).

Гипотеза Римана, появляющаяся на четвертой странице той работы, утверждает некий факт о дзета-функции. Чтобы продвинуться в понимании Гипотезы, нам предстоит теперь более серьезно углубиться в устройство дзета-функции.

Глава 9. Расширение области определения

I.

Итак, мы начинаем приближаться к Гипотезе Римана. Просто чтобы освежить память, сформулируем ее еще раз:

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

И мы уже знаем, что такое дзета-функция! Если s– некоторое число, большее единицы, то дзета-функция определяется таким выражением (9.1):

или же, несколько более изысканным образом,

где слагаемые бесконечного ряда отвечают всем положительным целым числам. Мы видели, что если к этой сумме применить процедуру, напоминающую решето Эратосфена, то ее можно переписать как

то есть

где множители в бесконечном произведении отвечают всем простым числам.

Таким образом, получаем

что я и назвал Золотым Ключом.

Пока все прекрасно, но что это там говорилось насчет нетривиальных нулей? Что такое нуль функции? Что представляют собой нули дзета-функции? И когда они нетривиальны? Не переживайте, сейчас все будет!

II.

Позабудем на время о дзета-функции. Рассмотрим бесконечную сумму совсем другого типа:

 
S(x) =1 +  x+ x ²+ x ³+ x ⁴+ x ⁵+  x ⁶ + ….
 

Сходится ли она вообще когда-нибудь? Без сомнения. Если xравно ¹/ ₂,то сумма представляет собой просто-напросто выражение 1.1из главы 1.iv, поскольку ( ¹/ ₂) ²= ¹/ ₄, ( ¹/ ₂) ³=  ¹/ ₈и т.д. Следовательно, S( ¹/ ₂) = 2, потому что именно к этому значению ряд и сходится. Более того, если вспомнить правило знаков, то (− ¹/ ₂) ²=  ¹/ ₄, (− ¹/ ₂) ³= − ¹/ ₈и т.д., а следовательно, S(− ¹/ ₂) = ²/ ₃согласно выражению 1.2из главы 1.v. Аналогичным образом выражение 1.3говорит нам, что S( ¹/ ₃) = 1 ¹/ ₂выражение 1.4– что S(− ¹/ ₃) = 1 ³/ ₄. Легко получить и еще одно значение для этой функции: S(0) = 1, поскольку нуль в квадрате, кубе и т.д. все равно равен нулю, и остается только единица, с которой ряд начинается.

Однако если xравен 1, то S(1) есть 1 + 1 + 1 + 1 + …, а этот ряд расходится. При xравном 2 расходимость еще более явная: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …. Когда xравен −1, происходит странная вещь: по правилу знаков сумма принимает вид 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …. Такая сумма равна нулю, если взять четное число членов, и единице, если нечетное. Данное выражение определенно не убегает на бесконечность, но оно и не сходится. Математики рассматривают такое поведение как некоторый вид расходимости. Ситуация с x= −2 еще хуже: сумма 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − … ведет себя так, словно убегает на бесконечность сразу по двум направлениям. Такая ситуация определенно далека от сходимости, и если вы скажете, что здесь налицо расходимость, то никто с вами спорить не будет.

Короче говоря, функция S(x)имеет значения, только когда xлежит в границах между −1 и 1, не включая сами границы. В других случаях у нее значений нет. В таблице 9.1 приведены значения функции S(x)для аргументов xмежду −1 и 1.

x	S(x)
−1 или меньше	(нет значений)
−0,5	0,6666…
−0,333…	0,75
0	1
0,333…	1,5
0,5	2
1 или больше	(нет значений)

Таблица 9.1.Значения функции S(x) =1 +  x+ x ²+ x ³+  ….

Вот и все, что можно извлечь из бесконечной суммы. График этой функции показан на рисунке 9.1; на этом графике у функции нет вообще никаких значений к западу от −1 и к востоку от 1. Используя профессиональную терминологию, можно сказать, что область определенияэтой функции заключена строго между −1 и 1.

Рисунок 9.1.Функция S(x) =1 +  x+ x ²+ x ³+  ….

III.

Но смотрите, нашу сумму

 
S(x) =1 + x+ x ²+ x ³+ x ⁴+ x ⁵+ …
 

можно переписать в таком виде:

 
S(x)= 1 + x(1 + x+ x ²+ x ³+ x ⁴+ …).
 

Ряд в скобках здесь равен просто S(x): каждый член, встречающийся в одном, встречается также и в другом из двух выписанных выше рядов, а это и означает, что они совпадают.

Другими словами, S(x)= 1 + xS(x). Перенося самый правый член в левую часть, получаем равенство S(x) − xS(x) =1, или, другими словами, (1 −  x) S(x) =1. Следовательно, S(x) =1/(1 −  x). Возможно ли, чтобы за нашей бесконечной суммой скрывалась столь простая функция, как 1/(1 − x)? Может ли равенство

 
1/(1 −  x) = 1 + x+ x ²+ x ³+ x ⁴+ x ⁵+ x ⁶+ … (9.2)
 

оказаться верным?

Без сомнения, может. Если, например, x= ¹/ ₂, то 1/(1 −  x) равняется 1/(1 − ¹/ ₂), что есть 2. Если x= 0, то 1/(1 −  x) равно 1/(1 − 0), что есть 1. Если x= − ¹/ ₂, то 1/(1 −  x) равняется 1/(1 − (− ¹/ ₂)), т.е. 1:1 ¹/ ₂что есть ²/ ₃. Если x= ¹/ ₃, то 1/(1 −  x) равняется 1/(1 − ¹/ ₃) т.е. 1: ²/ ₃, что есть 1 ¹/ ₂. Если x= − ¹/ ₃, то 1/(1 −  x) равняется 1/(1 − (− ¹/ ₃)), т.е. 1:1 ¹/ ₃, что есть ³/ ₄. Все сходится. Для аргументов − ¹/ ₂, − ¹/ ₃, 0, ¹/ ₃, ¹/ ₂, при которых мы знаем значения функции, значения бесконечного ряда S(x)такие же, как и значения функции 1/(1 −  x). Похоже, что этот ряд и эта функция – одно и то же.

Рисунок 9.2.Функция 1/(1 −  x).

Но они не одно и то же, поскольку у них различные области определения, как это видно из рисунков 9.1и 9.2. S(x)имеет значения только между −1 и 1, не включая границы; функция же 1/(1 −  x) имеет значения везде, за исключением точки x = 1. Если x = 2, то ее значение равно 1/(1 − 2), то есть −1. Если x = 10, то значение равно 1/(1 − 10), то есть − ¹/ ₉. Если x = −2, то значение равно 1/(1 − (−2)), то есть ¹/ ₃. Можно нарисовать график функции 1/(1 −  x). Как видно, он совпадает с предыдущим графиком в промежутке между −1 и 1, но имеет еще и значения к западу от −1 (включая саму −1) и к востоку от 1.

Мораль здесь в том, что бесконечный ряд может определять только часть функции; или, используя подобающие математические термины, бесконечный ряд может определять функцию только на части ее области определения. Остальная часть функции может где-то прятаться, ожидая, пока ее не вытащат на свет с помощью фокуса типа того, что мы применили к S(x).

IV.

Это приводит к очевидному вопросу: а не обстоит ли дело подобным же образом и с дзета-функцией? Не случилось ли так, что бесконечная сумма, которую мы использовали для дзета-функции, – выражение (9.1) – описывает только часть этой функции? И у этой функции есть что-то еще, что нам только предстоит открыть? Может ли область определения дзета-функции

оказаться больше, чем просто «все числа, большие 1»?

Конечно может. Иначе зачем бы мы тут стали влезать во все эти подробности? Да, дзета-функция имеет значения при аргументах, меньших 1. На самом деле, как и функция 1/(1 −  x), она имеет значения при всехчислах за единственным исключением x= 1.

Сейчас подходящий момент, чтобы привести график дзета-функции, который продемонстрировал бы все ее свойства в широком интервале значений. К сожалению, это невозможно. Как уже упоминалось, кроме как для простейших функций, обычно нет хорошего и надежного способа показать функцию во всем ее великолепии. Близкое знакомство с функцией требует времени, терпения и тщательного изучения. Можно, однако, изобразить дзета-функцию по кускам. На рисунках с 9.3 по 9.10 показаны значения ζ(s)для некоторых аргументов, находящихся слева от s = 1, хотя для этого потребовалось выбрать свой собственный масштаб на каждом графике. Понять, где мы находимся, можно, руководствуясь подписанными аргументами (на горизонтальной оси) и значениями (на вертикальной оси). При обозначении масштаба m указывает на миллион, tr на триллион, mtr обозначает миллион триллионов, a btr – миллиард триллионов.

Коротко говоря, когда sлишь немного меньше единицы (рисунок 9.3), значения функции очень большие по величине и отрицательные – как если бы при движении на запад при пересечении линии s = 1 значения внезапно переметнулись из бесконечности в минус бесконечность. Если продолжить путешествие по рисунку 9.3– т.е. устремлять sближе и ближе к нулю, – то подъем вверх радикально замедляется. Когда sравно нулю, ζ(s)равна − ¹/ ₂. При s = −2 кривая пересекает ось s, т.е. ζ(s)равна нулю.

Рисунок 9.3.

Затем (мы по-прежнему двигаемся на запад, добравшись теперь до рисунка 9.4) график взбирается на относительно скромную высоту (в действительности до 0,009159890…), а после этого поворачивает вниз и снова пересекает ось при s = −4. График попадает в неглубокую впадину (−0,003986441…), а после нее снова взбирается вверх и пересекает ось при s = −6. Еще один невысокий пик (0,004194…), спуск до пересечения с осью при s = −8 и далее в несколько более глубокую впадину (−0,007850880…), затем пересечение с осью в точке −10, после чего уже довольно заметный пик (0,022730748…), пересечение с осью при s = −12, впадина поглубже (−0,093717308…), пересечение с осью при s = −14 и т.д.

Рисунок 9.4.

Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = −49.587622654 …, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.

Рисунок 9.5.

Рисунок 9.6.

Рисунок 9.7.

Рисунок 9.8.

Рисунок 9.9.

Рисунок 9.10.

V.

Ho как я получил все эти значения ζ(s)для s, меньших 1? Мы уже видели, что бесконечный ряд из выражения (9.1)для этого непригоден. А что пригодно? Если бы ради спасения своей жизни мне пришлось вычислить значение ζ(−7,5), как бы я к этому подступился?

Я не могу объяснить этого в полной мере, потому что такое объяснение требует слишком значительного погружения в математический анализ. Но я попробую передать общую идею. Сначала определим некоторую новую функцию, используя бесконечный ряд, слегка отличный от ряда в выражении (9.1). Это η-функция; η(читается «эта») – седьмая буква греческого алфавита. Определим η-функцию как

Грубая прикидка подсказывает, что у этой функции перспективы сходимости лучше, чем у выражения (9.1). Вместо непрестанного прибавления чисел здесь мы по очереди то прибавляем, то вычитаем, так что каждое следующее число до некоторой степени сокращает вклад предыдущего. Так оно и выходит. Математики в состоянии доказать – хотя здесь мы этим заниматься не будем, – что этот новый бесконечный ряд сходится всегда, когда sбольше нуля. Это существенное улучшение по сравнению с выражением (9.1), которое сходится, только когда sбольше единицы.

Но какая нам от всего этого польза в отношении дзета-функции? Для начала заметим, что в силу элементарных алгебраических правил A − B + C − D + E − F + G − H + …равно (A + B + C + D + E + F + G + H + …)минус 2× (B + D + F + H + …). Поэтому функцию η(s)можно переписать как

минус

Первая скобка – это, конечно, ζ(s). Вторую скобку легко упростить, пользуясь 7-м правилом действий со степенями: (ab) ⁿ = a ⁿb ⁿ. Таким же образом каждое из этих четных чисел можно разбить в произведение вида  , после чего можно вынести  в качестве множителя перед всей скобкой. А что останется в скобке? Там останется ζ(s)! Коротко говоря,

или, переписав это «наоборот» и слегка причесав, получаем

Вот. Это означает, что если нам удастся узнать какое-то значение η(s), то мы немедленно будем знать и значение ζ(s). А поскольку можно узнать значения η(s)между 0 и 1, можно получить и значение ζ(s)в этом промежутке, несмотря на то что «официальный» ряд для ζ(s)там не сходится.

Пусть, например, sравно ¹/ ₂. Если сложить 100 членов ряда для  η( ¹/ ₂), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение  η( ¹/ ₂) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ζ( ¹/ ₂) оно оказывается равным −1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.

Но задержимся на мгновение. Не устроили ли мы тут игру в наперстки с двумя бесконечными рядами, один из которых сходится при аргументе s= ¹/ ₂, а другой – нет? Ну, строго говоря, мы действуем не совсем по правилам, и я обошелся довольно безответственно с той математикой, на которой здесь все основано. Однако же я получил правильный ответ, причем этот фокус можно повторить для любого числа между нулем и единицей (не включая ее) и получить правильное значение для ζ(s).

VI.

За исключением одного только s = 1, где ζ(s)не имеет значения, мы можем теперь предъявить значение дзета-функции для любого числа s, большего нуля. А как насчет аргументов равных нулю или меньших нуля? Вот здесь все по-настоящему круто. Один из результатов в работе Римана 1859 года состоит в доказательстве формулы, впервые предложенной Эйлером в 1749 году, которая выражает ζ(1  − s)через ζ(s). Таким образом, если мы желаем узнать, например, значение ζ(−15), то надо просто вычислить значение ζ(16) и подставить его в эту формулу. Это, правда, неслабая формула, и я привожу ее главным образом для полноты картин: [75]75
  «Неслабая формула» на самом деле не столь уж и страшна. Если, конечно, вы не забыли математику из старших классов. За исключением дзета-функции, там нет ничего такого, чего бы не проходили, по крайней мере частично, в школе. Синус и факториал – это, как говорят математики, «элементарные» функции, так что выписанная формула «элементарно» связывает значение дзета-функции при аргументе 1 − sсо значением при аргументе s. Такая формула, кстати сказать, называется «функциональным уравнением».


[Закрыть]

Всюду здесь π– это магическое число 3,14159265…, sin – добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1×2, 3! = 1×2×3, 4! = 1×2×3×4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, ( ¹/ ₂)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле – половине квадратного корня из π), (− ¹/ ₄)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от −4 до 4.

Рисунок 9.11.Полная факториальная функция x!.

Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ζ(s)для любого числа sза единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ζ(1  − s)через ζ(s); если вы знаете, как посчитать ζ(16), то вы можете тогда вычислить ζ(−15); если вам известна ζ(4), то вы можете вычислить ζ(−3); если вам известна ζ(1,2), то вы можете выделить ζ(−0,2); если вам известна ζ(0,6), то вы можете вычислить ζ(0,4); если вам известна ζ(0,50001), то вы можете вычислить ζ(0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, – это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ζ(1  − s)и ζ(s), потому что если s = ¹/ ₂, то 1 −  s =  s. Очевидно – я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4и рисунков с 9.3по 9.10, – что дзета-функция не симметрична относительно аргумента ¹/ ₂. И тем не менее ее значения при аргументах слева от ¹/ ₂связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.

Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ζ(s)равна нулю всегда, когда s– отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:

−2, −4, −6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.

А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого – тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.

VII.

В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2)два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:

 
1/(1 −  x) = 1 + x+ x ²+ x ³+ x ⁴+ x ⁵+ x ⁶+ …
 

Все, что я собираюсь сделать, – это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/ xравен ln  x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 −  x) равен −ln(1 −  x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:

 
−ln(1 −  x) = x+ x ²/2 + x ³/3 + x ⁴/4 + x ⁵/5 + x ⁶/6 +….
 

Будет чуть удобнее, если обе части умножить на −1:

 
ln(1 −  x) = − x− x ²/2 − x ³/3 − x ⁴/4 − x ⁵/5 − x ⁶/6 − … (9.3)
 

Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3)верно при x = −1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x= −1 выражение (9.3)дает следующий результат:

 
ln 2 = 1 − ¹/ ₂+ ¹/ ₃− ¹/ ₄+ ¹/ ₅− ¹/ ₆+ ¹/ ₇− … (9.4)
 

Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.

Правая часть выражения (9.4)несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке.Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому – или может даже вообще не сойтись! [76]76
  К слову, этот факт был впервые доказан Бернхардом Риманом.


[Закрыть]

Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 − ¹/ ₂− ¹/ ₄+ ¹/ ₃− ¹/ ₆− ¹/ ₈+ ¹/ ₅− ¹/ ₁₀− …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 − ¹/ ₂) − ¹/ ₄+ ( ¹/ ₃− ¹/ ₆) − ¹/ ₈+ ( ¹/ ₅− ¹/ ₁₀) − …, т.е. ¹/ ₂(1 − ¹/ ₂+ ¹/ ₃− ¹/ ₄+ ¹/ ₅− …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда! [77]77
  Чтобы суммировать ряд к другому значению, необходимо переставить бесконечное число слагаемых; в отношении конечных сумм, разумеется, верен закон перестановочности для сложения. (Примеч. перев.)


[Закрыть]

Ряд из выражения (9.4) – не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.