Текст книги "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике."

Автор книги: Джон Дербишир

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 26 страниц)

Чтобы говорить более конкретно, я приведу некоторые реальные значения остаточного члена. В таблице 14.1 «абсолютн.» означает разность Li (x) − π(x), а «относит.» означает это же число, отнесенное к (т.е. деленное на) π(x).

Таблица 14.1.

Мы видим, что относительная ошибка, без сомнения, уменьшается, стремясь к нулю, как ей и предписывает ТРПЧ. Это происходит потому что, хотя абсолютная ошибка тоже растет, она делает это далеко не так быстро, как π(x).

Пытливый математический ум сейчас спросит: «А как именно ведут себя эти два числа?» Имеются ли правила, описывающие медленный рост абсолютной ошибки или стремление относительной ошибки к нулю? Другими словами, если выкинуть из таблицы 14.1вторую и четвертую колонки и рассмотреть получившуюся двухколоночную таблицу как «моментальный снимок» некоторой функции (колонки аргумент-значение), то что это будет за функция? Можно ли для нее получить формулу с волнами, как это было сделано для π(x)?

Здесь-то на сцене и появляются нетривиальные нули дзета-функции. Они тесно связаны (способом, который мы рассмотрим ниже во всех математических подробностях) с остаточным членом.

Хотя в ТРПЧ говорится об относительной ошибке, исследования в этой области в большей степени имеют дело с абсолютной ошибкой. На самом деле неважно, какую из них рассматривать. Относительная ошибка есть просто абсолютная ошибка, деленная на π(x), так что в любой момент несложно перейти от одной к другой. Итак, можно ли получить какие-нибудь результаты об абсолютном остаточном члене Li (x) − π(x)?

VII.

Взглянув на рисунок 7.6и таблицу 14.1, можно с достаточной уверенностью заключить, что абсолютная разность Li (x) − π(x)положительна и возрастает. Численные свидетельства в пользу этого так убедительны, что Гаусс в своих собственных исследованиях полагал, что всегда так и происходит. Весьма вероятно, что исследователи поначалу соглашались с тем, или, по крайней мере, чувствовали уверенность в том, что π(x)всегда меньше чем Li (x). (Относительно мнения Римана по этому поводу ясности нет.) Поэтому статья Литлвуда 1914 года оказалась сенсацией, ибо в ней было установлено, что, напротив, существуют такие числа x, что π(x)больше чем Li (x). На самом деле доказано было гораздо большее.

Результат Литлвуда 1914 года

Разность Li (x) − π(x)изменяется от положительной к отрицательной и обратно бесконечно много раз.

Если учесть, что π(x)меньше, чем Li (x), для всех x, до которых смогли добраться даже самые мощные компьютеры, то где же находится первая точка перехода, первое «литлвудово нарушение», когда π(x)становится равной, а затем и превосходит Li (x)?

В подобных ситуациях математики отправляются на поиски того, что они называют верхней границей, – такого числа N, для которого можно доказать, что, каким бы ни был точный ответ на данный вопрос, он во всяком случае будет меньше, чем N.Установленные верхние границы такого рода нередко оказываются много больше, чем реальный ответ [131]131
  Разумеется, предпочтительнее знать точный ответ; но речь идет о том, что часто удается доказать лишь менее строгое ограничение. (Примеч. перев.)


[Закрыть].

Так и обстояло дело с первой установленной верхней границей литлвудова нарушения. В 1933 году студент Литлвуда Сэмюель Скьюз показал, что если Гипотеза Римана верна, то переход должен наступать раньше, чем , что представляет собой число из примерно 10 ^{десять миллиардов триллионов триллионов}цифр. Это не само число – это число цифрв том числе. (Для сравнения заметим, что общее количество всех атомов во Вселенной оценивается числом из примерно восьмидесяти цифр.) Этот монстр получил известность как «число Скьюза» – самое большое число, которое когда-либо до того следовало из математического доказательства. [132]132
  В задачах такого типа имеются еще и нижние границы. Нижняя граница – это такое число N, для которого можно доказать, что, каков бы ни был точный ответ, он заведомо больше, чем N. В случае с литлвудовым нарушением, похоже, сделано куда меньше – можно думать, из-за того, что все знают, что точное значение числа, при котором происходит первое нарушение, необычайно велико. Делеглиз и Риват в 1996 г. установили в качестве нижней границы 10 ¹⁸, а позднее довели нижнюю границу до 10 ²⁰, однако ввиду результата Бейса и Хадсона подобные нижние границы почти ничего не значат.


[Закрыть]

В 1955 году Скьюз улучшил свой результат, на этот раз даже не предполагая справедливости Гипотезы Римана, и оказалось, что новое число содержит 10 ^{одна тысяча}цифр. В 1966 году Шерман Леман сумел понизить верхнюю границу до куда более разумного (по крайней мере, позволяющего себя записать) числа 1,165×10 ¹¹⁶⁵(числа, другими словами, из каких-то 1166 цифр), а потом еще сильнее, до 6,658×10 ³⁷⁰.

На момент написания книги (середина 2002 года) лучшее достижение принадлежит Картеру Бейсу и Ричарду Хадсону, которые также исходили из теоремы Лемана. [133]133
  Если имена Бейса и Хадсона кажутся знакомыми, то это из-за того, что они упоминались в главе 8.iv в связи с отклонением Чебышева. На самом деле на очень глубоком уровне, определенно слишком глубоком, чтобы здесь о нем говорить, имеется родство между тенденцией функции Li (x)быть больше, чем π(x), и чебышевскими отклонениями. В теории чисел эти два вопроса обычно рассматриваются совместно. В действительности в работе Литлвуда 1914 г. показано не только, что тенденция функции Li (x)быть больше, чем π(x), нарушается бесконечно много раз, но и что тоже самое верно для чебышевских отклонений. По поводу некоторых недавних. весьма впечатляющих и глубоких результатов по этому вопросу см. статью Майкла Рубинстейна и Питера Сарнака Chebyshev's biasв журнале: Experimental Mathematics. 1994. Vol. 3. P. 173-197.


[Закрыть]Они показали, что имеются литлвудовы нарушения в окрестности числа 1,39822×10 ³¹⁶, а также привели некоторые аргументы в пользу того, что это нарушение может оказаться первым. (Статья Бейса и Хадсона оставляет открытой маленькую лазейку для существования нарушений на более малых высотах, возможно, даже на столь низкой высоте, как 10 ¹⁷⁶. Они также установили существование грандиозной зоны нарушений вблизи числа 1,617×10 ⁹⁶⁰⁸.)

VIII.

Колебания остаточного члена Li (x) − π(x)от положительных к отрицательным значениям и затем обратно происходящем не менее в пределах вполне определенных ограничений. Иначе не выполнялась бы ТРПЧ. Некоторые соображения по поводу природы этих ограничений возникли еще в результате усилий, направленных на доказательство ТРПЧ. Де ля Валле Пуссен включил в свое доказательство ТРПЧ некоторую оценку для функции, выражающей это ограничение. Пять лет спустя шведский математик Хельге фон Кох [134]134
  Читателям популярной литературы по математике фон Кох более известен благодаря «кривой Коха». В этом контексте всегда опускают «фон» – ума не приложу, почему. (Кривая Коха – фрактальная кривая, которая нигде не имеет касательной, хотя всюду непрерывна. Три копии кривой Коха, расположенные вдоль сторон правильного треугольника, образуют «снежинку Коха». – Примеч. перев.)


[Закрыть]доказал следующий ключевой результат, который я сформулирую в его современной записи.

Результат фон Коха 1901 года

Если Гипотеза Римана верна, то

π(x)= Li( x) + Ο( √x∙ln  x).

Уравнение здесь читается так: «Пи от икс равно интегральному логарифму от икс плюс Οбольшое от корня из икс, умноженного на логарифм икс». Теперь надо объяснить, что же такое «О большое». ^{3}

Глава 15. О большое и мебиусово мю

I.

Эта глава посвящена двум математическим темам, которые связаны с Гипотезой Римана, но помимо этого друг с другом никак не связаны. Эти темы – « Οбольшое» и мю-функция Мебиуса. Рассмотрим сначала Οбольшое.

II.

Когда Пауль Туран – великий венгерский математик, занимавшийся теорией чисел, – умирал от рака в 1976 году, его жена находилась у его постели. Она сообщила, что его последние слова были « Οбольшое от единицы». Математики передают эту историю с благоговением: «Заниматься теорией чисел до самого конца! Истинный математик!»

Οбольшое пришло в математику из книги Ландау 1909 года, влияние которой, как я уже рассказывал, было поистине огромным. Ландау на самом деле не изобрел Οбольшое. Он чистосердечно признается на странице 883 своего Handbuch, что позаимствовал его из трактата Пауля Бахманна 1894 года. Поэтому довольно несправедливо называть его «ландаувским Обольшим» равно как несправедливо и то, что многие математики, по-видимому, полагают, что именно Ландау его изобрел. Οбольшое присутствует повсеместно в аналитической теории чисел и даже просочилось оттуда в другие области математики.

Οбольшое – это способ наложить ограничение на величину функции, когда аргумент устремляется к (как правило) бесконечности.

Определение Οбольшого

Функция Aесть Οбольшое от функции B,если для достаточно больших аргументов величина Aникогда не превосходит некоторого фиксированного кратного величины B.

Вслед за Паулем Тураном рассмотрим Οбольшое от единицы. «Единица» здесь понимается как функция, причем функция простейшего вида. Ее график – горизонтальная прямая, проходящая на высоте 1 над горизонтальной осью. Для вообще любых аргументов значение этой функции равно… просто 1. Ну и что же тогда означает, что функция f(x)есть Οбольшое от единицы? По только что данному определению это означает, что, когда аргумент xуходит на бесконечность, f(x)никогда не превзойдет некоторого фиксированного кратного 1 – другими словами, график функции f(x)навсегда останется ниже некоторой горизонтальной прямой. Это полезная информация о данной нам функции f(x). Существует множество функций, для которых это не так. Это не так, например, для x ²и для xв любой положительной степени, ни для e ^xни даже для ln  x.

На самом деле Οбольшое означает еще кое-что, кроме этого. Заметим, что в определении сказано «величина A».Это означает «значение Aбез учета знака». Величина числа 100 есть 100; величина числа −100 есть также 100. Οбольшое не принимает в расчет знак минус. Сказать, что некоторая функция f(x)есть Οбольшое от единицы, означает сказать, что f(x)навсегда заключена между двумя горизонтальными прямыми, одна из которых проходит выше горизонтальной оси, а другая проходит на таком же расстоянии ниже.

Как уже говорилось, очень многие функции не являются Οбольшим от единицы. Простейшая из них – это функция x, то есть функция, значения которой всегда равны ее аргументу. Ее график – диагональная прямая, покидающая рисунок в верхнем правом углу. Ясно, что она не заключена между какими бы то ни было горизонтальными прямыми. Вне зависимости оттого, сколь широко вы расположите эти горизонтальные прямые, функциях рано или поздно вырвется за их пределы. Это останется верным, если уменьшить наклон. Функции 0,1 x(показана на рисунке 15.1), 0,01 x, 0,001 xи 0,0001 xвсе в конце концов прорвутся через любые горизонтальные прямые, которые вы установите в качестве ограничения. Ни одна из них не является Οбольшим от единицы.

Рисунок 15.1.Функция 0,1 xне есть Οбольшое от единицы.

Этим иллюстрируется и еще один аспект Οбольшого. Οбольшое игнорирует не только знаки, но и множители. Если Aесть Οбольшое от B, то таковыми же будут 10 A, 100 Aи 1000 000 A; таковыми будут и одна десятая Aодна сотая Aодна миллионная A. Οбольшое не сообщает нам о точном темпе роста – для этого у нас есть производные. Она сообщает о типероста. Функция «единица» вообще не имеет никакого темпа роста – она намертво постоянная. Функция, являющаяся Οбольшим от единицы, никогда не возрастет быстрее этого. Она может выделывать всякое другое: прижиматься к нулю, колебаться без конца внутри ограничивающих ее прямых или же подходить к одной из ограничительных линий все ближе и ближе, но она никогда не взовьется внезапно вверх и не нырнет внезапно вниз, прорываясь через эти линии и оставаясь после этого снаружи.

Приведенные функции 0,1 x, 0,01 x, 0,001 xи 0,0001 x– не Οбольшое от единицы; все они – Οбольшое от x. Такова же и любая другая функция, которая остается навсегда заключенной в «куске пиццы» между прямой axи ее зеркальным отражением −ax.На рисунке 15.2 приведен пример функции, которая неостается в таких пределах. Это 0,1 x ²– квадратичная функция. Не важно, сколь широким вы сделаете этот кусок пиццы – т.е. не важно, сколь велико значение a, – график функции 0,1 x ²рано или поздно прорвется через верхнюю границу.

Рисунок 15.2.Функция 0,1 x ²не есть Ο(х).

Теперь мы можем оценить значение результата фон Коха 1901 года. Если Гипотеза Римана верна, то при x, стремящемся к бесконечности, абсолютная разность между π(x)и Li (x) – т.е. или Li (x) − π(x), или π(x) − Li (x), что не важно, потому что Οбольшому нет дела до знаков, – остается заключенной между двумя ограничивающими кривыми. Ограничивающие кривые – это C√x∙ln  xи ее зеркальное отражение, где C– некоторое число. Остаточный член может делать что хочет между этими двумя кривыми, но он никогда не выберется наружу и никогда не вырвется внезапно из-под их контроля. Разность между π(x)и Li(x) есть Οбольшое от √x∙ln  x.

На рисунке 15.3приведен пример функции, которая есть Ο( √x∙ln  x). Там показаны: 1) кривая √x∙ln  x(верхняя половина отдаленно напоминающей параболу кривой), 2) зеркально отраженная кривая −√x∙ln  x(нижняя половина) и 3) придуманная для иллюстрации и ничего особенно не выражающая функция, которая есть Ο( √x∙ln  x). Буква m обозначает миллион, ведь вещи подобного рода интересны только для больших аргументов. Стоит отметить, что "функция Дербишира" в действительности на некоторое время вырывается за пределы ограничивающих ее кривых при аргументах, равных примерно 200 миллионам. Это не страшно, поскольку больше она никогда такого не делает.Начиная с некоторой точки – и навсегда после нее – функция остается в пределах границ. Верьте мне, что она там остается, хотя по понятным причинам я и не могу показать вам всю функцию до бесконечности. Οбольшое принимает во внимание исключения из правил при малых аргументах (а такие исключения – общее место в теории чисел, взять хотя бы утверждение «все простые числа нечетные… кроме самого первого»).

Рисунок 15.3.Функция Дербишира есть Ο(√ x∙ln  x).

Можно заметить еще, что, поскольку Οбольшое не принимает во внимание множители, масштаб по вертикали совершенно произволен. Важны лишь конфигурация – форма ограничивающих кривых – и тот факт, что начиная с какого-то места наша функция навсегда заключена между ними.

III.

Результат фон Коха 1901 года [135]135
  Или не зная о книге Бахманна, или же (что более вероятно) просто решив не использовать новое обозначение с Οбольшим, фон Кох на самом деле выразил свои результат в более традиционном виде:
| f(x) −Li (x)| < K∙√ x∙ln  x.

[Закрыть]– а именно утверждение, что, если Гипотеза Римана верна, то π(x)= Li (x)+ Ο(√ x∙ln  x), – один из первых примеров определенного типа результатов, которыми сейчас полна теория чисел, – результатов, которые начинаются словами «Если Гипотеза Римана верна, то…». Если окажется, что Гипотеза Римана не верна, то немалую часть теории чисел придется переписывать.

А есть ли какой-нибудь результат типа Οбольшого для остаточного члена Li (x) − π(x), который не зависел бы от справедливости Гипотезы Римана? О да. Среди специалистов по аналитической теории чисел долгие годы любимым спортом был поиск все лучших и лучших формул типа Οбольшого для остаточного члена. Но ни один не может сравниться с Ο(√ x∙ln  x). Это абсолютно лучшее, наиболее точное ограничение на остаточный член, известное к настоящему моменту. Правда, раз оно зависит от справедливости Гипотезы, мы не можем быть полностью уверены, что оно верно. Все те оценки остаточного члена, в справедливости которых мы уверены, менее точны, чем эта. Соответствующая параболическая кривая на рисунке 15.3несколько шире, причем различие делается все более заметным по мере того, как xуходит на бесконечность. Если же Гипотеза Римана верна, то среди всех известных оценок остаточного члена выражение Ο(√ x∙ln  x) является наилучшим возможным – наиболее точной формулой типа Οбольшого. Оно же и простейшее. При этом все формулы, которые были доказаны без предположения о справедливости Гипотезы, выглядят достаточно уродливо. Вот наилучшая из тех, что известны мне на данный момент:

где С– некоторое постоянное число. Ни одна из других подобных формул на вид не проще этой.

Сравним результат фон Коха 1901 года с выделенными курсивом словами в восьмой проблеме Гильберта, приведенной в главе 12.ii. Гильберт перекликался с Риманом, написавшим в своей работе 1859 года, что приближение функции π(x)функцией Li (x)«верно только по порядку величины x ^1/2». Ну а √xесть, конечно, попросту x ^1/2. Более того, в главе 5.iv мы видели, что ln  xрастет медленнее, чем любая положительная степень x, даже самая ничтожно малая. Это можно выразить в терминах Οбольшого таким образом: для любого сколь угодно малого числа εвыполнено ln  x = Ο(x ^ε). А следовательно (это, правда, не сразу очевидно, но в действительности несложно доказать), можно подставить x ^εвместо ln  xв выражение Ο( √x∙ln  x); а поскольку √x– это просто x ^1/2, можно сложить степени и получить Ο( x ^{1/2+ ε}). Таким путем получается довольно распространенный вид результата фон Коха: π(x)= Li (x)+ Ο( x ^{1/2+ ε}). Символ εнастолько часто используется для исчезающе малых чисел, что слова «… для любого сколь угодно малого ε» здесь подразумеваются.

Заметим, однако, что, делая эту подстановку, мы слегка ослабили результат фон Коха. Из того, что «остаточный член есть Ο( √x∙ln  x)», следует, что «остаточный член есть Ο( x ^{1/2+ ε})», но обратное неверно. Эти два утверждения не являются точно эквивалентными. Такое происходит, потому что, как мы видели в главе 5.iv, не только ln  xрастет медленнее, чем любая степень x, но (ln  x) ^N обладает тем же свойством при любом положительном N. Так что если бы результат фон Коха утверждал, что остаточный член есть Ο( √x∙(ln  x) ¹⁰⁰), то мы все равно в качестве альтернативного вида вывели бы Ο( x ^{1/2+ ε})!

Однако запись результата фон Коха в этом слегка ослабленном виде Ο( x ^{1/2+ ε}) хороша тем, что наводит на размышления. Риман был почти прав в том же смысле, в каком логарифмическая функция есть почти x ⁰; порядок величины есть не х ^1/2, а x ^{1/2+ ε}. Если учесть, какие средства имелись у него в наличии, каким было общее состояние знания в данной области и какие численные данные были доступны в то время, то риманово x ^1/2все равно должно считаться прозрением потрясающей глубины. [136]136
  В этой области ведется немало исследований. Весьма вероятно, что на самом деле π(x)= Li (x)+ Ο( √x), что, возможно, и имел в виду Риман в своем замечании насчет «порядка величины». Однако мы ни в какой мере не близки к доказательству этого факта. Некоторые исследователи, между прочим, предпочитают обозначение Ο _ε( x ^{1/2+ ε}), чтобы подчеркнуть, что постоянная, подразумеваемая в определении Обольшого, зависит от ε. Если использовать это обозначение, то логика раздела 15.iii слегка изменяется. Заметим, что квадратный корень из Nпримерно в два раза короче (я имею в виду, что он содержит примерно в два раза меньше цифр), чем N.Отсюда следует (хотя я и не буду останавливаться ради подробного доказательства), что Li ⁻¹( N) дает для N-го простого числа правильный результат примерно до половины длины (примерно первая половина цифр оказывается правильной). Выражение Li ⁻¹( N) здесь надо понимать в смысле обратной функции, как в главе 13.ix, следующим образом: «число К, для которого Li( K) = N». Миллиардное простое, например, есть 22 801 763 489, a Li ⁻¹(1 000 000 000) равно 22 801 627 415, где мы видим пять, почти шесть правильных цифр из одиннадцати.


[Закрыть]

Вводя Οбольшое, я начал с истории, так что сейчас, прощаясь с ним, расскажу еще одну. Суть ее в том, что математики, как и другие специалисты, иногда любят напустить туману, чтобы отпугнуть и смутить профанов.

На конференции в Курантовском институте летом 2002 года (см. главу 22) я разговаривал по поводу своей книги с Питером Сарнаком. Питер – профессор математики в Принстонском университете и специалист по теории чисел. Я упомянул, что пытаюсь придумать, как объяснить Οбольшое тем читателям, кто с ним незнаком. «О, – сказал Питер, – вам надо бы поговорить с моим коллегой Ником (т.е. Николасом Кацем – он тоже профессор в Принстоне, но занимается в основном алгебраической геометрией). Ник ненавидит Οбольшое. Никогда его не использует». Я это проглотил, но взял на заметку, рассчитывая, что смогу придумать, как это использовать в книге. В тот же вечер мне случилось разговаривать с Эндрю Уайлсом, который очень хорошо знает и Сарнака, и Каца. Я упомянул нелюбовь Каца к Οбольшому. «Чепуха, – сказал Уайлс, – они просто над вами потешаются. Да Ник все время его использует». И будьте уверены, Кац использовал его в лекции на следующий же день. Своеобразное чувство юмора у математиков.

IV.

Оставим Οбольшое. Теперь перед нами функция Мебиуса. Есть несколько способов ввести функцию Мебиуса. Подойдем к ней со стороны Золотого Ключа.

Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2). Очевидно, если  A = Bи при этом ни A,ни  Bне равны нулю, то 1 /A =1 /B.Получаем (15.1)

Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.

Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем aна (p + q),что дает ар + aq.Затем умножаем bна (p + q),что дает bp + bq.А потом, поскольку в скобках у нас aплюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v),то повторение этих действий дает apu+ aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv.Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у)дает

 
apux + aqux + bpux + bqux + apvx + aqvx + bpvx + bqvx + apuy + aquy + bpuy + bquy + apvy + aqvy + bpvy + bqvy. (15.2)
 

Грандиозность того, что получается, начинает внушать некоторые опасения. А ведь нам предстоит перемножить бесконечное число скобок! Фокус состоит в том, чтобы посмотреть на это дело глазами математика. Из чего составлено выражение (15.2)? Ну, это сумма некоторого числа членов. Как эти члены выглядят? Выберем наугад какой-нибудь один из них, скажем aqvy. Сюда входит aиз первой скобки, qиз второй, vиз третьей и yиз четвертой. Это произведение, составленное из чисел, выбранных по одному из каждой скобки. И все выражение целиком получается в результате всех возможных комбинаций того, как мы выбираем эти числа из скобок.

Как только вы смогли это увидеть, перемножение бесконечного числа скобок больше не проблема. В ответе будет сумма – разумеется, бесконечная – членов, каждый из которых получен путем выбора одного числа из каждой скобки и перемножения всего, что выбрали. Если сложить результаты всех таких возможных выборов, то и получится ответ. Однако в том виде, как эта процедура описана, она все еще выглядит несколько устрашающей. Согласно сказанному, каждый член в нашей бесконечной сумме есть бесконечное произведение. Да, так оно и есть, но, поскольку каждая скобка в правой части выражения (15.1)содержит 1, наша жизнь делается приятнее за счет того, что мы будем выбирать бесконечное число единиц и лишь конечное число не-единиц. В конце концов, поскольку каждый не-единичный член в каждой скобке есть число между − ¹/ ₂и 0, перемножение бесконечно большого числа таких членов дает результат, величина которого (я имею в виду – без учета знака) заведомо не больше, чем ( ¹/ ₂) ^∞, а это равно нулю! Теперь смотрите, как я построю бесконечную сумму.

Первый член в бесконечной сумме: берем 1 из каждой скобки. Это даст бесконечное произведение 1×1×1×1×1×…, значение которого есть, конечно, просто 1.

Второй член: берем 1 из всех скобок, кроме первой. Из первой же возьмем . Это даст бесконечное произведение ×1×1×1×1×…, которое равно просто .

Третий член: берем 1 из каждой скобки, кроме второй. А из второй возьмем . Это даст бесконечное произведение 1× ×1×1×1×…, что равно просто .

Четвертый член… Я думаю, понятно, что, если брать 1 из каждой скобки, кроме n-й, мы получим слагаемое равное , где p – n-е простое число. Итак, получилась бесконечная сумма вида (15.3):

Но это еще не конец. При перемножении скобок возникает сумма всех возможных членов,получаемых взятием одного числа из каждой скобки. Предположим, мы выбрали из первой скобки, из второй и 1 из всех остальных. Это дает × ×1×1×1×…, что равно . Похожие вещи мы получим из каждой возможной пары выборов не-единиц. Выбирая из третьей скобки и из шестой, а единицы из всех остальных, получаем член, равный .

(Заметим, что здесь работают два простых правила арифметики. Одно – это правило знаков, гласящее, что минус умножить на минус дает плюс, а другое – 7-е правило действий со степенями, согласно которому (x×y) ⁿ= x ⁿ×y ⁿ.)

Так что наряду с членами, уже собранными в выражении (15.3), имеется новый набор, каждый член в котором происходит из каждой пары простых чисел, как 5 и 13, и которые все входят со знаком плюс. Таким образом, выражение (15.3)разрослось до такого:

где каждое число во второй строке есть произведение двух различных простых.

А ведь мы едва начали нашу деятельность по перемножению бесконечного числа скобок. Следующий шаг состоит в том, чтобы перебрать все возможные способы выбрать три не-единицы (при всех остальных единицах). Например, 1× ×1×1× × ×1×1×…, из чего возникает .Теперь результат разрастается до

где каждое число в третьей строке есть произведение трех различных простых.

В предположении, что мы продолжаем так поступать, а также в предположении, что получающиеся члены можно переставлять, как мы пожелаем, выражение (15.1)превращается в следующее (15.4):

Натуральные числа в правой части – это… что? Это заведомо не все натуральные числа: 4, 8, 9 и 12 там отсутствуют. Но и не простые: присутствующие там 6, 10, 14 и 15 не являются простыми. Если оглянуться на процесс перемножения этого бесконечного количества скобок, то станет ясно, что ответ такой: каждое натуральное число, которое равно произведению нечетного числа (включая 1) различных простых, взятое со знаком минус, и, кроме того, каждое натуральное число, которое равно произведению четного числа различных простых, взятое со знаком плюс. Отсутствуют такие числа, как 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, … – т.е. числа, которые делятся на квадрат некоторого простого.

Поприветствуем функцию Мебиуса! Она названа по имени немецкого математика и астронома Августа Фердинанда Мебиуса (1790–1868). [137]137
  Мебиуса более всего помнят за ленту (лист) Мебиуса, показанную на рисунке 15.4, которую сам он придумал в 1858 г. (Ранее она была описана другим математиком, Йоханом Листингом, также в 1858 г. Листинг опубликовал свое открытие, а Мебиус – нет, так что, согласно академическим правилам, ее следовало бы называть «лентой Листинга». Мир устроен несправедливо.) Чтобы сделать ленту Мебиуса, надо взять полоску бумаги за концы (один конец в правой руке, другой – в левой), перекрутить один из них на 180 градусов и склеить их друг с другом. Получится односторонняя поверхность – муравей может переползти из любой точки на полосе в любую другую точку, не перелезая при этом через край.


[Закрыть]

Рисунок 15.4.Лента Мебиуса и муравей на ней.

В наше время ее общепринято обозначать греческой буквой μ, что произносится как «мю» – греческий эквивалент буквы «м». [138]138
  Если вам кажется, что выбор буквы, указывающей на свое собственное имя, было проявлением тщеславия со стороны Мебиуса, то сообщу вам, что сам Мебиус при первом описании своей функции в 1832 г. не использовал буквы μ; виновник появления μ– Франц Мертенс, который ввел ее в 1874 г., причем в честь Мебиуса, к тому времени уже скончавшегося, а не в свою.


[Закрыть]Приведем полное определение функции Мебиуса.

• Ее область определения есть N, то есть все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ….

•  μ(1) = 1.

•  μ( n) = 0, если среди делителей числа nесть квадрат.

•  μ( n) = −1, если число  nпростое или является произведением нечетного числа различных простых чисел.

•  μ( n) = 1, если число nявляется произведением четного числа различных простых чисел.

Такое определение функции может показаться вам страшно громоздким. Однако функция Мебиуса приносит колоссальную пользу в теории чисел и далее в этой книге будет играть ведущую роль. В качестве примера приносимой ею пользы заметим, что все трудоемкие алгебраические действия, через которые нам пришлось продираться, сводятся к изящному выражению (15.5):

V.

B истории Гипотезы Римана наряду с самой функцией μ(n)не меньшую роль играет ее нарастающее значение, т.е. результат сложения μ(1) + μ(2) + μ(3) + … + μ( k) для некоторого числа k. Так определяется «функция Мертенса» М(k). Ее первые 10 значений (т.е. значения при k= 1, 2, 3, …, 10) равны 1, 0, −1, −1, −2, −1, −2, −2, −2, −1. Функция M(k)весьма нерегулярна – она совершает колебания в обе стороны вокруг нулевого значения в стиле, который математики называют «случайными блужданиями». Для аргументов, равных 1000, 2000, …, 10 000, ее значения равны 2, 5, −6, −9, 2, 0, −25, −1, 1, −23. Для аргументов миллион, 2 миллиона, …, 10 миллионов ее значения равны 212, −247, 107, 192, −709, 257, −184, −189, −340, 1037. Если не обращать внимания на знаки, то видно, что величина функции M(k)возрастает, но помимо этого никакой ясной картины не просматривается.

Из выражения (15.5)видно, что поведение функций μи M(накапливающейся μ) жестко привязано к дзета-функции, а тем самым и к Гипотезе Римана. На самом деле если вам удастся доказать приведенную ниже теорему 15.1, то вы сможете заключить, что Гипотеза Римана верна!

Теорема 15.1

M(k) = Ο( k ^1/2).

Однако если теорема 15.1 не верна, то отсюда еще не следует, что не верна Гипотеза. Математики говорят, что теорема 15.1 сильнее Гипотезы. [139]139
  Если подразумеваемая здесь логика от вас ускользает, давайте рассмотрим аналогию. Представим себе, что теорема 15.1утверждает: «Все люди имеют рост менее 10 футов», а Гипотеза Римана утверждает, что «все граждане США имеют рост менее 10 футов». Если первое утверждение верно, то должно быть верно и второе, поскольку каждый гражданин США – человек. Более слабый результат следует из более сильного. Если человека ростом в 11 футов обнаружат в дебрях Новой Гвинеи, то его существование продемонстрирует ложность теоремы 15.1. Однако Гипотеза Римана будет по-прежнему оставаться открытой, поскольку найденный гигант не является гражданином США. (Хотя, как я подозреваю, довольно быстро им станет.)


[Закрыть]Слегка ослабленный вариант, сформулированный как теорема 15.2, в точности равносилен Гипотезе:

Теорема 15.2

M(k) = Ο( k ^{1/2+ ε}) для любого сколь угодно малого числа ε.

Если теорема 15.2 верна, то верна и Гипотеза; а если она не верна, то не верна и Гипотеза. Это в точности эквивалентные теоремы. Мы еще вернемся к этому в главе 20.vi.