Текст книги "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике."

Автор книги: Джон Дербишир

К ГР поэтому следует подходить в духе Адамара и Харди (но желательно без того оттенка меланхолии, который Харди внес в свое «отречение»). Как сказал мне Эндрю Одлыжко, «она или верна, или нет». Когда-нибудь это станет известно. Я представления не имею, какими будут следствия, и я не думаю, что кто бы то ни было другой это знает, однако я уверен, что последствия будут огромными. В конце охоты наше понимание претерпит изменение, а до этого момента радость и очарование заключаются в самой охоте, а для тех из нас, у кого нет подходящего снаряжения, – в наблюдении за энергией, решимостью и изобретательностью охотников. Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Эпилог

Бернхард Риман умер в пятницу 20 июля 1866 года, не дожив нескольких недель до своего сорокалетия. Осенью 1862 года он подхватил очень сильную простуду, ускорившую развитие туберкулеза, которым он, по-видимому, страдал с детства. [212]212
  В письме к брату от 26 июня 1854 г. он упоминает возобновление mein altes Übel —«моей старой болезни», вызванное разыгравшейся непогодой.


[Закрыть]Коллеги по Геттингену выхлопотали Риману несколько правительственных субсидий, которые позволили ему перебраться в более благоприятный климат, что в то время было единственным способом, который мог принести облегчение больному туберкулезом и замедлить развитие болезни.

Таким образом, последние четыре года своей жизни Риман почти полностью провел в Италии. Умер он в Селаске, на западном берегу Лаго-Маджоре в Пьемонтских Альпах. Его жена Элиза и их трехлетняя дочь Ида были с ним. В краткой биографии, которой он дополнил «Собрание трудов» Римана, Рихард Дедекинд так описывает последние дни своего друга.

28 июня он прибыл на Лаго-Маджоре, где поселился на вилле Пизони в Селаске, неподалеку от Интры. [213]213
  Ныне – в муниципалитете Вербания.


[Закрыть]Силы быстро оставляли его, и он с полной ясностью понимал, что конец его приближается. Тем не менее за день до смерти, отдыхая в тени фигового дерева и наслаждаясь прекрасными видами вокруг, он трудился над одной из тех работ, которая, увы, осталась незавершенной. Скончался он мирно, без борьбы и агонии. Он как будто с интересом наблюдал за тем, как душа его отделяется от тела. Жена принесла ему вина и хлеба. Он попросил ее передать его последний привет всем домочадцам и сказал: «Поцелуй наше дитя». Она прочитала ему «Отче наш», но сам он уже не мог говорить. При словах «прости нам прегрешения наши» он благоговейно возвел взор вверх. Она чувствовала, что его рука холодеет в ее руках, и после нескольких вдохов его чистое и благородное сердце перестало биться. Благочестивый дух, заложенный в нем под крышей отцовского дома, он сохранил на всю жизнь и служил Господу верой и правдой, избрав свой собственный путь. Со своей высшей пробы преданностью Господу, он никогда не вмешивался в веру других: главное в религии, по его мнению, заключалось в том, чтобы ежедневно ответствовать за себя пред лицом Господа.

Он похоронен при церкви в Биганцоло, в приходе Селаски. На его надгробной плите начертано:

Здесь покоится в мире

ГЕОРГ ФРИДРИХ БЕРНХАРД РИМАН

профессор из Геттингена

род. в Брезеленце 17 сент. 1826

сконч. в Селаске 20 июля 1866

Любящим Бога

все содействует ко благу.

Вся надпись сделана по-немецки. Эпитафия взята из Послания к римлянам св. апостола Павла, 8:28. (По-немецки: Denen die Gott lieben müssen alle Dinge zum Besten dienen.) Могилы Римана больше не существует – она была уничтожена при перепланировке церковных земель. Однако плита с надписью сохранилась и стоит возле стены неподалеку.

Элиза Риман с дочерью вернулись в Геттинген. Они жили там с оставшейся сестрой Бернхарда Римана, которую также звали Ида, по адресу Weender Chaussee 17. Соседний дом с номером 17А занимал Херманн Шварц – университетский профессор математики. [214]214
  Weender Chausseeбыло позднее переименовано в Bertheaustrasse.


[Закрыть]Кафедру Римана в университете занял Альфред Клебш, написавший основополагающий текст по современной алгебраической геометрии.

В 1884 году дочь Римана Ида, которой к тому времени исполнилось 20 лет, вышла замуж за Давида Шиллинга, который в 1880 году получил ученую степень под руководством Шварца и сохранил с ним дружеские отношения. Вскоре после этого Шиллинг получил должность директора Морской академии в Бремене. В сентябре 1890 года вдова Римана и его сестра отправились жить вместе с Шиллингами в Бремен. Дочь Римана дожила до 1929 года, а ее муж до 1932-го. По-видимому, у них была большая семья, но точное число их детей от меня ускользнуло. Как бы то ни было, потомки Бернхарда Римана к настоящему времени слились с общей массой человечества.

Хотя недолгие годы были ему отпущены и немного имеется печатных страниц, запечатлевших результаты его исследований, имя его есть и будет на языке у математиков. Большая часть его трудов – шедевры, наполненные оригинальными методами, глубокими идеями и широким творческим воображением.

Джордж Кристал, из статьи «Риман» в издании Encyclopedia Britannica, 1911 год

Приложение 1

Гиганты и их покровители

Леонард Эйлер

Петр Великий

Карл Фридрих Гаусс

Карл-Вильгельм-Фердинанд, герцог Брауншвейгский

Бернхард Риман, его наставник и его друг

Риман, начало 1950-х годов

Риман, 1863

Лежен Дирихле

Рихард Дедекинд

Теорема о распределении простых чисел

Шарль де ля Валле Пуссен

Жак Адамар

Пафнутий Львович Чебышев

Атле Сельберг

Первопроходцы XX столетия

Давид Гильберт

Эдмунд Ландау

Г.Х. Харди

Джон Идензор Литлвуд

Вычислительное направление

Йорген Педерсон Грам

Карл Зигель

Алан Тьюринг

Эндрю Одлыжко

Алгебраисты

Эмиль Артин

Андре Вейль

Пьер Делинь

Ален Конн

Физическое направление

Джордж Пойа

Фримен Дайсон

Хью Монтгомери

Сэр Майкл Берри

Гипотеза Линделёфа и модель Крамера

Эрнст Линделёф

Харальд Крамер

Счет и измерение

Автор с семьей и Тай-е, которому арифметически 97 лет, но аналитически всего 95,522…

Приложение 2. Гипотеза Римана в песне

Том Апостол, заслуженный профессор математики в отставке из Калтеха, написал в 1955 году гимн по поводу Гипотезы Римана (ГР) и исполнил его на конференции по теории чисел, проходившей в Калтехе в июне того года. Исходно написанные Томом стихи заканчивались на 32-й строке; последние два куплета в 1973 году вывесил на доске объявлений в Кембриджском университете алгебраический тополог Сондерс Маклейн. В песне упоминается гипотеза Линделёфа (ГЛ) – младшая сестра ГР. Она была сформулирована в 1908 году, и, по существу дела, ее надо было бы привести где-то в главе 14; но, поскольку она второстепенна по отношению к нашей главной теме и поскольку в ней используется обозначение « Οбольшое» из главы 15, а также потому, что я в тот момент посчитал, что в книге и так уже достаточно математики, я не стал ее включать в текст. Правда, стихи Тома без нее не понять, а заставить себя выкинуть песню я не смог. В результате перед вами и сама песня, и, в качестве бесплатного приложения, еще и гипотеза! [215]215
  В оригинале песню Тома Апостола «Где же нули у функции дзета» можно послушать (и даже посмотреть видеоклип с исполнением первого куплета) по адресу:
  http://olimu.com/Riemann/Song.htm. (Примеч. перев.)


[Закрыть]

Где же нули у функции дзета?

(на мотив Sweet Betsy from Pike)

 
1   Где же нули у функции дзета?
    Нам Риман оставил догадку про это:
    «На критической линии, там они все,
    А их плотность – один-на-два– π ln  T».
 
 
5   И эта гипотеза, словно заноза,
    Многих людей довела до психоза.
    Стремились они дать строгий расчет,
    Что происходит, когда tрастет.
 
 
     Ландау, и Бор, и Крамер, и Харди
10 Среди одержимых шли в авангарде.
     Но все-таки даже они не смогли
     Уверенно все перечислить нули.
 
 
     Впоследствии Харди сумел доказать,
     Что на этой прямой их несметная рать,
15 Но его теорема все ж не исключает,
     Что где-то еще те нули обитают.
 
 
     Пусть Pбудет πминус Li – вот прелестно!
     Но как там с порядком P– неизвестно.
     Если корень из x ln  x– потолок,
20 То Гипотезу Римана вывесть я б смог.
 
 
     Вопрос про μ(σ)задал Линделёф;
     Над ним потрудилось немало умов.
     Проверим критическую полосу,
     И сколько нулей там – как на носу.
 
 
25 Но функция эта ведет себя сложно,
     Ее изучили, насколько возможно.
     «График должен быть выпуклым, – смог он сказать, —
     Если сигма сама превосходит 0,5».
 
 
     Так где же нули у функции дзета?
30 Даже через столетие все нет ответа.
     А ТРПЧ можно все улучшать,
     Но контур обязан нули избегать.
 
 
     Тем временем Вейль обратился к предмету,
     Используя более хитрую дзету.
35 Коль характеристика поля равна
     Простому числу – теорема верна.
 
 
     Мораль этой притчи нетрудно понять,
     И всем юным гениям следует знать:
     Если не выручает обычный подход,
40 То по модулю p– авось повезет!
 

Том М. Апостол, перевод Сергея Ельницкого

Where are the zeros of zeta of s?

 
Where are the zeros of zeta of s?
G.F.B. Riemann has made a good guess:
«They're all on the critical line,» stated he,
«And their density's one over two pi log T».
 
 
This statement of Riemann's has been like a trigger,
And many good men, with vim and with vigor,
Have attempted to find, with mathematical rigor,
What happens to zeta as mod tgets bigger.
 
 
The efforts of Landau and Bohr and Cramér,
Hardy and Littlewood and Titchmarsh are there.
In spite of their effort and skill and finesse,
In locating the zeros there's been no success.
 
 
In 1914 G.H. Hardy did find,
An infinite number that lie on the line.
His theorem, however, won't rule out the case,
That there might be a zero at some other place.
 
 
Let Pbe the function pi minus Li;
The order of Pis not known for xhigh.
If square root of xtimes log  xwe could show,
Then Riemann's conjecture would surely be so.
 
 
Related to this is another enigma,
Concerning the Lindelöf function mu sigma,
Which measures the growth in the critical strip;
On the number of zeros it gives us a grip.
 
 
But nobody knows how this function behaves,
Convexity tells us it can have no waves.
Lindelöf said that the shape of its graph
Is constant when sigma is more than one-half.
 
 
Oh, where are the zeros of zeta of s?
We must know exactly. It won't do to guess.
In order to strengthen the prime number theorem,
The integral's contour must never go near 'em.
 
 
André Weil has improved on old Riemann's fine guess
By using a fancier zeta of s.
He proves that the zeros are where they should be,
Provided the characteristic is p.
 
 
There's a moral to draw from this long tale of woe
That every young genius among you must know:
If you tackle a problem and seem to get stuck,
Just take it mod pand you'll have better luck.
 

Примечания

Мотив. Sweet Betsy from Pike —песня, которую поют на этот мотив в Америке. Однако мелодия старше, чем слова. Впервые она прозвучала в английской песенке Villikens and his Dinah [216]216
  Вилликенс и его Дина. (Примеч. перев.)


[Закрыть], популярной в середине XIX века. (Из этой песенки, кстати, взято имя кошки в книгах Льюиса Кэрролла об Алисе. Villikens and his Dinahбыла любимой песней Алисы Лидделл – девочки, которая вдохновила его на написание книг, и у нее и в самом деле была кошка по имени Дина.) Если ваше обучение в Британии включало в себя членство в школьном клубе регби [217]217
  В Англии, как правило, в регби играют в частныхшколах (а в футбол – в остальных). (Примеч. перев.)


[Закрыть], то вы, скорее всего, распознаете эту мелодию как мелодию известной печальной баллады, начинающейся словами О Father, О Father, I've come to confess. I've left some poor girl in a hell of a mess. [218]218
  «0 святой отец, прими мою исповедь. Я оставил одну бедную девочку в чертовски трудном положении». (Примеч. перев.)


[Закрыть]

Строка 1.См. главу 5.vii.

Строка 2.Полное имя Римана было Георг Фридрих Бернхард Риман (глава 2.iii). Насколько известно, он всегда пользовался только именем Бернхард.

Строка 3.По поводу «критической прямой» (она же критическая линия) см. главу 12.iii, рисунок 12.1.

Строка 4.Это следует сравнить с утверждением из главы 13.viii, что на высоте Tвдоль критической прямой средний интервал между нулями ~2 π/ln ( T/2 π). Это означает, что на единицу длины вдоль прямой приходится ~(1/2 π)/ln ( T/2 π) нулей. Это автор песни и имеет в виду под «плотностью». Заметим, что, согласно правилам обращения с логарифмами, ln ( T/2 π) равен ln  T− ln (2 π), т.е. ln  Т− 1,83787706…. Умножив это на 1/2 π, получим (1/2 π)ln  T− 0,29250721…. По мере роста Tрастет (хотя и намного медленнее) и ln  T, так что слагаемое величины 0,29250721… становится совершенно несущественным. Следовательно, плотность равна «один-на-два-пи эль-эн T».

Строка 8.В оригинале обозначение mod  tиспользовано для модулячисла t, определенного в главе 11.v. Когда, как в данном случае, под tпонимается вещественное число, mod  t– в нормальных обозначениях |t|– выражает просто величину tбез учета знака. [219]219
  Поскольку в данном случае – при движении вверх по критической прямой – t,очевидно, положительно, указание на его модуль излишне, если только оно не служит попаданию в размер стиха. (Примеч. перев.)


[Закрыть]Как отмечалось в главе 16.iv, t(или T) – довольно стандартное обозначение в теории дзета-функции, когда говорят о больших высотах вдоль критической прямой (или, более общим образом, как видно из обсуждения ГЛ в примечаниях к строчкам 21-28, о мнимой части аргумента дзета-функции).

Строка 9.Харальд Бор (глава 14.iii) и Эдмунд Ландау доказали в 1913 году важную теорему о функции S(см. главу 22.iv), которая гласит, что если дзета-функция имеет лишь конечное число нулей вне критической прямой, то функция S(t)неограничена, когда tстремится к бесконечности. Упоминавшееся в главе 22.iv доказательство Сельберга 1946 года, что S(t)неограничена, – более сильный результат, поскольку не требует указанного условия. По поводу Крамера см. главу 20.vii. Помимо разработки упомянутой там «вероятностной модели» для распределения простых чисел Крамер также доказал и один менее значительный результат о функции S: если ГЛ (см. примечания к строчкам 21-28) верна, то S(t)/ln  tстремится к нулю, когда tстремится к бесконечности. По поводу Литлвуда и Харди см. главу 14; по поводу Титчмарша – главу 16.v.

Строки 13-16.Глава 14.v.

Строка 17.Чтобы попасть в размер, термин Li здесь надо произносить как как ell-eye(в оригинале, и как «ли» в переводе. – Примеч. перев.).Далее автор песни обсуждает остаточный член π(x) − Li (x), который мы подробно рассматривали в главе 21.

Строка 18.«Как там с порядком P– неизвестно» означает, что « Pесть Οбольшое от… от чего? – неизвестно». По поводу Οбольшого см. главу 15.ii-iii; при этом имеются в виду большие значения x.

Строки 19-20.Если бы удалось доказать, что π(x) − Li (x) = Ο(√x∙ln  x)(другими словами, на разность имеется ограничение, т.е. «потолок»), то и ГР была бы доказана. В этом заключается результат, обратный результату фон Коха 1901 года, приведенному в главе 14.viii. Там это не упомянуто, но если формула фон Коха верна, то верна и ГР. Они следуют друг из друга.

Строки 21-28.Следующие несколько строк целиком посвящены гипотезе Линделёфа (ГЛ) – знаменитому предположению в теории дзета-функции. Его гипотеза касается роста дзета-функции в вертикальном направлении – т.е. вверх по вертикальной прямой в комплексной плоскости.

Линделёф, записав аргумент дзета-функции в виде σ + ti,задался таким вопросом: пусть задана вещественная часть σ(это, кстати, строчная греческая буква сигма); что можно сказать о величине ζ(σ + ti), когда t(мнимая часть аргумента) изменяется от нуля до бесконечности? «Величина» здесь понимается в смысле модуля, который мы определили в главе 11.v; другими словами, это означает |ζ(σ + ti)| – расстояние от значения дзета-функции до точки нуль. Это вещественное число, так что для всякой заданной σи аргумент t, и значение |ζ(σ + ti)|– вещественные числа. Следовательно, можно нарисовать график. На рисунках от П1 до П8 показаны графики для некоторых характерных значений σ; эти графики иллюстрируют суть дела лучше всяких слов.

Рисунок П1.

Рисунок П2.

Рисунок П3.

Рисунок П4.

Рисунок П5.

Рисунок П6.

Рисунок П7.

Рисунок П8.

Обратим внимание на нетривиальные нули дзета-функции на рисунке П5. Стоит обратить внимание и на оживление, которое по сравнению с остальными демонстрируют рисунки от П4до П6. Все интересное, что может случиться с дзета-функцией, происходит в критической полосе.

Кроме того, отметим некоторые знакомые значения при t = 0: ¹/ ₂на рисунке П4(что отвечает ζ(0) = − ¹/ ₂на рисунке 9.3, поскольку, разумеется, |− ¹/ ₂| есть просто ¹/ ₂); бесконечность на рисунке П6(расходимость гармонического ряда, глава 1.iii); 1,644934… на рисунке П7(решение базельской задачи, глава 5.i); и 1,202056… на рисунке П8(число Апери, глава 5.vi). Нулевое значение функции при t = 0 на рисунке П2есть вещественный, тривиальный нуль дзета-функции (глава 9.vi). То, что кажется нулями на рисунках П1и П3, на самом деле нулями не является; реально принимаемые там значения при t = 0 слишком малы, чтобы их можно было заметить. (Они соответственно равны 0,0083333… и 0,0833333….).

ГЛ – это утверждение об Οбольшом (см. главу 15.ii) для этих графиков. Просто посмотрев на них, можно предположить следующее.

• При σ = −1, −2 и −3 график выглядит так, как если бы он был Οбольшое от некоторой ускоренно растущей функции от t,может быть, степенной типа t ²или t ⁵, причем эти степени, по-видимому, делаются все больше по мере того, как σдвижется на запад вдоль отрицательной вещественной оси.

• При σ = 2 и 3 дело выглядит так, как будто у нас Ο(1), или, другими словами, Ο(t ⁰ ).

• В критической полосе, т.е. при σ= 0, ¹/ ₂и 1, нелегко сказать, какое Οбольшое могло бы подойти.

Могло бы так случиться, чтобы для любого значения σсуществовало определенное число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(t ^μ)? Так, чтобы μ = 0, когда σбольше 1, и чтобы μбыло некоторым растущим положительным числом, когда σуходит от нуля на запад. Вроде именно так дело и обстоит. Но что же происходит в критической полосе, когда а лежит между 0 и 1? И в частности, что происходит на критической прямой, когда σ= ¹/ ₂?

Ну что же, вот перед нами (рис. П9) все, что известно на момент написания книги. Для любого заданного значения σдействительно имеется число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(t ^μ+ε)для произвольно малого ε. Это не вполне то же самое, что предполагалось в предыдущем абзаце, но если вы не заметили разницы, то это простительно. (Однако если вспомнить про ε, которое появлялось у нас в главе 15.iii, то станет понятно его значение здесь). Несомненно, это число μявляется функцией от σ. Отсюда и взялась функция Линделёфа μ(σ)в строке 21. Она, конечно, не имеет никакого отношения к функции Мебиуса μиз главы 15 – еще один прискорбный случай перегрузки символов.

Рисунок П9.Функция Линделёфа.

Кроме того, математически точно известно следующее.

• Когда σменьше или равна нулю, μ(σ) =  ¹/ ₂− σ.

• Когда σбольше или равна единице, μ(σ) = 0.

• В критической полосе (т.е. когда σзаключена между 0 и 1, не включая границ) , μ(σ) <  ¹/ ₂(1 −  σ). Другими словами, функция μлежит ниже штриховой линии на рисунке П9.

• Для всех значений σфункция μ( σ) выпукла вниз. Это означает, что если соединить любые две точки на ее графике прямой линией, то отсекаемая от графика функции дуга будет целиком лежать ниже (или на) полученной прямой. Это верно везде, включая и критическую полосу; отсюда следует, что для σ, заключенной между 0 и 1, функция μ( σ) должна быть положительной или равняться нулю. (Строка 27 в песне.)

• Из справедливости ГР следует и справедливость ГЛ (которую мы сформулируем прямо сейчас), но не наоборот. ГЛ – более слабый результат.

Это, повторюсь, предел нашего знания на данный момент. ГЛ, представленная на рисунке П10, утверждает, что μ( ¹/ ₂) = 0, откуда легко следует, что μ(σ) =  ¹/ ₂ −  σдля всех значений от минус бесконечности до σ =  ¹/ ₂и μ = 0 для всех аргументов далее на восток – ср. строки 27 и 28 из песни. Это открытая гипотеза, до сих пор не доказанная. В действительности не известно ни одного значения μ(σ),когда σлежит строго между 0 и 1. ГЛ – величайший вызов в теории дзета-функции после ГР; она оставалась предметом активных исследований, с тех пор как Линделёф высказал ее в 1908 году.

Рисунок П10.Гипотеза Линделёфа.

Строка 24.Можно доказать, что ГЛ эквивалентна утверждению, которое ограничивает число нулей дзета-функции вне критической прямой. Если ГР верна, то, конечно, таких нулей не должно быть вовсе. Но как уже отмечалось, из доказательства ГР последует и ГЛ.

Строка 31. «А ТРПЧ можно все улучшать» – т.е. получить наилучшее возможное выражение типа Οбольшого для остаточного члена.

Строка 32.При обычном интегрировании, как мы определили его в главе 7.vii, интегрируют вдоль оси x, от некоторого числа  aдо какого-то большего числа b. При наличии комплексных переменных можно интегрировать вдоль некоторого контура – т.е. прямой или кривой линии – в комплексной плоскости, от некоторой точки на этом контуре до какой-нибудь другой точки. Обычно контур при этом надо выбирать: результат интегрирования может зависеть от того, по какому именно контуру происходит интегрирование. [220]220
  Упомянутые в главе 8.ii условия Коши-Римана, которые определяют «хорошо ведущие себя функции», как раз выделяют такие функции, для которых зависимость от контура, по которому ведется интегрирование между двумя заданными точками на комплексной плоскости, носит контролируемый, «дискретный» характер. (Примеч. перев.)


[Закрыть]Контурное интегрирование – одно из основных средств в аналитической теории чисел (и вообще в теории функций комплексной переменной). Для получения определенных результатов об остаточном члене надо интегрировать по контуру, который не проходит через нули дзета-функции.

Строка 33. «Вейль обратился к предмету…».В этих последних куплетах говорится об алгебраическом подходе, упоминавшемся в главе 17.iii, и о результате А. Вейля 1942 года.

Строка 34.« Используя более хитрую дзету» – другими словами, один из упоминавшихся в главе 17.iii аналогов дзета-функции, связанных с конечными полями.

Строка 35.Мы определили характеристикуполя в главе 17.ii. Аналоги ГР были доказаны только для дзета-функций, связанных с полями ненулевой характеристики – т.е. характеристики, равной некоторому простому числу p.

Строка 36.«… теорема верна».Благодаря А. Вейлю известно, что аналоги ГР для этих специальных полей верны.

Строка 40.Слова «по модулю p» используются здесь в смысле арифметики циферблата из главы 6.viii; как отмечалось в главе 17.ii, здесь имеется связь с теорией полей.

В Интернете можно найти варианты этой песни, несколько отличающиеся оттого, что написан Томом; среди них я отмечу один, который заканчивается строчкой Use R.M.T. and you'll have better luck.Это добродушный пинок в сторону «физического» подхода: R.M.T.означает random matrix theory– теорию случайных матриц.