Текст книги "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике."

Автор книги: Джон Дербишир

сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 26 страниц)

Глава 19. Поворот Золотого Ключа

I.

А теперь попытаемся проникнуть в самую сердцевину работы Римана 1859 года. Это по необходимости подразумевает знакомство с некоторым довольно продвинутым математическим аппаратом, который использовал сам Риман. Мне придется без лишних слов перескакивать через по-настоящему трудные места, преподнося их как faits accomplis [178]178
  Свершившийся факт (франц.) (Примеч. перев.)


[Закрыть]; я просто попытаюсь описать логические этапы в рассуждениях Римана, говоря при этом нечто вроде: «У математиков есть способ перейти от этого к этому», не объясняя, в чем же этот способ состоит и как он работает.

Я надеюсь, что у читателя в итоге сложится впечатление по крайней мере насчет общей логической канвы тех шагов, которым следовал Риман. Но даже и это не удастся без небольшой толики анализа, существенные моменты которого уже изложены в главе 7.vi-vii. Несколько следующих разделов могут показаться вам сложными. Но наградой будет результат столь же мощный, сколь и прекрасный, из которого вытекает все – сама Гипотеза, ее значение и ее связь с распределением простых чисел.

II.

Для начала выскажу нечто противоречащее тому, что было сказано в главе 3.iv. Ну, вроде как противоречащее. Там мы говорили, что не слишком интересно рисовать график функции π(N), которая подсчитывает для нас простые числа. В том месте книги так и было. А теперь это не так.

Однако сначала кое-что подкорректируем. Вместо того чтобы писать π(N), что на глаз математика выглядит как «число простых чисел, не превышающих натурального числа N», будем писать π(x), что должно означать «число простых чисел, не превышающих вещественного числа x». Ничего особенного мы не сделали. Разумеется, число простых чисел, не превышающих 37,51904283, есть просто число простых чисел, не превышающих 37 (и равно двенадцати: это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37). Но нам предстоит познакомиться с некоторым объемом дифференциального и интегрального исчисления, и поэтому желательно находиться в царстве всех, а не одних только целых чисел.

И еще одна корректировка. При постепенном приближении к аргументу xв пределах некоторого интервала значений функция π(x)внезапно совершает прыжки. Пусть, например, xпостепенно переходит от числа 10 к числу 12. Число простых чисел, не превышающих 10, равно 4 (это 2, 3, 5 и 7), так что значение функции равно 4, когда x = 10 и, равным образом, разумеется, когда x = 10,1, 10,2, 10,3 и т.д. Но при аргументе 11 это значение внезапно совершает прыжок к 5; и для 11,1, 11,2, 11,3, … оно твердо стоит на 5. Математики называют такое «ступенчатой функцией». И здесь нам потребуется корректировка, которую используют довольно часто, когда имеют дело со ступенчатыми функциями. Ровно в той точке, где π(x)совершает прыжок, присвоим ей значение, лежащее посередине между значениями, от которого и до которого она прыгает. Так, при аргументе 10,9, или 10,99, или 10,999999 функция имеет значение 4; при аргументе 11,1, или 11,01, или 11,000001 функция имеет значение 5; но при аргументе 11 это будет 4,5. Сожалею, если это представляется вам немного необычным, но это важно для наших целей. Если мы так сделаем, то все рассуждения из этой главы и из главы 21 будут иметь силу; а если нет, то они не будут работать.

Теперь можно, наконец, продемонстрировать график функции π(x)(рис. 19.1). К ступенчатым функциям не сразу привыкаешь, но с математической точки зрения они представляют собой совершенно нормальное явление. Область определения у нас сейчас – все неотрицательные числа. В этой области определения для каждого аргумента имеется единственное значение нашей функции. Дайте мне аргумент, и я скажу вам значение. В математике бывают функции и покруче.

Рисунок 19.1.Функция, считающая простые числа.

III.

Теперь введем другую функцию – также ступенчатую, но при этом слегка более хитрую, чем π(x). В статье 1859 года Риман называет ее просто «функция f», но мы вслед за Хэролдом Эдвардсом будем называть ее «функцией J». Со времен Римана математики привыкли использовать fдля обозначения функции вообще: «Пусть f– произвольная функция…» – так что они могут слегка напрячься, увидев fв роли некоторой конкретной функции.

Итак, определим функцию J.Для любого неотрицательного числа xзначение функции Jравно

 
J(x) = π(x) + ¹/ ₂ π(√ x) + ¹/ ₃ π( ³√x ) + ¹/ ₄ π( ⁴√x )+ ¹/ ₅ π( ⁵√x ) +…. (19.1)
 

Здесь « π» обозначает функцию числа простых чисел именно в том виде, как выше мы ее определили для любого вещественного числа x.

Заметим, что приведенная сумма – небесконечная. Чтобы убедиться в этом, возьмем любое фиксированное число x, скажем, x = 100. Квадратный корень из 100 равен 10; кубический корень равен 4,641588…; корень четвертой степени равен 3,162277…; корень пятой степени 2,511886…; корень шестой степени 2,154434…; корень седьмой степени 1,930697…; корень восьмой степени 1,778279…; корень девятой степени 1,668100… и корень десятой степени равен 1,584893…. Можно было бы, конечно, вычислить и корни одиннадцатой, двенадцатой, тринадцатой степени и т.д., сколько вам заблагорассудится, но в этом нет необходимости, потому что функция числа простых чисел обладает таким очень приятным свойством: если xменьше 2, то π(x)равна нулю – просто потому, что нет никаких простых чисел, меньших 2! Таким образом, при вычислении корней из 100 можно было на самом деле остановиться после корня седьмой степени. Вот что мы в результате имеем:

 
J(100) = π(100) + ¹/ ₂ π(10) + ¹/ ₃ π(4,64…) + ¹/ ₄ π(3,16…) + ¹/ ₅ π(2,51…) + ¹/ ₆ π(2,15…) + 0 + 0 + …,
 

и если теперь сосчитать число простых, то это равно

 
J(100) = 25 + ( ¹/ ₂×4) + ( ¹/ ₃×2) + ( ¹/ ₄×2) + ( ¹/ ₅×1) + ( ¹/ ₆×1),
 

что дает 28 ⁸/ ₁₅или 28,53333…. При извлечении корней из любого числа рано или поздно значения падают ниже 2, и начиная с этого места все члены в выражении для функции Jравны нулю. Поэтому для любого аргумента xзначение функции J(x)можно получить, вычисляя конечнуюсумму – существенное улучшение по сравнению с некоторыми из функций, что нам встречались!

Как уже говорилось, функция Jступенчатая. На рисунке 19.2 показано, как она выглядит при аргументах до 10. Как видно, функция Jсовершает прыжок от одного значения к другому, остается на новом значении на некоторое время, потом совершает новый прыжок. Что это за прыжки? Какой закон за ними стоит?

Рисунок 19.2.Функция J(x).

Вглядевшись очень внимательно в выражение (19.1), мы увидим следующую закономерность. Во-первых, когда x– простое число, функция J(x)совершает прыжок на высоту 1, потому что π(x)– число простых чисел, не превышающих x, – при этом увеличивается на 1. Во-вторых, когда xявляется точным квадратом простого числа (например, x = 9, что есть квадрат числа 3), J(x)совершает прыжок на одну вторую, потому что квадратный корень из xесть простое число, а значит, π(√x)возрастает на 1. В-третьих, когда xесть точный куб простого числа (например, x = 8, что есть куб числа 2), J(x)совершает прыжок на одну треть, потому что кубичный корень из xравен простому числу, а значит, π( ³√ x)возрастает на 1, и т.д.

Попутно заметим, что функция Jобладает тем же свойством, которым мы снабдили функцию π(x): в точке, где реально происходит прыжок, она принимает значение, лежащее посередине между теми значениями, от которого и до которого она прыгает.

Для полноты представления функции Jна рисунке 19.3 изображен график J(x)при аргументах до 100. Самый маленький прыжок здесь совершается при x = 64 – это число представляет собой шестую степень (64 = 2 ⁶), так что функция Jпрыгает при x = 64 на одну шестую.

Рисунок 19.3.Еще о функции J(x).

Какую пользу может принести подобная функция? Терпение, терпение. Сначала придется совершить один из тех логических скачков, о которых я предупреждал в начале главы.

IV.

Напоминаю в который уже раз, что у математиков есть масса способов обращать соотношения. Дали нам выражение для Pчерез Q– отлично, посмотрим, не найдется ли способа выразить Qчерез P. В течение столетий в математике был развит целый инструментарий для того, чтобы совершать обращения, – он включает набор приемов для использования в самых разных условиях и обстоятельствах. Один из таких приемов носит название мебиусова обращения, и оно-то нам сейчас и нужно.

Не буду пытаться объяснить мебиусово обращение в общем виде. Оно описано в любом хорошем учебнике по теории чисел (см., например, раздел 16.4 в классической монографии «Теория чисел» Харди и Райта), а кроме того, поиск в Интернете наведет вас на множество ссылок. Подражая до некоторой степени самим функциям πи J, я вместо того, чтобы уныло тащиться от одной точки в моих рассуждениях к другой, перескочу сразу к следующему факту: применение мебиусова обращения к выражению (19.1)дает такой результат:

 
π(x)= J(x)− ¹/ ₂ J(√x) − ¹/ ₃ J( ³√x) − ¹/ ₅ J( ⁵√x) + ¹/ ₆ J( ⁶√x) − ¹/ ₇ J( ⁷√x) + ¹/ ₁₀ J( ¹⁰√x) + …. (19.2)
 

Можно заметить, что некоторые члены (четвертый, восьмой, девятый) здесь отсутствуют. А из тех, что присутствуют, некоторые (первый, шестой, десятый) входят со знаком плюс, тогда как другие (второй, третий, пятый, седьмой) – со знаком минус. Ничего не напоминает? Здесь спрятана функция Мебиуса из главы 15. На самом деле

(где ¹√x как и в других местах в книге, есть, конечно, просто x). Почему, как вам теперь кажется, это назвали мебиусовымобращением?

Итак, мы записали функцию π(x), выразив ее через J(x). Это чудесно, потому что Риман нашел способ, как выразить J(x)через ζ(x).

Прежде чем расстаться с выражением (19.2), надо еще упомянуть, что, подобно выражению (19.1), это не бесконечная сумма, а конечная. Это происходит из-за того, что функция J, как и функция π, равна нулю, когда xменьше 2 (взгляните на график!), а если последовательно извлекать корни из какого-нибудь числа, то результат рано или поздно упадет ниже 2 и там останется. Например,

 
π(100) = J(100) − ¹/ ₂ J(10) − ¹/ ₃ J(4,64…) − ¹/ ₅ J(2,51…) + ¹/ ₆ J(2,15…) − 0 + 0 + … = 28 ⁸/ ₁₅− 2 ²/ ₃− ⁵/ ₆− ¹/ ₅+ ¹/ ₆,
 

что дает в точности число 25, которое и в самом деле является числом простых чисел меньших 100. Волшебство.

А теперь повернем Золотой Ключ.

V.

Вот Золотой Ключ, первое равенство в статье Римана 1859 года, полученное нами в главе 7, когда я убеждал вас, что это просто хитрый способ переписать решето Эратосфена:

He будем забывать, что числа, появляющиеся в правой части, – это в точности все простые числа.

Возьмем логарифм от обеих частей. Если что-то равно чему-то, то, конечно, и логарифм одного должен быть равен логарифму другого. Согласно 9-му правилу действий со степенями, которое гласит, что ln( a×b) = ln  а+ ln  b, получаем

Но, поскольку ln 1/ a= −ln  aсогласно 10-му правилу, это выражение равно

Теперь вспомним ряд сэра Исаака Ньютона для функции ln (1 −  x) из главы 9.vii. Он пригоден при x, лежащем от −1 до +1, что, без сомнения, выполнено в нашем случае, поскольку sположительно. Поэтому каждый логарифм можно разложить в бесконечный ряд таким образом (19.3):

Это бесконечная сумма бесконечных сумм – с первого взгляда, я полагаю, подобное немного пугает, но в математике такие конструкции встречаются достаточно часто.

Сейчас может показаться, что мы оказались в ситуации, которая много хуже той, что была вначале. Аккуратненькое бесконечное произведение мы превратили в бесконечную сумму бесконечных сумм. Предприятие может показаться безнадежным. Да, но это если не использовать всю мощь анализа.

VI.

Возьмем какой-нибудь один из членов в этой сумме сумм. Выберем, например, . Рассмотрим функцию x ^{− s−1}и будем временно считать, что s– положительное число. Каков интеграл от x ^{− s−1}? В силу общих правил обращения со степенями, приведенных в главе 7.vii, это x ^{− s}/(− s), т.е. (−1/ s)×(1/ x ^s). Если мы возьмем этот интеграл при x, равном бесконечности, и вычтем из того, что получится, тот же интеграл, взятый при xравном 3 ²,то что получится? Ну, если x– очень большое число, то (−1/ s)×(1/ x ^s) – число очень маленькое, так что справедливо будет считать, что, когда xбесконечно велико, это выражение равно нулю. И из этого – из нуля – мы собираемся вычесть (−1/ s)×(1/(3 ²) ^s ). Такое вычитание дает (1/ s)×(1/(3 ²) ^s ). Сухой остаток таков: выбранный член в выражении (19.3)можно переписать в виде интеграла

Но зачем мы вообще все это делаем? Чтобы вернуться к функции J, вот зачем.

Дело в том, что x= 3 ²– это значение, при котором функция Jсовершает прыжок на ¹/ ₂. В голове у математика – и уж точно в голове у великого математика, каким был Риман, – приведенное выражение сразу вызывает некоторый образ. Этот образ представлен на рисунке 19.4: это функция Jс заполненной полосой. Полоса тянется от 3 ²(т.е. от 9) до бесконечности и имеет высоту одна вторая. Ясно, что вся площадь под (говорим «площадь под» – думаем «интеграл») графиком функции Jсоставлена из подобных же полосок. Полоски высотой 1, протянувшиеся от каждого простого числа до бесконечности; полоски высотой одна вторая, идущие от каждого квадрата простого числа до бесконечности; полоски высотой одна треть от каждого куба простого числа до бесконечности… Видите, как все срастается с той бесконечной суммой бесконечных сумм в выражении (19.3)?

Рисунок 19.4. .

Конечно, площадь под графиком функции Jбесконечна. Нарисованная полоска уже имеет бесконечную площадь (высота ¹/ ₂, длина бесконечна, площадь ¹/ ₂×∞ = ∞). Таковы же площади и всех других полосок. Все вместе они складываются в бесконечность. Но что, если я пожелаю «придавить» функцию Jсправа таким образом, чтобы площадь под графиком стала конечной? Так, чтобы каждая из этих полосок постепенно сужалась и сжималась до такой степени, чтобы площадь ее стала конечной? Как можно было бы осуществить такое «придавливание»?

Последний интеграл подсказывает как. Предположим, что мы взяли какое-нибудь число s(которое будем считать большим единицы). Для каждого аргумента xумножим J(x)на x ^{− s−1}. Для иллюстрации возьмем s = 1,2. Тогда x ^{− s−1}= x ^−2,2или, другими словами, 1/ x ^2,2. Возьмем аргумент x, скажем, равным 15. Вот, J(15) есть 7,333333…, а 15 ^−2,2равно 0,00258582…. Перемножая, получаем, что J(x)x ^{− s−1}имеет значение 0,018962721…. Если брать большие аргументы, то сдавливание будет выражено более ярко. При x = 100 значение выражения J(x)x ^{− s−1}равно 0,001135932….

На рисунке 19.5 показан график функции J(x)x ^{− s−1}при s = 1,2. Чтобы подчеркнуть «эффект сдавливания», там показана та же самая полоска, которая была выделена и ранее, но теперь после сдавливания. Видно, как она все более и более худеет по мере того, как аргумент устремляется на восток. Имеется вполне реальный шанс, что вся площадь окажется конечной, несмотря на свою бесконечную длину. В предположении, что так и есть и что дело обстоит таким же образом для всех полосок, спросим себя: какова же будет полная площадь под графиком этой функции? Или, выражаясь математически, каково будет значение ?

Рисунок 19.5. при s = 1,2.

Давайте посмотрим. Будем перебирать простые числа одно за одним. Для простого числа 2 до сдавливания имеем полоску высоты 1, идущую от 2 до бесконечности, далее полоску высоты идущую от 2 ²до бесконечности, затем полоску высоты идущую от 2 ³до бесконечности, и т.д. Сумма площадей сдавленных полосок – если мы рассматриваем пока только простое число 2 – равна (19.4):

Конечно, это пока только 2-полоски. Имеется аналогичная бесконечная сумма интегралов для 3-полосок (19.5):

И аналогичная сумма для 5, потом для 7 и т.д. для всех простых чисел. Бесконечная сумма бесконечных сумм интегралов! Все хуже и хуже! Да, но самый густой мрак перед рассветом.

Это возвращает нас к началу данного раздела. Поскольку интеграл прозрачен для умножения на число ,

 —это то же самое, что . Но в начале раздела мы видели, что член, который мы в качестве пробного выбрали в выражении (19.3), т.е. , равен – другими словами, sумножить на то, что мы только что получили. Так к чему же сводится выражение (19.5)? Вот именно, в точности ко второй строке в выражении (19.3), деленной на s! А выражение (19.4)плюс выражение (19.5)плюс аналогичные выражения для всех остальных простых чисел суммируются к выражению (19.3), деленному на s. Вот и рассвет! Получается, что штука, с которой я тут забавляюсь, т.е. , равна просто выражению (19.3), деленному на s. Но выражение (19.3)равно ln  ζ(z), как нам подсказывает Золотой Ключ. Отсюда получается следующий результат.

Золотой Ключ (аналитический вариант) (19.6)

Я просто не нахожу слов, чтобы выразить, насколько это чудесный результат. Он ведет прямо к центральному результату в работе Римана – результату, который будет предъявлен в главе 21. На самом деле это просто переписывание Золотого Ключа в терминах анализа. Однако переписать его так – это невероятно мощное достижение, потому что теперь Золотой Ключ открыт для всех мощных средств дифференциального и интегрального исчисления XIX века. В этом состояло достижение Римана.

Среди упомянутых средств обращения имеется еще один метод, который позволяет вывернуть полученное выражение наизнанку и записать Jчерез ζ. Я немного потяну с предъявлением обращенного выражения. Но логика во всяком случае ясна:

• можно выразить π(x)через J(x)(раздел IV данной главы);

• обратив выражение (19.6), можно выразить J(x)через дзета-функцию

и, следовательно,

• можно выразить π(x)через дзета-функцию.

Именно за это предприятие Риман и взялся, потому что в результате окажется, что все свойства функции πнекоторым образом закодированы в свойствах ζ-функции.

Функция πотносится к теории чисел; ζ-функция относится к анализу, и мы перебросили понтонный мост через пролив, разделяющий два берега – счет и измерение. Коротко говоря, мы только что получили мощный результат в аналитической теории чисел. На рисунке 19.6 графически представлено выражение (19.6) – Золотой Ключ в аналитическом виде.

Рисунок 19.6.Затемненная область представляет собой интеграл при s= 1,2. Его численное значение составляет 1,434385276163. Он равен ¹/ _s ∙ln  ζ(s).

Глава 20. Риманов оператор и другие подходы

I.

Закон Монтгомери-Одлыжко утверждает, что нетривиальные нули дзета-функции Римана выглядят – имеется в виду статистически – как собственные значения некоторой случайной эрмитовой матрицы. Операторы, представляемые такими матрицами, можно использовать для моделирования определенных динамических систем в квантовой физике. А имеется ли при этом оператор Римана – оператор, собственные значения которого в точности совпадают с нулями дзета-функции? Если да, то какую динамическую систему он представляет? Удастся ли создать такую систему в физической лаборатории? И если удастся, то поможет ли это в доказательстве Гипотезы?

Эти вопросы активно изучались еще до выхода статьи Одлыжко 1987 года. За год до того Майкл Берри опубликовал статью под заглавием «Дзета-функция Римана: Модель квантового хаоса?». Используя ряд хорошо известных и широко обсуждавшихся в то время результатов (и среди них некоторые результаты Одлыжко), Берри обратился к следующему вопросу. Предположим, что риманов оператор существует; тогда динамическую систему какого типа он бы моделировал? Ответ, который он предложил, – хаотическую систему. Чтобы объяснить это, нам надо ненадолго переключиться на знакомство с теорией хаоса.

II.

Тот факт, что чистая теория чисел – наука о натуральных числах и их взаимоотношениях – может соотноситься с субатомной физикой, вовсе не удивителен. В квантовой физике арифметическая составляющая выражена намного сильнее, чем в классической физике, поскольку основополагающая идея состоит в том, что материю и энергию нельзя делить до бесконечности. Энергия передается только в виде 1, 2, 3 или 4 квантов, но никак не 1 ¹/ ₂, 2 ¹⁷/ ₅₂, √2 или πквантов. Это, конечно, далеко не все, что есть в квантовой механике; ее саму невозможно было бы разработать без наиболее мощных средств самого современного анализа. Например, знаменитое волновое уравнение Шредингера записывается на традиционном языке дифференциального исчисления. Тем не менее арифметическая составляющая в квантовой механике несомненно присутствует, тогда как в классической механике ее практически вовсе нет.

Основания классической физики – физики Ньютона и Эйнштейна – по сути своей аналитические, в математическом смысле. Они опираются на математический анализ, на понятия бесконечной делимости, гладкости и непрерывности, предела и производной, а также вещественных чисел. Не будем забывать, что, именно развивая и доводя понятие «предела» до логического конца, Ньютон и изобрел дифференциальное и интегральное исчисление, в конце концов ставшее содержанием большей части анализа.

Рассмотрим классическую задачу о движении одного тела вокруг другого по эллиптической орбите под действием силы их взаимного гравитационного притяжения. На некотором расстоянии (измеряемом вещественным числом r) от основного тела другое тело (спутник) имеет некоторую строго определенную скорость (выражаемую другим вещественным числом v). Связь между vи rдается точным математическим выражением; vесть в действительности функция от r, выражаемая так называемым уравнением vis viva [179]179
  Уравнение живой силы – термин из истории механики. В современной русской научной литературе он мало распространен, и в переводе оставлено оригинальное латинское название. Данное уравнение выражает собой закон сохранения энергии при орбитальном движении. Здесь M– произведение гравитационной постоянной на массу того тела, вокруг которого обращается спутник, r– расстояние до фокуса, а a– главная полуось орбиты. (Примеч. перев.)


[Закрыть], знакомым всем, кто изучал элементарную небесную механику:

где Mи a– некоторые заданные числа, определяемые параметрами системы и начальными условиями – в частности, массами тел и т.п.

На практике, конечно, нельзя достичь бесконечной точности, требуемой для того, чтобы присвоить определенные вещественные значения величинам rи v.Пусть даже мы измеряем rс точностью до 10 или даже 20 знаков после запятой; но ведь для точного выражения вещественного числа требуется бесконечно много десятичных разрядов, а добиться такого мы не можем. Следовательно, для любой реальной орбиты имеется некоторая, пусть очень малая, ошибка при определении вещественных значений буквы r, а также соответствующая ошибка в вычисленных значениях буквы v. Это не играет большой роли: законы Кеплера уверяют нас, что все равно получится правильный эллипс, а математика уравнения vis vivaговорит, что ошибка в 1 процент при определении r, как правило, приведет лишь к 0,5-процентной ошибке при вычислении значений v.Таким образом, ситуация управляема и предсказуема. Как говорят математики, «задача интегрируема».

Но это была очень простая задача. Почти все реальные физические проблемы сложнее, чем эта. Рассмотрим, например, случай трех тел, испытывающих взаимное гравитационное притяжение, – знаменитую «задачу трех тел». Можно ли найти ее решение в замкнутом виде, как для уравнения vis viva? Интегрируема ли она?

К концу XIX столетия стало ясно, что ответы таковы: «нет, не можем» и «нет, задача неинтегрируема». Единственный способ получить решение – использовать численные расчеты на компьютере, которые неизбежно носят приближенный характер.

На самом деле в 1890 году Анри Пуанкаре опубликовал статью, внесшую ясность в задачу трех тел: он четко показал, что эта задача не только не допускает решения в замкнутом виде, но и обладает куда более тревожным свойством – ее решения временами приобретают хаотический характер. Это значит, что даже малейшие изменения начальных условий в задаче – аналогов величин Mи aв рассмотренном примере задачи двух тел – могут привести к изменению вычисленных орбит до неузнаваемости. Сам Пуанкаре заметил, что один набор условий дает «орбиты столь запутанные, что я даже и не пытался их изобразить».

Согласно распространенному мнению, работа Пуанкаре знаменует собой рождение современной теории хаоса. В течение нескольких десятилетий в теории хаоса не происходило ничего особенного, главным образом потому, что у математиков просто не было средств для обращения с числами – средств для перемалывания чисел в масштабах, требуемых при анализе хаоса. Ситуация изменилась, когда стали доступными компьютеры, и теория хаоса пережила второе рождение в 1960-х годах в трудах метеоролога Эда Лоренца, работавшего в Массачусетсом технологическом институте. [180]180
  Хотя слово «хаос» и не применялось к этим теориям, пока физик Джеймс Йорк не ввел его в оборот в 1976 г. Бестселлер Джеймса Глейка 1987 г. «Хаос. Создание новой науки» остается лучшим введением в теорию хаоса для простых людей… если не считать пьесы Тома Стоппарда «Аркадия» 1993 г. (Русский перевод книги Глейка вышел в 2001 г. в издательстве «Амфора». – Примеч. перев.)


[Закрыть]Теория хаоса в настоящее время представляет собой обширный предмет, охватывающий много различных более частных дисциплин из физики, чистой математики и вычислительной математики.

Важно осознать, что такая хаотическая система, как решение задачи трех тел, не обязана состоять из случайных движений (и, как правило, из них и не состоит). Прелесть теории хаоса заключается в том, что в хаотических системах присутствуют определенные структуры. В общем случае хаотическая система никогда не проходит снова по раз пройденным положениям, однако она повторяющимся образом воспроизводит указанные структуры; в их основе лежат некоторые правильные, но неустойчивые периодические орбиты, по которым система теоретическимогла бы двигаться, если бы нам была доступна бесконечная точность, требуемая для запуска системы именно и абсолютно точно по такой орбите.

III.

При первом появлении современной теории хаоса физики восприняли ее как чисто классический предмет, не имеющий никакого отношения к квантовой теории. Хаос возникает из явлений, подобных тем, какие происходят в задаче трех тел, вследствие того, что начальные условия задаются вещественными числами, числами для измерения, которые можно дробить до бесконечности; их можно изменить на 1 процент, или на 0,1 процента, или на 0,001 процента… Поскольку условия можно варьировать бесконечно, возникает бесконечно много возможных вариантов движения системы. В квантовой же теории, наоборот, начальные условия можно варьировать на 1, 2 или 3 единицы, но не на 1 ¹/ ₂или 2,749. Получается так, что в квантовой теории для хаоса «не должно быть места». Верно, что в квантовой механике имеется некоторая степень неопределенности, но управляющие всем уравнения тем не менее линейны. Малые возмущения приводят к малым последствиям, как это имеет место и для классического уравнения vis vivaв задаче двух тел.

И все же в динамических системах квантового масштаба можно наблюдать некоторую степень хаоса. Упорядоченную структуру уровней энергии для электронов на орбите вокруг атомного ядра, например, можно «взболтать», приведя в нерегулярное состояние путем наложения достаточно сильного магнитного поля. (Это, кстати, одна из динамических систем, моделируемых операторами ГУА.) После этого поведение атома становится хаотичным – оно будет радикально другим уже при самом легком изменении начальных условий.

Однако даже если такие системы с квантовым хаосом и сохраняют свое существование в течение некоторого времени, то законы квантовой механики в конце концов приводят их к порядку, отфильтровывая весь хаос. Число разрешенных состояний уменьшается; число запрещенных растет. Чем больше и сложнее система, тем большее время занимает восстановление порядка за счет квантовых законов и тем больше число разрешенных состояний… пока, уже на масштабе нашего обычного мира, утверждение квантового порядка не станет занимать триллионы лет, а число разрешенных состояний не достигнет столь большой величины, что его спокойно можно будет считать бесконечным. Поэтому в классической физике и имеется хаос.

Еще в 1971 году физик Мартин Гутцвиллер [181]181
  Лауреат медали имени Макса Планка 2003 г. за развитие квантовой теории металлов. (Примеч. перев.)


[Закрыть]нашел способ связать хаотические системы в классическом масштабе с подобными системами в квантовом мире путем взятия предела в уравнениях квантовой механики, когда квантовый множитель – постоянная Планка – стремится к нулю. Таким образом получается «квазиклассическая» система, а периодические орбиты, лежащие в основе классических хаотических систем, отвечают собственным значениям оператора, задающего эту систему.

Майкл Берри показал, что если риманов оператор существует, то он моделирует одну из этих квазиклассических хаотических систем, причем его собственные значения – мнимые части нулей дзета-функции – являются уровнями энергии этой системы. Периодические орбиты в аналогичной классической хаотической системе отвечали бы… – простым числам! (Строго говоря, их логарифмам). Кроме того, он показал, что у этой квазиклассической системы не было бы свойства «симметрии относительно обращения времени» – другими словами, если представить себе, что все скорости всех частиц в системе мгновенно и одновременно заменяются на противоположные, то система невернется к своему начальному состоянию. (Хаотические системы могут допускать, а могут и не допускать обращение времени. Те, которые его допускают, моделируются не операторами типа операторов ГУА, а операторами другого вида, принадлежащими другому ансамблю – ГОА, т.е. гауссову ортогональному ансамблю.) Работа Берри (в значительной ее части – в сотрудничестве с его коллегой из Бристоля Джонатаном Китингом) представляет собой тонкое и глубокое исследование. Например, он очень детально проанализировал формулу Римана-Зигеля с целью глубоко проникнуть в природу нулей и их влияния друг на друга на различных отрезках их существования. На момент написания книги он пока не отождествил динамическую систему, отвечающую оператору Римана, но если такой оператор существует, то благодаря его работе мы распознаем его немедленно, как только он попадется нам на глаза. ^{A5}

IV.

Альтернативный подход развил другой исследователь – Ален Конн, профессор математики из парижского Коллеж де Франс. Вместо того чтобы выискивать, оператор какого типа мог бы иметь своими собственными значениями нули дзета-функции, он просто взял и построил такой оператор.

Это потребовало немалой ловкости. Оператор необходимо снабдить чем-то, на что он может действовать. Операторы того типа, о которых говорилось выше, действуют на пространствах.Плоское двумерное пространство может послужить иллюстрацией общего принципа, если в качестве наглядного пособия взять лист миллиметровки, хотя при этом и придется представлять себе, что он продолжается по всем направлениям до бесконечности. Предположим, что мы повернули это пространство на 30 градусов против часовой стрелки, так что каждая точка в нем тем самым переместилась в некоторую другую точку (за единственным исключением точки, вокруг которой происходит вращение, – она-то остается на месте). Это вращение дает пример оператора.Характеристический многочлен этого конкретного оператора имеет вид x ²− √3 x+ 1 [182]182
  Чтобы у читателя не возникало ощущение систематического надувательства, стоит, возможно, заметить, что, например, √3 в характеристическом многочлене – это котангенс 30 градусов, т.е. угла поворота. (Примеч. перев.)


[Закрыть], а собственные значения равны ¹/ ₂√3 + ¹/ ₂ iи ¹/ ₂√3 − ¹/ ₂ i.

При желании для описания каждой точки в нашем пространстве можно ввести систему координат: для этого надо провести горизонтальную ось xи вертикальную ось y, пересекающиеся в точке вращения, и, как обычно, отложить расстояния в дюймах или сантиметрах вдоль этих осей. Тогда можно заметить, что наш оператор вращения отправляет точку (x, y)в новую точку с другими координатами – которые в действительности равны ( ¹/ ₂√3 x+ ¹/ ₂ y, ¹/ ₂√3 x− ¹/ ₂ y). Для оператора самого по себе это, впрочем, большого значения не имеет – оператор существует и отправляет точки на плоскости в новые точки независимо от какой бы то ни было системы координат. Вращение остается вращением, даже если мы забыли нарисовать пару осей.