Текст книги "Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 9 страниц)

Мало того, к синтаксическим ограничениям, которые открыл Гёдель, присоединилось другое ограничение – семантическое, формальных систем первого порядка: теорема, сформулированная Леопольдом Лёвенгеймом (1878-1957) и Туральфом Скулемом (1887-1963) около 1920 года (Скулем вернулся к ней в 1933 году). В 1930 году в рамках своего доказательства полноты логики первого порядка Гёдель мимоходом доказал, что любая непротиворечивая теория первого порядка имеет модель, в которой аксиомы проверяются, хотя и ничего не добавил о том, какие характеристики имеет эта модель и как ее построить. Лёвенгейм и Скулем до этого заметили, что любая непротиворечивая формальная система первого порядка имеет, по сути, счетную модель. Это порождает парадокс Скулема: если ZF непротиворечиво, то оно обладает счетной моделью. То есть несчетный континуум, которым мы намереваемся оперировать в ZF, может относиться к счетному множеству вне ZF. Теория действительных чисел, от которой мы ждем знакомой несчетной модели («настоящие» действительные числа), также имеет счетную модель.

ТЕОРЕМА ТАРСКОГО О НЕВЫРАЗИМОСТИ ИСТИНЫ

Альфред Тарский (1902-1993) считал себя лучшим из живущих математических логиков с ясным умом (чтобы избежать сравнения с Гёделем, страдавшим маниями и навязчивыми идеями).

В 1939 году этому польскому ученому удалось переехать в США и на несколько десятилетий превратить университет Беркли в мировую столицу математической логики. Он любил работать ночью и увлекался психотропными средствами, которые помогали ему бодрствовать и трудиться без устали, а также имел репутацию Казановы.

Тарский знаменит тем, что в 1933 году опубликовал огромную статью, в которой дал формальное определение истине и таким образом обозначил начало теории моделей. Если Гильберт в своей теории доказательства прояснил синтаксическое понятие формального доказательства, Тарский сделал то же самое с семантическим понятием истины.

Альфред Тарский, 1968 год.

Еще одна ограничительная теорема

В 1933 году, через два года, после того как Гёдель объявил о двух результатах о неполноте, Тарский извлек на свет другую ограничительную теорему, хотя она уже была провозглашена и доказана Гёделем в письме Цермело, датированном 1931 годом. В этой ограничительной теореме установлено, что любая формальная теория первого порядка, содержащая базовую арифметику, неспособна (если она непротиворечива) выразить свое собственное понятие истины. Интересные непротиворечивые теории не могут содержать выражения «быть истинным» в своем языке, поскольку в этом случае они породили бы парадокс лжеца. С помощью гёделизации можно воспроизвести формулу Г, которая утверждает о самой себе, что она ложная. Воспользовавшись выражением «быть истинным», которое, предположительно, существует в языке, мы придем к следующему противоречию: Т истинное тогда и только тогда, если оно ложное, поскольку именно это утверждает Т. Как в случае с лжецом: я говорю правду, если я лгу. Без сомнения, математические логики сумели применить цикличность, лежащую в основе парадоксов, с большой пользой.

ENTSCHEIDUNGSPROBLEM, ИЛИ ПРОБЛЕМА РАЗРЕШЕНИЯ

На IX Международном конгрессе математиков, проходившем в 1928 году в Болонье, Гильберт воспользовался случаем, чтобы предложить свой план по спасению математики и обозначить следующий вопрос: существует ли механическая процедура, которая решала бы все и каждую проблему математики, алгоритм, способный принципиально разрешить все математические вопросы, который при заданной математической пропозиции дал бы нам знать, является она теоремой или нет? Другими словами, является ли она разрешимой в математике? Как и на вопросы непротиворечивости и полноты, ответ на нее был отрицательным. После теорем Гёделя стало ясно, что ответ на эту проблему – категорическое «нет», поскольку математика является неполной: предполагаемый алгоритм в течение бесконечного времени «думал» бы над неразрешимым высказыванием, поскольку ни оно, ни его отрицание не являются теоремой. Следовательно, ответ на проблему разрешения оставалось дать только для логики первого порядка, которая, напомним, является полной. Однако в 1936 году Алан Тьюринг (1912-1954) и независимо от него Алонзо Чёрч (1903-1995) доказали, что логика первого порядка также неразрешима.

Тезис Чёрча – Тьюринга

Для начала Тьюринг сформулировал, что означает думать как машина, механически. Его первая победа заключалась в определении понятия вычислимой функции: это функция, которую способна вычислить машина Тьюринга – вид компьютера без ограничений в пространстве или времени. Одновременно, по другую сторону Атлантического океана, Чёрч пришел к аналогичным выводам, разработав формальную систему, которую назвал лямбда-исчислением. С тех пор под названием тезиса Чёрча – Тьюринга известен постулат, утверждающий, что любое альтернативное определение вычислимости равносильно определению, данному Тьюрингом в терминах его машин. Прибегнув к изобретательному варианту диагонального аргумента Кантора, Тьюринг доказал, что существует намного больше функций, чем машин Тьюринга. Другими словами, существуют невычислимые функции.

Исчислимые функции, как и машины Тьюринга, имеются в счетном количестве, то есть они как иголки в стоге сена всех функций.

Наконец, рассмотрев проблему остановки, он предложил отрицательный ответ на вопрос Гильберта – Entscheidungsproblem: если бы существовала эта процедура, она также была бы способна определить за конечное время, останавливается любая машина Тьюринга через конечное число шагов или входит в бесконечную петлю, когда на входе вводятся некоторые данные. Но последнее, как он доказал, невозможно. Не существует алгоритма, способного получить на входе логическое или математическое высказывание и выдать на выходе: «теорема» или «не теорема» (хотя свойство выводимости действительно разрешимо в ограниченной логике пропозиций).

Сланцевая статуя и портрет Алана Тьюринга в музее Блетчли-Парка.

Это означает, что теории первого порядка не могут контролировать кардинальное число своих моделей. Так, например, если сформулировать аксиомы арифметики Пеано в логике второго порядка (неполной), то они категориальны (то есть все их возможные модели изоморфны, имеют одно и то же кардинальное число), но если сформулировать их в логике первого порядка (полной), то мы расплачиваемся тем, что теряем категориальность. Появятся стандартная и нестандартная модели натуральных чисел. Скупость логика имеет свою цену.

Вскоре Гёдель предположил, что континуум-гипотеза Кантора, которую в 1925 году Гильберт считал почти доказанной на основе выведенной из его теории доказательства изящной техники, была примером неразрешимого высказывания в привычной теории множеств. В 1938 году, ограничиваясь подмножеством конструктивных множеств, Гёдель доказал: невозможно доказать, что она ложная в ZFC. И обратно, в 1963 году Пол Коэн (1934-2007), использовав метод форсинга, доказал: также невозможно доказать, что она истина в ZFC. Гёдель и Коэн построили модели, в которых гипотеза истинна и ложна соответственно. Так что ни утверждение, ни отрицание континуум-гипотезы недоказуемо. То же самое происходит с аксиомой выбора, непротиворечивость и независимость которой относительно остальных аксиом также доказали оба математика. Следовательно, статус аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории множеств аналогичен статусу аксиомы параллельных прямых в геометрии. Рай Кантора – не единственный доступный рай теории множеств.

Программа Гильберта выбыла с поля боя после двух ударов, полученных от Гёделя. Как первая, так и вторая проблемы знаменитого списка из 23 проблем Гильберта в итоге оказались решены, хотя и способом, который в 1900 году было трудно вообразить. В математике истинное не совпадает с доказуемым. Аксиом и правил выведения, которые Гильберт поставил во главу угла, было недостаточно, чтобы вывести все математические теоремы, при этом можно представить себе пропозиции истинные, но невыводимые в формальной системе классической математики. «Арифметика непротиворечива» – вот пример этого типа неразрешимых пропозиций. Гильберт, узнав о теоремах Гёделя спустя несколько дней (благодаря Бернайсу), попытался спасти часть своей программы, позволив использование нефинитных методов для доказательства непротиворечивости математики. Но эти методы совсем не очевидны. Гильберт и его команда походили на пастухов, которые построили убежище, чтобы защитить стадо от волков, но не могли быть уверены в том, что внутри нет ни одного волка.

БАЛАНС: ТРЕЩИНЫ ФОРМАЛИЗМА

Несмотря на то что скептические сомнения так и не были устранены, классическая математика все же чувствовала себя неплохо. Твердость и энтузиазм Гильберта смогли поддерживать курс большого корабля математики. С точки зрения обоснования математики формализм был отправлен в нокаут, но в отношении философии математики выиграли по очкам.

Часто говорят, что платоническая позиция лучше всего характеризует отношение математика к сути этой дисциплины. Математик верит в реальность математических объектов. Но, конечно, когда философы начинают одолевать его своими вопросами, он бежит и прячется под юбкой формализма и заявляет: «Математика – всего лишь сочетание знаков, лишенных значения, красивая игра формул, еще интереснее, чем шахматы». Но при этом ее отношение к их реальному значению скрыто сумерками: если нужна точность, надо исключить любое значение; но если нужно, чтобы математика имела смысл, нужно отказаться от точности. Для строгого формалиста любая математическая теория – всего лишь сочетание знаков, не имеющих значения, как иероглиф, лишенный смысла. Большинство математиков являются платонистами по будням, пока работают с теоремами, пропозициями и выводами, и становятся формалистами по выходным, когда оставляют работу и беседуют с философами.

Хотя ясно, что Гильберт был формалистом в рамках области оснований математики, нельзя утверждать, что он оставался им в отношении общей концепции науки. Для немецкого математика она не имеет ничего общего с произвольностью игры. Здесь скорее закрытая подкрепленная внутренней необходимостью концептуальная система, в которой новым идеям всегда соответствуют новые знаки и манипуляции.

В итоге формализм оказался самым сильным течением, хотя его стремление к надежной математике, расцениваемой как наука о формальных системах, разбилось о теоремы Гёделя. И ошибка представителей этого течения, как и других, заключается в предположении, что науки базируются на своих собственных основаниях.

Во время кризиса оснований не было речи об опасности обрушения многовекового здания математики. Довольно распространенный миф заключается в том, что логико-формальные решения поддержали руины, потому что математика продолжала развиваться и никто не заметил трещин. Но все-таки она переживала золотой век с его блестящими достижениями (теория меры, функциональный анализ, топология...). А неудачно названный кризис оснований, который намечался только в области логики и теории множеств, был скорее кризисом методов, который обновил подход к математике.

Гильберт был чемпионом по аксиоматике, сторонником аксиоматического метода не только в математике, но и в науке в целом. Под его покровительством этот метод распространился от корней до кроны математического дерева. Но, оставив в стороне брешь, обнаруженную Гёделем, следует сказать, что аксиоматизм Гильберта не сочетается с рутиной математика – с тем, с чем он сталкивается постоянно.

Если мы посмотрим на математика за работой, поскольку статьи – всего лишь продукты его деятельности, то удивимся, сколько неформальных рассуждений он выдает. Что доказывают ограничительные теоремы Гёделя или Тарского для математика в действии? Что математика – слишком крупный кролик для того, чтобы вытащить его из столь маленького цилиндра аксиоматической системы, каким бы ловким ни был этот фокусник Гильберт. Более того, аксиоматика возможна, только если ей предшествовала фаза работы с моделью, то есть аксиомы чисел могут быть сформулированы, если уже есть некоторое представление о том объекте, с которым мы имеем дело. Генетический метод предшествует аксиоматическому, и замена первого вторым предполагает похищение честно заработанного (аксиоматика немедленно присваивает себе все построенное).

Могила Гильберта в Гёттингене. У основания памятника высечена знаменитая фраза «Мы должны знать. Мы будем знать».

Альфред Тарский и Курт Гёдель в Вене в 1935 году. Своими ограничительными теоремами оба поспособствовали разрушению возведенной Г ильбертом конструкции математики.

Давид Гильберт, 1930-е годы. 

БУРБАКИ

После Второй мировой войны ультраформалистская концепция математики сформировалась в виде бурбакизма. Группа молодых французских математиков (Андре Вейль, Анри Картан, Жан Дьёдонне и другие) собралась в 1935 году и решила назвать себя именем потерпевшего поражение французского генерала Бурбаки, поскольку еще в университете один шутник-студент, учившийся на курс старше, подбросил им неверные теоремы, носящие имена известных генералов. Коллектив Бурбаки подписывался под многочисленными докладами и монографиями и считал себя настоящим интеллектуальным наследником Гильберта. Под лозунгом «Долой Евклида!» Бурбаки представлял математику в абстрактном и чистом виде, который выкристаллизовался в виде высокоаксиоматичной работы «Элементы математики». Эта традиция представлять математику как подарок небес, лишенный любой земной неточности, в течение 1970-1980-х годов оказывала влияние на преподавание абстрактной теории множеств в средних школах Европы.

Собрание Бурбаки, 1938 год. Слева направо: С. Вейль, Ш. Пизо, А. Вейль, Ж. Дьёдонне, К. Шаботи, Ш. Эресманн и Ж. Дельсарт.

Даже логические аксиомы и аксиомы теории множеств были получены как результат анализа неформальных доказательств. Кроме того, когда обычный математик рассуждает о континууме действительных чисел, он никогда не думает о нестандартных (счетных) моделях континуума (они существуют, если работать аксиоматически в рамках ZFC, и для заядлого формалиста они столь же справедливы, как и стандартная модель). С точки зрения специалиста в области анализа или топологии, для которого континуум – это операционная реальность, существование счетных моделей означает просто бедность формального языка как средства подражания неформальным рассуждениям. Несмотря на яркость метафоры, введенной Гильбертом, математика – это не здание или храм, она больше похожа на город с его проспектами, кварталами, новостройками и опустевшими домами, огороженными под снос.

ГИБЕЛЬ БОГОВ

С приходом Гитлера к власти в 1933 году Людвиг Бибербах (присоединившийся к нацистской партии) встал во главе математики в Германии, продвигая «арийскую, или немецкую», математику (Deutsche Mathematik). Теория относительности была отвергнута как еврейское мошенничество. Та же участь постигла теорию множеств – вероятно, из-за использования в ней еврейского алфавита для обозначения трансфинитных кардинальных чисел (хотя также сыграло роль то, что Бибербах был сторонником Брауэра в Берлине). Еврейским преподавателям было запрещено вести занятия, и одного за другим их сняли с должностей.

Математический институт в Гёттингене быстро сдал позиции, и его международный престиж был утрачен, к большому огорчению Гильберта. Герман Вейль – любимый ученик, который сменил его на кафедре, – был вынужден эмигрировать, поскольку его жена была еврейкой по происхождению, и в итоге он присоединился к Альберту Эйнштейну и Курту Гёделю в Институте перспективных исследований в Принстоне. Рихард Курант был отстранен от работы и обосновался в Нью-Йоркском университете. Бернайс вернулся в Швейцарию.

Гильберт был обескуражен новой политической ситуацией в Германии. Как-то он спросил у Блюменталя, своего первого аспиранта, какой курс тот читает, и услышал в ответ, что ему больше не разрешено вести занятия. Старик был ужасно возмущен. Когда на банкете его усадили рядом с новым министром образования и тот спросил: «Как в Гёттингене с математикой теперь, когда его очистили от еврейского влияния?», Гильберт парировал: «Математика в Гёттингене? Но ведь ее уже нет!»

С началом Второй мировой войны все стало еще более мрачным. Блюменталь эмигрировал в Нидерланды, однако немцы захватили эту страну в 1940-м и его арестовали. Он умер в том же году в печально известном лагере Терезиенштадт, что на территории современной Чехии. Феликс Хаусдорф, который написал первый учебник по теории множеств, покончил жизнь самоубийством, когда узнал, что ему и его семье предстоит депортация в концентрационный лагерь. Другие, например Банах, выжили, но серьезно пострадали физически, работая «кормителями вшей» в возглавляемом немцами бактериологическом институте, где исследовался тиф.

Давид Гильберт умер в Гёттингене 14 февраля 1943 года под рев орудий. На похоронах ученого присутствовали менее дюжины человек. Но сегодня живы слова, ставшие его эпитафией: Wir müssen wissen. Wir werden wissen – «Мы должны знать. Мы будем знать».

Список рекомендуемой литературы

Almira, J.M. y Sabina dk Lis, J.C., Hilbert. Matemdtico fundamental, Madrid, Nivola, 2007.

Bell, E.T., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza, 1996.

Fresan, J., El sueno de la razon. La logica matemdtica у susparadojas, Barcelona, RBA, 2010.

Grattan-Guinness, I. (ed.), Delcdlculo a la teoria de conjuntos, Madrid, Alianza, 1984.

Gray, J.J., El reto de Hilbert, Barcelona, Critica, 2003.

Hilbert, D., Fundamentos de las Matemdticos, Mexico D.F., UNAM, 1993.

Kline, M., Matemdticos: la perdida de la certidumbre, Madrid, Siglo XXI, 1998.

Mancosu, P. (ed.), From Brouwer to Hilbert. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, 1998.

Mosteri'n, J., Los logicos, Madrid, Espasa-Calpe, 2000.

Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx, Madrid, Katz Barpal Editores, 2006.

Reid, C., Hilbert, Nueva York, Springer Verlag, 1970.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008.

Torretti, R., El paraiso de Cantor, Santiago de Chile, Editorial Universitaria, 1998.

Указатель

Entscheidungsproblem, или проблема разрешения 160, 161

ignorabimus 52, 53

Pnncipia mathematica 121-122, 156

Аккерман, Вильгельм 13, 111, 141, 149, 150, 152

аксиома

выбора 126, 128, 130, 131, 141, 162

параллельных прямых 28, 29, 31, 32, 36, 38, 42, 44, 162

анализ 8-11, 18, 26, 35, 44, 46, 50, 53, 56, 60, 61, 65, 69, 72, 77, 80, 81, 92-96, 101, 104, 106, 107, 112, 114, 130, 131, 137, 138, 147-149, 155, 164, 167

Банах, Стефан 98, 132, 168

Бернайс, Пауль 13, 111, 113, 128, 141, 150, 153, 158, 162, 168

бесконечность 11, 29, 93-95, 105, 107, 109, 112, 121, 124, 126-128, 134, 136, 137, 147, 151-154, 160, 161

актуальная 152

Бибербах, Людвиг 59, 167

Блюменталь, Отто 65, 67, 168

Бойяи, Янош 31-32, 85

Борн, Макс 99, 102, 103

Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 11, 109, 131-137, 139-143, 148, 167

Бурбаки 166

вариационное исчисление 13, 60, 61, 63, 79, 72, 79-83, 88, 90, 94

Варинга гипотеза 85

Вейерштрасс, Карл 17, 67, 79, 83, 114

Вейль, Герман 64, 67, 102, 123, 138, 139-140, 142, 143, 167

Гаусс, Карл Фридрих 7, 8, 12, 18, 23, 24, 31, 32, 35, 39, 43, 65, 71, 78, 87, 134, 136

Гейзенберг, Вернер 99, 100, 102, 103, 104, 108

Гейтинг, Аренд 136, 138, 154

геометрия

евклидова 18, 28, 30-36, 40, 42-45, 89, 95, 112

неевклидова 15, 18, 26, 28-34, 38, 40, 42-44, 46, 87

Герц, Генрих Рудольф 41, 56, 71

Гёдель, Курт 9, 11, 13, 42, 53, 62, 112, 113, 138, 145, 150, 154– 162, 164, 165, 167

теорема о полноте 37, 150, 158, 160

теоремы о неполноте 11, 42, 154, 156, 158, 159

Гёттингенский университет 9, 13, 19, 24, 35, 39, 49, 55, 65, 67, 71, 72, 84, 88, 90, 93, 99, 100, 103, 111, 121, 127, 142, 153, 167, 168

Гильберта

бесконечный отель 121

кривая 133

проблемы 53, 57, 62, 64, 65, 82, 100, 162

программа 140, 145, 147, 150, 153, 154, 162

гильбертово пространство 10, 69, 93-97, 106-108

Гордан, Пауль 19-22, 45, 142

Гордана проблема 13, 15, 19, 22

Дедекинд, Рихард 37, 114, 117, 124, 126, 138, 143

Ден, Макс 54, 62, 67

Дирак, Поль 103-107

Дирихле, Петер Густав Лежён 77

проблема 13, 77-79, 82, 83, 93

доведение до абсурда 20, 21, 136, 137

доказательство 8, 20-22, 24-26, 28, 41, 52, 57, 61, 102, 114, 125, 128, 134, 141, 142, 149-152, 154, 156-159, 161, 167

конструктивное 12, 20, 22, 112, 135, 136, 138, 142

экзистенциальное 12, 20, 22, 112, 136, 141, 142

Евклид 7, 21, 25-28, 31, 32, 35-37, 44, 142, 166

инварианты 13, 19, 20, 22-24, 35, 49, 85

интуиционизм 11, 132-143, 147, 154, 163

истина 8, 27, 38, 41-44, 52, 53, 112, 116, 120, 122, 123, 134, 135, 136, 142, 145, 150, 151, 154, 155-159, 162-163

Кант, Иммануил 7, 17, 35, 43, 132, 134, 137, 139

Кантор, Георг 11, 24, 43, 53, 112– 114, 124-127, 129, 130, 133, 136, 137, 141, 143, 161, 162 категориальность 161

квантовая механика 10, 13, 62, 65, 69, 72, 83, 92-94, 98-100, 103-108

класс 113, 116-119, 122, 123, 127-129

Клейн, Феликс 13, 19, 21, 22, 24, 30, 40, 50, 55, 60, 67, 71, 84, 91, 131

континуум-гипотеза 10, 53, 60, 62, 126, 130, 149, 161, 162

Коэн, Пол 62, 161, 162

Кронекер, Леопольд 17, 20, 58, 63, 67, 127, 132, 136, 137, 139, 142, 143, 147

Лобачевский, Николай 31, 32

логицизм 11, 109, 115, 118, 121, 134, 141, 153, 163

Международный конгресс математиков

1897 г., Цюрих 50

1900 г., Париж 9, 13, 47, 49, 51, 60, 71, 72, 140, 147, 156

1904 г., Гейдельберг 147

1928 г., Болонья 91, 160

Минковский, Герман 9, 13, 18, 24, 50, 55, 71, 85-87, 89, 96, 97, 139

множество

кардинальное число 124, 127

несчетное 124, 125, 129, 137, 160

счетное 124-126, 129, 137, 138, 158, 160, 161, 167

независимость 38, 40, 42, 162

Нейман, Джон фон 9, 62, 72, 95, 97, 106-108, 128-129, 152, 154, 155

непротиворечивость 11, 13, 37, 40-42, 54, 61, 62, 141, 147-154, 156, 158, 160, 162

Нордгейм, Лотар Вольфганг 72, 106

оснований кризис 109, 111, 140, 147, 153, 164

«Основания геометрии» 9, 15, 35, 39, 42-46, 71, 148

«Отчет о числах» 26, 35

парадокс 109, 118-124, 127, 128, 129-132, 136, 137, 141, 149, 159

Банаха – Тарского 132

Кантора 127, 128, 129

лжеца 120, 156, 159

Рассела 118, 119, 121, 122, 127-129

Скулема 160

Паш, Мориц 34-36, 41

Пеано, Джузеппе 34, 35, 41, 65, 117, 120, 133, 138, 152, 156, 160

аксиомы 117, 152, 160

платонизм 112, 113, 135, 141, 163

полнота 36. 37, 42, 150, 152-154, 157, 158, 160

принцип

индукции 117, 120, 123, 134, 148, 152, 153

исключенного третьего 136, 142

Пуанкаре, Анри 8, 9, 11, 19, 26, 40, 45, 50-52, 59-61, 63-65, 84-86, 97, 119, 120, 132-135, 139, 148, 152

Рассел, Бертран 11, 109, 118-123, 127-131, 134, 148

Риман, Бернхард 24, 32, 34, 40, 64, 71, 78, 87, 92, 93, 96, 124, 134

Римана гипотеза 10, 57, 61, 62, 64, 94

Робинсон, Джулия 58, 159

Тарский, Альфред 42, 159, 164, 165

теорема о невыразимости 159

теория

множеств 10, 54, 62, 104, 109, 112, 123, 124, 126-128, 136, 137, 141, 149, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168

относительности 13, 69, 71, 72, 83, 84, 86-91, 97, 167

типов 122

чисел 13, 15, 18, 19, 24, 34, 35, 49, 53, 57, 58, 61, 85

Тьюринг, Алан 160, 161

Уайтхед, Альфред Норт 120-123, 148

уравнение

в частных производных 72-77, 82, 100

дифференциальное 18, 59, 60, 61, 63, 72-75, 77, 81, 93, 102, 103

интегральное 13, 69, 72, 73, 92-96, 103, 105-107

потенциала, или Лапласа 75– 77, 82, 93

формализм 11, 13, 36, 86, 94, 107, 108, 132, 134, 138, 141, 147, 154, 156, 162, 163

Фреге, Готлоб 11, 43-46, 109, 115– 120, 123, 134, 143, 149

Хаусдорф, Феликс 130, 168

Цермело, Эрнст 67, 127, 128, 130– 132, 134, 149, 156, 159

Чёрч, Алонзо 160

Шмидт, Эрхард 67, 96, 106

Шрёдингер, Эрвин 100, 102-104, 106, 108

Эйнштейн, Альберт 7, 9, 10, 13, 69, 84, 86-92, 97, 99, 143, 167

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, – гильбертово пространство. Среди коллег этого незаурядного ученого выделяла невероятная харизма, а знаменитые 23 кардинальные проблемы, сформулированные им в 1900 году, предопределили развитие самой дисциплины на десятилетия вперед. Он превратил город Гёттинген в мировую столицу математики, но стал свидетелем того, как его разоряют нацистские зачистки. Знаменитая фраза «Мы должны знать. Мы будем знать», выгравированная на его могиле, передает жажду знаний последнего великого математика-универсала.