Текст книги "Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 9 страниц)

«Никто не может служить двум хозяевам разом: если евклидова геометрия истинна, нужно вычеркнуть неевклидову геометрию из списка наук и поставить ее в ряд с алхимией и астрологией».

Позиция ретрограда помешала ему понять, что для Гильберта аксиомы – всего лишь абстрактные схемы, сформулированные с практической целью как начала математической теории.

Недовольство Фреге возросло, когда тот прочитал, что Гильберт готов называть «точками», «прямыми» и «плоскостями» любые три произвольных множества, которые удовлетворяли его аксиомам, пусть даже это будут столы, стулья и пивные кружки. Фреге считал, что аксиомы касаются реальных вещей и, следовательно, едва ли у них может быть более одной интерпретации. Гильберт парировал в ответном письме:

«Каждая теория – всего лишь набор понятий и некоторых связывающих их отношений, ее базовые элементы могут быть произвольными. Если под точками и прочим я понимаю любую систему вещей, например систему, образованную любовью, законом, щеткой для чистки труб и так далее, и сочту, что для этих вещей все мои аксиомы справедливы, то справедливыми для этих вещей окажутся и мои теоремы, как, например, теорема Пифагора. Другими словами, каждая теория может быть применена к бесконечному числу систем базовых элементов».

Когда Фреге опубликовал пару крупных статей, в которых назвал его шарлатаном, через Алвина Корсельта (1864-1947), Гильберт ответил: «Мы можем озаглавить ее как «пустая и бессмысленная игра знаков» или как-то в этом духе; но как законной связи между пропозициями ей не нужно никакое другое специальное название».

Любопытно, что употребление терминов в аксиомах смутило и Анри Пуанкаре. Французский математик подключился к критике Гильберта, поскольку ему были неприятны те, кто стремился свести математику к чистым формальным отношениям символов. Он написал подробную рецензию, обвинив немца в мошенничестве, поскольку аксиоматический метод не является созидательным. Этот неоригинальный концептуализирующий инструмент маскирует или прячет то, что должен аксиоматизировать. По мнению Пуанкаре, в «Основаниях геометрии» всегда подразумевается евклидова геометрия, хотя Гильберт это и отрицал. Пусть его аксиоматика и претендует на то, чтобы представлять собой ряд скрытых определений, она происходит из уже существующей теории и ограничивается лишь ее реорганизацией. Французский титан вновь потеснил немецкого титана.

Фреге не понял интереса Гильберта к аксиоме полноты линии, или непрерывности прямой, в которой постулируется, что не существует другой большей системы объектов, которая также выполняла бы аксиомы. Философ заявил математику, что это похоже на теологическое заключение на основе аксиомы, которая гласила бы: «Аксиома 3. Существует по крайней мере один Бог». По иронии судьбы Гильберта уже во второй раз обвинили в тяготении к теологии. Однако он был не теологом, а скорее мистиком, поскольку предугадывал будущее математики.

Противостояние Фреге и Гильберта, как и в случае с Горданом, – ключ для понимания отличия математики XIX века от математики XX столетия. Для Фреге математическое существование было связано с тем, какие материальные или идеальные объекты существуют в мире. Раз есть только один мир, должна быть только одна геометрия. Аксиоматические системы изначально были пустыми. Гильберт же, наоборот, считал, что аксиомы не просто кодируют поведение математических объектов, но также могут создавать новые математические объекты, если не вступают в противоречие. Следовательно, в математике есть больше одной геометрии, при этом каждая из них непротиворечива (относительно арифметики).

«Основания» оказались своего рода знаком ферматы над геометрией, открыв путь другим возможным геометриям (неевклидовым, неархимедовым и так далее). Кроме того, они стали первым столпом современной аксиоматики. С 1900 года, взяв на вооружение новый метод, Гильберт начал внедрять аксиоматизацию в другие научные дисциплины. Раз аксиоматика так хорошо себя показала в геометрии, почему бы ее не задействовать в арифметике, анализе или физике?

ГЛАВА 2

Вызов Гильберта

Тень Гильберта покрывает значительную часть математических дисциплин XX века. Когда 8 августа 1900 года он взошел на трибуну II Международного конгресса математиков и взял слово, он предвидел, с какими задачами столкнется математика, и свел их к 23 проблемам, чем решительно повлиял на развитие этой дисциплины. Он поднял завесу, скрывающую будущее математики.

Шел 1900 год, начинался новый век. Пока парижане спешили обежать все павильоны Всемирной выставки или поприсутствовать на Олимпийских играх, в Сорбонне, где проходил II Международный конгресс математиков, взял слово Давид Гильберт. Он намеревался говорить не о доказанном, а о том, что оставалось доказать. В тот момент он уже был одним из лучших математиков своего поколения и лидером математической школы в Гёттингене. И хотя эта лекция была прочитана не на пленарном заседании (поскольку Гильберт запоздал с отправкой темы и организаторам пришлось исключить ее из программы), она стала самым запоминающимся докладом на конгрессе.

Тридцативосьмилетний Давид Гильберт уже успел показать мощь своих идей. Совершив революцию в теории инвариантов и обратившись к абстракции, он вторгся в теорию чисел и аксиоматическую геометрию и создал работы, которые стали классическими в обеих дисциплинах. Осознавая себя одним из выдающихся математиков, он хотел показать свое проницательное комплексное видение этой науки. Мы можем представить себе нашего героя тем жарким днем 8 августа 1900 года. Высокий, худощавый, с аккуратной бородкой, в своих неизменных очках, он поднялся на кафедру и заговорил. Его основной целью было подчеркнуть, что двигатель прогресса математики – это решение задач, а также бросить вызов математикам XX века.

ГИЛЬБЕРТ ПРОТИВ ПУАНКАРЕ

Первый Международный конгресс математиков проходил в Цюрихе тремя годами ранее, в 1897 году. Со своей лекцией «Об отношениях между чистым анализом и математической физикой» французский математик Анри Пуанкаре стал «звездой» этого съезда и в результате возглавил организационный комитет. В Париже Гильберт хотел помериться силами с лидером французской математики. Как и Клейн, он стремился восстановить престиж немецких ученых, но долго сомневался в выборе средств и в итоге запоздал с выбором темы лекции.

В своей речи Пуанкаре изложил программу, обозначившую ориентиры развития математики. Целей в ней намечалось три: физическая (дать подходящие инструменты для изучения природы), философская (помочь философу углубиться в понятия числа, пространства и времени) и, наконец, эстетическая, сопоставимая с музыкой или живописью. Математика, отмечал он, имеет ценность сама по себе, а не только как средство, поскольку без теории стопорятся и практическое исследование, и прогресс. Идеальная ситуация, когда физическая и эстетическая цели совпадают. Пуанкаре стремился в деталях показать связь между чистой наукой и ее применением, между анализом и физикой.

В условиях этой прагматической обстановки был брошен вызов из 23 проблем математического будущего, сформулированных Гильбертом. Оба ученых были знакомы и восхищались друг другом, но их понимание математики очень разнилось. Немец отстаивал ценность чистой математики. Хотя последующие 20 лет его карьеры была связаны с физикой, он намеревался оспорить некоторые идеи своего французского коллеги. По привычке он посоветовался с Минковским, который через несколько месяцев после первого конгресса написал:

«Я перечитал лекцию Пуанкаре и вижу, что все его утверждения так пространны, что им нечего противопоставить [...]. Лучше попробуй заглянуть в будущее и перечислить проблемы, которыми математикам придется заниматься в дальнейшем. Так о твоей лекции будут говорить в последующие десятилетия. Но учти, что у пророчеств есть свои сложности».

Следуя совету, лекцию в Париже Гильберт начал с изящных вопросов:

«К каким целям будут стремиться лучшие математические умы следующих поколений? Какие новые методы и новые факты в обширной и богатой области математической мысли дадут нам ближайшие столетия?»

В основе его речи была переоценка чистой математики через проблемы, которые она сама перед собой ставит. В понимании Гильберта, пока математика предлагает обильное число проблем, она жива и развивается. Отсутствие же проблем говорит об истощении или исчезновении научного ответвления. Наука идет вперед посредством решения проблем. Но каковы характеристики хорошей математической проблемы? Прежде всего, ее должно быть легко сформулировать и объяснить, но сложно решить, хотя и не невозможно, чтобы не тратить силы попусту.

Гильберт воспользовался возможностью распространить свою веру в примат аксиоматического метода как механизма определения математических понятий. Когда для Пуанкаре интуитивная догадка и физические аналогии играли основную роль, для Гильберта таковой была чистая логика: строгость и простота. Последнюю треть XIX века он выводил новый математический метод, радикально отличающийся от привычного. Понятие об абстрактной структуре, включая множество, стало новой отправной точкой, новым способом дать определения – скрыто, через аксиомы. Также возникли новые методы доказательства, косвенные или экзистенциальные, и новые способы выражения, потребовавшие использования формальных языков. Это была революция, которая охватывала математику и была многим обязана немецкому ученому.

В своей лекции Гильберт вновь вернулся к понятию математического существования: если можно доказать, что свойства, заданные понятию, никогда не приводят к противоречию, то это понятие существует математически. Утверждение было категоричным и шокировало многих его коллег. Он утверждал, что при исследовании оснований науки должна быть сформулирована система аксиом, которая содержала бы точное описание основных отношений между элементарными понятиями этой науки. Таким образом, сформулированные аксиомы стали бы одновременно определениями этих элементарных понятий, и ни одна рассматриваемая научная пропозиция не была бы истинной, если бы не выводилась из аксиом за конечное число логических шагов.

Кроме того, философски подводя к своему списку проблем, Гильберт спорил (как и Пуанкаре) с популярными в то время скептиками, вдохновленными физиологом Эмилем Дюбуа-Реймоном (1818-1896) и подхватившим его знамя физиком Пьером Дюгемом (1861-1916). По их мнению, наука подошла к своему пределу, и оставался некий блок вопросов, суть которых, согласно высказыванию Дюбуа-Реймона в 1872 году, «мы не знаем, мы не будем знать» («Ignoramus, ignorabimus!»). Гильберт же с оптимизмом заявлял, что любая математическая проблема решаема – в том смысле, что можно получить положительный или отрицательный ответ. В этом состояло одно из его самых прочных убеждений и мощный стимул для ежедневной работы:

«...ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».

К сожалению, оказалось, что это не так. Как известно, эта идея в 30-е годы получила сильный удар.

ВЫЗОВ ГИЛЬБЕРТА

Гильберт предложил 23 математические проблемы, но ввиду временных ограничений в своей лекции он упомянул только десять из них. Однако он предоставил присутствующим печатный вариант лекции, который сразу же был растиражирован в Германии и Франции. Разберем эти 23 проблемы (наиболее простые и понятные будут рассмотрены подробно).

Проблемы можно сгруппировать в несколько блоков в зависимости от предмета, к которому они относятся: основания математики (проблемы 1, 2, 3, 4 и 5) и математической физики (проблема 6), теория чисел (проблемы 7, 8, 9, 10 и 11), алгебра (12, 13, 14 и 17), геометрия (15, 16, и 18) и анализ (19, 20, 21, 22 и 23). Основания математики, геометрия и алгебра с различных углов зрения, теория чисел и анализ представлены в списке наряду с другими вопросами спорной классификации.

В первом блоке приведены проблемы оснований математики и физики.

1. Проблема континуума (см. главу 4). Доказать истинность или ложность знаменитой континуум-гипотезы Кантора: не существует подмножества на числовой прямой, кардинальное число которого (то есть его размер) находилось бы строго между кардинальном числом рациональных чисел и кардинальным числом действительных чисел. Поставив этот вопрос как первую математическую проблему будущего, Гильберт занял позицию абстрактной теории множеств в пику ее многочисленным врагам.

2. Проблема непротиворечивости аксиом арифметики. Этот вопрос был крайне важен, поскольку положительный ответ косвенно доказал бы непротиворечивость всей математики. В «Основаниях геометрии» Гильберт оставил эту проблему, но в 1920-е годы вернулся к ней уже как исследователь. К сожалению, в 1931 году австрийский логик Курт Гёдель доказал, что формально эта проблема неразрешима. Невозможно доказать непротиворечивость аксиом арифметики.

3. Равенство объема двух тетраэдров одинакового основания и высоты. В своей книге Гильберт озаботился определением понятия площади в плоскостной геометрии без использования анализа бесконечно малых (интегралов) и достиг успеха, охарактеризовав многоугольники одинаковой площади как равносоставленные (то есть состоящие из одного и того же числа одинаковых треугольников). Удастся ли сделать то же самое с понятием объема в пространственной геометрии? Удастся ли охарактеризовать многогранники одинакового объема как многогранники, которые могут быть разложены на одно и то же число равных тетраэдров? В 1902 году Макс Ден (1878-1952) ответил на эти вопросы отрицательно: существует два тетраэдра с одинаковым основанием и высотой (а значит, с одинаковым объемом), которые, однако, не являются равносоставленными. Невозможно разделить первый на конечное количество многогранных частей так, чтобы они могли быть собраны для получения второго. В то время как в двух измерениях было возможно определить площадь, не применяя анализ, в трех измерениях сложный процесс перехода к пределу, известный как чертова лестница, оказывался неизбежным и мешал определить понятие объема, не прибегая к анализу.

4. Проблема отрезка прямой как кратчайшего расстояния между двумя точками. Гильберт предлагает продолжить исследование различных возможных аксиоматических геометрий с учетом того, к какой группе аксиом может привести результат, позволяющий сделать вывод, что в любом треугольнике сумма двух его сторон всегда больше третьей, а следовательно, отрезок прямой – это кратчайший путь между двумя точками. Хотя эта проблема сформулирована слишком расплывчато, она стала более точной в области геометрии Римана, когда требуется построить все возможные расстояния так, чтобы обычные прямые линии оказались геодезическими (кратчайшими путями).

Математический клуб Гёттингена, 1902 год. В центре Клейн, основатель клуба, справа от него Г ильберт.

Математик Герман Минковский в молодости. С Гильбертом их связывала крепкая дружба до самой смерти Минковского в 1909 году.

Гильберт и Кёте Ерош, на которой он женился в 1892 году.

5. Анализ понятия, введенного Софусом Ли (1842-1899) в отношении группы трансформаций, за исключением гипотезы о дифференцируемости функций, входящих в состав группы.

6. Математический подход к аксиомам физики. Гильберт был заинтересован в аксиоматизации различных областей физики (в особенности механики и вычисления вероятностей, которое в то время набирало силу как инструмент термодинамики), чтобы определить им формат, наподобие геометрии, ведь ее он считал практически эмпирической наукой. В решении этой проблемы уже наметился сдвиг благодаря физикам Эрнсту Маху (1838-1916) и Генриху Герцу, но математики ею еще не занимались. Программа аксиоматизации физики добилась (как станет ясно в следующей главе) определенных побед в первые десятилетия XX века.

В рамках блока теории чисел Гильберт выделил пять проблем.

7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел. Трансцендентное число – это тип иррационального числа, которое не является корнем из какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. В противоположность ему алгебраическое число – это любое число, являющееся решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Поскольку было известно не так уж много трансцендентных чисел (кроме π и e), Гильберт сформулировал конкретный вопрос: если a – это алгебраическое число (отличное от 0 и 1), а b – иррациональное алгебраическое число, является ли а^ь трансцендентным? Для Гильберта это было одной из самых сложных проблем в списке. Однако в 1934 году Александр Гельфонд (1906-1968) и Теодор Шнайдер (1911– 1988) доказали, что это так. В частности, √2^√2 является трансцендентным.

8. Изучение простых чисел. Здесь Гильберт поставил ряд вопросов, связанных с распределением простых чисел. Главный вопрос – без сомнения, знаменитая гипотеза Римана, в которой предполагалось, что некоторая функция, связанная с этими числами и называемая дзета– функцией Римана ζ(z), имеет все свои нули на прямой Re(z) = ½ комплексной плоскости, то есть все ее нули – комплексные числа с действительной частью, равной ½. На сегодняшний день она все еще не доказана, хотя с помощью компьютера было проверено, что первые 1,5 триллиона нулей выполняют эту гипотезу. Гильберт также упомянул гипотезу Гольдбаха (согласно которой любое четное число может быть выражено в виде суммы двух простых чисел), существование бесконечного числа простых чисел-близнецов (то есть простых чисел, разность между которыми равна 2) и так далее.

9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.

10. Определение разрешимости диофантовых уравнений.

11. Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими коэффициентами.

В блоке алгебры – следующие проблемы.

12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

13. Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных.

14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.

17. Представление определенных форм в виде сумм квадратов.

В блоке геометрии...

15. Строгое обоснование исчислительной геометрии Германа Шуберта (1848-1911).

ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА

Это одна из значительных проблем, которая кажется простой, хотя это не так. Заключается она в поиске общего способа, позволившего бы выяснить, имеет ли диофантово уравнение целые решения или нет, без необходимости вычислять их. Диофантовы уравнения – это уравнения, в которых участвует только один многочлен с целыми коэффициентами и нужно найти все целые решения. Уравнения носят имя греческого математика Диофанта (III век), ими занимавшегося. В частности, знаменитое уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ последней теоремы Ферма – это диофантово уравнение (в 1995 году Эндрю Уайлсу (р. 1953) удалось доказать, что у этого уравнения нет целых решений, отличных от нуля, если п больше 2). Проблема оставалась открытой, пока в 1970 году теория чисел и математическая логика не объединились: советский математик Юрий Матиясевич (р. 1947), следуя идеям Мартина Дэвиса (р. 1928), Хилари Патнем (р. 1926) и Джулии Робинсон (1919-1985), смог доказать, что такого алгоритма не существует. Перенесшая операцию на сердце Джулия Робинсон на свой день рождения обычно загадывала желание: «Пусть кто-нибудь решит десятую проблему Гильберта. Я не успокоюсь, пока ответ не будет найден». Любопытно, что ее старшая сестра Констанс Рейд (1918-2010) написала лучшую биографию Давида Гильберта.

16. Исследование топологии алгебраических кривых и поверхностей, включая (как отсылку к работе Пуанкаре) изучение числа и формы предельных циклов, являющихся решениями некоторых дифференциальных уравнений.

Слева – замощение плоскости шестиугольниками. Справа – замощение пространства усеченными октаэдрами.

18. Построение пространства на основе конгруэнтных многогранников. Будучи одной из классических проблем математики, известная как проблема паркета или бордюра, она состоит в том, чтобы определить, сколькими различными способами можно целиком заполнить плоскость одинаковыми геометрическими фигурами. Гильберт расширил ее, рассмотрев возможность заполнения пространства конгруэнтными многогранниками (см. рисунок). Так что речь шла об обобщении уже произведенного исследования групп симметрии и замощений (многие из них представлены в мозаике архитектурного ансамбля Альгамбры) двумерной плоскости до случая трехмерного пространства. Промежуточные достижения в этой области пришлись на 1910 год и принадлежат Людвигу Бибербаху (1886-1982) – математику, который в итоге присоединился к нацистской партии и сместил Гильберта. Кроме того, в этот раздел Гильберт включил знаменитую гипотезу Кеплера: какое расположение шаров одного радиуса оставляет меньше всего свободного пространства? Решение Кеплера – расположить их подобно апельсинам в корзине, как совсем недавно продемонстрировал Томас Хейлс (р. 1958).

И наконец, в блоке, посвященном анализу, находились последние пять проблем.

19. Изучение аналитичности решения регулярных задач вариационного исчисления.

20. Изучение существования решений задач вариационного исчисления с определенными граничными условиями.

21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии.

22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций (проблема, происхождение которой лежало в работах Клейна и Пуанкаре по данному вопросу).

23. Развитие методов вариационного исчисления. Гильберт значительно способствовал прогрессу в этой области анализа (которая была напрямую связана с проблемами 19 и 20, касающимися существования, единственности и свойств решений вариационного исчисления). Эта тема обладала чрезвычайной жизнеспособностью в XX веке, что говорит об отличном чутье Гильберта, закончившего список проблем общим вопросом из этой области.

В Париже, не имея достаточно времени, Гильберт успел обозначить только 10 из своих 23 проблем: континуум-гипотезу (проблема 1); непротиворечивость арифметики (2); аксиоматизацию физических теорий (6); некоторые проблемы теории чисел, включая гипотезу Римана (7 и 8); невозможность разрешения уравнения седьмой степени (13); вопрос о кривых и поверхностях, определенных полиномиальными уравнениями (16); аналитические решения регулярных проблем вариационного исчисления (19); существование обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих заданным группам монодромии (21), и вопрос Пуанкаре о параметризации алгебраических кривых с помощью автоморфных функций (22).

Если бы я проснулся, проспав тысячу лет, то в первую очередь спросил бы: доказали ли гипотезу Римана?

Давид Гильберт

Не так давно историк математики Тиле Рюдигер в одной из тетрадей Гильберта обнаружил, что тот хотел добавить еще одну проблему (24), которую в итоге отверг. Проблема состояла в определении критерия простоты или доказательства максимальной простоты некоторых доказательств. Гильберт намеревался развить общую теорию о методах доказательства в математике. Как ни парадоксально, через несколько лет он сам основал (см. главу 5) теорию доказательств.

Однако в списке был ряд важных упущений: несколько путей, по которым он не пошел. Матричная алгебра, статистика, логика или прикладная математика, бурно развивавшиеся в конце века, наряду с зарождающимися топологией, теорией меры и функциональным анализом для Гильберта интереса не представляли. Точно так же проблема трех тел и последняя теорема Ферма были упомянуты, но не предложены в качестве открытых проблем математики будущего.

В следующей таблице показано современное состояние 23 проблем Гильберта.

Проблема

Описание

Состояние

1

Континуум – гипотеза

Курт Гёдель (1938) и Пол Коэн (1963) доказали ее неразрешимость как истинную или ложную на основе стандартного набора аксиом теории множеств

2

Непротиворечивость аксиом арифметики

Курт Гёдель (1931) доказал, что установление неп роти вореч и вости арифметики является формально неразрешимой проблемой

3

Определение понятия объема без применения анализа

Опровергнута Максом Деном (1902)

4

Перечисление всех метрик, прямые линии которых являются геодезическими

Положительно решена Алексеем Погореловым (1975)

5

Дифференцируются ли непрерывные группы автоматически?

Положительно решена Эндрю Глизоном (1952)

6

Математическое изложение аксиом физики

Частично решена:

– механика: Георг Гамель (1909);

– термодинамика: Константин Каратеодори (1909);

– специальная теория относительности: Альфред Робб (1914) и Константин Каратеодори (1923);

– квантовая механика: Джон фон Нейман (1932);

– теория вероятностей: Андрей Колмогоров (1933)

7

Является ли a

^b

трансцендентным, если a≠0,1 алгебраическое и b иррациональное алгебраическое?

Решена независимо Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером (1934)

8

Гипотеза Римана и гипотеза Гольдбаха

Не решена

9

Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле

Решена Эмилем Артином (1923)

10

Найти универсальный алгоритм диофантовых уравнений

Отрицательно решена Матиясевичем (1970)

Проблема

Описание

Состояние

11

Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами

Частично решена Хельмутом Хассе (1923) и Карлом Зигелем (1930)

12

Распространение теоремы Кронекера

Не решена

13

Решение общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных

Отрицательно решена Арнольдом и Колмогоровым (1957)

14

Доказательство конечности некоторых полных систем функций

Отрицательно решена через контрпример Масаеси Нагатой (1959)

15

Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта

Отрицательно решена Бартелем ван дер Варденом (1930)

16

Топология алгебраических кривых и поверхностей

Не решена

17

Представление определенных форм в виде квадратов

Решена положительно Эмилем Артином (1927) и Георгом Крайзелем (1957)

18

Гипотеза Кеплера

Решена Томасом Хейлсом (2005)

19

Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления аналитические?

Утвердительно решена Сергеем Бернштейном (1904)

20

Всели задачи вариационного исчисления с определенными граничными условиями имеют решение?

Решена в течение XX века

21

Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии

Отрицательно решена Дмитрием Аносовым и Андреем Болибрухом (1989)

22

Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций

Решена независимо Паулем Кёбе и Анри Пуанкаре (1907)

23

Развитие методов вариационного исчисления

Решена в течение XX века

18 ПРОБЛЕМ СМЕЙЛА И 7 ПРОБЛЕМ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ

В 1992 году Международный математический союз принял на себя инициативу связать лекцию Гильберта 1900 года с современным состоянием математики. Несмотря на огромные достижения математики XX века, дюжины примечательных проблем еще ждут своего решения. В 2000 году лауреат Филдсовской премии Стивен Смейл (р. 1930) составил список из 18 проблем, актуальных в XXI веке. Первые три – это гипотеза Римана, гипотеза Пуанкаре (знаменитый топологический вопрос, поставленный в 1904 году) и проблема Р = NP (любая ли проблема, решаемая в экспоненциальном неполиномиальном времени, имеет альтернативное решение в полиномиальном времени?). Одновременно институт Клея назначил семь премий в один миллион долларов для каждой из обозначенных проблем тысячелетия. Некоторые из них новые, другие – старые знакомые, уже более 100 лет ожидающие решения. Среди этих задач, естественно, три указанные выше проблемы, а также проблема существования решений уравнений Навье – Стокса (которые описывают движение флюидов). В 2002 году российский математик Григорий Перельман (р. 1966) доказал одну из них – гипотезу Пуанкаре.

УЧИТЕЛЬ И УЧЕНИКИ

Сегодня, спустя более чем 100 лет, можно констатировать хорошие результаты: больше половины проблем решены, хотя некоторые решены довольно неожиданно. Часть из них все еще остаются открытыми (это случай проблемы 8 – гипотезы Римана, «звезды» списка) или частично открытыми (случай проблем И, 12 и 16). Проблемы, которые Гильберт определил для нового века, не остались без внимания, они заворожили несколько поколений математиков, породив настоящий поток исследовательских статей. Решить проблему Гильберта – задача, достойная уважения, способствующая карьере. Математик, решивший одну из этих проблем, занимал «почетное положение в математическом сообществе», говоря словами Германа Вейля (1885-1955) из некролога Гильберту.

Это был случай свершившегося пророчества. Несмотря на то что присутствующих на лекции Гильберта было не так много (доподлинно неизвестно, был ли там Пуанкаре, к которому отсылали некоторые из этих проблем), она не вызвала оживленной дискуссии (за исключением столкновения с Пеано, напомнившего Гильберту о работах итальянских математиков в области второй проблемы), репутация их автора и стоявшего за ним Гёттингенского центра сделали свое дело. Математическими проблемами будущего стали именно те, которые Гильберт обозначил в своей программе, потому что этому способствовала его харизма. Однако предложения Пуанкаре также исполнились: например, развитие функционального анализа, который стольким обязан Гильберту, шло параллельно развитию квантовой механики. И когда сошла на нет тенденция к абстракции и аксиоматическим структурам, характерная для начала XX века, произошел скачок прикладной математики (исследование операций, теория хаоса и так далее), который был знаком уважения французскому математику.

Гильберт поставил свою метку на целую эпоху математики. Однако причина того, почему он вызывал восхищение у людей, не исчерпывалась его исследованиями. Гаусс и Риман, также из Гёттингена, были математиками более высокого уровня, чем Гильберт, но их влияние на современников было гораздо меньшим. Гильберт, как гамельнский крысолов, увлек многих математиков за собой в глубокую реку чистой математики. Успех проблем Гильберта в качестве исследовательской программы кроется в той ауре, которую он создал вокруг себя. Другими словами, оценить его влияние можно, только осознав, что он был не просто трудолюбивым преподавателем. Гильберт излучал заразительный энтузиазм, побуждал обмениваться научными идеями в ходе разговоров или долгих прогулок. Краеугольным камнем его математической деятельности было сочетание исследования и обучения. Отто Блюменталь (1876– 1944), первый из 69 учеников, которые написали докторскую диссертацию под его руководством, спустя 40 лет делился впечатлением, которое произвел на него прибывший в Гёттинген Гильберт: