Текст книги "Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 9 страниц)

Математика [...] обладает не только истиной, но и высшей красотой, холодной и суровой, подобной скульптуре.

Бертран Рассел

В Principia после устранения парадоксов Уайтхед и Рассел перешли к выведению математики из логики, поскольку в их понимании граница здесь невозможна. С технической точки зрения проект логификации математических теорем натолкнулся на многочисленные трудности. Ученым потребовалось более 379 страниц (!), чтобы доказать, что 1 + 1 = 2. Настоящее безумие. Кроме того, они были вынуждены расширить логику до крайне обобщенной теории отношений, в которую включили такие малоудовлетворительные аксиомы, созданные для данного случая, как редуктивность и бесконечность. Неуклюжая аксиома редуктивности работала как нечто вроде deus ex machina, – авторы прагматично обосновывали ее тем, чтобы работать с антиномиями и логифицировать математику: когда формула оказывается слишком сложной, предполагалось, что ее всегда можно упростить до другой, более низкого уровня.

Аксиома бесконечности была нужна для определения натуральных чисел в комплексе. Следуя за Фреге, они определили 2 как класс всех пар, 3 – как класс всех троек... Но они были вынуждены ввести аксиому (в ней утверждалось, что для любого числа существует другое, больше него), обоснование которой не могло строиться ни на одном из классов логической или математической догадки (что было бы нарушением принципа «логика или математика, основывающаяся на самой себе»), а лишь на характерной структуре мира, которому приписывалось то, что он должен включать в себя бесконечное число объектов. Если бы в мире существовало не бесконечное число вещей, а только максимальное число вещей n, Рассел и Уайтхед не смогли бы определить число n + 1, поскольку класс всех скоплений (n + 1) был бы пустым, так как не было бы n + 1 объектов в мире. Герман Вейль, ученик Гильберта, решительно отверг это: «Принципы...» испытывали веру, как Отцы Церкви.

Баланс заключался в том, что в лучшем случае Расселу и Уайтхеду удалось свести математику к виду мегалогики, раю для логиков. Логистический тезис является либо ложным (если логика не включает в себя теорию классов – то, что называется теорией множеств), либо тривиальным (если включает ее). На сегодняшний день некоторые логики пытаются возродить этот тезис, чтобы перевести математику в подходящую логику второго порядка (поскольку логики первого порядка оказалось недостаточно). Но, как говорили многие математики, логика второго порядка – это всего лишь замаскированная математика множеств. Так как в логике второго порядка допустимо говорить не только об объектах, но и о свойствах, можно определить множество понятий, типичных для теории множеств. Количественно оценивать свойства – в конечном итоге все равно что количественно оценивать множества, множество объектов, выполняющих свойство. Следовательно, речь идет о логике, лежащей в основе собственно теории множеств. Ее наибольшая выразительная сила, позволяющая охарактеризовать бесконечность или формализовать принцип индукции в одной-единственной аксиоме (вместо схемы аксиом, заключающей в себе бесконечности), – это обоюдоострое оружие. Мы находимся там же, где и были: если логика включает в себя теорию множеств, то логистический тезис истинный, но тривиальный; если логика его не включает, он радикально ложный.

РОЖДЕНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Логики шли на невероятные хитрости, чтобы решить проблему парадоксов. Но какое решение давали математики? Если логики хотели логифицироватъ математику, то математики хотели омножествитъ ее. Омножествление математики началось издалека. Абстрактная теория множеств была создана Кантором, но связанный с множеством подход в математике предшествовал ей. Он присутствовал у Римана и в основном у Дедекинда. Риман предложил понятие многообразия в значении, граничащем со значением множества, в качестве основания всей чистой математики. И Дедекинд выдвинул подход множеств к алгебре, введя такие понятия, как группа, тело и идеал (только понятие кольца не поддалось ему и было введено позже Гильбертом).

Героическая эпоха теории множеств начинается в 1872 году. Тогда, опубликовав свои построения действительных чисел, Дедекинд и Кантор приступили к бурному личному взаимодействию. В 1874 году Кантор доказал, что существует два типа бесконечности: счетная (как множество натуральных чисел) и несчетная (как действительные числа, то есть как континуум). Он заявил, что множество алгебраических чисел счетное, и доказал это на основе метода, который Дедекинд передал ему в письме, хотя и не признал здесь заслуги последнего (этот конфликт, скорее всего, и стал причиной их разрыва). В 1879 году Кантор представил понятие кардинального числа множества, которое обобщает понятие числа элементов множества в области бесконечных множеств. Проверка того, обладают ли два конечных множества одним и тем же числом элементов, состоит в одновременном удалении по одному элементу из каждого из них столько раз, сколько возможно. Если оба множества заканчиваются одновременно, мы точно знаем, что у них одно и то же число элементов, или кардинальное число. Так как эта идея не предполагает счета, она распространяется на бесконечные множества: о множествах A и В говорят, что они имеют одно и то же кардинальное число, и это записывается как |A| = |B| если между ними можно установить биекцию, то есть соответствие один к одному.

ДИАГОНАЛЬНЫЙ АРГУМЕНТ КАНТОРА

Одним из великих открытий Георга Кантора стали несчетные множества, для которых невозможно провести биекцию с натуральными числами.

Одно из них – это континуум. И если целые и рациональные числа счетные, то действительные числа такими не являются. Нельзя связать их попарно с натуральными числами, их нельзя пронумеровать, поставить в список одно за другим. Возьмем числовую прямую и рассмотрим отрезок от 0 до 1. Выразим все входящие в этот отрезок числа в двоичном коде, то есть с помощью последовательностей 0 и 1. Например: 101001000... (опустив 0 и запятую, отделяющую десятичную дробь, которые должны предшествовать выражению). Докажем, что предположение о том, что это счетное множество, приводит к противоречию. Действительно, если бы это было так, мы могли бы записать все его элементы в списке, подобном следующему:

1.° → 0100...

2.° → 0110...

3.° → 1101...

...       ...

Теперь обратим внимание на элементы главной диагонали, они подчеркнуты. Построим элемент, который несмотря на то, что является последовательностью 0 и 1, не входит в список. Для этого образуем последовательность, состоящую из следующих чисел: так как первый выделенный член был 0, запишем 1; так как второй был 1, запишем 0; так как третий был 0, запишем 1; и так далее. Итоговый элемент начинается с 101... и не совпадает ни с одним из элементов в списке. Это не может быть первая последовательность, поскольку первый член отличается, не вторая, потому что мы изменили второй член, и не третья, и так далее. Это противоречит предположению, что речь идет о счетном множестве, которое, следовательно, может быть выражено в виде списка. Использованный метод доказательства получил название диагонализации и повлиял на последующие значимые доказательства в истории оснований математики.

Георг Кантор.

Между тем Дедекинд дал более удачное определение бесконечному множеству, чем Кантор. По прошествии времени оба определения, избавленные от ошибок, оказались равносильными (в соответствии с аксиомой выбора, о которой речь пойдет позже). Для Кантора множество бесконечно, если оно не конечно, то есть если нельзя провести биекцию с каким– нибудь натуральным числом. Для Дедекинда, наоборот, под влиянием предположений Галилея и Больцано, множество бесконечно только тогда, когда можно провести биекцию с его собственной частью. Например, натуральные числа бесконечны, потому что можно провести биекцию с четными числами, при этом 0 соответствует 0; 1 – 2; 2 – 4; и в целом каждому числу n – вдвое большее число 2n.

Его теория представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека. [...] Никто не изгонит нас из рая, который создал нам Кантор.

Давид Гильберт о Георге Канторе, «О бесконечном» (1925)

К концу 1882 года Кантор разработал свою арифметику кардинальных и порядковых (трансфинитных) чисел, а также выдвинул континуум-гипотезу. Натуральные числа образуют бесконечное множество наименьшего размера, который мы можем вообразить. Следовательно, его кардинальное число, то есть первое бесконечное кардинальное число, обозначается буквой алеф еврейского алфавита с нижним индексом 0: ϰ₀. Это кардинальное число соответствует всем счетным множествам, и это первая веха на пути к бесконечности. Кардинальное число континуума, действительных чисел, равно (по ряду сложных причин) 2^ϰ₀. При таких условиях континуум-гипотеза устанавливает, что нет никакой другой бесконечности между натуральными и действительными числами, или, говоря другими словами, что 2^ϰ₀ =ϰ₁ Последовательность кардинальных чисел ϰ₀, ϰ₁, ϰ₂,... работает как своего рода модель для измерения размера вселенной множеств, где существует бесконечное число бесконечностей. Безрезультатные попытки доказать континуум-гипотезу и постоянные нападки Кронекера на теорию трансфинитных множеств спровоцировали у Кантора депрессию, которая отдалила его от математики и подтолкнула в сторону теологии (он также увлекался идеей, что Бэкон был истинным автором произведений Шекспира).

С 1900 года теория Кантора, как и логика, стала мостом над бурными водами. Параллельно с логическими парадоксами возникли антиномии теории множеств. Большинство парадоксов, в которых говорилось о классах, были переформулированы с помощью теории множеств (например, парадокс Рассела). Но появились и новые: парадоксы бесконечности. В то время как логические парадоксы были связаны с цикличностью определения некоторых классов, парадоксы множеств отсылали к бесконечности. Главный в их числе – парадокс Кантора о собрании всех множеств. Пусть V – «множество» всех множеств. Поскольку, как доказал Кантор, кардинальное число любого множества меньше кардинального числа его показательного множества (которое обозначается ϑ(A) и включает в себя все подмножества или части A), получается, что |V| < |ϑ(V)|. С другой стороны, из определения V следует, что показательное множество V должно содержаться в V, поскольку V – это абсолютное множество, самое большое, которое включает в себя все остальные, и нет ничего выше него. Поэтому |V| ≥ |ϑ(V)|, что является абсурдом, противоречием по отношению к предыдущему результату.

Эрнст Цермело (1871-1953) был первым математиком, который различил нелогистический выход из лабиринта (не зря он открыл парадокс, подобный парадоксу Рассела): следовало перейти от интуитивной к аксиоматической теории множеств. С 1897 года Цермело находился в Геттингене и выполнял инструкции Гильберта, который воодушевил его сформулировать систему аксиом для теории Кантора. Его вклад в аксиоматический метод теории множеств сравним с вкладом Гильберта в геометрию. В 1908 году Цермело представил первую аксиоматизацию теории множеств, отшлифованную Абрахамом Френкелем (1891-1965) в 1922 году (и фон Нейманом в 1925 году, когда тот включил в нее аксиому регулярности, или основания).

КЛАССЫ И МНОЖЕСТВА

Теория множеств Цермело – Френкеля также исходит из логики первого порядка и принимает отношение принадлежности ϵ в качестве первоначального. Аксиомы ZF, озвученные вербально, следующие.

1. Два множества равны тогда и только тогда, когда они имеют идентичные элементы (аксиома объемности).

2. Существует множество без единого элемента Ǿ.

3. При заданном множестве х и свойстве, которое можно сформулировать на языке первого порядка теории множеств, существует множество всех элементов X, которые удовлетворяют свойству (аксиома выделения).

4. Если x и у – множества, то неупорядоченная пара {х, у} – множество.

5. Объединение множеств во множество – множество.

6. Можно образовать потенциальное множество любого множества, то есть собрание всех подмножеств или частей любого множества – другое множество.

7. Существует как минимум одно бесконечное множество (аксиома бесконечности).

8. Образ множества, заданный функцией, является множеством (аксиома преобразования).

9. x не принадлежит x (аксиома основания, или регулярности).

Если к этим аксиомам добавить так называемую аксиому выбора, получится система ZFC (С – от английского choice – «выбор»). В 1930-е годы теория множеств ZFC была расширена теорией классов и множеств фон Неймана – Бернайса – Гёделя (известной среди математиков по аббревиатуре NBG). Фон Нейман предложил иерархическую и накопительную конструкцию вселенной множеств, которую обычно схематично представляют в виде перевернутого конуса (см. рисунок). На основе пустого множества, путем повторения (с помощью трансфинитной рекурсии) операций «части множества– и «объединение множества– он построил все этажи, на которых упорядоченно располагаются множества – от самых маленьких до самых больших: 0 = Ǿ, 1 = {0} = {Ǿ}, 2 = {0, 1} = {Ǿ, {Ǿ}} и так далее. В этой теории парадоксы Рассела и Кантора доказывают, что R и V – не множества, а классы, которые принимаются в рамках этой теории. Кофинальные элементы, обладающие иерархией, не являются членами никакого другого множества, потому что они слишком большие и соответствуют классам.

Иерархическая конструкция вселенной множеств, разработанная фон Нейманом.

С тех пор она известна как аксиоматика ZF (по их инициалам) теории множеств. Итак, в ZF парадокс класса Рассела превращается в доказательство того, что этот класс не является множеством, другими словами, что его не существует в рамках этой теории, в связи с чем антиномия испаряется в воздухе. Если мы предположим, что R – это множество, и столкнемся с абсурдом, это будет означать, что R – не множество.

Аналогично, парадокс Кантора превращается в доказательство того, что «множество» всех множеств V – это не множество, поэтому его также не существует внутри теории. В ZF такая загадка, как парадокс брадобрея, демонстрирует отсутствие существования индивидуума с этими характеристиками. Более того, аксиомы ZF блокируют цикличность, которая с помощью различных стратегий делает очевидной несостоятельность парадоксов. Формулы типа R ϵ R запрещены в ZF, поскольку в аксиоме основания, или регулярности, установлено, что ни одно множество не принадлежит самому себе, то есть (перевернутое A)x(x /ϵх).

При этой аксиоме опасных множеств просто не существует.

Следует заметить, что при наличии ZF не только были устранены парадоксы неформальной теории множеств, но и стало возможным омножествление математики: с определением функции как множества упорядоченных пар, предложенным Феликсом Хаусдорфом (1868-1942) и Казимиром Куратовским (1896-1980) чуть позже, это понятие (столп анализа) оказалось омножествленным, что упрочило обоснование математики с помощью множеств. Все головокружительное разнообразие математических структур оказалось сведено к их самым базовым компонентам – множествам.

Однако работы Цермело вызвали большой ажиотаж и крайне враждебную реакцию специалистов. Пытаясь доказать континуум-гипотезу, в 1904 году Цермело сформулировал аксиому выбора. Эта аксиома гласит, что можно одновременно выбрать элемент каждого множества из бесконечного собрания непустых множеств. Формально если S = {А, B, С,...} – это собрание непустых множеств, то существует множество Z, которое состоит ровно из одного элемента множества А, одного из B, одного из С и так далее. Бертран Рассел объяснял это на следующем примере. Представим себе миллионера, который, каждый раз покупая пару туфель, покупает и пару носков. Предположим, он уже обладает бесконечным набором коробок с туфлями и таким же количеством упаковок с носками. Если бы он хотел удостовериться, что у него действительно равное количество пар туфель и носков, он мог бы доставать по одному правые туфли и находить им пару из одного носка (или если бы коробки с туфлями и неоткрытые упаковки носков закончились одновременно, он бы знал, что их у него одинаковое количество). Но он не может совершить последнее действие, не применив аксиому выбора, поскольку эта аксиома позволяет осуществлять бесконечное число произвольных выборов в коллекции наборов носков (в то время как из каждой коробки туфель он всегда может выбрать правый, между носками нет никакой разницы, поскольку не существует правого носка, отличного от левого).

Несмотря на кажущуюся невинность, аксиома выбора имеет удивительные следствия, противоречащие интуиции. Одно из них, по примеру Цермело, – это принцип вполне упорядочивания, который гласит, что любое множество, каким бы странным оно ни казалось, может быть вполне упорядоченным, то есть упорядоченным линейно, как натуральные числа, где любое подмножество всегда обладает первым элементом. Более того, аксиома выбора вскоре оказалась необходимой для доказательства того, что арифметика кардинальных чисел работает корректно (что два любых кардинальных числа всегда сравнимы), а также для доказательства через лемму Цорна многочисленных базовых результатов алгебры и анализа. Это спровоцировало международную дискуссию между сторонниками и противниками аксиомы выбора (это даже нашло отражение в специальном номере журнала Mathematische Annalen, издаваемого Клейном и Гильбертом). С одной стороны, этот мощный инструмент защищали Цермело, Рассел и Гильберт. С другой – против его необоснованного использования боролся молодой нидерландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1871-1956), который рассчитывал на поддержку важных французских математиков: Рене-Луи Бэра (1874-1932), Эмиля Бореля (1871-1956) и Анри Лебега (1875-1941). Если на островах главенствовали логицисты, то на континенте буйствовали формалисты – под предводительством Гильберта – и интуиционисты, во главе которых стоял Брауэр.

БРАУЭР ПРОТИВ ГИЛЬБЕРТА

Брауэр заявлял, что «пируэты Цермело» способствуют прочному обоснованию математики раз и навсегда. Его беспокоило то, что последние 25 лет абстрактная математика возводила воздушные замки. Ему нельзя отказать в проницательности в том, что касается рисков аксиомы выбора. Благодаря ей были извлечены на свет многочисленные математические монстры. И в их числе, несколькими годами позже (в 1926 году), парадокс Банаха – Тарского. Теорема, стоящая за ним, обязательно использует эту сомнительную аксиому и производит следующее парадоксальное распределение множеств в трехмерном пространстве: шар можно разложить на конечное число отдельных частей, так что на их основе можно вновь построить два шара, идентичных исходному. Это такой математический аналог библейского чуда хлебов и рыб (единственное, что сочетается со здравым смыслом, – то, что оба шара, идентичных исходному, не измеряются в понимании Лебега, поэтому данный парадокс никогда не появляется при вычислении объемов).

В 1907 году Брауэр получил степень доктора наук в Амстердамском университете, защитив диссертацию «Об основаниях математики», в которой наблюдались интуиционистские черты. Через пять лет, 14 октября 1912 года, уже получив признание как математик, с огромным профессиональным багажом за спиной, он прочитал лекцию под названием «Интуиционизм и формализм». Эта лекция обозначила начало его плана по обоснованию математики, и сразу же на нее навесили ярлыки «интуиционизм» и «формализм». В этой лекции Брауэр отсылал к Канту, Кронекеру и недавно скончавшемуся Пуанкаре (самой яркой из «звезд») как к своим предшественникам.

КРИВАЯ ГИЛЬБЕРТА

В 1877 году Кантор построил биекцию между отрезком и квадратом. В отрезке было столько же точек, сколько и в квадрате. Возможность установить соответствие по одному между одномерной прямой и двумерной плоскостью заставила его воскликнуть: «Я это вижу, но я в это не верю!» Дюбуа-Реймон пошел еще дальше и заявил, что это «противно здравому смыслу». С1890 по 1891 год Пеано и Гильберт вообразили соответствующие непрерывные кривые, способные пройти через каждую точку квадрата. Кривые Пеано и Гильберта (одномерные линии, способные заполнить двумерные квадраты) только усугубили проблему размерности. Как различить «измерения»? Пуанкаре подчеркнул необходимость надлежащего определения измерения.

Брауэр и топология

С 1908 по 1911 год Брауэр взял паузу в жестокой борьбе за интуиционизм и заложил основы новой математической дисциплины – топологии, «геометрии на резиновом листе» (как выразился Пуанкаре). Для начала он предложил несколько контрпримеров, о которые разбивались большинство результатов, полученных Артуром Шёнфлисом (1853-1928), другом Гильберта. И уже в 1911 году он представил теорему об инвариантности размерности с помощью бинепрерывного приложения, то есть гомеоморфизма, что положило конец сомнениям, зароненным Кантором, Пеано и Гильбертом: m-мерное и п-мерное пространства негомеоморфны, если m отличается от n. Они могут поддаваться биекции, но никогда не гомеоморфны, потому что эта биекция не будет непрерывной. Топология демонстрировала торжество здравого смысла.

После каждой итерации кривая Г ильберта змеится все больше и больше, прежде чем (в пределе) полностью покрыть квадрат.

Вклад Гаусса, Римана и, наконец, Гильберта позволил геометрии окончательно освободиться от наследия Евклида и Канта (несмотря на протест Фреге). Брауэр предложил отказаться от априорного подхода Канта к пространству, но более решительно придерживался априорного подхода ко времени. Математика ведала свойствами времени, поскольку его ход сводился к арифметической последовательности: 0, 1, 2, 3, 4... 1 после 0, но до 2, и так далее.

Согласно Брауэру, нужно было восстановить конструктивистское видение математики Пуанкаре. Несмотря на перевод и адаптацию работ Кантора на французский язык, Пуанкаре получал шпильки в свой адрес со стороны Рассела и Цермело, которые называли его ретроградом, игнорирующим новый математический метод. Но и Пуанкаре не молчал, насмехаясь над логицистским течением: «Логика не стерильна, она порождает противоречия». Кроме того, он указывал на то, что если бы всю математику можно было вывести на одних только правилах логики, получилось бы, что математика была всего лишь гигантской тавтологией, логической истиной в стиле А = А. С его точки зрения, логика напоминала машину по производству сосисок: на входе помещают свинью, а на выходе получается вполне упорядоченная связка. Но математика работает не как пианола. Математическое доказательство представляло собой творческий механизм: благодаря интуиции мы способны доказать бесконечное число силлогизмов за конечное число шагов (принцип индукции). Именно этот переход от конечного к бесконечному определяет, по мнению Пуанкаре, чудо математики. Интуиция – это молния, которая освещает математику путь посреди ночи и позволяет ему изобретать математику. Посредством интуиции именно человеческий разум создает математические объекты.

Искусство математики заключается в том, чтобы найти этот особый случай, содержащий в себе все истоки обобщенности.

Давид Гильберт

Брауэр перенял эту живописную философию математики Пуанкаре, с которым лично встретился в 1909 году. В противоположность платонизму и логицизму, утверждающим, что математические истины открываются сами, интуиционизм утверждает, что на самом деле они изобретаются (этот тезис сближает его с формализмом). Однако на вопрос, где находится математическая точность, интуиционизм Брауэра отвечает: «разум», а формализм Гильберта: «бумага».

У Брауэра и Гильберта, которые познакомились во время отпуска в 1909 году, имелись две конфликтные темы: прежде всего это природа математики – как свободная конструкция человеческого понимания или как аксиоматическая теория – и роль принципа исключенного третьего в математике. Нерв интуиционизма именно в отрицании этого логического принципа, отсылающего к Аристотелю и утверждающего, что дизъюнкция пропозиции и ее отрицание – это логическая истина, то есть она всегда истинна, в любой модели или вселенной толкования (╞Av ¬A). Другими словами, либо А истинно, либо истинно отрицание А, потому что любой третий вариант систематически исключен (именно поэтому говорят об «исключенном третьем»). Наряду с принципом непротиворечия (╞¬(A^¬A)) и принципом идентичности (╞(перевернутое A)x(x = х)) этот принцип образовывал три классических закона рассуждения.

Однако для Брауэра это необязательно было так. Поскольку мы не знаем, содержит ли десятичное продолжение числа π 20 нулей подряд, пропозиция «десятичное продолжение числа π содержит 20 нулей подряд» не является (и в этом ключ к интуиционизму) ни истинной, ни ложной. Ее истинность на сегодняшний день не может быть определена. Один единомышленник Брауэра утверждал, что принцип исключенного третьего для такого типа пропозиций может быть справедливым для Бога (Он знает всю бесконечную последовательность знаков после запятой такой, как она есть), но такое невозможно для человеческой логики. Совершив разворот на 180° по отношению к логистической догме, интуиционисты считали такую логику ответвлением математики, а не наоборот.

Этот образ мысли положил начало тому, что с тех пор известно как «интуиционистская логика», формализованная прилежным учеником Брауэра Арендом Гейтингом (1898– 1980). В классической логике двойное отрицание пропозиции равносильно пропозиции, то есть ¬¬А↔А. Но интуиционистская логика отрицает, что из двойного отрицания пропозиции можно вывести исходную пропозицию. Следовательно, ¬¬А→А не принимается. Этот интуиционистский пересмотр классической логики отвечает на вопрос: почему Брауэр отвергал рассуждения доведением до абсурда (к которым нередко прибегал Гильберт)? Доказательством ложности отрицания А не доказывалось, что А истинно, поскольку был оставлен принцип исключенного третьего.

Нидерландский математик считал справедливыми только конструктивные доказательства. Доказать, что отрицание теоремы противоречиво, – неравносильно доказательству, что теорема истинна, поскольку, прежде чем доказать последнее, нужно открыто сконструировать ее содержание. Для математиков-интуиционистов неконструктивные доказательства существования (доведением до абсурда) свидетельствуют о том, что в мире есть скрытое сокровище, но не указывают его местонахождение, поэтому такие доказательства имеют исключительно эвристическую ценность. Для существования математического объекта недостаточно, чтобы он не порождал никакого противоречия; нужно ввести эффективную процедуру его построения.

Парадоксы, открытые в рамках теории множеств, по мнению Брауэра, явно представляли собой опасность для чисто экзистенциальной математики. Не зря Кронекер всегда ожесточенно спорил с Кантором о том, что если не построить множества, о которых тот говорил (а он не мог их построить, поскольку подавляющее большинство их было бесконечным), теоремы теории множеств растворятся в воздухе. Нужно было вернуться на путь греческой математики, которая была конструктивной, а значит интуиционистской, при этом бесконечность присутствовала только в потенции, но никогда не была актуальной. Гаусс уже высказывал подобное мнение: «Я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершенной, в математике это никак не допустимо.

Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела». Для интуиционистов все трудности оснований математики исходили из использования бесконечности как чего-то законченного и идеального. Это нарушение происходит при попытке определить реальное число, такое, например, как число π = 3, 141592... Это многоточие после первых знаков после запятой создает у нас ложное ощущение, будто перед нами закрытый объект.

В итоге речь зашла о восстановлении классической математики, насколько это возможно, без обращения к принципу исключенного третьего и к доведению до абсурда. В 1918 году Брауэр начал реализацию своего плана, который он назвал «вторым актом интуиционизма» («первый» акт предполагался как интуитивное основание математики), в статье «Основание теории множеств, независимо от принципа исключенного третьего». Держась за интуиционизм Канта, Брауэр основывался на временной перечислимости и признавал возможность только счетных множеств, считая несчетные множества противоречащими интуиции. Как говорил Кронекер, «Бог создал натуральные числа, все остальное создано человеком». С несчетными множествами работать нельзя, чтобы не столкнуться с серьезными парадоксами. В интуиционистской теории множеств сами множества получают имя видов, и единственные позволенные собрания чисел – конечные собрания: {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}... Ни в коем случае не разрешено внезапно образовывать ансамбли из всех натуральных чисел {0, 1, 2,...}. Следовательно, алефы Кантора исчезают в тумане.

Бесконечность! Ни один другой вопрос так не вдохновлял человека, ни одна другая идея так не стимулировала его интеллект, ни одно другое понятие не требует большего разъяснения.

Давид Гильберт

Аренд Гейтинг, в свою очередь, вплотную подошел к арифметике. Интуиционистская арифметика включает в себя те же математические законы, что и классическая, но она подчиняется только логическим законам, которые удовлетворяют интуиционистов. В отличие от интуиционистской теории множеств, которая жертвовала значительной частью классической теории множеств, интуиционистская арифметика приготовила сюрприз: тесную связь с классической арифметикой. В 1933 году Курт Гёдель доказал, что для каждой формулы, доказуемой в арифметике Пеано, существует равносильная формула, которая доказуема в арифметике Рейтинга, и наоборот. Интуиционистская арифметика только внешне была слабее классической.

Наконец, в своей работе «Континуум» (1918) Герман Вейль попытался восстановить анализ с интуиционистских позиций. Он отказывался принимать произвольные множества натуральных чисел, учитывая только те бесконечные множества, которые можно было определить, построить. Поэтому ему удалось определить только те действительные числа, которые соответствуют арифметическому закону. То есть он восстановил только счетное количество несчетных чисел, которые составляют континуум. Для классического математика числовая прямая содержит все возможные последовательности Коши или сечения Дедекинда, а не только те, которые определимы, то есть те, которые можно уточнить с помощью построительного правила. И поскольку они представляют собой счетное количество, то оставляют числовую прямую полной отверстий, – это атомизированный континуум. Из чего следует, что интуиционистский анализ чрезвычайно отличается от классического. Математики-интуиционисты не принимают, например, теорему Больцано. И наоборот, классические математики не принимают многих результатов интуиционистов (для интуиционистов, например, не существует разрывных функций).