Текст книги "Александр Михайлович Ляпунов"

Автор книги: Анатолий Шибанов

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 27 страниц)

ЗАДАЧА О ТРЕХ ТЕЛАХ

– …Признаться, меня лунный свет неизменно наводит на мрачные, меланхолические мысли. Борис, тот все погоду угадывает по Луне, у меня же в лучшем случае – грустная лирика. А вот и я считаю, что человечество почло бы себя обделенным, если б вдруг исчезло с небес ночное светило. Не зря называем мы наш мир подлунным, – говорил Сергей раздумчиво.

В такую ясную, звездную ночь у Александра обыкновенно пробуждалась былая наклонность, принимался он выискивать в небе знакомые созвездия и вспоминать кое-что из астрономических своих познаний. Ныне собеседниками его оказались, помимо Наташи, Екатерины Васильевны и Рафаила Михайловича, также Сергей и Борис, заглянувшие в Теплый на несколько дней.

– Нет, что ни говорите, а есть какая-то неугадываемая тайна, какая-то скрытая от нас закономерность в извечной череде животворной силы Солнца и призрачного, холодного ночного освещения, – продолжил мечтательно Сергей.

– Закономерность далеко не совершенная, с точки зрения ученых, – иронически заметил Александр.

– Ты, как всякий математик, излишне строг к действительному миру, – живо возразил Сергей. – Тебе подавай не меньше, как совпадение с мыслимым математическим идеалом. И как ни странно, своеобычный идеализм твой не разжигает, а гасит романическое восприятие бытия.

– Ну вот, опять, – досадливо произнес Александр. – Опять ты укоряешь меня в каком-то идеализме, причем вкладываешь в это слово толкование, заведомо отличное от общепринятого. Можно только догадываться, что ты имеешь в виду жажду абсолюта или что-то в том роде. Не хочу судить, насколько ты прав. Не располагает к прениям эта чудная ночь. И вообще давай не будем никого смущать нашими жестокими спорами, – добавил он поспешно, обнаружив следы беспокойства на лицах Наташи и Бориса. – Что касается закономерностей лунного освещения, то не я один так полагаю. Того же мнения придерживался, например, Лаплас…

– Вот я и говорю: как всякий математик, отыскивающий в окружающем надуманных им идеалов и негодующий, когда не находит их, – не унимался Сергей. – А что же не устроило Лапласа?

– Пришел он к выводу, что Луна, как светило ночи, располагается не на должном месте, и указал даже, где бы надлежало ей быть.

– Решился поправить план божественного мироздания? Что ж, в скромности его не упрекнешь, но занимательно до крайности, – заинтересовался Сергей.

– Как раз недавно просматривал я «Изложение системы мира» Лапласа и хорошо помню подлинные его слова: «Кое-кто из сторонников конечных причин воображал, что Луна была дана Земле, чтобы ее освещать по ночам. В таком случае природа не достигла своей цели, ибо мы часто оказываемся зараз лишенными и света Солнца и света Луны».

– И как же можно поправить недальновидную природу, распорядившуюся столь непредусмотрительно?

– Лаплас говорит, что надо бы Луну поместить в оппозиции к Солнцу на расстоянии от Земли в сто раз меньшем, чем Земля отстоит от Солнца. Притом сообщить и Земле и Луне одинаково направленные скорости обращения круг Солнца, по величине пропорциональные их расстояниям от него. Оба светила следовали бы одно за другим на небе, уверяет Лаплас, а поскольку Луна на таком расстоянии не затмевается, то свет ее постоянно сменял бы свет Солнца… Всего лишь шутка, однако не лишена математического глубокомыслия.

Не стал изъяснять Александр, в чем именно заключался глубокий смысл игривой фантазии Лапласа. Недоступно было бы пониманию неприготовленного сознания его близких. Ничего не скажет им название «задача о трех телах». Между тем самая знаменитая задача небесной механики, не разрешенная полностью до сей поры. Лишь отдельные, частные результаты получены Лагранжем сто лет назад. Правда, сам Лагранж отвес их к математическим курьезам. Не верил он, что могут обнаружиться в природе удивительные построения, извлеченные им из математических уравнений. Лаплас первым стал всерьез обсуждать лагранжевы «курьезы», хоть и прикрывался при этом шутливой формой, Три небесных тела – Солнце, Землю и Луну – поместил он мысленно так, как указал Лагранж, выстроив их вдоль прямой линии. Вот тогда-то и стала Луна полноценным ночным светилом. Все потому, что в открытых Лагранжем решениях задачи три тела неизменно удерживаются на одной прямой. Таков уж необычный результат действия их друг на друга силами притяжения.

Пять таких ненарушимых взаиморасположений небесных тел отыскал Лагранж и привел в своем труде, за который удостоился он премии Парижской академии. В трех из них тела помещаются строго на прямой линии, как у Лапласа, а еще в двух занимают они вершины равностороннего треугольника, Когда б Солнце, Земля и Луна обозначили в пространстве такой треугольник, оставался бы он неизменно равносторонним, хотя поворачивался и перемещался бы в мировом пространстве согласно ходу этих тел по орбитам. Впечатляющая умозрительная картина!

Всего лишь умозрительная, ибо не берет в расчет притяжение к другим планетам, А вдруг посторонние силы эти сдвинут тела с занимаемых позиций? Не разбегутся ли они тогда по своим орбитам прочь друг от друга? Не разрушится ли удивительный лагранжев треугольник?

Таким вопросом задавался еще Лиувилль, охотно подхвативший шутливую идею Лапласа. В одной да работ отметил он, что выстроенная Лапласом конфигурация из Земли, Луны и Солнца сохранится лишь тогда, когда она устойчива, то есть при всяком случайном смещении небесные тела будут неуклонно возвращаться на свои места, будто прикрепленные к ним тугими пружинами. Но так ли обстоит дело в действительности? Лиувилль взялся проверять устойчивость мысленного построения Лапласа, а заодно и двух других лагранжевых решений, в которых небесные тела также помещены на одной прямой.

Лаплас, следом Лиувилль, а затем Ляпунов… Знакомая уже протягивается цепочка. Ибо Александр тоже принялся оценять устойчивость найденных Лагранжем неизменных конфигураций из небесных тел, только треугольных в отличие от Лиувилля.

В нынешнем, восемьдесят девятом году исполняется десятилетие научной деятельности Ляпунова. Можно уже оглянуться критическим оком на прошедшее. Начало положено было в годы студенчества, когда обратился он к поставленной Бобылевым задаче равновесия твердого тела, погруженного в жидкость. Потом сознанием выпускника университета завладели фигуры равновесия вращающейся жидкой массы, на которые натолкнул его Чебышев. Совсем недавно, уже в Харькове, рассмотрел Александр винтовые движения твердого тела в жидкости. А теперь вот, всего год спустя, объявился новый предмет исследования – три небесных тела, притягивающихся друг к другу. Может ли такое разнообразие интересов свидетельствовать о каком-либо единстве творчества, пусть только зарождающемся? Или же мысль Ляпунова безвольно влеклась от одного случаем подвернувшегося объекта к другому, равно случайно оказавшемуся в поле зрения?

Теперь именно, по истечении десяти лет, можно выделить одно слово, один-единственный термин, неизменно переходящий из работы в работу, из задачи в задачу. Уже в первом, студенческом сочинении Ляпунов изложил условия устойчивоститвердого тела в жидкости. Магистерская его диссертация целиком посвящена устойчивостифигур равновесия. И в исследовании винтового движения тела сквозь жидкость интересовала Александра лишь устойчивостьсамого процесса движения. Ныне же обратился он к устойчивостивзаимного расположения трех небесных тел в лагранжевых решениях. Устойчивостьзаявила себя вполне определенно и неотступно как беспременный элемент его научных изысканий. И очевиден уже свершившийся поворот от устойчивости равновесия к устойчивости движения. Ибо, даже изучая лагранжев треугольник, имел Александр дело с движущимися небесными телами, но обращающимися по своим орбитам так, чтобы образованная ими в пространстве фигура оставалась сама собой.

Конечно, есть все же отличие устойчивости лагранжева решения от устойчивости винтового движения тела в жидкости. Стеклов почувствовал это сразу, как только прослушал в Математическом обществе доклад Ляпунова о задаче трех тел. По окончании дискуссии, когда почти все разошлись и Александр укладывал свои записи, Владимир подошел к нему и неуверенно спросил:

– Александр Михайлович, сдается мне, что теперь вы держите в виду несколько иную устойчивость, нежели в работе прошлого года?

Ляпунов улыбнулся, весьма довольный в душе.

– Совсем иную, – ответил он, а про себя подумал: «Хоть и занят Владимир другими вовсе вопросами, а вот уловил перемену в моем подходе к устойчивости. Между тем наши математики опять накинулись согласными усилиями на мои решения уравнений, оставив устойчивость в стороне».

– Тут я пошел вослед за Жуковским, подступ которого к устойчивости считаю более основательным применительно к данной задаче, чем употребленный Раусом подход, – пояснил Александр.

– Вы имеете в виду докторскую диссертацию Жуковского «О прочности движения»?

– Ее самую.

Прочность движения… Припомнил Александр, как он услышал впервые эти два слова в тесной смысловой связи. В одной из лекций Менделеев коснулся мимоходом вопроса, несколько стороннего для курса химии.

– …Сфера движения частиц – колебательного или вращательного – совершенно ограничена, – по обыкновению горячо и увлеченно говорил профессор, – то есть равновесия эти принадлежат к числу подвижных, но стойких, подобно тому, как равновесие всей Солнечной системы, в которой мы сами движемся кругом оси и каждый год – кругом Солнца, и между тем вся эта система остается неподвижной и неизменной. И вы в механике и в астрономии узнаете, что есть как внутренние причины, так и исторические доказательства, что эта неизменность представляет пример прочности чрезвычайной…

Соотнесение понятий «прочность» и «движение» поразило тогда Александра своей неожиданностью, но не испытал он ничего похожего на предощущение будущей своей причастности к затронутой научной проблеме. С той поры не раз случалось ему видеть и слышать знакомое словосочетание. А теперь вот пришлось даже изучить целый трактат под названием «О прочности движения». В 1882 году Николай Егорович Жуковский защитил на эту тему докторскую диссертацию. Во введении к своей работе писал он, что первая попытка установить общую теорию прочности движения была сделана Томсоном и Тэтом в их «Трактате о натуральной философии», но тут же отмечал: «…несколько страниц из «Натуральной философии», посвященных исследованию прочности, представляют только легкий набросок, в котором указываются пути для более обстоятельного исследования».

– Надобно сказать, весьма всеобъемлющее и подробнейшее исследование представил Николай Егорович, – рассуждал Ляпунов, обращаясь к Стеклову. – В систематическом виде изложил все основные результаты теории прочности, то есть устойчивости, движения. Разве что фундаментальный трактат Рауса может поспорить с его трудом. Но скорее уж они дополняют, а не оспаривают друг друга.

– Как будто Раус опубликовал свой труд раньше Жуковского?

– Да, в 1877 году. Жуковский о сочинении Рауса не знал, когда начинал свое исследование. Потому и пошел Николай Егорович по пути, обозначенному Томсоном и Тэтом.

– Отсюда, видимо, и проистекает различие их подходов?

– Притом весьма разительное. Будто с противоположных сторон приступили к одной проблеме. Особенно явно их несогласие, когда принимаются они за задачу о трех телах. Жуковский рассмотрел устойчивость лагранжевых решений в качестве примера. Полагал он конфигурацию из трех тел устойчивой, если они движутся таким образом, что треугольник остается всегда близким к равностороннему, хотя и вращается и переворачивается некоторым образом. Словом сказать, прочность движения представляется Жуковскому как устойчивость траекторий, а не устойчивость состояния движения, о чем толкует Раус. Кстати, раусова устойчивость, когда стороны треугольника остаются неизменной длины, никак не имеет места для лагранжева решения, в то время как устойчивость траекторий вполне ожидаема.

– Я не составил себе об этом предмете сколько-нибудь серьезного понятия и слабо представляю, как трактует устойчивость Жуковский, – признался Стеклов.

– Для лагранжевых решений устойчивость траекторий весьма не наглядна, – в видимом затруднении проговорил Ляпунов. – Потому прибегнем к сравнению вместо рассуждения, хоть и говорят французы, что сравнение не есть доказательство. Не будем ходить далеко, выберем из трех тел только два: Солнце и планету, обращающуюся круг него по эллиптической орбите. Чтобы проверить, устойчиво ли движение планеты, мысленно столкнем ее с закономерного пути на самую малость и чуть-чуть поддадим ей скорости…

– Вроде как бы выбьем планету из орбиты слабым толчком, – согласно подхватил Стеклов.

– …Но оставим на орбите воображаемого ее двойника, ненарушимо продолжающего прежний ход кругом Солнца. Сопоставим в наглядности движения сбитой с орбиты планетам и невозмущенного ее первообраза. После толчка, как ты его мыслишь, планета будет обращаться кругом Солнца по эллипсу, уже несколько иному. Невелика сила толчка, невелико и различие между эллипсами – старым и новым. Значит, невелика разница во временах полного оборота кругом Солнца. Секундами, а то и меньше могут различаться года планеты и двойника ее. Но даже самомалейшая разность в годах приведет к тому, что планета либо с каждым оборотом будет опережать свой первообраз, соблюдающий прежний ее путь, пока не уйдет от него далеко вперед, либо же, наоборот, не поспевая за ним, препорядочно отстанет. Так что незначительное отклонение планеты от первоначального хода ниспровергнет весь последующий порядок ее движения и приведет в конце концов к ощутительному расхождению планеты с двойником ее. Как видим, устойчивость в понимании Рауса тут вовсе не соблюдается.

– Все понятно до очевидности, – обрадовался Стеклов.

– Однако орбиты движения – прежний эллипс и новый – останутся весьма близкими сколь угодно долго. Можно сличать их через века, тысячелетия и целые эпохи – они не разойдутся. Если не было больше возмущающих воздействий, эллипсы будут тесно прилегать друг к другу, как и поначалу. Орбиты обнаруживают устойчивость. Орбитальную именно устойчивость изучал Жуковский как в общем подходе, так и применительно к лагранжеву треугольнику.

– Вы решились повторить его исследования? – осторожно спросил Стеклов. – Видимо, у вас возникли свои соображения?

– Уж коли пошла речь о повторении, то нужно вспомнить прежде всего Рауса, который занялся устойчивостью треугольных решений Лагранжа еще в 1875 году. Но в том-то и дело, что нет у меня грубой подражательности. И Раус и Жуковский рассматривали вращение тел по круговым орбитам, а потому были у них дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Я же полагаю тела обращающимися по эллиптическим орбитам, как в самой действительности, и уравнения мои с периодическими коэффициентами. Вовсе другая получилась математическая задача, и понадобились иные совсем математические средства для решения. Словом, вся работа произведена мною наново.

Что-то не удовлетворило Стеклова в полученном ответе, потому, несколько помявшись, он вдруг заговорил:

– В нынешнем исследовании вы будто отступились сами от себя – обратились к рассмотрению устойчивости по первому приближению. В работе прошлого года для винтового движения в жидкости взяли вы более строгий и точный подход.

Согласно кивнув головой, Александр помолчал в задумчивости.

– В самом деле, – наконец сказал он. – Так оно и есть, но никак не мог иначе…

ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

«Уж больно худ Саша, истомлен еще больше, чем в начале лета, когда только приехал в деревню», – подумал Борис, украдкой наблюдая брата. «Борис стал куда здоровей, чем летом был, – в свою очередь, отметил Александр. – Глядит отменно бодрым и, главное, в покойном расположении». Вслух же сказал:

– Ты смотришь совсем оправившимся, хоть и усердно занимался в деревне, как говоришь.

– Здоровьем я и вправду укрепился, – подтвердил Борис, – но только неуклонно упадаю духом… и становлюсь все ниже и ниже.

Братья долго не виделись. Пробыв все прошлое лето в Болобонове, Борис решил задержаться там и на зиму. Лишь в марте 1890 года, после полуторагодовой отлучки, вернулся он в Харьков и остановился, как прежде, в семье старшего брата.

– Не очень-то верится твоим стенаниям, – с улыбкой отвечал Александр. – Вот в деревне действительно отличался ты нервностью и мало спокоен был духом.

А ныне, вижу, не так уж все плохо, коли иронизируешь сам над собой.

Вспомнил Александр, как летом набегали на Бориса минуты болезненного малодушия и уныния. Очень встревожился он тогда за брата, да, слава богу, совсем иным предстал Борис теперь.

– А что, в доме нашем не холодно было? – спросил Александр.

Впервые за долгие годы один из Ляпуновых провел в старом болобоновском доме всю зимнюю пору, и результаты этого опыта любопытны были Александру Михайловичу.

– Вовсе нет, тепло даже. Теплее, чему других. В сильный мороз растапливали все печи, а так – топили две-три. Спасибо, Сергей Александрович озаботился и с осени распорядился обклеить повсюду щели и дыры. Израсходовали всю сахарную бумагу, и нотная в ход пошла, что у Сергея в комнате оставалась.

– Бедный Сергей Александрович… – произнес Александр. – Когда получили мы от вас печальное известие, как громом поражены были. Не верилось просто.

– Да и нас беда застала врасплох, – в тон ему отвечал Борис. – Как занемог он, видим, дело худо, и отправили за доктором в Курмыш. После осмотра тот объявил нам – амбулаторный тиф. Не дожил Сергей Александрович до рождества. Только перед тем, в ноябре, переболели все инфлюэнцей. В Болобонове настоящий лазарет образовался. Мы и подумали, что возвернулась к нему болезнь, а тут…

– У нас в доме также инфлюэнца гостила. Никого не минула. Говорят, во всех российских городах эпидемия прошла и особо сильная в Москве, Петербурге да в Харькове. Только с морозами пошла она на убыль.

– Анна Михайловна и Соня прямо-таки убиты горем.

– Уж тут помочь ничем нельзя, – со вздохом сказал Александр. – Надо им на время оставить Болобоново и развеяться. Пригласил я их на пасху к нам. Помню, мама после кончины отца ушла из нашего дома, не могла там оставаться.

– Да, совсем запамятовал, – спохватился Борис. – Крест, что заказали мы в Курмыше на могилу отца, уже готов, но я решил обождать привозить да ставить его до твоего приезда будущим летом. А как был я проездом в Москве, сходили мы с Иваном Михайловичем на Ваганьково кладбище. Могила матери тоже в поправке нуждается, о надгробии позаботиться надо.

– Вот съедемся летом вместе и непременно решим с этим. Иван Михайлович все в той же скромной должности?

– Да, автор знаменитых «Рефлексов головного мозга» – всего лишь приват-доцент Московского университета. Так чтят у нас выдающихся деятелей науки, – сказал Борис с сердцем. – Читает он также публичные платные лекции в клубе врачей, чтобы заработать средства на научное оборудование.

Петербургский круг Сеченовых – Крыловых, в котором обращался некогда Александр, вовсе расстроился. Иван Михайлович перебрался в Москву, Анна Михайловна и Серафима Михайловна уехала на постоянное жительство в Теплый Стан, Крыловы находились в беспрестанных разъездах то за границей, то в России.

– Иван Михайлович усиленно вразумлял меня и подстрекал, держать немедленно магистерский экзамен, – продолжал Борис. – Осердился очень: «Долго ли будешь оставаться на степени стремленья? – говорит. – Наверное, уже знаешь больше, нежели сколько требуется. В таком возрасте человеческой жизни не для чего канитель тянуть: отзвонил – и с колокольни долой. Бросай свои нескончаемые приготовления и подавай прошение на экзамен…»

Александр невольно улыбнулся, подумав: до чего же похоже передал Борис интонации и манеру разговора Ивана Михайловича.

– Кабы я был так же бесповоротно уверен, как он во мне, – заключил Борис.

– Иван Михайлович прав безусловно, – отвечал Александр. – Ты умел так затянуть дело, что порой кажется, и вправду останешься при одном намерении. Пора уже переломить в себе неуверенное..

– У каждого человека своя манера блох ловить, – смущенно оправдывался младший брат. – Однако ж обязался я покончить с экзаменом еще в нынешнем году.

– Ладно уж, как сам рассудишь. Лишь бы здоровье не изменило, – сказал Александр примирительно. – Потолковав сообща, решили мы устроить тебе место у нас в столовой. Можешь начинать работу хоть завтра.

На следующий день перетащили в столовую из кабинета Александра его большой письменный стол, Борис развернул на нем свои записи, разложил книги и возобновил подготовку к магистерскому экзамену. Первое время сетовал он на недостаточность специальной литературы, но вскоре вопрос был решен: профессор Дринов предоставил в его распоряжение свою обширную домашнюю библиотеку.

Снова стал появляться Борис в квартире Марина Степановича Дринова. Снова, потому как хаживал к нему довольно часто еще по весне 1887 года. «Дринов – болгар, жена его – англичанка, а разговаривают они между собой только по-русски», – изумленно делился он с Александром своим впечатлением. А в письме к Сергею характеризовал Дринова как «славянофила русского пошиба». Своим новым знакомством Борис был бесконечно горд. Воспитанник Московского университета Дринов считался выдающейся фигурой в славяноведении, состоял членом всех тогдашних славянских академий и обрел общеевропейскую известность своими фундаментальными трудами. Автор первой единой болгарской орфографии, он был приглашен в Болгарию на пост министра народного просвещения в 1878–1879 годах. За исключением этого кратковременного перерыва, Марин Степанович почти пятнадцать лет бессменно преподавал в Харьковском университете. Борис не преминул прослушать читаемый им курс славяноведения.

И еще один дом посещал Борис, где принимали его не менее радушно и внимательно. Три года назад, едва объявившись в Харькове, поспешил он представиться Александру Афанасьевичу Потебне. Знаменитый языкознатель тепло встретил ученика Ягича. Борис стал посещать его курс славянских языков, с восторгом сообщив Сергею: «Здесь я могу пользоваться советами такого знатока русских говоров и народной поэзии, как профессор Потебня». Казалось, могло бы уже исполниться прощальное наставление Игнатия Викентьевича Ягича, указывавшего Борису на харьковского ученого-слависта как на желательного руководителя. Но делами воинской повинности понужден был Борис уехать в Москву и потерял на время связь с Александром Афанасьевичем. Теперь, по возвращении, поспешил он в первые же дни сделать визит к прославленному и тонкому наблюдателю явлений языка. В доме Потебни встретили его как нельзя лучше, и благодатное для Ляпунова общение с профессором Потебней продолжилось.

По видимости, дела у обоих братьев шли достаточно споро. В сентябре Борис написал Сергею, что намерен держать в конце года первый магистерский экзамен и присовокупил, что «диссертация Саши, кажется, в главных чертах уже готова», что Саша исключительно занят ею и, как только находится дома, непрерывно пишет, главным образом ночами.

Давно уже стали привычны и желанны для Александра часы ночных бдений, когда спадают путы обыденности и раскрепощенная мысль испытанным путем устремляется в сокровенный мир чистых и бесстрастных математических сущностей. «С самого начала своей ученой деятельности он работал изо дня в день до четырех-пяти часов ночи, а иногда являлся на лекции, не спав всю ночь» – так охарактеризует впоследствии Владимир Стеклов режим своего наставника и друга, выдерживаемый с неуклонным постоянством многие годы, можно сказать, весь деятельный период жизни.

Когда на склоне дня Александр решительно направлялся в кабинет, Рафаил Михайлович провожал его неизменным шутливым присловием: «Добру молодцу и ночь не в убыток». Но что было поделать? Неподвластное днем становится доверчивым и откровенным в глухую отшельническую пору. В тишине ночи ярче разгорается невидимый глазу пламень, пугливо прячущийся от безжалостного дневного света и до полуночного часу лишь затаенно тлеющий под спудом житейских наслоений. Его созидающее горение оставляет на чистой поверхности листа изобильные строчки математических формул…

Керосиновая лампа и та, кажется, исчерпала светоносную свою силу. Пламя ее сделалось беспокойным и неуверенным. Но Александр ничего такого не замечает. Закутав ноги, стынущие от долгого недвижного сидения, сосредоточенно склонился он над столом. Уединенными ночными страдами неуклонно подвигается его работа к завершению. К близкому ли, к далекому? Кто знает. Вполне проглядывает и уже выстраивается замышленное, контуры которого назначены еще в исследовании винтового движения тела. Правда, задача о трех телах на время выбила его из намеченной колеи. Стеклов весьма удивился такому неожиданному отступлению от строгого и точного подхода. Помнится, сразу после доклада Александра в Математическом обществе Владимир подошел к нему с недоуменными вопросами.

– …В самом деле, – согласился тогда Ляпунов. – Так оно и есть, но никак не мог иначе. Решение задачи о трех телах сопряжено с такими чрезвычайными трудностями, уравнения ее настолько сложны, что вынуждаюсь искусственно упростить их, чего не имел сперва в виду. Работа начата мною с другим совсем планом, который не был исполнен. Но в том, как распорядился я уравнениями, никто из моих коллег не обнаружит повода для неудовольствия. Нынче все так поступают, даже Раус, Жуковский, Томсон и Тэт. Давно уже сложилась такая практика. Не умея справиться со сложными уравнениями, пускаются на незаконную, по сути, операцию: намеренно превращают уравнения в более простые, поддающиеся решению. Для того отбрасывают из них все члены, полагаемые малыми, и сохраняют лишь то, что представляется наиболее значимым. По таким упрощенным, урезанным уравнениям – уравнениям первого приближения, как их называют, – и судят об устойчивости, благо достигается это без особенного затруднения.

– Поступают в том роде, как один анекдотический чудак, который, уронив монету в темном проулке, побежал к ближайшему перекрестку, чтобы искать ее под фонарем, где светлее, – с улыбкой прокомментировал Стеклов.

– Только вот вопрос: можно ли заключение об устойчивости или неустойчивости, полученное для такого упрощенного уравнения, выдавать за достоверное? Ведь, изучая уравнение первого приближения, решаем мы совсем другую задачу об устойчивости, чем была поначалу.

Ляпунов вдруг ответно улыбнулся Стеклову и сказал:

– А с чудаком вы неплохо придумали. Под фонарем, конечно, искать способнее. Только монета осталась в той непроглядной темноте, которая показалась слишком затруднительной для поисков. Никто из имеющих дело с уравнениями первого приближения не может заранее ручаться, что не оставил «монету» в первоначальном уравнении, которое слишком «темно» для исследования. Тем не менее со времени Лагранжа никому не приходит в мысль утвердить законность такового подхода. А может, он и не законен вовсе и приводит к неверным результатам?

– Как же с такими неудобными сомнениями приступили вы к задаче о трех телах, которая лишь в первом приближении решается? – удивился Стеклов.

– Непременно надо было мне рассмотреть новый вопрос, посложнее. Как иначе расширить и углубить разрабатываемый мною метод, если не примерять его ко все более сложным задачам?

– Что, если упрощать уравнения, но не слишком: оставлять в них даже малые кой-какие члены, наиболее значимые в сравнении с другими? Не станет ли оттого точнее решение задачи устойчивости? – предложил Стеклов вопрошающе.

– Пробовали так делать и делают порой сейчас. Например, Раус и Пуассон учитывали некоторые из отбрасываемых обыкновенных членов, второстепенных по величине, и заключали об устойчивости по уравнениям второго приближения. Подобных авторов превозносят как совершающих исследования чрезвычайной тонкости и важности. Да только из чего они бьются? Не меняет такой подход сущности дела. Все равно: первое ли приближение, второе ли – задача остается принципиально иной в сравнении с исходной, раз уравнения берутся неполные, усеченные.

– Отчего тогда в большом ходу ныне теория устойчивости первого приближения? – недоумевал Владимир.

– Потому только, что первое приближение – единственная пока возможность исследовать устойчивость реальных устройств. Для практических надобностей ничего другого не припасено. Тут уж не до претензий на строгость, рады хоть что-то рассчитать, хоть как-то ответить, когда возникает вопрос об устойчивости. Впрочем, в технических приложениях такое упрощение не в редкость и мало кого смущает. К тому же в большинстве практических задач выводы по первому приближению согласуются, пусть только качественно, с результатами опыта. Отсюда и громкий успех трудов Рауса и Жуковского, которые подвели итог всей этой теории.

Ляпунов помолчал несколько и продолжил с досадою в голосе:

– Только меня внутренне коробит, когда употребляют в этой связи слово «теория». К данному слову у меня всегда серьезные претензии. Нужна полная строгость математической трактовки задачи устойчивости, если видеть в ней теорию в истинном понимании, а не просто сумму практических приемов. Требования к ней должны быть такими же, как и к любой другой строгой и точной математической теории, безо всяких скидок и допущений. Не мирился я с первым приближением, когда несколько лет тому решал задачу Чебышева, не могу удовлетвориться им и ныне, в задаче устойчивости.

– Значит, будете добиваться до точного решения задачи? Обратитесь к исходным уравнениям во всей их сложности? – допытывался Стеклов.

– Именно так. И мыслю, единственно на этом пути можно построить общую и строгую теорию устойчивости. Винтовое движение тела в жидкости было для меня лишь пробным камнем. Теперь нужно развивать в подробности и обобщать обозначенный там подход. В задаче о трех телах принужден был я сделать шаг назад, к первому приближению. Но то всего лишь частность, временный зигзаг, а не тенденция. Ныне снова хочу поворотиться к общему методу решения неурезанных, неукороченных уравнений.

– Будете приспособлять к тому изобретенные вами в работе восемьдесят восьмого года бесконечные ряды?

– Да, точные решения с удобством могут быть отысканы в виде бесконечных рядов слагаемых. А составляется каждое слагаемое из решения упрощенного уравнения первого приближения. Так что к первому приближению придется все же прибегнуть, но только лишь как промежуточной, вспомогательной ступени на пути к строгому и точному результату.

…Происходил тот разговор без малого два года назад. С той поры Ляпунов многое успел, ночь-ноченски просиживая за столом в кабинете. Особенно труженическим выдался минувший, восемьсот девяностый год. Пожалуй, только в новогоднюю ночь разрешил себе Александр отдохнуть от усиленных мозговых выкладок. Когда после дневных хлопот соединились они в праздничном застолье, Борис приветствовал брата пространным ободряющим словом.