Текст книги "Занимательно о космологии"

Автор книги: Анатолий Томилин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 20 страниц)

Фактически Гаусс заложил основы совсем новой геометрии, опирающейся на опыт, на измерения, а не на постулаты. Правда, его исследования касались лишь поверхностей двух измерений. Но это была тропа, которая должна была вывести математиков на широкую дорогу обобщений.

Коперник геометрии

«Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Эвклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский – оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, и значение каждой из этих революций одинаково велико. Причина громадного значения той и другой революции заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космоса», – писал молодой, жизнерадостный, но уже неизлечимо больной чахоткой английский математик Вильям Клиффорд. Писал спустя едва ли двадцать лет после смерти великого русского геометра.

11 февраля 1826 года в Казанском университете состоялось заседание физико-математического отделения, на котором слушался доклад профессора математики Николая Ивановича Лобачевского, посвященный доказательству «теоремы о параллельных». Коллеги без особой охоты сходились в этот ненастный февральский день на совещание.

В университете любили порывистого, безотказного Лобачевского, который всегда охотно откликался на просьбы товарищей. Кто не помнил, что именно Николай Иванович взялся читать математику на всех курсах вместо уехавшего в Дерпт (ныне Тарту) профессора Бартельса. А когда из отпуска не вернулся в Казань профессор физики Броннер, то Лобачевский принял на свои плечи и его курс одновременно с заведованием физическим кабинетом и заботами о его оборудовании. Он замещал астронома Симонова, ушедшего в плавание с экспедицией Беллинсгаузена, и пекся о судьбе университетской обсерватории. Библиотека – любимое детище Лобачевского, особенно ее физико-математический раздел… Он декан отделения и едва ли не самый активный член строительного комитета, курирующего постройку главного корпуса университета. Непонятно, когда он успевает еще заниматься наукой.

Некоторое время тому назад Лобачевский передал совету отделения свое сочинение, озаглавленное «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Но ни профессора Симонов и Купфер, ни адъюнкт Брашман не спешили с отзывом. Более того, ходили слухи, что мемуар профессора Лобачевского недоступен пониманию нормального человека. Профессора заранее жалели коллегу, на которого нашло затмение… Но вот он на кафедре. Густые, темные, вечно перепутанные в беспорядке волосы, пронзительный взгляд глубоко посаженных серых глаз.

В университете Лобачевский в восемнадцать лет стал магистром. Три года спустя его раньше срока производят в адъюнкт-профессора, а еще через два года он получает кафедру чистой математики и должность профессора. В те годы люди рано стремились к зрелости. Двадцатилетний молодой человек без специальности, без образования, без дела твердо считался пустоцветом и оболтусом. Сто пятьдесят лет назад не могли возникнуть восторги по поводу «запоздалого инфантилизма» – столь модной в наше время проблемы. Конечно, жизнь наших современников стала длиннее. Но вряд ли срок, отпущенный природой на свершение великих дел, возрос так же пропорционально. Долгая старость – не просто время отдыха человека, и право на поучения не дает только седая борода. Мудрость, как и честь, копится смолоду, и счастлив и велик тот народ, чья молодость чтит своих стариков. Но каждую награду следует заслужить…

«Господа, – начал Лобачевский, – трудности понятий увеличиваются по мере их приближения к начальным истинам в природе… Эвклидовы „Начала“, несмотря на все блистательные успехи наши в математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки…»

Сколько пришлось ему передумать, прежде чем он отважился заявить об этом с трибуны, прежде чем в результате трудной и мучительной работы мысли открылся ему удивительный путь от попытки доказательства пятого постулата Эвклида к неведомому. Путь, который привел его к открытию нового мира с новой системой измерения – новой геометрией.

«…Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в новом виде всей науки…»

Ход рассуждений докладчика действительно чрезвычайно сложен, хотя и строго логичен. Размышляя над возможностями доказательства пятого постулата Эвклида, Лобачевский подумал: а не попытаться ли идти от противного? Предположим, мы оставим четыре начальных постулата в неприкосновенности и отбросим пятый? Или еще лучше, отбросим пятый постулат и потребуем, что через точку, находящуюся вне прямой, можно провести не одну, а целый пучок прямых, параллельных данной? И на новой системе аксиом попытаемся построить новую геометрию… Очевидно, что труд сей должен привести к одному из двух:

либо, если пятый постулат является следствием первых четырех, новая система где-то придет к абсурду, так как строится она на предположении, противоречащем следствию;

либо, если логического противоречия в новой геометрии не окажется, это будет служить доказательством того, что пятый постулат совершенно не зависит от остальных.

Тогда новая система взглядов явится геометрией, описывающей некий воображаемый, отличный от Эвклидова, мир. Мир, в котором через точку, лежащую вне прямой, можно провести множество прямых, не пересекающихся с данной… Лобачевский все еще пробует пояснить ход своих мыслей и переходит к следствиям, вытекающим из эвклидовых постулатов.

«В новой геометрии два только предложения возможны – продолжает оратор, не обращая внимания на созревшее у слушателей отчетливое недоумение, – или сумма трех углов во всяком прямолинейном треугольнике равна двум прямым углам – это предположение составит обыкновенную геометрию; или во всяком прямолинейном треугольнике эта сумма менее двух прямых, и это последнее предположение служит основанием особой геометрии, которой я дал название „воображаемой геометрии“».

Коллеги перешептываются, улыбаются, не понимая, зачем профессору Лобачевскому эта чушь, зачем понадобилось ниспровергать существующий порядок его величества здравого смысла. Эх, молодость, молодость… А ведь разумен, энергичен. Ну ничего, остепенится, оставит глупости…

Его даже не пытались понять. Впрочем, может быть, не могли?.. Может быть, перед нами обычная трагедия гения – человека, идущего впереди своей эпохи?.. Особенно нелепо звучал для математиков вывод Лобачевского о том, что в «воображаемой геометрии» угол треугольника зависел от длины его сторон… Эго уже «не лезло ни в какие ворота». Разве что доказывало полную нелепость развиваемых взглядов. Ведь любая сторона треугольника – отрезок. Отрезок можно измерить. Можно дюймами, можно вершками, аршинами, верстами, наконец, метрами или километрами, если господину Лобачевскому так нравятся меры длины, введенные революционной Францией. А что такое угол? Отвлеченная величина, измеряемая градусами или радианами. Какая же связь может существовать между несоизмеримыми разнородными величинами?

Нет, в 1826 году идеи Лобачевского не нашли ни сочувствия, ни понимания у современников. Они не были наглядны! Вот если бы он начертил пресловутый треугольник с углами, сумма которых была меньше 180°, если бы он дал пощупать пальцами кусок плоскости, на которой реализуются четыре постулата Эвклида и пятый – Лобачевского, если бы они, современники, смогли провести на этой плоскости с отрицательной кривизной карандашом линию, которая действительно была бы кратчайшим расстоянием между двумя точками… Тогда они, может быть, поверили бы. Может быть… Потому что достаточно вспомнить первые телескопические открытия Галилея, чтобы представить себе, какую борьбу должно совершить новое, дабы получить признание. Впрочем, консерватизм – это не только отрицательное качество, присущее обществу. Консерватизм – это своего рода антибиотик, предохраняющий общество от незрелых или кратковременных идей. Действительно, великие идеи все равно пробивают себе дорогу.

Год спустя после доклада на заседании отделения Николая Ивановича Лобачевского избрали ректором университета. И с тех пор он девятнадцать лет бессменно, четыре раза пройдя через перевыборы, стоял у кормила Казанского университета. Студенты, особенно математики, обожали своего ректора. За внешней хмуростью молодежь безошибочно угадывала большое и доброе сердце. Сколько анекдотов ходило о ректоре в студенческой среде.

Однажды в книжной лавке Николай Иванович обратил внимание на молоденького продавца, увлеченного чтением. Книжка показалась ему знакомой. Он подошел ближе. Действительно, в руках юноши был математический трактат. Сколько трудностей пришлось преодолеть Лобачевскому, прежде чем способный юноша И. Больцани, так звали продавца, поступил в университет. Ректор не ошибся. Молодой человек с блеском окончил курс обучения и стал профессором физики Казанского университета. Причем случай с Больцани был далеко не единственным. Ректор много помогал питомцам своего университета, не требуя ни наград, ни благодарностей.

В 1829 году основные результаты работы Лобачевского появились в «Казанском вестнике». Опубликование не принесло Николаю Ивановичу радости. Теперь над ним открыто смеялись уже не только коллеги по Казанскому университету. Петербургская академия устами уважаемого своего члена академика Остроградского дала отрицательный отзыв его работе. Говорят, почтенный академик так выразился о казанском профессоре: «Лобачевский – недурной математик, но, если надобно показать ухо, он непременно покажет его сзади, а не спереди».

Лобачевский не сдается. Он пишет статьи на немецком, французском языках, популяризируя взгляды неэвклидовой геометрии. Одиноким гигантом идет он к цели, которая была видна лишь ему одному. Идет, опустив забрало, чтобы стрелы, пускаемые в него лилипутами, по выражению одного из учеников, не уязвляли.

Но стрелы уязвляли. Ведь и гений – человек! Из той же плоти и крови. Что поделать, если глаза его зорче, чем у остальных людей. Если разум могущественнее.

Общество, в котором жил Лобачевский, заставляло жестоко расплачиваться своих членов, не желающих подходить под стандарт. Не поняли окружающие и талантливого венгерского математика Яноша Больяи, пришедшего некоторое время спустя к взглядам, аналогичным взглядам Лобачевского. Некоторые социологи сегодня считают, что в этом находит выражение закон самосохранения общества. Гений – всегда протест. Нельзя сделать новый шаг, не разметав устоев условностей, накопленных обществом. «Воображаемая геометрия» была вызовом здравому смыслу. И ощетинившийся обыватель принял бой. В реакционном журнале «Сын Отечества», который редактировал печальной памяти Ф. Булгарин, появляется издевательская анонимная рецензия… «Воображаемая геометрия» Лобачевского раздражала не только математиков.

Вспомним эпоху. Мало того, что постулаты Эвклида почитались священными и неприкосновенными истинами. В философии царили взгляды Иммануила Канта, отошедшего от материализма молодости. Кант считал, что пространство и время не являются объективно-реальными, не существуют в мире «вещей в себе». По его мнению, пространство и время не более чем формы чувственного созерцания. Так сказать, это формы, упорядочивающие любые ощущения, получаемые от реального мира. Таким образом, не принадлежа к объективному миру, существующему независимо от человека, пространство и время являются лишь созданиями человеческого разума. А следовательно, и законы геометрии люди могут устанавливать не из опыта, а исходя из собственных представлений. Представления же человека о пространстве зафиксированы непоколебимыми постулатами Эвклида. Подобный ход рассуждений привел философа к выводу о непреложности законов геометрии и абсолютном характере пространства и времени.

Лобачевский до конца жизни стоял на материалистических позициях, считая, что только опыт может служить критерием истинности любой геометрии. «Спрашивайте природу! Она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать непременно и удовлетворительно», – говорил он в своей ректорской речи о важнейших предметах воспитания.

Но предполагал ли сам Лобачевский, что его «воображаемая геометрия» не просто логически непротиворечива, но действительно более правильно описывает пространство окружающего мира? Да! Тысячу раз да! Николай Иванович был убежден, что люди не могут навязывать природе законы геометрии. И потому он отрицал взгляды Канта. Как и Гаусс, Лобачевский пытался на практике измерять сумму углов треугольника. Он понимал, что истинность его геометрии для реального пространства может быть доказана лишь при измерениях очень больших расстояний. И Лобачевский строит треугольник с вершинами на Земле, Солнце и Сириусе и, пользуясь известными в его время астрономическими данными параллаксов звезд, пытается вычислить сумму его углов.

Увы, точность угломерных инструментов в его время была недостаточной, а следовательно, и значения параллаксов – приближенными. Рассчитанное отклонение суммы углов от 180° лежало в пределах ошибки измерений. Но отрицательный результат не обескуражил великого геометра. Он понимал, что неудача связана с несовершенством приборов и с тем, что выбранный треугольник был еще слишком мал…

За год до своей смерти слепой Лобачевский продиктовал по-французски свое последнее сочинение «Пангеометрию». Эвклидова геометрия не отрицалась «воображаемой геометрией», она просто являлась ее наиболее простым частным, или, если угодно, предельным случаем, когда гауссова кривизна (она отрицательная в гиперболической геометрии Лобачевского) становится равной нулю.

История последовательного расширения геометрии, идущая от пятого постулата Эвклида до геометрии Лобачевского и Больяи и дальше к Риману и Эйнштейну, является серьезным предостережением тем, кто, занимаясь вопросами космологии, слишком легко экстраполирует то, что он знает о «здесь» и «сейчас», на то, что лежит и происходит «там» и «тогда». Вряд ли стоит, изучив геометрию собственной комнаты, экстраполировать ее выводы на всю вселенную вообще.

Реальное строительство «воображаемого мира»

И все-таки Лобачевский до конца жизни не был удовлетворен результатами своей работы. Его мучило сознание ее незавершенности, отсутствие доказательства того, что «воображаемая геометрия» принципиально не может привести к абсурду. То есть он-то не сомневался в ее правильности, но вот окружающие… Ах, если бы ему, начертив воображаемые линии и фигуры, написать на чертеже одно-единственное слово: «Смотри!» Когда-то в древности это слово, поставленное на чертеже, заменяло доказательство… Увы, подобного «абсолютного доказательства» Николай Иванович так и не нашел.

В 1868 году, всего 12 лет спустя после смерти великого русского геометра, итальянский математик Эудженио Бельтрами опубликовал скромный мемуар «Опыт интерпретации неэвклидовой геометрии». Мемуар, который грохотом своего взрыва (его сравнивали с бомбой) разметал всех скептиков, всех тех, кто не верил в «воображаемую геометрию» Лобачевского. Мемуар, которого так недоставало при жизни Николая Ивановича…

Профессор математики Бельтрами некоторое время занимался картографией, для чего изучал способы отображения искривленной поверхности Земли на плоском листе бумаги. При этом ему пришлось столкнуться с весьма малоизученным вопросом о поверхности постоянной отрицательной кривизны – сферы наоборот, или псевдосферы. Когда-то, в конце прошедшего XVII столетия, о «мнимой сфере» говорил и писал Иоганн Ламберт – математик, физик, астроном и философ, со взглядами которого мы уже знакомы. Однако вряд ли Бельтрами знал о работах Ламберта. Рассмотрев большой класс поверхностей с постоянной отрицательной кривизной, Бельтрами умудрился построить их. Любознательный читатель может увидеть разновидность такой поверхности на нашем рисунке. Она похожа на седло. Самым же замечательным оказалось то, что геометрия на таких поверхностях была геометрией Лобачевского!

Вот когда пришло прозрение для всех неверующих. Вот когда Бельтрами смог воскликнуть столь желанное «смотри» и указать на чертеж. Псевдосфера-поверхность, находящаяся в привычном эвклидовом пространстве, являлась пресловутой «воображаемой» плоскостью Лобачевского. Но если такая плоскость (или двухмерное пространство) существует, то и ее геометрия не может быть ложной.

Мемуар Бельтрами совершил настоящий переворот. Имя Лобачевского озарилось сиянием славы. Увы, посмертно.

К сожалению, нарисовать или представить наглядно трехмерное пространство, подчиняющееся аксиомам геометрии Лобачевского, невозможно. У автора не хватает фантазии даже на аналогии. А отсутствие таковых в специальной литературе не позволяет прибегнуть к заимствованию. Придется воспользоваться единственным выходом – логикой…

Двухмерное пространство нулевой кривизны – плоскость. Та же нулевая величина кривизны определяет и эвклидово пространство, отличающееся от плоскости лишь наличием еще одного измерения.

Двухмерное пространство отрицательной кривизны – плоскость Лобачевского. Та же отрицательная величина кривизны определяет и неэвклидово пространство Лобачевского, отличающееся от плоскости Лобачевского лишь наличием еще одного измерения.

Представить себе его наглядно – трудно, но математически оно описывается безукоризненно. Кривизну пространства можно измерить опытным путем. И тогда в пространстве отрицательной кривизны сумма углов треугольника будет зависеть от величины его сторон и составлять меньше 180°. Через точку, лежащую вне «прямой», можно будет провести не одну, а целый пучок «прямых», не пересекающихся с данной, и так далее и тому подобное. Все так, как предсказывал еще в 1826 году Николай Иванович Лобачевский на заседании физико-математического отделения Казанского университета.

Мемуар Бельтрами возродил интерес к неэвклидовой геометрии. Появляется множество работ, у псевдосфер обнаруживаются некоторые особенности, которыми плоскость Лобачевского не обладает. Математики предлагают другие модели и другие интерпретации не только плоскости, но и пространства Лобачевского. Об одной из них, забегая по времени вперед, автор собирается поведать.

Представим себе поезд, мчащийся по рельсам. Вдоль состава, в направлении движения в вагон-ресторан, идет пассажир. Чему равна его скорость относительно пролетающих за окнами полустанков? Все просто – сумме скоростей поезда и его движения вдоль вагона.

На обратном пути его движение уже не столь прямолинейно. Пошатываясь, он двигается под разными углами к направлению движения поезда. Теперь его скорость относительно тех же полустанков равна разности скоростей. Но не просто от скорости поезда в 120 км/час нужно отнять 2 км/час, которые он преодолевает, добираясь до своего купе. Нет, полная скорость определится как векторная разность. А сложение и вычитание векторов производится по правилу параллелограмма.

Мы вспоминаем о Пифагоре и приходим к мысли, что законы сложения скоростей подчиняются правилам эвклидовой геометрии. Или, как принято говорить среди специалистов, геометрия пространства скоростей – эвклидова. Впрочем, такое заявление – спекуляция чистой воды. Решить, какой геометрией является геометрия пространства скоростей, должен опыт. И вот опыт-то и обнаружил в пространстве скоростей первое противоречие со свойствами эвклидовой геометрии. Случилось это так.

В 1877 году американские физики Майкельсон и Морли поставили эксперимент, который обещал просветить физику в отношении противоречивых свойств мирового эфира. Автору пока не хотелось бы вдаваться в подробности опыта и задач, которые ставили перед собой экспериментаторы. Это увело бы повествование слишком далеко в сторону. Сейчас нам важно то, что в опыте сравнивалась скорость света Солнца в двух направлениях: с востока на запад – вдоль и с севера на юг – поперек движения Земли по орбите.

Сумма двух векторов, совпадающих по направлению, всегда больше суммы тех же векторов, направленных под углом друг к другу. И потому Майкельсон и Морли ожидали, что скорость света в сумме со скоростью движения Земли по разным направлениям даст разные величины. Каково же было их изумление, когда оказалось, что, с чем бы ни складывалась скорость света, она всегда остается одной и той же.

Значит, законы Эвклида для сложения скоростей не годятся! Значит, геометрия пространства скоростей неэвклидова. Забегая еще вперед, скажем, что в 1908 году немецкий математик Клейн обнаружил, что геометрия скоростей в точности совпадает с геометрией Лобачевского. «Из всех неэвклидовых геометрий, – пишет Я. А. Смородинский, – геометрия Лобачевского оказалась самой реальной, в то время как „реальная“ эвклидова оказалась лишь приближенной моделью».

Удивительные пространства Георга Фридриха Бернгарда Римана

Но продолжим историю конструирования новых миров, начатую нашим великим соотечественником.

Осенью 1853 года на математический факультет Геттингенского университета никому не известный доктор наук Риман подал конкурсную работу на соискание должности приват-доцента. По существующим правилам, кандидат должен был предложить еще три темы для пробной лекции. Глава факультета утверждал одну из них, и после прочтения лекции кандидатом совет окончательно решал вопрос о пригодности соискателя к преподавательской работе.

В Геттингене математический факультет возглавлял Гаусс. Он знал Римана еще по докторской диссертации. И существует мнение, что побаивался гения молодого человека, видя в нем равного себе… Риман представил на рассмотрение три темы. Две из них не вызывали ни у кого ни малейшего сомнения. Третья же, посвященная основам геометрии, была абсолютно «темной лошадкой». Впрочем, Риман и не собирался выбирать ее в качестве темы пробной лекции. Обычно руководитель факультета утверждал самую первую тему из представленного списка, и на этом дело заканчивалось. Гаусс избрал третью.

Известный немецкий математик Вебер пишет: «Гаусс не без умысла выбрал именно данную тему из трех предложенных Риманом. Он сам признавался, что ему страстно хотелось услышать, как такой молодой человек сумеет найти выход из столь трудной игры».

Риману понадобилось почти полгода для окончания работы над вопросами, лишь намеченными названием темы. И вот наконец «Геттингенский Колосс» назначает заседание коллегии…

Лекция Римана называлась «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Докладчик рассматривал геометрию в наиболее обобщенном виде, как учение о непрерывных многообразиях не только привычных нам трех измерений, но и любых других nизмерений. Если в таких многообразиях определено или задано расстояние между бесконечно близкими их элементами, то есть известна метрика, то Риман называл такие многообразия пространствами, характеризуя их свойства кривизной.

Здесь, пожалуй, уместно немножко отступить в прошлое. Мысли о возможности существования у пространства не трех, а четырех измерений появились в математике очень давно. Историки отыскивают их еще во времена Диофанта, в 250 году до нашей эры. В более отчетливой форме высказывает ее Абу-л-Вафа Мухаммед ибн Мухаммед ал-Бузджани, уроженец Хоросана, работавший в X веке при дворе Бундов в Багдаде. Затем время от времени идеи о возможности обобщения пространственного измерения с трехмерного на четырехмерное и больше возникали у некоторых европейских математиков, вызывая недоверие у окружающих. Так было, пока в 1788 году французским математик Даламбер не присоединил к пространственным координатам x, yи zчетвертую координату – время t. Правда, эта последняя не пользовалась равными правами со всеми остальными. Если в пространстве можно двигаться в любом направлении, то дорога времени имеет знак одностороннего движения: от прошлого к настоящему и в будущее. Но не наоборот, дабы не нарушать принципа причинности, на котором основан мир. Тем не менее после Даламбера идея четвертого измерения пространства получила развитие в работах многих математиков. А затем пришла пора и не только четырехмерного, но и пяти-, и шести-, и вообще n-мерных пространств.

Дотошного читателя может заинтересовать вопрос: кому и зачем могут понадобиться подобные фантастические, непредставимые наглядно построения абстрактной математики? Дело в том, что отношения, установленные многомерной геометрией, могут истолковываться не обязательно как пространственные, а как совсем другие отношения между объектами, связанными законами многомерья. Один из возможных примеров приводит Э. Кольман в книге «Четвертое измерение».

Представьте себе, например, облачко газа, состоящее из nмолекул. Каждая молекула этого газа в любой момент времени занимает некое положение в пространстве, определяемое тремя координатами. Но, кроме того, каждая молекула обладает еще определенным импульсом (равным произведению массы на мгновенную скорость). Импульс же имеет тоже три слагаемых, три проекции на оси координат. Таким образом, для определения состояния материальной точки – молекулы потребуется шесть характеризующих ее величин. Иначе говоря, движение каждой молекулы можно теперь описать как движение точки в шестимерном пространстве. А изменение состояния всей системы из nмолекул – как движение некой материальной точки в 6 n-мерном фазовом пространстве. Причем линия траектории этого движения, называемая «фазовой траекторией», будет описывать изменение состояния всей системы газовых молекул. Такой метод многомерного фазового пространства применяется в различных науках: в механике и термодинамике, в физической химии и квантовой механике.

Риман изложил в своей лекции принципы многомерной геометрии в наиболее обобщенном виде. Он положил в основу своих исследований гауссовский элемент длины, то есть бесконечно малое расстояние между двумя точками. Некогда эта идея позволила Гауссу построить внутреннюю геометрию искривленной поверхности. На этом Гаусс остановился. Риман же перенес этот метод, эту идею с поверхности, или иначе с пространства двух измерений, на пространства трех и более измерений, обобщив и построив новые удивительные геометрии удивительных миров.

«Я поставил перед собой задачу сконструировать понятие многократно протяженной величины», – говорил Риман и набрасывал перед слушателями причудливые контуры «гиперпространств». Он рассуждает, что ежели могут существовать разные поверхности, то есть двухмерные пространства – плоские, эллиптические или такие поверхности, как плоскость Лобачевского, характеризующиеся различной по знаку и по величине гауссовой кривизной, то так же могут существовать и трехмерные или трижды протяженные величины и n-мерные. Причем в свете этих обобщений геометрия Эвклида и геометрия постоянной отрицательной кривизны Лобачевского, так же как и геометрия пространств постоянной положительной кривизны, которую мы теперь называем геометрией Римана, являются лишь частными случаями. Рассматривая вопрос о пространстве положительной кривизны, Риман распространил на него все свойства сферической поверхности. Так же как на сфере «прямые» линии не могут продолжаться бесконечно, потому что замкнуты сами на себя, в сферическом пространстве «прямая» линия должна быть замкнутой.

Сегодня можно предложить такой пример: обладай наше пространство положительной кривизной, луч света или космический корабль, посланные с Земли по прямой, через nлет непременно бы возвратились в исходную точку. А будь эта кривизна такой же большой, как в фантастических рассказах, человек всегда видел бы перед собой собственный затылок…

Получалось, что сферическое пространство должно быть конечно и безгранично, как конечна и безгранична поверхность любого шара. Да, привыкнув к бесконечности пространства Эвклида, такую конструкцию представить себе было трудно даже мысленно.

Гаусс был потрясен глубиной мысли Римана. Кандидат был принят на службу и через три года занял должность профессора.

Тридцать один год исполнилось сыну бедного сельского пастора из Брезеленце, когда он впервые получил возможность думать только о науке.

Содержание пробной лекции не было напечатано. Риман не стремился к публикациям. Тем более этой работы, которая, как он видел сам, была доступна весьма ограниченному кругу людей. Высказав в общем виде свои идеи, он больше не возвращается к ним. Он много работает. Пишет несколько блестящих математических мемуаров. Берлинская и Баварская академии наук избирают его своим членом. Затем следует признание и со стороны Парижской академии и Лондонского королевского научного общества… Но в разгар славы на тридцать девятом году жизни «профессиональный» недуг бедняков и интеллигентов XIX столетия – чахотка обрушивается на него. Теперь у Римана есть средства, и он уезжает в Италию. Но год, проведенный под голубым южным небом, уже не в силах ничего изменить. В сорок лет второй, после Гаусса, немецкий математик умер.