Текст книги "Информация или интуиция?"

Автор книги: Алексей Шилейко

Соавторы: Тамара Шилейко
сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 16 страниц)

Модель ТОМА СОЙЕРА

Но если сам шар «знает», где он находится, может быть, все-таки не стоит быть столь категоричными? Может быть, все-таки есть возможность предсказать положение шаров на бильярде?Некоторую идею в этом направлении нам может дать метод, разработанный в свое время бессмертным Томом Сойером и успешно использованный им также для определения местонахождения шара, точнее, шарика.Процитируем соответствующие строки из книги Марка Твена:«…он подумал, что, пожалуй, стоило бы отыскать шарик, который он забросил, и терпеливо принялся за розыски. Но найти шарик не мог. Тогда он вернулся к тайнику, стал на то самое место, с которого бросал шарик, вынул из кармана второй шарик и бросил его в тем же направлении, приговаривая:– Брат, ступай ищи брата!Он заметил, куда упал шарик, побежал туда и стал искать. Должно быть, шарик упал слишком близко или слишком далеко. Том проделал то же самое еще два раза. Последняя проба удалась: шарики лежали на расстоянии фута друг от друга».Так, может быть, все дело обстоит довольно просто? Достаточно взять два бильярдных стола, выставить па них пирамидки в точности одинаковым образом и совершить в точности одинаковые первые удары, тогда, наблюдая за ситуацией на одном из столов, можно будет знать, что происходит на другом? Увы, читатель отлично знает, что это не так. Если мы возьмем даже не два, а, скажем, тысячи бильярдных столов, то непосредственно из собственного опыта мы можем сделать заключение, что, к примеру, через полчаса после первого удара среди этой тысячи не найдется и двух столов с одинаковым расположением шаров.Объясняется это хотя бы тем, что в природе не существует и не может существовать двух в точности одинаковых бильярдных шаров, а также тем, что, даже пользуясь сверхсовременной измерительной техникой, мы не сумеем выставить две в точности одинаковые пирамидки.Приходим к окончательному заключению. Благодаря отражениям от бортов и друг от друга каждый движущийся бильярдный шар совершает весьма сложную траекторию. Обратите внимание на слово «сложную», оно еще не раз встретится нам в дальнейшем. В силу этой сложности оказывается, что по прошествии достаточно большого количества времени после первого удара на поверхности бильярда не останется ни одной, даже самой маленькой области, в которой выбранный шар не побывал хотя бы однажды. Это объективная характеристика бильярдного стола. Достаточно отметить на поверхности стола какую угодно область и наблюдать за ней не отрывая глаз, и рано или поздно, но ваш шар пересечет эту область.

БИЛЬЯРД С КРЫШКОЙ

Только что сказанное представляет собой содержание так называемой теоремы Луивилля, лежащей в основе современной статистической физики. Если шар рано или поздно побывает в любой, сколь угодно малой, области, у нас нет никаких оснований выделить какую-либо область и считать ее преимущественной для пребывания данного шара. Заметим, что такая характеристика не совсем объективна, поскольку в ней идет речь об основаниях, имеющихся у нас. И тем не менее она целиком вытекает из предыдущих.Поскольку у нас нет никаких оснований предпочесть одну какую-либо область поверхности бильярдного стола другой, мы можем сделать и такое заключение: среднее количество времени, в течение которого данный шар пребывает в пределах данной области на поверхности бильярда, зависит только от размеров этой области. Это уже объективная характеристика, поскольку среднее количество времени можно измерить.Все три только что сформулированные характеристики по существу означают одно и то же. И причина того, что это именно так, одна – каждый из движущихся бильярдных шаров описывает достаточно сложную траекторию.Перед тем как перейти к дальнейшему, сделаем следующее замечание. При описании поведения бильярдных шаров нам несколько раз пришлось использовать слова «знаем», «не знаем». Это отступление может дать читателю некоторую идею относительно того, почему мы занялись изучением бильярда в книге, посвященной информации и интуиции.А теперь пойдем дальше. Закроем ровно половину (скажем, правую) бильярдного стола специально изготовленной крышкой. Крышка должна быть сделана так, чтобы она не оказывала никакого влияния на движение шаров, а лишь скрывала от наших глаз все, что происходит с шарами в пределах закрытой половины стола. Теперь нашему наблюдению доступна лишь левая половина бильярда. Введем понятие состояний. Будем считать, что бильярд находится в состоянии 0, если в пределах левой половины нет ни одного шара. Бильярд находится в состоянии 1, если в пределах левой половины находится один шар, в состоянии 2, если в пределах левой половины находится два шара, и т. д., в состоянии 16, если в пределах левой половины собрались все шестнадцать шаров.Заметим теперь, что состояния 0 и 16 могут быть реализованы единственным способом: когда все шары находятся справа или слева. Состояния 1 и 15 могут быть реализованы шестнадцатью различными способами: первый шар находится слева (справа), остальные в противоположной стороне, второй шар находится слева (справа), остальные… и т. д. Для подсчета числа способов, которыми могут быть реализованы состояния 2 и 14, будем рассуждать следующим образом. Имеется пятнадцать способов, в которых участвует шар номер 1, а именно: слева (справа) находятся шары с номерами 1 и 2, 1 и 3 и т. д., 1 и 16; четырнадцать способов, в которых участвует шар номер 2: это 2 и 3, 2 и 4 и т. д. … 2 и 1.6 (способ «2 и 1» уже был учтен в предыдущем случае); тринадцать способов с участием шара номер 3: это 3 и 4, 3 и 5, и т. д., всего 120 способов.Количество способов, которыми может быть реализовано каждое состояние, сведено в следующую таблицу, из которой мы видим, что наибольшим числом способов могут быть реализованы состояния 7, 8 и 9, то есть состояния, когда примерно половина шаров расположена на правой стороне бильярда, а другая половина – на левой.Состояния Кол-во способов, которыми могут быть реализованы данные состояния0 и 16 11 и 15 612 и 14 1203 и 13 5604 и 12 18205 и 11 43686 и 10 80087 и 9 114408 12870

Мы уже установили, что для каждого отдельного шара нет никаких оснований выделять преимущественную область его пребывания. С тем же успехом мы можем утверждать, что нет никаких оснований предпочесть одну какую-либо конфигурацию расположения шаров другой. А коли так, то точно так же, как мы это делали раньше, мы можем установить, что, какова бы ни была конфигурация расположения шаров, рано или поздно она реализуется, и что среднее количество времени, в течение которого на бильярдном столе имеет место данная конфигурация, одинаково для всех конфигураций.Каждый из рассмотренных выше способов представляет собой частный случай конфигурации. Следовательно, мы можем прийти к выводу, что среднее количество времени, в течение которого бильярдный стол находится в данном состоянии, пропорционально количеству способов, которыми реализуется данное состояние. Эти средние количества времени (в долях от полного времени наблюдений) сведены в таблицу. Из рассмотрения это? таблицы видно, что большую часть времени бильярдный стол проводит в состояниях 7, 8 и 9.

Состояния Среднее время в долях от полного времени наблюдений0 и 16 1,5*10-51 и 15 2,4*10-42 и 14 1,8*10-33 и 13 8,5*10-34 и 12 2,8*10-25 и 11 6,7*10-26 и 10 0,127 и 9 0,178 0,2Можно сказать и иначе. Если, бросив взгляд на бильярдный стол, мы застали его в состоянии 0 или 1 (15 или 16), у нас есть все основания ожидать, что в самом скором времени на смену этому состоянию придет какое-нибудь более часто встречающееся. Наоборот, если, случайно бросив взгляд на бильярдный стол, мы застаем его в состоянии 7, 8 или 9, у нас есть все основания считать, что еще в течение достаточно долгого времени он будет пребывать в этом состоянии. Можно сказать, что бильярдный стол стремится к состояниям 7, 8 или 9. Это верно в том смысле, что действительно на смену редко встречающимся состояниям быстро приходят часто встречающиеся состояния.Однако этим все и ограничивается. Другими словами, если уж использовать слово «стремится» (почему – будет ясно из дальнейшего), то надо хорошо отдавать себе отчет в том, что в данном контексте это слово значит лишь то, что было только что сказано. Не существует никакого специального механизма, который заставлял бы бильярдный стол стремиться к, состояниям 7, 8 или 9 в том смысле, в каком можно сказать, что стальной шарик стремится притянуться к магниту. Все зависит от того, как мы определили состояния. Именно из этого определения вытекает, что состояния 7, 8 и 9 реализуются значительно большим количеством способов, чем состояния 0 и 16.С другой стороны, состояния, определенные именно так, имеют достаточно четкий физический смысл. Например, общая масса шаров, расположенных в пределах, скажем, левой половины стола, равна массе одного шара, помноженной на номер состояния. С этой точки зрения можно также сказать, что большую часть времени бильярдный стол проводит в таком состоянии, когда масса шаров, расположенных слева, примерно равна массе шаров, расположенных справа.Мы нарочно тратим так много времени, чтобы читатель мог до конца понять и как следует прочувствовать следующее обстоятельство. Единственное реально наблюдаемое на поверхности стола физическое явление – это то, что шары двигаются, сталкиваются друг с другом и с бортами стола и вследствие этого описывают весьма сложные траектории. Все остальное есть лишь различные способы описания этого обстоятельства и, возможно, различные его следствия. Обнаруженные нами закономерности выполняются тем строже, чем больше шаров. Например, для пятидесяти шаров среднее количество времени, в течение которого стол будет находиться в одном из «средних» состояний, окажется уже равным 0,8, а для ста шаров – равным 0,94.

БАЛЛОН С ГАЗОМ

В статистической физике количество способов, которым может быть реализовано некоторое состояние, называется «статистическим весом» данного состояния. Натуральный логарифм статистического веса называется энтропией.Здесь мы сталкиваемся с уже знакомой нам по предыдущей главе ситуацией. Чем большим числом способов может быть реализовано некоторое состояние, тем чаще в среднем (статистически) это состояние может наблюдаться. Отсюда и название: «статистический вес». Пусть теперь у нас имеются две системы. В первой имеется состояние А, реализуемое, скажем, пятью способами, а во второй имеется состояние В, реализуемое, скажем, четырьмя способами. Соответственно, статистический вес состояния А в первой системе будет равен 5, а статистический вес состояния В во второй системе будет равен 4.Объединим теперь обе системы и рассмотрим сложное состояние, состоящее в том, что первая система находится в состоянии А, вторая – в состоянии В. Ясно, что статистический вес такого сложного состояния равен 5X4 = 20. Из самого определения статистического веса следует, что при объединении систем статистические веса их состояний перемножаются.Энтропия – это величина, показывающая, насколько близко находится физическая система к своему состоянию равновесия. Только что мы увидели, что таким же точно свойством обладает статистический вес и его тоже можно было бы принять за меру близости к равновесию. Однако, как уже говорилось в связи с мерой Хартли, всегда удобнее, если некоторая характеристика составной системы равна сумме соответствующих характеристик каждой из составляющих систем. По этой причине за энтропию принимают именно логарифм статистического веса, поскольку логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.Поскольку логарифм любой величины увеличивается тогда, когда увеличивается эта величина, и уменьшается тогда, когда она уменьшается, сделанные нами наблюдения можно обобщить, сказав, что энтропия бильярдного стола либо остается постоянной, либо стремится к увеличению. Слово «стремится» нужно понимать именно так, как мы это делали выше.Объектом изучения статистической физики являются твердые, жидкие и газообразные тела, состоящие из огромного количества молекул. Лучше всего законы статистической физики выполняются для газов, потому что у газов молекулы расположены на достаточно больших расстояниях друг от друга и взаимодействуют между собой, лишь соударяясь, причем для молекул газа оказываются справедливыми законы соударения упругих шаров. Объем с газом, находящимся при атмосферном или более низком давлении, ведет себя практически так же, как бильярдный стол. Молекулы газа находятся в постоянном движении. Они соударяются друг с другом, а также со стенками сосуда, в котором газ заключен. Если отсутствует обмен тепла между объемом с газом и внешней средой, то суммарная энергия всех молекул остается постоянной, движение их не прекращается и не становится более интенсивным. Это полностью совпадает с предположением об отсутствии трения, которое мы приняли для нашего бильярда.Единственное существенное отличие объема с газом от бильярдного стола состоит в том, что под состояниями объема с газом понимают не только каждое данное распределение молекул в пространстве, так сказать, распределение по местам, но и их распределение по скоростям. Легко показать, однако, что принятие в расчет также и скоростей не вносит ничего существенно нового. Действительно, применительно к шарам на бильярде мы утверждали, что для каждого шара все области поверхности стола равнозначны, шар не предпочитает ни одной из них, и единственное условие состоит в том, чтобы шар не выходил за пределы бильярда. Аналогичным образом любой бильярдный шар, а также любая молекула может принимать любое значение скорости. Ограничение здесь состоит в том, чтобы кинетическая энергия любой молекулы, пропорциональная, как известно,квадрату скорости, не превышала полную энергию всего объема с газом. Кроме того, сумма энергий всех молекул в любой момент должна быть равна полной энергии газа, которая должна оставаться постоянной.Здесь опять же можно говорить о количестве способов, которыми реализуется каждое состояние. Так, количество способов, реализующих состояние «одна молекула имеет полную энергию, остальные молекулы неподвижны», очевидно, равно числу молекул. Количество способов, реализующих состояние «две молекулы имеют некоторые значения энергии, сумма которых равна полной энергии, остальные молекулы неподвижны», равно числу сочетаний из общего количества молекул по два, умноженному на число различных энергетических состояний, и т. д. Если бы в свое время мы не делили бильярдный стол пополам, а рассматривали бы скорости отдельных шаров, результат оказался бы тем же самым.Наконец, самая полная картина получается тогда, когда одновременно учитываются и местоположение молекул (бильярдных шаров), и их скорости. Количество различных возможных состояний, а также и число способов, которыми может быть реализовано каждое состояние, существенно возрастают, но это ведет лишь к тому, что основной закон неубывания энтропии начинает выполняться еще более точно уже при относительно малом числе молекул.Применительно к объему с газом статистическим весом каждого состояния этого объема будет по-прежнему называться число способов, которым может быть реализовано это состояние, а энтропией объема с газом называться логарифм статистического веса. Утверждение о том, что в любой изолированной физической системе энтропия может лишь либо возрастать, либо оставаться постоянной, представляет собой один из фундаментальнейших законов природы, получивший название второго начала термодинамики. Этот закон означает, в частности, что, если некоторая изолированная физическая система находится в состоянии, характеризуемом максимально возможным значением энтропии, такая система не способна совершить механической работы, поскольку она находится в состоянии равновесия.Для совершения механической работы необходимо, чтобы система имела определенный запас энергии и, кроме того, необходимо, чтобы энтропия этой системы имела значение ниже максимально возможного. Процесс выполнения механической работы будет сопровождаться установлением равновесия и, соответственно, повышением энтропии.

СЕКРЕТ КАЧЕСТВА

Вернемся теперь к нашим рассуждениям о качестве энергии. В свое время мы говорили, что разные виды энергии обладают различным качеством, причем наинизшее качество – у энергии тепловой, затем следует механическая энергия и т. д. Однако сегодня каждый школьник знает, что никакой тепловой энергии на самом деле в природе не существует. Тепловая энергия есть не что иное, как суммарная кинетическая (механическая) энергия движущихся молекул. Процесс преобразования тепловой энергии в механическую, скажем, в паровой машине, есть не что иное, как процесс преобразования механической энергии беспорядочного движения молекул в механическую энергию (работу) упорядоченного движения поршня. Секрет качества кроется именно в том, что в газе молекулы занимают любые области объема и двигаются с любыми скоростями в любых направлениях. Энтропия такой системы высока, а способность совершить работу мала.Чтобы сказанное стало более ясным, рассмотрим для примера цилиндр с поршнем, находящимся в одном из крайних положений, причем пространство перед поршнем заполнено газом (паром) под давлением, значительно большим атмосферного. Если по какой-либо причине поршень остается неподвижным, газ можно рассматривать как изолированную систему (теплообменом со стенками цилиндра пренебрегаем), находящуюся в состоянии с максимальным значением энтропии. Никакой механической работы в такой системе не совершается. Если же поршень имеет возможность двигаться, мы обязаны рассматривать в качестве физической системы систему, состоящую из газа, занимающего рабочий объем цилиндра, самого поршня и пространства по другую сторону поршня. Энтропия такой системы много меньше максимально возможной, поскольку все молекулы собраны лишь в малой части общего объема системы (вспомните бильярдный стол!). Поршень начинает двигаться, газ расширяется вслед за поршнем, и в нем начинают преобладать молекулы, упорядочение движущиеся вслед за поршнем. Образуется как бы газовая струя.Теперь можно окончательно сформулировать наши выводы. В системе с неподвижным поршнем мы имеем только беспорядочное движение молекул. Энтропия такой системы максимальна, и механическая работа в ней не совершается. В системе с движущимся поршнем осуществляется преобразование энергии беспорядочного движения молекул (тепловой) в энергию упорядоченного движения молекул (энергию газовой струи). Энергия газовой струи уже есть механическая энергия, и в дальнейшем происходит лишь обмен механической энергии газовой струи и механической энергии поршня. Возникает вопрос, ради которого и велось все это несколько затянувшееся обсуждение. Что же является причиной того, что в одном случае тепловая энергия остается тепловой, а в другом случае преобразуется в механическую? Единственная причина, которую пока мы можем назвать, – это движение поршня. Сейчас мы перейдем к обсуждению этой причины, однако предварительно сделаем несколько замечаний. Не будет преувеличением сказать, что классическая физика базируется на двух основных законах, получивших название начал термодинамики. Первое начало термодинамики – это закон сохранения энергии. Второе начало термодинамики, как мы только что установили,– это закон неубывания энтропии. Оба начала термодинамики в одинаковой степени универсальны, но (и этот вывод принадлежит нам с вами) они имеют совершенно различную природу. Закон сохранения энергии есть не что иное, как обобщение человеческого опыта. Он просто постулируется. Постулируется по той единственной причине, что до сих пор физикам не удалось поставить ни одного эксперимента, в котором опровергался бы закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии нельзя ни из чего вывести, в него можно просто верить до тех пор, пока он не окажется опровергнутым экспериментом. Есть, правда, все основания полагать, что такого эксперимента не существует.Иное дело закон неубывания энтропии. Как мы только что имели возможность убедиться, закон неубывания энтропии представляет собой следствие самого способа определения понятия энтропии. Физическая реальность состоит в том, что, например, для такой системы, как объем с газом, в силу одинаковости молекул газа и изотропности (то есть неизменяемости свойств при переходе из одной области в другую) физического пространства ни одно из состояний молекул не оказывается предпочтительным. Отсюда следует, что состояние всего объема, в котором молекулы равномерно распределены по всему пространству и движутся во всех направлениях со всеми возможными скоростями, имеет наибольший статистический вес, то есть может быть реализовано наибольшим количеством способов.Здесь небезынтересно сделать следующее замечание. Если разделить статистический вес данного состояния на полное количество способов, которым реализуются все возможные состояния, то получится величина, близкая к вероятности этого состояния, причем приближение тем лучше, чем больше число молекул. Поэтому довольно часто энтропию состояния определяют не как логарифм статистического веса, а как логарифм вероятности этого состояния. Сам закон неубывания энтропии при этом формулируется так: всякая физическая система стремится принять наиболее вероятное состояние. Однако подобная формулировка есть не что иное, как тавтология, ибо наиболее вероятное состояние – это и есть то состояние, в котором система проводит наибольшее количество времени. Сказанное заставляет нас поставить еще один вопрос: можно ли уподоблять друг другу понятия статистического веса и вероятности? Обсуждением этого вопроса мы тоже займемся в свое время.