Текст книги "ПОИСКИ ИСТИНЫ"

Автор книги: Александр Мигдал

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 18 страниц)

КАК СОЗДАВАЛАСЬ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ?

Стану ли я отказываться от своего обеда только потому, что я не полностью понимаю процесс пищеварения?

О. Хэвисайд (один из создателей операционного исчисления)

Яркое представление о работе физиков дает история зарождения и развития квантовой теории. Мы увидим в действии множество методических особенностей научной работы, о которых говорилось в главе «О психологии научного творчества». Но, может быть, самое интересное, что все важнейшие результаты теории возникали до того, как становился ясен физический смысл сделанных предположений! Понимание возникало постепенно, по мере продвижения вперед.

Вы уже могли заметить из наших кратких обсуждений, что частная теория относительности и теория тяготения создавались совсем иначе. Там глубокие и ясные физические идеи предшествовали законченной теории. Может быть, это был последний взлет классической науки прошлого века.

Для XX века характерно именно движение вперед без прочных оснований, через смутные догадки, которые постепенно уточняются и заменяются другими. Словом,

метод проб и ошибок, который мы уже прослеживали на примере открытия кварков. В рассказах о важных открытиях обычно не говорят о неправильных догадках или говорят вскользь, и история науки представляется сплошной чередой оправдавшихся озарений. Разумеется, это не так. Было много блужданий в потемках, путь часто уводил в сторону… Когда обнаружили кажущееся несохранение энергии при beta-распаде, до того, как стало ясно, что часть энергии уносит нейтрино, некоторые физики предполагали, что закон сохранения энергии нарушается в отдельных актах и выполняется только в среднем.

Конечно, анализ удач приносит больше, чем изучение ошибок. Мы не занимаемся сейчас историей физики, а лишь пытаемся почувствовать ход идей, поэтому ограничимся удачами.

Начало квантовой эры

Нам достались в наследство от прошлого века среди прочих два великих парадокса: противоречия эфира И «катастрофа Рэлея-Джинса». Первый парадокс устранила теория относительности. Второй привел к зарождению квантовой теории.

В 1900 году Макс Планк задался целью понять причины странного распределения по частотам интенсивности электромагнитного излучения, которое находится в тепловом равновесии в ящике с нагретыми стенками («черное» излучение). Нужно было объяснить эмпирический закон Вина – интенсивность излучения при большой частоте света экспоненциально падает с увеличением частоты, – между тем как по классической статистике плотность энергии должна расти с частотой. Мы уже упоминали о «катастрофе Рэлея – Джинса» в начале второй главы.

Планк обнаружил, что единственная возможность объяснить парадокс – предположить, что частицы, излучающие волны с частотой со, могут изменять свою энергию только дискретными порциями del E = h omega. Коэффициент пропорциональности h вошел в науку как постоянная Планка – нам уже не раз приходилось говорить о ней.

Предположим, что стенки ящика содержат набор излучателей всевозможных частот. Как будут возбуждены излучатели в тепловом поле? Излучатели малой частоты будут вести себя, как полагается по правилам классической статистической физики, для них скачкообразность энергии несущественна. Все они приобретут энергию, соответствующую температуре стенок. Но излучатели, имеющие большую частоту, для которых h omega больше, чем средняя тепловая энергия, почти все будут с наинизшей энергией. Только очень малая доля будет возбуждена. Чтобы их возбудить, нужно передать им энергию h omega, а с помощью столкновений нельзя передать энергию, много большую, чем средняя тепловая энергия частицы. Вероятность такого события экспоненциально мала. Эти излучатели как будто заморожены, и поэтому экспоненциально мала интенсивность испускаемого ими света. Так объясняется закон Вина. Основываясь на предположении о дискретном изменении энергии излучателей, Планк получил формулу, описавшую экспериментальное распределение интенсивности для всех частот в зависимости от температуры стенок. Для согласия с опытом достаточно было только правильно подобрать константу h. Так было получено численное значение этой величины: h appr 10-27 эрг cdot с. Понятно, почему скачкообразность излучателей не проявляется в других случаях – порции энергии так малы, что изменение энергии кажется непрерывным.

Волна или частица?

Следующее важное событие произошло в 1905 году – появилась замечательная работа Эйнштейна по теории фотоэффекта: вырывания электронов из атома при облучении. В этой работе было показано, что фотоэффект можно объяснить, только предположив, что свет представляет собой набор частиц-фотонов, которые, ударяясь об электрон, выбрасывают его из атома. Представление о свете как о волне не могло объяснить той концентрации энергии на одном электроне, которая необходима для его вырывания.

Эйнштейн показал, что при поглощении или

рождении кванта света – фотона – одновременно исчезает

или появляется количество движения p = h omega/c.

Таким образом, фотон имеет импульс (количество движения),

связанный с длиной волны lambda соотношением

р=2pi h/lambda.

Здесь мы использовали известную связь частоты omega с длиной волны lambda, omega = 2pi/lambda.

Энергия волны заданной частоты может изменяться только порциями h omega, аналогично тому, как изменялась энергия излучателей в рассуждении Планка. Дискретность распространилась и на электромагнитные волны. Более того, формула Планка получается из предположения, что электромагнитное излучение в ящике есть газ частиц-фотонов, находящийся в тепловом равновесии со стенками. Кстати, Эйнштейн получил Нобелевскую премию 1922 года именно за теорию фотоэффекта, а не за свой главный духовный подвиг – теорию относительности и теорию тяготения.

В некотором смысле точка зрения Эйнштейна означала возврат к ньютоновой теории корпускул. Опять возник вопрос, на который не смог ответить Ньютон: как объединить оба представления – о волновой природе света, доказанной опытами по интерференции и дифракции, и о корпускулярной, необходимой для понимания фотоэффекта. Возник важный парадокс – «дуализм волн-частиц».

Постулаты Нильса Бора

В 1913 году вышла в свет знаменитая работа Нильса Бора, в которой он распространил на атом дискретность возможных значений энергии излучателей, предложенную Планком для объяснения свойств равновесного излучения, – допустимы не все орбиты, а только некоторые. Бор установил правила для нахождения допустимых орбит электрона.

С классической точки зрения электрон, вращающийся вокруг ядра (планетарная модель атома), должен излучать электромагнитные волны. Ведь, вращаясь, электрон движется с ускорением, а по законам классической механики не излучает только заряд, движущийся по прямой с постоянной скоростью.

Согласно правилам Бора электрон может излучать свет только при переходе с одной орбиты на другую, причем порциями с частотой omega= (En – Em )/h. Здесь En и Em – возможные значения энергий n-той и т-той орбит.

Есть орбита с наименьшей возможной энергией, в этом состоянии электрон живет неограниченно долго – ему некуда переходить. Так объяснялась стабильность атома. Боровские правила квантования объяснили тот удивительный факт, что атомы испускают свет строго дискретных частот, и позволили выразить эти частоты через заряд ядра, заряд и массу электрона и постоянную Планка.

Таким образом, теория описывала все главнейшие свойства атомов, хотя смысл правил квантования Бора оставался загадочным. Недаром Нильс Бор назвал свои правила «постулатами» – недоказанными предположениями.

Их смысл стал ясен только после создания квантовой механики.

Правила квантования Бора – одно из удивительнейших явлений в истории науки. Только гениальным озарением можно объяснить появление этой теории в то время на таких шатких основаниях! Эйнштейн сказал по этому поводу: «Это высшая музыкальность в области теоретической мысли».

Догадка де Бройля

Лишь в 1923 году произошло событие, которому суждено было объяснить смысл правил квантования. Но сначала оно только обострило проблему волн-частиц. Французский физик Луи де Бройль предположил, что частицы обладают таким же дуализмом, как и свет; частицы должны описываться волновым процессом с длиной волны X, так связанной с количеством движения р, как и длина волны световых частиц – фотонов: lambda = 2 pi h/p.

Уже через четыре года это удивительное предсказание было подтверждено опытом. К. Дэвиссон, Л. Джермер и Дж. П. Томсон открыли дифракцию электронов на кристаллах. Электрон действительно ведет себя как волна!

Подтвердилась не только волновая природа электрона, но и в точности формула де Бройля для длины электронной волны. История повторилась в обратной последовательности: в случае света была сначала изучена волновая природа, а затем корпускулярная, а у электрона – наоборот.

Квантовая механика

Следующий шаг – важнейшее обобщение догадки де Бройля. В 1926 году Эрвин Шрёдингер получил свое знаменитое уравнение для волновой функции (рsi-функ-

ции) частицы, движущейся во внешнем поле. В свободном пространстве – это уравнение для волн с постоянной длиной. Его решение и есть волна де Бройля. Но во внешнем поле, например, в кулоновском поле ядра, длина волны изменяется от точки к точке. Особенно просто найти это уравнение для медленно изменяющегося поля. Тогда и длина волны изменяется медленно, и в каждой точке она определяется формулой де Бройля, но с изменяющимся от точки к точке импульсом р (r). Его можно найти из выражения для энергии:

Первое слагаемое здесь – кинетическая энергия, второе слагаемое – потенциальная. Уравнение Шрёдингера легко получается из уравнения для волн де Бройля, в которое входит слагаемое р2psi, – надо только заменить в нем импульс р на р (r). Наверное, подобные соображения и помогли Шрёдингеру найти это замечательное уравнение.

Оказалось, что решение уравнения Шрёдингера для атома водорода получается в согласии с правилами квантования Бора не для всех энергий, а только для дискретных значений, совпадающих с теми, которые следовали из боровских правил. Объяснились многие детали устройства атомов, которые не объяснялись постулатами Бора. Стал ясен и смысл правила квантования – оно означает, что в области движения электрона должно укладываться целое число волн де Бройля. Но об этом мы подробно поговорим еще в следующих разделах и даже найдем решения упрощенного уравнения Шрёдингера для разных случаев.

За несколько месяцев до Шрёдингера Вернер Гейзенберг предложил другой вариант квантовой теории. Он, исходя из принципа наблюдаемости, представил величины как совокупность всех возможных амплитуд перехода из одного состояния квантовой системы в другие. Сама вероятность перехода пропорциональна квадрату амплитуды, точнее, квадрату модуля амплитуды – это уточнение для тех, кто знаком с комплексными числами. Именно такие амплитуды перехода и наблюдаются на опыте. В таком представлении каждая величина имеет два значка, определяющих начальное и конечное состояния системы. Эти величины называются «матрицами». Так, координате q соответствует матрица – совокупность матричных элементов qmn , где m иn – два состояния системы. Гейзенберг получил замкнутые уравнения, из которых в принципе можно найти все наблюдаемые величины. Однако в своей первоначальной форме матричная механика Гейзенберга казалась неоправданно сложной по сравнению с волновой механикой Шрёдингера. Уже в 1926 году Шрёдингер показал полную эквивалентность обоих подходов. Матричная и волновая механики объединились в квантовую.

Сейчас физики запросто обращаются с матрицами, уравнения для матриц не кажутся сложными. Но для того, чтобы получить аналитические результаты, удобнее, как говорят, перейти в координатное представление и вместо уравнения для матриц решать уравнение Шрёдингера.

Даниил Данин в книге «Вероятностный мир» описывает во всех деталях и с удивительной поэтичностью всю драму зарождения квантовой механики. Там приводится поучительный рассказ: «Летом 25-го года, когда волновой механики еще не существовало, а матричная только-только появилась на свет, два геттингенских теоретика пошли на поклон к знаменитому Давиду Гильберту – признанному главе тамошних математиков. Бедствуя с матрицами, они захотели попросить помощи у мирового авторитета. Гильберт выслушал их и сказал в ответ нечто в высшей степени знаменательное: всякий раз, когда ему доводилось иметь дело с этими квадратными таблицами, они появлялись в расчетах «как своего рода побочный продукт» при решении волновых уравнений.

– Так что, если вы поищете волновое уравнение, которое приводит к таким матрицам, вам, вероятно, удастся легче справляться с ними.

По рассказу американца Эдварда Кондона, то были Макс Борн и Вернер Гейзенберг. А заканчивается этот рассказ так: «Оба теоретика решили, что услышали глупейший совет, ибо Гильберт просто не понял, о чем шла речь. Зато Гильберт потом с наслаждением смеялся, показывая им, что они могли бы открыть шрединге-ровскую волновую механику на шесть месяцев раньше ее автора, если бы повнимательней отнеслись к его, гильбертовым, словам».

На этом закончился первый этап развития квантовой механики. Несмотря на все успехи новой механики, оставался нерешенным главный вопрос: что же такое волновая функция, основной инструмент теории?

Координата или скорость?

В 1927 году Вернер Гейзенберг сделал важнейший шаг на пути к пониманию физического смысла новой механики. Анализируя возможности измерения координаты и импульса электрона, он пришел к заключению, что условия, благоприятные для измерения положения, затрудняют нахождение импульса и наоборот – в этом смысле эти два понятия дополнительны друг другу. Для доказательства он пользовался мысленными экспериментами. Вот краткая схема одного из таких экспериментов.

Для того чтобы определить положение электрона, нужно осветить его светом и посмотреть в «микроскоп». Такой способ определения координаты дает неопределенность del q порядка длины волны X использованного света: del q appr lambda.

Для уточнения положения электрона надо брать возможно меньшую длину волны света. Но это палка о двух концах. При взаимодействии с электроном свет передает ему импульс. Чтобы уменьшить передаваемый импульс, можно ослабить интенсивность света так, чтобы с электроном взаимодействовал один фотон. Минимальный передаваемый электрону импульс будет порядка импульса одного кванта, этот импульс связан с дли-

ной волны соотношением р=2pi h/lambda, поэтому неопреде-

ленность импульса электрона: del р›2pi h/lambda.

Умножая на lambda и подставляя del q вместо lambda, получаем:

del q del p ›2 pi h.

Это и есть соотношение неопределенности.

Попробуем измерить координату электрона другим способом – будем пропускать пучок электронов через отверстие в экране; плоскость экрана перпендикулярна пучку. Со светом такой опыт много раз делался, и хорошо известно, что получается. Если за отверстием поместить второй экран, то на нем мы увидим яркое пятно того же размера, что и отверстие, но края пятна будут размыты, пятно расширяется. Свет у краев отверстия загибается – это результат его волновой природы. Получится пучок световых лучей внутри некоторого угла. Этот угол – угол дифракции – равен teta=lambda/d,

где lambda – длина волны, ad – диаметр отверстия. Если расстояние от отверстия до второго экрана l, то радиус ди-

фракционного пятна будет R=l /teta ~ /lambda l /d.

Вокруг центрального пятна чередуются концентрические темные и светлые кольца, быстро убывающие по интенсивности.

Загибание световых лучей легко увидеть, если закрыть почти полностью свет лампочки линейкой, держа ее на вытянутой руке. Линейка покажется выщербленной в том месте, где проходит свет. Звуковые волны гораздо длиннее световых, и поэтому звук легко огибает препятствия.

Так как с электроном связан волновой процесс, аналогичная дифракционная картина получится и при прохождении через отверстие пучка электронов. В момент прохождения отверстия поперечная направлению пучка координата электрона будет определена с точностью del q~d, где d – диаметр отверстия.

Что будет по другую сторону экрана? По законам дифракции после прохождения отверстия получится пучок волн всех направлений, лежащих внутри дифракционного угла teta=lambda/d. Но теперь lambda – это длина волны электрона lambda = 2 pi h/ p, где р – импульс электрона в падающем пучке. Отклонение электрона от прежнего направления после прохождения отверстия означает, что электрон получил импульс отдачи del р в поперечном направлении, причем

Подставляя выражение для lambda и заменяя d на del q, получим опять соотношение Гейзенберга. Проделав большое число таких мысленных экспериментов с тем же результатом, нельзя не прийти к заключению, что мы имеем дело с принципиальным ограничением, которое природа накладывает на понятия координаты и импульса частицы. Этого ограничения не знала классическая физика – оно не вносит изменений в описание больших тел из-за малости h.

Соотношение неопределенности – частный случай и конкретное выражение общего принципа дополнительности, сформулированного Нильсом Бором в 1927 году (см. с. 46). Принципиальная неопределенность некоторых величин есть следствие применения классических понятий к описанию неклассических объектов, квантовая природа микрообъектов дополнительна к их классическому описанию. Но классическое описание результатов наблюдений неизбежно. Все измерительные приборы

166

обязательно классичны, при измерении недопустимы неопределенности, прибор должен давать определенное численное значение измеряемой величины. Особенности наблюдений квантовых объектов мы обсудим немного позже.

Физический смысл волновой функции

Вернемся к нашему опыту с отверстием в экране. Поставим далеко за экраном фотопластинку. Электрон, попадая на нее, вызовет почернение какого-либо зерна эмульсии, после чего его координата определится с точностью до размера зерна. Пучок электронов после дифракции на отверстии зачернит круг с радиусом R=1lambda/d. Теперь уменьшим интенсивность пучка электронов так, чтобы каждый электрон падал на пластинку, скажем, раз в минуту. После долгого ожидания получится та же картина, что и при интенсивном пучке. Но электроны падали поодиночке, значит, уже одному электрону следует приписать вероятность попасть в то или иное место. Уже для одного электрона эта вероятность распределена вблизи пластинки так, что она максимальна в центре, слегка убывает от центра к радиусу R, а затем за пределами дифракционного пятна начинает резко убывать.

Проследим, как осуществляется соотношение неопределенности в нашем опыте. На экран падают электроны с очень точно определенным импульсом – их поперечный импульс равен нулю, следовательно, поперечная координата полностью неопределенна – теперь мы можем сказать точнее: вероятность до прохождения отверстия найти электрон в любой точке экрана одинакова. После прохождения отверстия поперечный импульс делается неопределенным, зато поперечная координата становится более определенной. Вероятность найти электрон на фотопластинке вне дифракционного пятна мала, неопределенность поперечной координаты del q~R.

Анализ такого рода опытов привел Макса Борна (1926) к мысли, что волновая функция описывает вероятность того или иного значения координаты или импульса электрона в зависимости от типа поставленного опыта. При этом вероятность определяется квадратом волновой функции. Что помогло прийти к такому заключению?

Вспомним, что теория волновых явлений света – интерференции и дифракции – была разработана задолго до уравнений Максвелла, до того как была понята электромагнитная природа света. Предполагалось только, что источник света испускает волны неизвестной природы, а интенсивность света пропорциональна квадрату той величины, которая колеблется. В современном представлении колеблются во времени и пространстве электрические и магнитные поля и интенсивность света пропорциональна их квадрату. Но почти все волновые проявления не зависят от природы света.

Было естественно и для волн, связанных с частицами, считать, что есть некий волновой процесс, а интенсивность – в нашем случае вероятность – пропорциональна квадрату волновой функции.

Сначала предполагалось, что волновым свойствам частицы соответствует некое реальное физическое поле, подобное электромагнитному полю в световой волне.

Но тогда уже один электрон давал бы в одном акте всю дифракционную картину, между тем он чернит одно зерно. Это только один из доводов; от этого взгляда на природу волнового процесса пришлось отказаться по многим причинам. Таким образом, волновая функция частицы не есть какое-либо физическое поле, она представляет собой запись потенциальных возможностей исхода того или иного последующего наблюдения.

Волновая функция есть максимально полное допустимое описание состояния частицы. Она заменяет классическое состояние, которое задается координатами и скоростями.

Волновая функция, описывающая состояние электромагнитного поля, имеет ту же природу; она не есть электромагнитное или какое-либо другое физическое поле, она определяет только вероятность того или иного значения поля в каждой точке.

Применению квантовой механики к полю посвящен конец этой главы.