Текст книги "ПОИСКИ ИСТИНЫ"

Автор книги: Александр Мигдал

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 18 страниц)

Логический анализ

Как пример анализа логической структуры доказательства рассмотрим теоретическое доказательство того, что все тела падают с одинаковой скоростью. Оно было приведено Галилеем в его знаменитой книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (1638). Опровергая утверждение Аристотеля, что более тяжелые тела падают с большей скоростью, Галилей приводит следующие рассуждения. Допустим, Аристотель прав, и тяжелое тело падает быстрее. Скрепим два тела – легкое и тяжелое. Тяжелое тело, стремясь двигаться быстрее, будет ускорять легкое, а легкое, стремясь двигаться медленнее, будет тормозить тяжелое. Поэтому скрепленное тело должно двигаться с промежуточной скоростью. Но ведь оно тяжелее, чем каждая из его частей, и будет двигаться не с промежуточной скоростью, а со скоростью, большей, чем скорость его более тяжелой части. Возникло противоречие, и значит, исходное предположение неверно.

Так же можно привести к противоречию и обратное предположение, что легкие тела падают быстрее тяжелых. Можно повторить это рассуждение, скрепляя два одинаковых тела. Они не ускоряют и не замедляют друг друга и должны двигаться со скоростью каждого из них; таким образом, тело, вдвое большее, двигается с той же скоростью. Следовательно, все тела падают с одинаковой скоростью.

Теперь надо задуматься. На первый взгляд имеется строгое чисто логическое доказательство того, что все тела падают с одинаковой скоростью. Но, с другой стороны, этот вывод не может быть получен умозрительным путем без использования каких-то экспериментальных фактов. Говоря современным языком, в доказательстве каким-то образом уже заложена информация, полученная в опытах Галилея, когда разные по весу тела падали с одинаковой скоростью.

Итак, мы пока не понимаем логической структуры этого доказательства и, значит, не уверены в его убедительности.

Поскольку предположение, что тела большего веса падают с большей скоростью, логически допустимо, мы вправе использовать рассуждение Галилея, чтобы установить, каким фактам оно противоречит. Тогда добавление малого тела к большому должно не замедлять его, а ускорять, ведь получившееся после скрепления тело должно падать с еще большей скоростью. С другой стороны, если два тела скреплены тонкой длинной ниткой, то они будут стремиться двигаться так же, как и без скрепления, то есть тело большего веса будет стремиться двигаться быстрее, а малое тело будет его тормозить. Тогда как при основательном скреплении малое тело должно ускорять большое. Это означает, что скорость падения тела зависит от того, слабо или сильно скреплены его части. Из опытов по взвешиванию известно, что вес тела равен сумме весов частей, из которых тело состоит, независимо от того, как эти части скреплены. Следовательно, вес скрепленного тела не зависит от способа скрепления, а скорость падения согласно нашему предположению – зависит. А это противоречит опытам Галилея по падению тел на наклонных плоскостях, из которых следует, что скорость падения однозначно определяется силой и, следовательно, не зависит от способа скрепления частей. Итак, доказательство Галилея не чисто логическое построение, в нем неявно использованы известные в то время экспериментальные факты.

В заключение попробуем применить ко всему сказанному идею предельного упрощения.

Движущей силой в науке должно быть не стремление совершить переворот, добиться успеха, а любознательность, способность удивляться и радоваться каждой малой удаче и, главное, ощущение красоты науки. Необходимо воспитать в себе безупречную добросовестность и способность доводить любой самый сложный вопрос до предельной простоты и ясности. Найти выход из многих психологических противоречий. Руководствоваться интуицией, но не доверять ей. Знать все трудности, но уметь на время от них отвлекаться. Верить в результат и в то же время упорно искать его опровержение. Найти свой стиль работы, но менять его по мере накопления опыта и с каждым большим открытием. Короче, нужно все понять «до оснований, до корней, до сердцевины», как сказано у Пастернака.

Эти стихи начинаются словами: «Во всем мне хочется дойти до самой сути. В работе, в поисках пути, в сердечной смуте…»

Пусть эти строки послужат напутствием тем, кто решился посвятить себя науке.

О КРАСОТЕ НАУКИ

Неудивительно, что истинное прекрасно, ведь истина отражает красоту и гармонию Вселенной. Но более того – красивое часто оказывается истинным. Когда у математика или физика возникает изящное построение, оно почти всегда либо решает поставленную задачу, либо будет использовано для каких-то других, будущих задач. Мы увидим это на примере одного из главных направлений современной физики – поисков симметрии пространства и внутренней симметрии элементарных частиц. Но прежде нужно понять, что такое красота в науке и как поиски красоты приближают нас к познанию природы.

ПОИСКИ КРАСОТЫ

Чему бы жизнь нас ни учила, Но сердце верит в чудеса: Есть нескудеющая сила, Есть и нетленная краса.

Ф. Тютчев

Можно ли ограничиться чисто внешней красотой или за ней следует искать более глубокую, несущую некий высший смысл? В чем красота логических построений? Главные направления физики XX века – поиски симметрии и единства картины мира.

Алгебра и гармония

Что такое красота? Часто мы называем красивым то, что соответствует нормам и идеалам нашего времени. Идеалы и моды у каждой эпохи свои. Но есть красота нетленная, непреходящая, к которой человечество обязательно возвращается. Нас никогда не перестанут радо-

вать пропорции Парфенона, гармоничность и единство с природой церкви Покрова на Нерли… Я огорчаюсь всякий раз, когда слышу фразу: «На вкус и цвет товарищей нет…» Как раз обратное – удивляешься тому, как много людей одинаково оценивают красоту. И что примечательно: те, кто не входит в это большинство, обычно не единодушны в своих мнениях. В этом доказательство объективности понятия прекрасного.

Можно ли ограничиться внешним восприятием красоты? Можно ли оценить красоту, измеряя линейкой соотношения размеров? За чисто внешней красотой лица мы ищем красоту духовную, благородство, напряжение мысли.

И в конкретном и в абстрактном искусстве значительность произведения определяется тем, насколько оно выходит за рамки внешнего воздействия, насколько глубоко взаимодействуют и соотносятся части целого.

Мой покойный друг скульптор Алексей Зеленский говорил: «Я сажусь в метро и смотрю на ноги сидящих. Потом поднимаю глаза и вижу: а голова-то ведь от этих ног! Вот когда поймешь, почему при этой голове должны быть именно такие ноги, можно делать портрет». Валерий Брюсов писал: «Есть тонкие, властительные связи меж контуром и запахом цветка». Это взаимодействие частей иногда радует взор, как в «Поцелуе» Родена, картинах Рафаэля или Ватто, но может быть напряженным и трагическим, как в «Рабах» Микеланджело, у Эль Греко или Гойи.

Вот строки Осипа Мандельштама:

…Но чем внимательней, твердыня Notre-Dame, Я изучал твои чудовищные ребра, Тем чаще думал я: «Из тяжести недоброй И я когда-нибудь прекрасное создам…»

По словарю Ларусса, красивое – это то, что «радует глаз или разум».

Мы говорим о красоте музыки Моцарта, пушкинских стихов, но что можно сказать о красоте науки, мысленных построений, которых не нарисовать на бумаге, не высечь из камня, не переложить на музыку?

Крдсота науки, как и искусства, определяется ощущением соразмерности и взаимосвязанности частей, образующих целое, и отражает гармонию окружающего мира.

Вот что говорит Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод»: «Если бы природа не была прекрасна, она не стоила бы того, чтобы ее знать; жизнь не стоила бы Toго, чтобы ее переживать. Я здесь говорю, конечно, не о той красоте, которая бросается в глаза (…), я имею в виду ту более глубокую красоту, которая открывается в гармонии частей, которая постигается только разумом. Это она создает почву, создает скелет для игры видимых красок, ласкающих наши чувства, и без этой поддержки красота мимолетных впечатлений была бы несовершенна, как все неотчетливое и преходящее. Напротив, красота интеллектуальная дает удовлетворение сама по себе».

Красота логических построений

Красота, о которой говорит Пуанкаре, – это не только отражение гармонии материального мира, это и красота логических построений. Логическое – один из объектов познания, его объективность доказывается общеобязательностью логических заключений. Логическая красота так же объективна, как и красота физических законов. Мы часто ощущаем изящество теории и в том случае, когда предсказания ее не подтвердились экспериментом. Под «изяществом» понимается остроумие аргументации, установление неожиданных связей, богатство и значительность заключений при минимальном числе правдоподобных предположений… Словом, то, что отражает красоту законов разума.

Красота логических построений в самом чистом виде проявляется в математике. Так, математика изучает все возможные геометрии пространства с произвольным или даже бесконечным числом измерений. Математическая ценность и красота этих результатов не зависят от того, какая именно из геометрий осуществляется в нашем трехмерном мире.

Один из удивительных примеров математической красоты – это «алгебра высказываний», или «алгебра логики», позволившая анализировать законы и возможности логических заключений.

Еще у Аристотеля была идея составлять сложные рассуждения, последовательно применяя более простые элементы, независимые от природы объектов, о которых идет речь. Дальнейшее развитие эта идея получила у Лейбница – он пытался придать аристотелевой логике алгебраическую форму. Но только в середине прошлого века идея превратилась в законченную теорию (см.: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963).

Обычная алгебра, которую учат в школе, не единственно возможная. Если вы увидите книгу под названием «Алгебры Ли», не думайте, что множественное число – это опечатка.

Можно определить понятия сложения и умножения объектов и при этом отказаться от аксиом обычной алгебры, например от предположения, что результат умножения не зависит от порядка сомножителей. Получится другая алгебра. Причем анализ соотношений в ней целиком определяется принятыми аксиомами о свойствах операций и не зависит от ее конкретного воплощения. «Действенность анализа зависит не от истолкования символов, а исключительно от законов их комбинации» – так выразил суть и силу математической абстракции Джордж Буль, автор книги «Исследование законов мысли».

Буль построил алгебру на такой системе аксиом (или, как говорят математики, «исследовал структуру»), которая описывает свойства высказываний. Одновременно эта же структура представляет и алгебру релейных электрических цепей, без которой невозможно построение сколько-нибудь сложной ЭВМ. Только на основе подобной математической, или символической, логики возможно научное обсуждение таких волнующих человечество проблем, как выяснение мыслительных возможностей ЭВМ и создание искусственного интеллекта.

Элементами алгебры высказываний служат простые суждения, вроде «в этой книге больше ста страниц» или «протон состоит из трех кварков». Они обозначаются буквами А, В, С… Два высказывания считаются равными, если истинность одного означает и истинность другого. Например, если А – «сегодня 10 мая», а В – «послезавтра 12 мая», то А = В.

Сумма А + В означает новое высказывание, которое получается соединением А и В союзом «или» в том смысле, что справедливо, по крайней мере, одно из двух высказываний А или В. Если А – «я люблю тебя», а В – «ты любишь меня», то А + В означает либо «я люблю тебя», либо «ты любишь меня», либо «мы любим друг друга». Мы используем для этой операции знак «плюс», следуя книге И. М. Яглома «Булева структура и ее модели» (М., «Советское радио», 1980).

Отсюда следует одно из отличий этой алгебры от школьной: повторение высказывания не означает нового утверждения. Поэтому А+А = А.

Определим произведение АВ как высказывание, которое получается соединением А, В союзом «и». С = АВ в нашем примере означает: «я люблю тебя и ты любишь меня = мы любим друг друга». Тогда А2 = А. Нетрудно получить и более сложное соотношение:

АВ + С = (А + С) (В + С).

Введем отрицание. А – отрицание А. Если А – «электрон массивнее протона», то А – «электрон не

массивнее протона». Тогда А = А и АА = 0. Под знаком О следует понимать заведомо неверное суждение: электрон не может быть одновременно и массивнее и не массивнее протона.

Мы не будем двигаться дальше, уже этого немногого достаточно, чтобы почувствовать идею исчисления высказываний. Тем, кто заинтересовался, будет полезно почитать упомянутую книгу Яглома.

Интересна судьба автора этой удивительной алгебры. Джордж Буль (1815-1864) родился в Англии в бедной семье. Он не учился ни в одном учебном заведении, окончив лишь начальные классы школы для бедных. Самостоятельно изучив латынь и древнегреческий, двенадцатилетний Буль стал печатать в местных изданиях свои переводы Горация. После долгих поисков работы, которая оставляла бы ему время для самообразования, Буль открыл маленькую школу, в которой был единственным преподавателем. К счастью, два влиятельных математика – Д. Грегори, издававший математический журнал, и О. де Морган, профессор Кембриджского университета, оценили оригинальность и глубину мысли первых работ Буля. В 1849 году он сделался профессором математики в колледже города Корк в Ирландии. Здесь он женился на Мэри Эверест, родственнице бывшего председателя геодезического комитета Индии, именем которого была названа самая высокая вершина мира – Эверест (Джомолунгма). Одна из дочерей Буля – Этель Лилиан – вышла замуж за польского революционера Войнича и стала известна у нас как автор романа «Овод». Как переплетаются судьбы и события!

Совсем другого рода красота логических построений в физике. В математике правильность интуитивной догадки проверяется логически; в физике же, изучающей

мир вещей, верховный судья – эксперимент. Необязательно каждый раз обращаться к нему для проверки теории, чаще всего теория опровергается или подтверждается при тщательном анализе сделанных ранее экспериментов или вытекающих из них соотношений. Теоретические построения в физике требуют постоянного согласования с тем, что мы уже знаем об окружающем мире. Физическая теория – не логическое следствие из принятых аксиом, а здание, построенное на правдоподобных предположениях, которые предстоит проверить. Казалось бы, здание строится на шатких основаниях, но слабые звенья постоянно заменяются более крепкими, и здание делается все прочнее.

В главе «Как работают физики» будет много примеров того, как неуклонно приводит к цели метод проб и ошибок. Вы увидите, как мало было оснований для гениальной догадки де Бройля о волновых свойствах частиц: раз свет – и волна и частица, почему бы электрону тоже не быть сразу и частицей и волной! Или другой пример: уравнение Шрёдингера, блестяще объяснившее свойства атома еще до того, как смутные и тончайшие соображения привели к пониманию физического смысла волновой функции.

Есть особая прелесть в этих поисках в потемках, где проводник – шестое чувство!

Математик не может без негодования смотреть, «как физик суммирует бесконечные ряды, предполагая при этом, что два-три члена ряда дают хорошее приближение ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все «моральные нормы». Но вместе с тем эффективность «колдовства» физиков… оставляет математика в состоянии немого изумления». Я цитирую книгу Ю. И. Манина «Математика и физика» (М., «Знание», 1979). Очень жаль, что глубокие и остроумные замечания этой книги адресованы в основном математикам.

Результативность интуитивных методов физики объясняют слова, написанные на камине в доме Эйнштейна: «Господь Бог изощрен, но не злонамерен». Экзотические ситуации, которые математик обязан предусмотреть, создавая строгое доказательство, редко встречаются в реальном мире – бесконечности и разрывы есть результат упрощенной или неудачной формулировки. Можно ожидать, что те же величины в более совершенной теории окажутся конечными и непрерывными при вещественных значениях переменных. И тогда возмущенный математик получит строгим путем часть уже известных физикам соотношений.

Красота теории имеет в физике почти определяющее значение, делает недостоверные рассуждения достаточно убедительными, чтобы поставить эксперимент для проверки предположений. В следующей главе у нас еще будет повод сравнить поиски истины в физике и в математике. Несмотря на различие методов и объекта познания, физика не может обойтись без математического языка и математического аппарата.

Разумеется, не все естественные науки нуждаются в математике в такой мере, как физика. В биологии основное – это процессы жизни, не сводящиеся к числовым характеристикам. Легко может быть математизирована только та сторона биологических явлений, которая определяется физико-химическими процессами. Впрочем, возможно, уже в скором времени возникнут новые математические структуры, которые позволят формализовать более глубокие стороны биологии и даже искусства.

Скрытая красота

Не странно ли, что математика, исследующая мир логических отношений, позволяет проникать в тайны мира вещей? Красота физики открывается во всей полноте только с помощью математики.

Теория относительности возникла из глубочайшего пересмотра понятий времени и пространства. Математики почти не потребовалось. Но завершенную красоту теория приобретает, если воспринимать ее как следствие симметрии природы относительно поворотов в четырехмерном пространстве, где четвертая координата – время. Уравнения теории тяготения, несмотря на глубину и ясность идей, лежащих в ее основе, нельзя даже представить себе без методов описания величин в пространстве с геометрическими свойствами, которые изменяются от точки к точке.'

Дмитрий Иванович Менделеев обнаружил удивительную симметрию химических свойств, но подлинную красоту таблица Менделеева обрела после создания квантовой механики, когда полностью раскрылась природа этой симметрии.

Почему симметрия, объясняющая независимость энергии атома водорода от момента количества движения, видна, как показал В. А. Фок, только во вспомогатель

ном четырехмерном пространстве после сложных преобразований?

Почему квантовая электродинамика становится особенно красивой и простой, если описывать позитрон как электрон, движущийся вспять во времени, хотя в действительности любой физический объект движется во времени только вперед? Это дало право замечательному американскому физику Джону Уилеру высказать дикую, но красивую и ошеломляющую идею, что все электроны и позитроны мира – это проекция на плоскость времени – мгновенный разрез – клубка движений вперед и назад одного-единственного электрона. Фейнман рассказал в нобелевской речи, как ему позвонил Уилер: «Фейнман, я знаю, почему у всех электронов одинаковый заряд и масса!» – «Почему же?» – «Потому что все это один и тот же электрон!»

Природа почему-то скрывает часть красоты от самого пристального взгляда физиков и позволяет увидеть ее только с помощью сложнейших математических построений. Почему математика оказывается таким точным и незаменимым инструментом, вскрывающим красоту опытных наук? Не означает ли это, что она изучает не мир логических построений сам по себе, а через него все возможные реализации мира вещей; не нашу единственную Вселенную и не только те законы, которые ею управляют, а все возможные законы, которые могли бы реализоваться при других начальных условиях или в других вселенных?

Красота логических построений в науке – аналог одухотворенности в искусстве. Красота линий и красок в «Троице» Рублева – гениальная метафора субстанции «неделимой, неслиянной, единосущной»; у Достоевского напряженность и богатство духовных связей делают не-приглаженную прозу единственно возможной, а значит, красивой.

Не ошибаюсь ли я, так настойчиво сравнивая красоту в науке и в искусстве? Ведь в искусстве всякое творение индивидуально и неповторимо – образ Дон-Жуана создавали многие, и среди них Мольер, Байрон, Пушкин, каждый по-своему. А в науке задача состоит в том, чтобы найти закон природы, не зависящий от индивидуальности ученого…

И тем не менее рационализм ученого кончается на принципах познания. Конкретная реализация поисков всегда индивидуальна. Истину можно устанавливать разными способами. Форма осуществления идеи, как и в искусстве, отражает богатство духовного мира создателя. По способу подхода к задаче, по характеру используемых методов, по типу остроумия можно и в науке узнать автора работы. Когда крупный ученый решает пусть даже малую задачу, созданные им методы продолжают жить и развиваться в задачах более значительных.

Как проявляется красота в науке? Я буду говорить о своей науке – физике. Вся ее история – это поиски симметрии и единства мира, то есть поиски той внутренней красоты, о которой мы только что говорили.