Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ГЕ)"

Автор книги: Большая Советская Энциклопедия

сообщить о нарушении

Текущая страница: 52 (всего у книги 95 страниц)

  Из всего разнообразия геометрических теорий фактически более всего развиваются n-мерная евклидова Г. и риманова (включая псевдориманову) Г. В первой разрабатывается, в особенности, теория кривых и поверхностей (и гиперповерхностей разного числа измерений), причём особое развитие получает исследование поверхностей «в целом» и поверхностей, существенно более общих, чем гладкие, изучавшиеся в классической дифференциальной Г.; сюда же включаются многогранники (многогранные поверхности). Затем нужно назвать теорию выпуклых тел, которая, впрочем, в большой части может быть отнесена к теории поверхностей в целом, т.к. тело определяется своей поверхностью. Далее – теория правильных систем фигур, т. е. допускающих движения, переводящие всю систему саму в себя и какую-либо её фигуру в любую другую (см. Федоровские группы). Можно отметить, что значительное число важнейших результатов в этих областях принадлежат сов. геометрам: очень полная разработка теории выпуклых поверхностей и существенное развитие теории общих невыпуклых поверхностей, разнообразные теоремы о поверхностях в целом (существования и единственности выпуклых поверхностей с заданной внутренней метрикой или с заданной той пли иной «функцией кривизны», теорема о невозможности существования полной поверхности с кривизной, всюду меньшей какого-либо отрицательного числа, и др.), исследование правильного деления пространства и др.

  В теории римановых пространств исследуются вопросы, касающиеся связи их метрических свойств с топологическим строением, поведение геодезических (кратчайших на малых участках) линий в целом, как, например, вопрос о существовании замкнутых геодезических, вопросы «погружения», т. е. реализации данного n-мерного риманова пространства в виде n-мерной поверхности в евклидовом пространстве какого-либо числа измерений, вопросы псевдоримановой Г., связанные с общей теорией относительности, и др. К этому можно добавить развитие разнообразных обобщений римановой Г. как в духе общей дифференциальной Г., так и в духе обобщений синтетической Г.

  В дополнение следует упомянуть алгебраическую геометрию, развившуюся из аналитической Г. и исследующую прежде всего геометрические образы, задаваемые алгебраическими уравнениями; она занимает особое место, т.к. включает не только геометрические, но также алгебраические и арифметические проблемы. Существует также обширная и важная область исследования бесконечномерных пространств, которая, однако, не причисляется к Г., а включается в функциональный анализ, т.к. бесконечномерные пространства конкретно определяются как пространства, точками которых служат те или иные функции. Тем не менее в этой области есть много результатов и проблем, носящих подлинно геометрический характер и которые поэтому следует относить к Г.

  Значение геометрии. Применение евклидовой Г. представляет самое обычное явление всюду, где определяются площади, объёмы и т.п. Вся техника, поскольку в ней играют роль формы и размеры тел, пользуется евклидовой Г. Картография, геодезия, астрономия, все графические методы, механика немыслимы без Г. Ярким примером является открытие И. Кеплером факта вращения планет по эллипсам; он мог воспользоваться тем, что эллипс был изучен ещё древними геометрами. Глубокое применение Г. представляет геометрическая кристаллография, послужившая источником и областью приложения теории правильных систем фигур (см. Кристаллография).

  Более отвлечённые геометрические теории находят широкое применение в механике и физике, когда совокупность состояний какой-либо системы рассматривается как некоторое пространство (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Так, все возможные конфигурации (взаимное расположение элементов) механической системы образуют «конфигурационное пространство»; движение системы изображается движением точки в этом пространстве. Совокупность всех состояний физической системы (в простейшем случае – положения и скорости образующих систему материальных точек, например молекул газа) рассматривается как «фазовое пространство» системы. Эта точка зрения находит, в частности, применение в статистической физике и др.

  Впервые понятие о многомерном пространстве зародилось в связи с механикой ещё у Ж. Лагранжа, когда к трём пространств. координатам х, у, z в качестве четвёртой формально присоединяется время t. Так появляется четырёхмерное «пространство – время», где точка определяется четырьмя координатами х, у, z, t. Каждое событие характеризуется этими четырьмя координатами и, отвлеченно, множество всех событий в мире оказывается четырёхмерным пространством. Этот взгляд получил развитие в геометрической трактовке теории относительности, данной Г. Минковским, а потом в построении А. Эйнштейном общей теории относительности. В ней он воспользовался четырехмерной римановой (псевдоримановой) Г. Так геометрические теории, развившиеся из обобщения данных пространственного опыта, оказались математическим методом построения более глубокой теории пространства и времени. В свою очередь теория относительности дала мощный толчок развитию общих геометрических теорий. Возникнув из элементарной практики, Г. через ряд абстракций и обобщений возвращается к естествознанию и практике на более высокой ступени в качестве метода.

  С геометрической точки зрения многообразие пространства – времени обычно трактуется в общей теории относительности как неоднородное римановского типа, но с метрикой, определяемой знакопеременной формой, приводимой в бесконечно малой области к виду

  dx² + dy² + dz² – c²dt²

  (с — скорость света в вакууме). Само пространство, поскольку его можно отделить от времени, оказывается также неоднородным римановым. С современной геометрической точки зрения лучше смотреть на теорию относительности следующим образом. Специальная теория относительности утверждает, что многообразие пространства – времени есть псевдоевклидово пространство, т. е. такое, в котором роль «движений» играют преобразования, сохраняющие квадратичную форму

  x² + y² + z² – c²t²

  точнее, это есть пространство с группой преобразований, сохраняющих указанную квадратичную форму. От всякой формулы, выражающей физический закон, требуется, чтобы она не менялась при преобразованиях группы этого пространства, которые суть так называемые преобразования Лоренца. Согласно же общей теории относительности, многообразие пространства – времени неоднородно и лишь в каждой «бесконечно малой» области сводится к псевдоевклидову, т. е. оно есть пространство картановского типа (см. раздел Современная геометрия). Однако такое понимание стало возможно лишь позже, т.к. само понятие о пространствах такого типа появилось после теории относительности и было развито под её прямым влиянием.

  В самой математике положение и роль Г. определяются прежде всего тем, что через неё в математику вводилась непрерывность. Математика как наука о формах действительности сталкивается прежде всего с двумя общими формами: дискретностью и непрерывностью. Счёт отдельных (дискретных) предметов даёт арифметику, пространств. непрерывность изучает Г. Одним из основных противоречий, движущих развитие математики, является столкновение дискретного и непрерывного. Уже деление непрерывных величин на части и измерение представляют сопоставление дискретного и непрерывного: например, масштаб откладывается вдоль измеряемого отрезка отдельными шагами. Противоречие выявилось с. особой ясностью, когда в Древней Греции (вероятно, в 5 в. до н. э.) была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата: длина диагонали квадрата со стороной 1 не выражалась никаким числом, т.к. понятия иррационального числа не существовало. Потребовалось обобщение понятия числа – создание понятия иррационального числа (что было сделано лишь много позже в Индии). Общая же теория иррациональных чисел была создана лишь в 70-х гг. 19 в. Прямая (а вместе с нею и всякая фигура) стала рассматриваться как множество точек. Теперь эта точка зрения является господствующей. Однако затруднения теории множеств показали её ограниченность. Противоречие дискретного и непрерывного не может быть полностью снято.

  Общая роль Г. в математике состоит также в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов. Так, Г. характеризуется не только своим предметом, но и методом, идущим от наглядных представлений и оказывающимся плодотворным в решении многих проблем др. областей математики. В свою очередь, Г. широко использует их методы. Т. о., одна и та же математическая проблема может сплошь и рядом трактоваться либо аналитически, либо геометрически, или в соединении обоих методов.

  В известном смысле, почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и Г., а в смысле метода – из сочетания выкладок и геометрических представлений. Это видно уже в понятии совокупности всех вещественных чисел как числовой прямой, соединяющей арифметические свойства чисел с непрерывностью. Вот некоторые основные моменты влияния Г. в математике.

  1) В возникновении и развитии анализа Г. наряду с механикой имела решающее значение. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объемов, начатого ещё древними учёными, причём площадь и объём как величины считались определёнными; никакое аналитическое определение интеграла не давалось до 1-й половины 19 в. Проведение касательных было одной из задач, породивших дифференцирование. Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и сохраняет своё значение. В самой терминологии анализа виден геометрический источник его понятий, как, например, в терминах: «точка разрыва», «область изменения переменной» и т.п. Первый курс анализа, написанный в 1696 Г. Лопиталем, назывался: «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий». Теория дифференциальных уравнений в большей части трактуется геометрически (интегральные кривые и т.п.). Вариационное исчислениевозникло и развивается в большой мере на задачах Г., и её понятия играют в нём важную роль.

  2) Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже 18—19 вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, т. е. путём построения «комплексной плоскости». В теории функций комплексного переменного геометрическими методам отводится существенная роль. Само понятие аналитической функции w = f (z) комплексного переменного может быть определено чисто геометрически: такая функция есть конформное отображение плоскости z (или области плоскости z) в плоскость w. Понятия и методы римановой Г. находят применение в теории функций нескольких комплексных переменных.

  3) Основная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке [0,1]) рассматриваются как точки «функционального пространства», причём отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций – как расстояние, и т.п.). Тогда многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, оказывающееся во многих случаях очень плодотворным. Вообще, представление тех или иных математических объектов (функций, фигур и др.) как точек некоторого пространства с соответствующим геометрическим толкованием отношений этих объектов является одной из наиболее общих и плодотворных идей современной математики, проникшей почти во все её разделы.

  4) Г. оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику – теорию чисел. В алгебре используют, например, понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу. В свою очередь нужно отметить также графические методы расчётов (см. Номография) и геометрические методы современной теории вычислений и вычислительных машин.

  5) Логическое усовершенствование и анализ аксиоматики Г. играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.

  В целом взаимопроникновение Г. и др. областей математики столь тесно, что часто границы оказываются условными и связанными лишь с традицией. Почти или вовсе не связанными с Г. остаются лишь такие разделы, как абстрактная алгебра, математическая логика и некоторые др.

  Лит.:Основные классические работы. Евклид, Начала, пер. с греч., кн. 1—15, М. – Л.,1948—50; Декарт Р., Геометрия, пер. с латин., М. – Л., 1938; Монж Г., Приложения анализа к геометрии, пер. с франц., М. – Л., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz – Р., 1822; Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых поверхностях, пер. с нем., в сборнике: Об основаниях геометрии, М., 1956; Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 1—3, М. – Л., 1946—51; Больаи Я., Appendix. Приложение,..., пер. с латин., М. – Л., 1950; Риман Б., О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии, пер. с нем., в сборнике: Об основаниях геометрии, М., 1956; Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа»), там же; Картан Э., Группы голономии обобщенных пространств, пер. с франц., в кн.: VIII-й Международный конкурс на соискание премии имени Николая Ивановича Лобачевского (1937 год), Казань, 1940; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. – Л., 1948.

  История. Кольман Э., История математики в древности, М., 1961; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Cantor М., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1—4, Lpz., 1907—08.

  Курсы. а) Основания геометрии. Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М. – Л., 1949; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968.

  б) Элементарная геометрия. Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, М., 1938; Погорелов А. В., Элементарная геометрия, М., 1969.

  в) Аналитическая геометрия. Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Погорелов А. В., Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968.

  г) Дифференциальная геометрия. Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М. – Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1—2, М. – Л., 1947—48; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, М., 1969.

  д) Начертательная и проективная геометрия. Глаголев Н. А., Начертательная геометрия, 3 изд., М. – Л., 1953; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

  е) Риманова геометрия и её обобщения. Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 2 изд., М. – Л., 1964; Норден А. П., Пространства аффинной связности, М. – Л., 1950; Картан Э., Геометрия римановых пространств, пер. с франц., М. – Л., 1936; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948.

  Некоторые монографии по геометрии. Федоров Е. С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М. – Л., 1950; его же, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. – Л., 1948; Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; его же, Выпуклые поверхности, пер. с англ., М., 1964; Картан Э., Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства, пер. с франц., М. – Л., 1936; Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М. – Л., 1948; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. – Л., 1937; его же, Теория конгруенций, М. – Л., 1950; Схоутен И. А., Стройк Д. Дж., Введение в новые методы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1—2, М. – Л., 1939—48; Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; Милнор Дж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965.

  А. Д. Александров.

Геометрия резца

Геоме'трия резца', форма и углы заточки режущей части резца. Г. р. влияет на характер процесса резания материалов, на его производительность и экономичность, качество обработанной детали, стойкость (время работы до нормального затупления) резца и т.п. Все определения по Г. р., приводимые ниже, справедливы для др. режущих инструментов (свёрл, протяжек, фрез). Режущую часть составляют рабочие поверхности (рис. 1): передняя, по которой сходит образующаяся в процессе резания стружка, задняя главная и задняя вспомогательная, обращенные к обрабатываемой поверхности заготовки. Рабочие поверхности при пересечении образуют режущие кромки.

  Главная режущая кромка, выполняющая основную работу при резании, образуется в результате пересечения передней и главной задней поверхности; вспомогательная режущая кромка – при пересечении передней и вспомогательной задней поверхности. Место сопряжения главной и вспомогательной режущих кромок называется вершиной резца. Вершина резца – наиболее ослабленная его часть, определяющая прочность режущей части кромки резца в целом; поэтому для повышения прочности вершина резца делается либо закруглённой (с радиусом 0,5—2 мм), либо в виде прямолинейной переходной режущей кромки (длиной 0,5—3 мм).

  Элементы режущей части резца подразделяют на статические, определяющие углы заточки инструмента, и кинематические, зависящие от характера процесса резания и от установки резца. Углы заточки определяют форму режущей части при проектировании, изготовлении и контроле резца. Режущая часть резца имеет форму клина, заточенного под определёнными углами. Для определения углов установлены следующие координатные плоскости: плоскость резания и основная плоскость. Плоскость резания – это плоскость, касательная к поверхности резания и проходящая через главную режущую кромку. Основная плоскость – плоскость, параллельная продольной (параллельной оси заготовки) и поперечной (перпендикулярной оси заготовки) подачам резца. Эти координатные плоскости взаимно перпендикулярны. Главные углы резца определяются в главной секущей плоскости, перпендикулярной проекции главной режущей кромки на основную плоскость (рис. 2). Главный задний угол a – угол между главной задней поверхностью резца и плоскостью резания. При выборе заднего угла, во избежание трения задней поверхности резца об обрабатываемую поверхность и поверхность резания, учитывают величину подачи: чем она больше, тем больше задний угол. Угол заострения b – угол между передней и главной задней поверхностями резца. Главный передний угол g — угол между передней поверхностью резца и плоскостью, перпендикулярной плоскости резания. Выбор переднего угла зависит прежде всего от физико-механических свойств обрабатываемого материала. Чем больше передний угол, тем легче процесс образования стружки, тем меньше усилие резания и затрачиваемая мощность. Чем выше твёрдость обрабатываемого материала, тем меньшие значения передних углов резца принимают для его обработки. Угол резания d – угол между передней поверхностью резца и плоскостью резания. Главный угол в плане j– угол между направлением подачи и проекцией главной режущей кромки на основную плоскость; вспомогательный угол в плане j₁ — угол между направлением подачи и проекцией вспомогательной режущей кромки на основную плоскость. Углы j и j₁ определяют, с одной стороны, условия работы режущей кромки, а с другой – распределение нагрузки от силы резания. Чем меньше угол в плане, тем (при неизменной глубине резания и подаче) меньше тепловая и силовая нагрузки на единицу длины главной режущей кромки, а следовательно, лучше условия работы. Уменьшение угла в плане ниже оптимального значения может привести к чрезмерной деформации обрабатываемой заготовки, к снижению точности обработки и вибрациям. Угол при вершине в плане e – угол между проекциями режущих кромок на основную плоскость: e = 180°– (j +j₁). Угол в плане переходной (прямолинейной) режущей кромки j – угол между направлением подачи и проекцией переходной режущей кромки на основную плоскость: обычно j₀ = j /2. Угол наклона главной режущей кромки l – угол, заключённый между режущей кромкой и линией, проведённой через вершину резца параллельно основной плоскости; угол l положительный, когда вершина резца – наинизшая точка режущей кромки; отрицательный, когда вершина резца – наивысшая точка, и равен нулю, если главная режущая кромка параллельна основной плоскости. Угол l оказывает влияние на направление схода стружки.

Лит. см. при ст. Обработка металлов резанием.

  В. В. Данилевский.

Рис. 2. Углы резания.

Рис. 1. Схема процесса резания (а) и основные элементы резца (б).

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (ГЕ)"