Текст книги "Исследование психологии процесса изобретения в области математики"
Автор книги: Жак Адамар
сообщить о нарушении
Текущая страница: 6 (всего у книги 10 страниц)
Мы можем быть уверены, что в мышлении Лейбница не происходило недоразумений, которых боится Гаманн: во-первых, потому что это был Лейбниц, и, во-вторых, потому что он отдавал себе отчёт в опасности. И хотя я лишь немного знаком с теориями метафизиков, меня несколько беспокоит то, что (как я прочёл в «Эволюции общих идей» Рибо) среди них зрительный типографский тип кажется одним из наиболее общих.
Действительно, среди философов, кажется, имеется некоторая тенденция путать логическую мысль с использованием слов. Например, трудно не отметить этого у Уильяма Джеймса, когда он жалуется[98], что «мы так подчинены философской традиции, обсуждающей обычно «логос» или рассуждение как единственный путь к правде, что возвращение к жизни животной и «необлеченной в слова» сыграло бы, пожалуй, роль откровения». Выражение «необлеченной в слова» почти не оставляет сомнения, что он использует слово «логос» в древнегреческом смысле.
Не может ли эта тенденция запутать в конце концов тех, кто ею руководствуется? Читая возражения Фуйе против бессознательного в его произведении «L'Evolutionnisme des Idées – Forces» (см. гл. II, стр. 26), спрашиваешь себя, не выдвигает ли он слова вместо доводов.
Я испытываю некоторую неловкость, когда вижу, что Локк, как и Стюарт Милль, считает необходимым использование слов каждый раз, когда речь идёт о сложных идеях. Я, как и большинство учёных, думаю, что чем труднее и сложнее вопрос, чем меньше мы можем доверять словам, тем яснее понимаем, что должны контролировать этого опасного союзника и его подчас предательскую точность.
Одно ценное описание
Хотя по вопросу об употреблении слов в мышлении встречаются ещё различные мнения, теперь принято считать, что наличие слов необязательно. С другой стороны, многие современные психологи, продолжая настаивать на словах[99], заметили, как и мы, вмешательство неопределённых образов, которые представляют идеи лишь символически[100].
Я не буду заниматься резюмированием этих произведений; но я не могу противостоять желанию воспроизвести очень интересное сообщение, любезно адресованное мне профессором Романом Якобсоном, который помимо своих хорошо известных лингвистических работ, проявляет глубокий интерес к психологическим вопросам. Вот оно:
«Знаки – необходимая поддержка для мысли. Для мысли, обращённой к обществу (стадия сообщения), и для мысли, находящейся в процессе подготовки к этому (стадия формулировки), наиболее обычной системой знаков является собственно речь; но внутренняя мысль, особенно когда это мысль творческая, охотно использует другие системы знаков, более гибкие и менее стандартизованные, чем речь, и которые оставляют больше свободы, подвижности творческой мысли… Среди этих знаков и символов надо различать, с одной стороны, условные общепринятые знаки и знаки индивидуальные, которые, в свою очередь, могут подразделяться на постоянные знаки, употребляемые обычно, и знаки эпизодические, созданные ad hoc и участвующие лишь в одном созидательном акте».
Этот замечательно точный и глубокий анализ поразительно отчётливо освещает наблюдения типа тех, о которых мы говорили выше. Такое согласие между умами, работающими в совершенно различных областях, – факт замечательный.
Сравнение с другим вопросом по поводу воображения
Можно сказать, что образы составляют основную тему знаменитого произведения Тэна «Об уме». Он их рассматривает с точки зрения, достаточно отличной от нашей (так как концентрированная мысль им не была рассмотрена). Однако на один вопрос, его особенно интересовавший, проведённые нами наблюдения могут пролить, возможно, некоторый свет. Он настойчиво обращал внимание на то, что следовало бы объяснить, как происходит, что некоторые образы являются нам иногда очень живо и тем не менее отличаются от реальных ощущений; как ум может различать образы и галлюцинации[101].
Но в нашем случае также имеется вереница образов, развивающаяся параллельно с собственно мыслью. Два умственных процесса, образы и рассуждения, постоянно влекут за собою друг друга, оставаясь в то же время совершенно различными и даже до некоторой степени независимыми; и мы нашли, что это обусловлено сотрудничеством между собственно сознанием и сознанием краевым. Можно предположить, что существует определённая аналогия между этими двумя явлениями и что одно может помочь понять другое.
Можно ли воспитывать воображение?
Проведённое выше исследование подсказывает вопрос, аналогичный уже поднимавшемуся в конце гл. IV. Возможно ли и желательно ли, чтобы наша воля оказывала влияние на природу вспомогательных знаков, используемых при мышлении? Этот вопрос изучался: Титченер проявил замечательную инициативу в этом смысле. Как он объясняет[102], его естественной тенденцией является использование мысленной речи; но он всегда стремился, и всегда успешно, к большому диапазону и большой гибкости воображения, «опасаясь, что с возрастом возникает тенденция становиться всё более словесным типом».
Таким образом, слишком активное вмешательство речи в его мышление сдерживалось постоянной сменой образов. Ещё более любопытно то, что он использует с этой целью не только зрительные образы, но также, и даже в основном, слуховые, в частности музыкальные.
Но он использует также и помощь зрительного воображения, «которое всегда в моём распоряжении и которое я могу формировать и направлять по желанию. Читая какое-либо произведение, я интенсивно упорядочиваю факты или аргументы в соответствии со зрительной моделью и я могу думать в терминах этой модели так же легко, как и словами»; и чем лучше произведение соответствует этой модели, тем лучше он его понимает.
Подобное самовоспитание умственных процессов мне кажется одним из самых замечательных достижений психологии.
Общие замечания
Всё сказанное касается людей, занимающихся умственной работой. Исследования среди других групп населения связаны со следующей трудностью: как мы видели, законы концентрированной мысли могут очень сильно отличаться от общих законов образования идей, встречающихся у обычных людей. Это, вероятно, является причиной, из-за которой Гальтон, хотя и видел необходимость более общей анкеты, не был в состоянии её провести.
Как бы то ни было, мы видим, что хотя то, что мы говорили в предыдущих главах, кажется общим для различных творческих умов, природа вспомогательных конкретных представлений может у них значительно различаться.
ГЛАВА VII
РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УМОВ
Явления, которые мы рассматривали в первых пяти главах, по-видимому, сходным образом наблюдаются у многих специалистов-математиков. Напротив, конкретные представления, изученные в предыдущей главе, были далеко не одинаковыми для всех. Эта глава также будет посвящена различиям между путями, которые избирает математическая мысль. Но по отношению к нашему предыдущему исследованию она представляет собой то же, что представляет различие между зоологическими родами и видами по отношению к общей физиологии.
Случай здравого смысла
Начнём с начала, а именно с людей, рассуждающих просто здраво: мы можем сказать, что у них бессознательное играет большую роль и что они лишь немного пользуются последующей работой сознания.
Кроме того, случается, что их бессознательное является поверхностным, и его результаты несущественно отличаются от нормального рассуждения. Так, Спенсер, напомнив классический силлогизм: «Всякий человек смертен; Пётр – человек; значит Пётр смертен», предполагает, что вам рассказали о человеке в возрасте 90 лет, который затевает постройку для себя нового дома. Этот силлогизм действительно присутствует в вашем краевом сознании и разница лишь в форме между этим последним и ходом мысли (ходом мгновенным, как обычно в бессознательном), который вас приводит к выводу, что этот человек неразумен. То же самое может иметь место и для многих простых математических умозаключений.
Но в ряде других случаев пути здравого смысла могут сильно отличаться от тех, по которым может пойти чётко сформулированное рассуждение. Особенно это касается вопросов конкретной природы, например, геометрических и механических. Наши представления по таким вопросам, усвоенные в раннем детстве, по-видимому, глубоко запрятаны в бессознательном; мы не можем их знать точно и, вероятно, часто они содержат эмпирические выводы, полученные не путём рассуждения, а из чувственного опыта. Приведём несколько примеров.
Представим себе, что мы бросили перед собой «материальную точку» (т. е. крохотное тело, например, очень маленький шарик), которая будет продолжать двигаться благодаря своей начальной скорости и своему весу. Здравый смысл говорит нам, что это движение будет происходить в вертикальной плоскости, которая проходит через начальное направление броска. В этом случае почти несомненно, что подсознание использует «принцип достаточного основания», так как нет никаких оснований для того, чтобы точка в своём движении отклонилась скорее вправо, чем влево от этой плоскости.
Математическое доказательство, как оно классически излагается в курсах теоретической механики, основано на совершенно ином принципе и использует несколько теорем дифференциального и интегрального исчисления. Надо, однако, заметить, что доказательство, которое нам даёт «здравый смысл», можно превратить в совершенно строгое, используя общую теорему (также относящуюся к интегральному исчислению), которая гласит, что в условиях, изложенных выше (при заданных величине и направлении скорости), движение определено однозначно. Эта теорема может в свою очередь быть строго доказана, но это доказательство приводится лишь в более строгих курсах интегрального исчисления, так что в обычном обучении способ, подсказанный здравым смыслом, действительно кажется менее элементарным, чем другой.
Рассмотрим теперь два геометрических примера. Если я хочу непрерывным движением точки описать в плоскости кривую, то здравый смысл подсказывает, что во всех её точках (кроме, может быть, нескольких исключительных точек) кривая будет иметь касательную (другими словами, в каждый момент движение обязательно происходит во вполне определённом направлении). Мы не знаем, как здравый смысл – т. е. наше бессознательное – приходит к такому выводу; может быть, благодаря опыту, т. е. вспоминая кривые, которые мы привыкли видеть; или, как это предполагает Ф. Клейн, смешивая геометрические кривые, которые не имеют толщины, с кривыми, которые мы реально можем провести и которые всегда имеют некоторую толщину. В действительности вывод ошибочен: математики умеют строить непрерывные кривые, которые нигде не имеют касательной.
В качестве второго примера рассмотрим замкнутую плоскую кривую, которая не имеет «двойных точек», т. е. нигде не пересекается сама с собой. Для здравого смысла очевидно, что такая кривая, какова бы ни была её форма, делит плоскость либо на две различные области, либо более чем на две. Точно не известно, как здравый смысл приходит к такому выводу, и вероятно, что здесь снова налицо вмешательство эмпиризма. На этот раз заключение (теорема Жордана) правильно, но, несмотря на его очевидность для нашего здравого смысла, его доказательство очень трудное.
С помощью таких примеров можно понять, что, по крайней мере для некоторого класса вопросов, связанных с основами[103], невозможно с уверенностью полагаться на нашу обычную пространственную интуицию: так же, как геометрические свойства могут быть сведены к свойствам аналитическим благодаря аналитической геометрии, рассуждения всегда должны быть полностью арифметизованы; или, по крайней мере, необходимо убедиться, что такая арифметизация возможна, даже если она для краткости не проводится. Слова Паскаля «Всё, чего не может геометрия, не можем и мы» заменены современными математиками словами «Всё, чего не может арифметика, не можем и мы».
Например, доказательство теоремы Жордана, сформулированной выше, является удовлетворительным лишь тогда, когда оно полностью арифметизовано[104].
Вторая стадия – изучение математики
После этой стадии здравого смысла приходит следующая стадия – научная. Мы видели, что она характеризуется наличием тройной операции: проверки результата, его «завершения» и особенно его подготовки к использованию, что требует формулировки результата-эстафеты. Мы видели, что это существенно, во-первых, для того, чтобы иметь уверенность в приобретённых таким образом знаниях и для того, чтобы иметь возможность их плодотворно использовать.
Эти особенности помогут нам понять, что происходит, с точки зрения психологии, при переходе от первой стадии ко второй; другими словами, понять то, что происходит при изучении математики.
Известно, до какой степени обычным делом здесь являются полное непонимание и полный крах. Впрочем, я буду очень краток в этом вопросе, так как он основательно рассмотрен Пуанкаре. Прежде чем его обсуждать, небесполезно заметить, что изучение математики уже входит в тему нашего исследования. Между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и изобретательской работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера.
Как получается, что столько учеников неспособны к этому виду работы, неспособны понимать математику? Пуанкаре рассмотрел именно этот вопрос[105], и он ярко показал, какова здесь действительная причина, источник которой – тот смысл, который следовало бы придавать слову «понимать».
«Понять доказательство теоремы, – значит ли это исследовать последовательно каждый из силлогизмов, из которых она состоит, и констатировать, что он корректен и соответствует правилам игры? Да, для некоторых; установив это, они скажут: «Я понял». Но не для большинства. Почти все остальные являются гораздо более требовательными; они хотят знать не только все ли силлогизмы в доказательстве верны, но также почему они связываются в таком порядке, а не в другом. Так как они считают это порождением каприза, а не ума, постоянно и сознательно стремящегося к цели, они считают, что не поняли.
Несомненно, они не вполне отдают себе отчёт в том, чего требуют, и они не сумели бы сформулировать своё желание, но если они не удовлетворены, то они смутно чувствуют что им чего-то не хватает.»
Легко понять связь между сказанным и нашими предыдущими рассмотрениями. Чтобы преподавать устно или письменно, надо дать каждую часть доказательства в совершенно осознанном виде, в соответствии с одновременными стадиями проверки и «завершения», которые мы описали выше. При этом, думая о будущих следствиях, обычно стараются увеличить число результатов-эстафет. При таком подходе (который кажется наилучшим для получения ясного и строгого представления у начинающего) не остаётся ничего от синтеза, важность которого мы подчеркнули в предыдущей главе. Этот синтез является для нас поводырём, без которого мы были бы как слепые, умеющие ходить, но никогда не знающие направления, в котором надо идти.
Те, кто может видеть такой синтез, «понимают математику». В противном случае, имеются две тактики, отмеченные Пуанкаре (см. выше), и обычно вторая тактика преобладает: студент чувствует, что чего-то не хватает, но никак не может понять, в чём же дело; если он не преодолеет эту трудность, всё потеряно.
В первом из указанных Пуанкаре случаев студент, не найдя никакого подхода для синтеза, обходится без последнего. Хотя это и позволяет ему продолжать учёбу (часто в течение многих лет), его случай с некоторой точки зрения хуже, чем у другого; тот понимает, по крайней мере, существование трудности. Так как требуется всё больше и больше математиков для различных областей, такой тип студента встречается часто. Однажды я опрашивал студента, который, руководствуясь своим здравым смыслом, знал верный ответ на мой вопрос, но не думал, что он всегда вправе так ответить, и не отдавал себе отчёта в том, что указания его подсознания могли быть легко преобразованы в правильное и строгое доказательство.
Любопытные примеры такого типа часто встречаются среди студентов, занимающихся дифференциальным и интегральным исчислением. Чаще всего они задают себе вопрос, можно ли опираться на такую теорему или формулу и выполнены ли условия её применимости; и они иной раз из-за этого причиняют себе немало хлопот, в то время как здравый смысл указывает, что ответ практически очевиден… и с другой стороны, они пренебрегают такой предосторожностью в тонких вопросах, заслуживающих внимательного исследования! Это замечание и другие аналогичные могут при случае оказаться полезными в педагогике.
Логические и интуитивные умы. Политический аспект вопроса
Поговорив о студентах, перейдём к самим математикам, способным не только понимать математические теории, но и выдвигать новые. Они отличаются не только от студентов, но и между собой. Было подчёркнуто основное различие: некоторые математики «интуитивны», другие – «логики». Об этом различии говорил Пуанкаре, так же как и немецкий математик Клейн. Доклад Пуанкаре на эту тему[106] начинается так:
«Одни прежде всего заняты логикой; читая их работы, думаешь, что они продвигались вперёд шаг за шагом с методичностью Вобана, который готовит штурм крепости, ничего не оставляя на волю случая. Другие руководствуются интуицией и с первого удара добиваются побед, но иногда ненадёжных, так же, как отчаянные кавалеристы авангарда».
Клейн доходит до введения в вопрос политики; он утверждал в 1893 г.[107]: «кажется, что сильная пространственная интуиция присуща тевтонской науке, в то время как чисто логический критический дух более развит в латинской и еврейской расах». Такое утверждение противоречит фактам, что будет ясно видно, когда мы перейдём к примерам. Несомненно, что Клейн, говоря об этом, недвусмысленно рассматривает интуицию с её таинственным характером как нечто высшее по отношению к прозаическому пути логики (мы уже встречались с подобной тенденцией в гл. III), и он, очевидно, счастлив провозгласить такое превосходство своих соотечественников. Совсем недавно мы были свидетелями того, как нацисты провозгласили этот особый вид этнографии, мы видим, что нечто подобное существовало уже в 1893 г.!
Такую тенденциозную интерпретацию фактов находишь всякий раз, когда в игру вступают националистические и расистские страсти. В начале первой мировой войны один из наших самых крупных учёных и историков науки физик Дюгем был точно так же, как и Клейн, сбит с толку, но в противоположном смысле. В достаточно подробной статье[108] он изображает немецких учёных, особенно математиков, как людей, лишённых интуиции или даже как сознательно её отметающих. Особенно трудно понять, как он может так характеризовать Римана, который несомненно является одним из наиболее типичных примеров интуитивного ума. Утверждение Дюгема в 1915 г. мне кажется столь же необоснованным, как и утверждение Клейна в 1893 г. Если бы тот или другой был прав, то из всего сказанного читатель сделал бы вывод, что либо французы, либо немцы никогда не делали важных открытий. Единственная тенденция, в которой я мог бы упрекнуть с этой точки зрения немецкую математическую школу, состоит в систематических попытках – мало обоснованных и несколько педантичных (особенно под влиянием Клейна) – утверждать, что в некоторых доказательствах анализа и в его арифметических приложениях предпочтительнее употреблять ряды, чем интегралы. Как раз в этих вопросах использование рядов кажется более логичным и использование интегралов более интуитивным. В этой тенденции проявляется, может быть, ещё некоторый национализм, так как ряды использовались знаменитым Вейерштрассом – совершенно очевидным представителем логических умов, – репутация которого и влияние на немецких учёных были огромны, в то время как Коши и Эрмит в аналогичных случаях вводили интегралы[109] (что делал, впрочем, и Риман).
Точка зрения Пуанкаре на это различие
Пуанкаре – более мудро, я полагаю – не переводит вопрос в политический план. Напротив, он показывает, насколько сомнительна эта точка зрения и, чтобы проиллюстрировать противоположность этих двух видов умов, он сравнивает между собой двух французов, а затем двух немцев.
Я был полностью согласен с идеями Пуанкаре на протяжении первых пяти глав, но на этот раз я с ним разойдусь во взглядах. На стр. 101 мы цитировали первую фразу его доклада, воспроизведём теперь вторую.
«Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят, что они аналитики, а других называют геометрами, то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом. Сама природа их ума делает их «логиками» или «интуитивистами» и они не могут переродиться, когда принимаются за новую тему».
Что мы должны думать, сравнивая два абзаца? Дважды было подчёркнуто различие между интуицией и логикой, но на совершенно различных, хотя и имеющих друг к другу некоторое отношение, основаниях.
Это становится ещё более очевидным при рассмотрении примеров, данных Пуанкаре. Жозефу Бертрану, который совершенно очевидно имеет конкретные пространственные представления по всем вопросам, он противопоставляет Эрмита, чьи глаза «кажутся лишёнными контакта с миром» и который ищет «видение истины изнутри, а не снаружи» (там же).
Конечно, Эрмит не имел привычки думать конкретно. Он испытывал своего рода ненависть к геометрии и однажды, как ни странно, упрекнул меня в том, что я опубликовал мемуар по геометрии. Естественно, его собственные работы по конкретным вопросам редки и не относятся к числу его самых замечательных. Таким образом, в соответствии со вторым заявлением Пуанкаре Эрмит должен рассматриваться как математик с логическим складом ума.
Но считать Эрмита логиком! Ничто не может мне казаться менее правдоподобным. Казалось, что методы всегда рождались в его уме каким-то таинственным образом. На его лекциях в Сорбонне – которые мы слушали с неизменным восторгом – он любил начинать свои рассуждения словами: «Начнём с тождества…»; затем он писал формулу, точность которой можно было гарантировать, но ни происхождения которой, ни метода открытия он не объяснял – и мы не могли о них догадаться. Это качество его ума отчётливо проявилось при открытии им знаменитых квадратичных форм; в этом вопросе возможны два случая и очевидно, что их свойства совершенно различны. В первом случае «приведение» было известно со времён Гаусса. Казалось, что никому не могло прийти в голову применить ко второму случаю выкладки, используемые в первом, так как они, видимо, не имели с ним ничего общего; казалось совершенно абсурдным, что они могут и в этом случае привести к решению; и тем не менее, посредством своего рода колдовства, они к нему привели. Механизм этого исключительного явления был несколькими годами позднее частично объяснён с помощью геометрической интерпретации (данной, естественно, не Эрмитом, а Клейном); но для меня она стала совершенно ясной лишь после того, как я познакомился с соответствующей концепцией Пуанкаре, в одной из его первых заметок[110]. Я не могу себе представить более совершенного типа интуитивного ума, чем Эрмит. Итак, пример Эрмита неукоснительно показывает, что два определения интуиции и логики, данные Пуанкаре, не совпадают, по крайней мере не вполне совпадают, что в какой-то мере признал сам Пуанкаре именно в связи с примером Эрмита.
Двумя немецкими математиками, которых сравнивает Пуанкаре, являются Вейерштрасс и Риман. Несомненно, что, как заключает Пуанкаре, Риман – типичный интуитивист, а Вейерштрасс – типичный логик. Но по поводу этого последнего Пуанкаре замечает: «Можно просмотреть все его книги, и вы не найдёте в них ни одного чертежа». Здесь допущена одна фактическая ошибка[111]. Действительно, почти ни в одном из мемуаров Вейерштрасса нет чертежей; существует лишь одно исключение, но оно существует и находится в одном из его самых замечательных и наиболее сжатых произведений, которое производит наиболее яркое впечатление совершенства: я говорю о его фундаментальном методе в вариационном исчислении. Вейерштрасс там помещает один единственный чертёж[112] и, опираясь на него, всё дальнейшее выводит глубоко логическим методом, который является, несомненно, ему свойственным; так что достаточно каждому, кто хорошо знает математические методы, бросить взгляд на этот чертёж, чтобы восстановить весь ход рассуждений. Но для построения этой фигуры требовалась, естественно, начальная интуиция. Это было тем более трудным и гениальным актом, что требовалось порвать с общепринятыми методами, которые непрерывно приносили всё новые успехи со времён изобретения исчисления бесконечно малых; в частности, Лагранж успешно применил исчисление бесконечно малых для получения первой части решения, но больше никому не удавалось его правильно дополнить. Вейерштрасс показал, что для получения результата надо полностью отойти от традиционных методов и оперировать непосредственно.
Как видно, в действительности этот случай является ярким примером того общего факта, что логика идёт вслед за начальной интуицией.
Использование полученных нами результатов
Итак, мы вынуждены признать, что не существует единого определения интуиции, противоположной логике, но что их существует по крайней мере два. Чтобы разобраться в этом, почему бы не воспользоваться результатами нашего анализа этих явлений?
Резюмируем результаты этого анализа: вспомним, что всякая умственная работа, в частности, работа над открытием, влечёт за собой сотрудничество бессознательного или поверхностного или (достаточно часто) более или менее глубокого; что в этом бессознательном после предварительной сознательной работы происходит та вспышка идей, которую Пуанкаре сравнил с более или менее беспорядочным выбросом атомов, и что конкретные представления обычно используются умом для фиксации комбинаций и их синтеза.
Следствием этого является прежде всего то, что, говоря строго, практически не существует чисто логических открытий. Вмешательство бессознательного необходимо по крайней мере для того, чтобы стать отправным пунктом логической работы.
С этой оговоркой, мы немедленно замечаем, что процессы, аналогичные только что описанным, могут протекать различно в разного типа умах:
А) более или менее глубоко в бессознательном. Так как мы знаем, что в бессознательном должны существовать различные уровни, некоторые из которых находятся совсем близко к сознанию, а другие лежат более или менее глубоко, то ясно, что уровни, где встречаются и комбинируются идеи, могут быть либо глубокими, либо, напротив, поверхностными; поэтому есть основания считать, что с этой точки зрения каждый ум ведёт себя по-своему.
Совершенно естественно говорить об уме более интуитивном, когда зона комбинирования идей находится глубоко, и об уме логическом, если эта зона pacположена достаточно поверхностно. Такой способ рассматривать различие мне кажется наиболее соответствующим существу вопроса.
Если эта зона глубока, то результаты будет труднее довести до сведения сознания, и вероятно, что ум будет иметь тенденцию делать это лишь тогда, когда эта строго необходимо. Я охотно могу предположить, что таков был случай Эрмита, который никогда не опускал ни одного существенного элемента в результатах своих раздумий, так что его методы были вполне корректны и строги, но при этом не оставалось ни малейшего следа способа, который его к ним привёл.
Может произойти обратное: умы могут быть устроены таким образом, что идеи, выработанные в недрах бессознательного, тем не менее полностью доходят до сознания. Я мог бы охотно представить себе это в случае Пуанкаре, идеи которого, хотя и могли быть рождены достаточно глубокой интуицией, обычно казались проделавшими совершенно естественный путь. Как видно, можно казаться логиком при формулировке своих идей, но после того, как эти идеи были открыты путём интуиции[113].
Б) Мысль более или менее узко направленная: мы видели, что выброс атомов Пуанкаре – образование идей, говоря менее метафорическим языком – может быть более или менее рассеянным. Это ещё одно основание для того, чтобы у нас могло сложиться представление или об интуитивном уме (в случае, когда рассеивание велико), или об уме логическом (в противоположном случае); и это второе основание может, априори по крайней мере, не иметь никакого отношения к первому: угол, в котором заключена мысль, может быть различным, но независимо от того, насколько глубок слой бессознательного, в котором эта мысль развивается. Априори мы не знаем, есть ли связь между этими двумя видами «интуитивных тенденций», но один пример (пример Галуа, как мы увидим дальше) нам покажет, что они действительно независимы.
В) Различные вспомогательные представления: мы видели, как сильно различаются учёные по способу использования умственных образов или других конкретных представлений: эти различия могут касаться либо природы представлений, либо способа, которым они влияют на работу мозга. Ясно, что некоторые виды представлений могут дать мысли ход более логический, другие – ход более интуитивный. Но эта сторона вопроса является гораздо менее доступной для изучения именно потому, что явления не всегда сравнимы для различных умов.
Очень общим является использование образов, и они очень часто бывают геометрической природы. Было бы интересно иметь по таким вопросам самонаблюдения Эрмита, который всегда казался витающим вне конкретных представлений (в моём собственном случае, когда я думаю об аналитических вопросах, роль геометрических образов совершенно отлична от той, которую они играют, когда речь идёт о геометрических исследованиях).
Другие различия между математическими умами
Вопрос, который мы только что обсуждали, является единственным исследованным до сих пор вопросом, касающимся различных видов математических умов: естественно, нет никакого сомнения, что математики могут различаться и с других совершенно различных точек зрения.
Например, существует одна теория – теория групп, важность которой в нашей науке не переставала возрастать в течение более чем века, особенно после трудов Софуса Ли в конце XIX века. Некоторые математики, в частности некоторые современники, обогатили её блестящими открытиями. Другие – и я признаюсь, что принадлежу к их числу – будучи способны использовать её в простых приложениях, испытывают непреодолимые трудности при попытке познать эту теорию глубже. Было бы интересно открыть психологическую основу такого различия умов, различия, которое мне кажется несомненным.
